Dimensionnement d'un Ponceau (Culvert)

Contexte : Le Ponceau (Culvert)Un conduit fermé (souvent circulaire ou rectangulaire) permettant à l'eau de s'écouler sous un obstacle, comme une route, un chemin de fer ou un remblai..

En ingénierie civile, le dimensionnement correct des ponceaux est crucial pour assurer la sécurité des infrastructures routières et la gestion des eaux pluviales. Un ponceau sous-dimensionné peut provoquer des inondations en amont et endommager la route, tandis qu'un surdimensionnement entraîne des coûts inutiles.

Cet exercice vous guidera à travers la vérification d'un ponceau circulaire en béton pour un débit de projetLe débit maximal (en m³/s) que l'ouvrage doit être capable de faire passer en toute sécurité, basé sur une étude hydrologique (par exemple, une crue de retour 50 ans). donné, en utilisant l'équation de Manning pour un écoulement à surface libre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer l'équation de Manning à une section circulaire, qui est un cas non prismatique (les propriétés hydrauliques changent non-linéairement avec la hauteur). Vous verrez pourquoi un ponceau ne doit pas couler à pleine section.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les propriétés géométriques d'une section circulaire (pleine et partielle).
Appliquer l'équation de Manning pour le calcul de débit en écoulement uniforme.
Comprendre la relation non linéaire entre la hauteur d'eau et le débit dans un conduit circulaire.
Vérifier le dimensionnement d'un ouvrage hydraulique par rapport à des contraintes de capacité et de hauteur de remplissage.

Données de l'étude

Une route doit traverser un petit cours d'eau. Un ponceau circulaire en béton a été proposé. Nous devons vérifier si le diamètre choisi est adéquat pour le débit de projet, tout en respectant une marge de sécurité (revanche).

Schéma de la Section

Section Transversale du Ponceau

Données Hydrauliques

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit de projet	\(Q_{\text{projet}}\)	5.0	m³/s
Diamètre proposé du ponceau	\(D\)	2.0	m
Pente longitudinale	\(S_0\)	0.002	m/m
Coeff. de Manning (béton)	\(n\)	0.013	s/m¹/³
Contrainte de remplissage max.	\(y/D\)	≤ 0.8	-

Questions à traiter

Calculer l'aire (\(A_{\text{pleine}}\)) et le rayon hydraulique (\(R_{h,\text{pleine}}\)) pour le ponceau coulant à pleine section.
En utilisant les valeurs de la Q1, calculer le débit à pleine section (\(Q_{\text{pleine}}\)) avec l'équation de Manning.
Comparer \(Q_{\text{pleine}}\) au débit de projet \(Q_{\text{projet}} = 5.0 \text{ m}^3/s\). La capacité totale du conduit semble-t-elle suffisante ?
Calculer l'aire (\(A_{80}\)) et le rayon hydraulique (\(R_{h,80}\)) pour la hauteur de remplissage maximale autorisée de 80% (soit \(y = 0.8 \times D = 1.6 \text{ m}\)).
Calculer le débit (\(Q_{80}\)) correspondant à ce remplissage de 80%. Conclure : le ponceau de 2.0 m respecte-t-il les deux contraintes (capacité de débit et hauteur de remplissage) ?

Les bases sur l'Écoulement à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de l'équation de Manning et des formules géométriques pour une section circulaire partiellement remplie.

1. Équation de Manning (Écoulement Uniforme)
Elle relie le débit \(Q\) aux propriétés de la section et à la pente : \[ Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \] Où :

\(Q\) : Débit (m³/s)
\(n\) : Coeff. de rugosité de Manning (s/m¹/³)
\(A\) : Aire de la section d'écoulement (m²)
\(R_h\) : Rayon hydraulique (m)
\(S_0\) : Pente du canal (m/m)

2. Propriétés Géométriques (Section Circulaire)
Le rayon hydrauliqueRapport entre l'aire de la section mouillée (A) et le périmètre mouillé (P). C'est une mesure de l'efficacité hydraulique de la section. est \(R_h = A / P\), où \(P\) est le périmètre mouillé.

Cas 1 : Pleine Section (\(y = D\)) \[ A_{\text{pleine}} = \frac{\pi D^2}{4} \quad | \quad P_{\text{pleine}} = \pi D \quad | \quad R_{h,\text{pleine}} = \frac{D}{4} \]

Cas 2 : Section Partielle (\(y < D\))
Les calculs dépendent de l'angle au centre \(\theta\) (en radians) : \[ \theta = 2 \cdot \arccos\left(1 - \frac{2y}{D}\right) \] \[ A = \frac{D^2}{8} (\theta - \sin(\theta)) \quad | \quad P = \frac{D}{2} \theta \]

Correction : Dimensionnement d'un Ponceau (Culvert)

Question 1 : Propriétés à pleine section (\(D = 2.0 \text{ m}\))

Principe

La première étape est de calculer les propriétés géométriques de base du conduit s'il était complètement plein. Cela nous donnera une première estimation de sa capacité maximale.

Mini-Cours

La géométrie d'un cercle est définie par son diamètre \(D\) ou son rayon \(R\). L'aire (\(A\)) est la surface totale, et le périmètre (\(P\)) est la longueur de sa circonférence. Le rayon hydrauliqueRapport entre l'aire de la section mouillée (A) et le périmètre mouillé (P). C'est une mesure de l'efficacité hydraulique de la section. (\(R_h\)) est un concept clé en hydraulique, défini comme \(A/P\).

Remarque Pédagogique

Il est essentiel de bien distinguer les propriétés d'une section pleine (que nous calculons ici) des propriétés d'une section partiellement remplie (que nous verrons à la Q4). Les formules sont très différentes.

Normes

Ce calcul est basé sur des principes géométriques universels et ne dépend pas d'une norme de construction spécifique.

Formule(s)

Pour une section circulaire pleine :

A_{\text{pleine}} = \frac{\pi D^2}{4}

P_{\text{pleine}} = \pi D

R_{h,\text{pleine}} = \frac{A_{\text{pleine}}}{P_{\text{pleine}}} = \frac{\pi D^2 / 4}{\pi D} = \frac{D}{4}

Hypothèses

Nous supposons que le ponceau est un cercle parfait.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire ici est le diamètre :

\(D = 2.0 \text{ m}\)

Astuces

Retenir directement \(R_{h,\text{pleine}} = D/4\) est un gain de temps majeur pour les sections circulaires pleines et évite de recalculer A et P.

Schéma (Avant les calculs)

Section Circulaire Pleine

Calcul(s)

Nous allons maintenant appliquer les formules vues ci-dessus avec la donnée \(D = 2.0 \text{ m}\).

Étape 1 : Calcul de l'Aire pleine

On remplace \(D\) par 2.0 m dans la formule de l'aire :

\begin{aligned} A_{\text{pleine}} &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot (2.0 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 4.0 \text{ m}^2}{4} \\ \Rightarrow A_{\text{pleine}} &= \pi \approx 3.142 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du Rayon hydraulique plein

On remplace \(D\) par 2.0 m dans la formule simplifiée du rayon hydraulique plein :

\begin{aligned} R_{h,\text{pleine}} &= \frac{D}{4} \\ &= \frac{2.0 \text{ m}}{4} \\ \Rightarrow R_{h,\text{pleine}} &= 0.5 \text{ m} \end{aligned}

Réflexions

Ces valeurs (\(A \approx 3.14 \text{ m}^2\) et \(R_h = 0.5 \text{ m}\)) sont les propriétés géométriques fondamentales de ce conduit. Elles serviront de base pour le calcul de débit à pleine section à la question suivante.

Points de vigilance

Ne pas confondre le rayon géométrique (\(R = D/2 = 1.0 \text{ m}\)) avec le rayon hydraulique (\(R_h = D/4 = 0.5 \text{ m}\)). C'est une erreur très fréquente !

Points à retenir

Pour un cercle plein, l'aire est \(A = \pi D^2 / 4\).
Pour un cercle plein, le rayon hydraulique est \(R_h = D / 4\).

Le saviez-vous ?

Le cercle est la forme géométrique qui maximise l'aire pour un périmètre donné. En hydraulique, cela signifie qu'un ponceau circulaire offre la meilleure efficacité (le plus grand \(R_h\)) pour un écoulement à pleine section, comparé à un ponceau rectangulaire ou carré de même périmètre.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

L'aire à pleine section est \(A_{\text{pleine}} \approx 3.142 \text{ m}^2\) et le rayon hydraulique est \(R_{h,\text{pleine}} = 0.5 \text{ m}\).

A vous de jouer

Calculez l'aire pleine (\(A\)) et le rayon hydraulique plein (\(R_h\)) pour un ponceau de diamètre \(D = 1.5 \text{ m}\). (Entrez \(A\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Propriétés géométriques d'un cercle.
Formules : \(A = \pi D^2 / 4\) et \(R_h = D / 4\) (pour section pleine uniquement !).

Question 2 : Calcul du débit à pleine section (\(Q_{\text{pleine}}\))

Principe

Maintenant que nous avons les propriétés géométriques à pleine section, nous pouvons appliquer l'équation de Manning pour trouver le débit théorique si le ponceau était plein.

Mini-Cours

L'équation de Manning \(Q = (1/n) \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2}\) est la formule centrale de l'hydraulique à surface libre en régime uniforme. Elle montre que le débit \(Q\) :

Diminue avec la rugosité \(n\) (plus de friction).
Augmente avec l'aire \(A\) et le rayon hydraulique \(R_h\).
Augmente avec la racine carrée de la pente \(S_0\).

Remarque Pédagogique

Notez bien les exposants non-linéaires : \(R_h^{2/3}\) et \(S_0^{1/2}\). Une augmentation de 10% de la pente n'augmente pas le débit de 10% (mais de \(\sqrt{1.10} \approx 5\%\)). L'impact du rayon hydraulique est encore plus fort.

Normes

La valeur de \(n = 0.013\) pour le béton est une valeur standard issue de tables normatives (comme celles du NF EN 752 ou des manuels d'hydraulique de référence tel que le Ven Te Chow).

Formule(s)

Équation de Manning :

Q_{\text{pleine}} = \frac{1}{n} \cdot A_{\text{pleine}} \cdot R_{h,\text{pleine}}^{2/3} \cdot S_0^{1/2}

Hypothèses

Pour appliquer Manning, nous supposons que l'écoulement est uniforme (la hauteur d'eau est constante sur la longueur du ponceau) et permanent (le débit ne varie pas dans le temps).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de Q1 et les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Aire pleine (Q1)	\(A_{\text{pleine}}\)	3.142	m²
Rayon hyd. plein (Q1)	\(R_{h,\text{pleine}}\)	0.5	m
Rugosité Manning	\(n\)	0.013	s/m¹/³
Pente	\(S_0\)	0.002	m/m

Astuces

Calculez d'abord les termes avec exposants : \(S_0^{1/2} = \sqrt{S_0}\) et \(R_h^{2/3} = \sqrt[3]{R_h^2}\). Cela évite les erreurs de saisie sur la calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Profil Longitudinal (Pente)

Calcul(s)

Nous commençons par calculer les termes complexes (avec exposants) séparément pour plus de clarté.

Étape 1 : Calcul des termes exposantiels

On remplace \(S_0\) par 0.002 :

S_0^{1/2} = \sqrt{0.002} \approx 0.04472

On remplace \(R_{h,\text{pleine}}\) par 0.5 m (de Q1) :

R_{h,\text{pleine}}^{2/3} = (0.5)^{2/3} \approx 0.6300

Étape 2 : Application de l'équation de Manning

Maintenant, on assemble tous les termes dans l'équation de Manning, en remplaçant chaque variable par sa valeur :

\begin{aligned} Q_{\text{pleine}} &= \frac{1}{n} \cdot A_{\text{pleine}} \cdot R_{h,\text{pleine}}^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \\ &= \left( \frac{1}{0.013} \right) \cdot (3.142) \cdot (0.6300) \cdot (0.04472) \\ &= (76.923...) \cdot (3.142) \cdot (0.6300) \cdot (0.04472) \\ \Rightarrow Q_{\text{pleine}} &\approx 6.81 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Terme à terme : (1/n) \(\approx\) 76.923, \(A_{\text{pleine}}\) \(\approx\) 3.142, \(R_{h,\text{pleine}}^{2/3}\) \(\approx\) 0.630, \(S_0^{1/2}\) \(\approx\) 0.0447.

Réflexions

Ce débit de 6.81 m³/s représente la capacité maximale théorique du tuyau s'il est plein. C'est notre valeur de référence pour la capacité totale du conduit.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes vos unités sont cohérentes (mètres, secondes). L'erreur la plus fréquente est d'oublier la racine carrée sur la pente \(S_0\) ou d'utiliser \(R_h^{1/2}\) au lieu de \(R_h^{2/3}\).

Points à retenir

L'équation de Manning est l'outil central pour les calculs de débit en régime uniforme.
Le débit dépend fortement de \(R_h^{2/3}\) et \(S_0^{1/2}\).

Le saviez-vous ?

L'équation a été développée par l'ingénieur irlandais Robert Manning en 1890. Elle est empirique, ce qui signifie qu'elle est basée sur des observations et des expériences plutôt que sur une dérivation théorique pure, mais elle est incroyablement précise pour la plupart des applications d'ingénierie.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le débit théorique à pleine section est \(Q_{\text{pleine}} \approx 6.81 \text{ m}^3/\text{s}\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(Q_{\text{pleine}}\) si le ponceau était en PVC (\(n = 0.011\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Application de l'équation de Manning.
Formule : \(Q = (1/n) \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2}\)

Question 3 : Comparaison de la capacité totale

Principe

Nous comparons le débit que le tuyau *peut* transporter s'il est plein (la capacité, \(Q_{\text{pleine}}\)) au débit qu'il *doit* transporter (la demande, \(Q_{\text{projet}}\)).

Mini-Cours

En ingénierie, on compare toujours la "Capacité" (ce que l'ouvrage peut faire) à la "Demande" (ce qu'on lui demande de faire). Pour que l'ouvrage soit acceptable, on doit toujours avoir : Capacité > Demande. Ici, \(Q_{\text{pleine}}\) est une première estimation de la capacité.

Remarque Pédagogique

Attention : ce n'est qu'une première vérification. Comme nous le verrons, le débit à pleine section n'est pas le débit maximal ! De plus, des contraintes de sécurité (revanche) nous empêcheront d'utiliser 100% de la hauteur.

Normes

Le débit de projetLe débit maximal (en m³/s) que l'ouvrage doit être capable de faire passer en toute sécurité, basé sur une étude hydrologique (par exemple, une crue de retour 50 ans). (\(Q_{\text{projet}}\)) est lui-même issu de normes. Il est calculé par des hydrologues pour une "période de retour" donnée (ex: une crue cinquantennale, T=50 ans), qui est une exigence réglementaire.

Formule(s)

Il s'agit d'une simple comparaison :

Q_{\text{pleine}} \stackrel{?}{>} Q_{\text{projet}}

Hypothèses

Non applicable pour une simple comparaison.

Donnée(s)

Capacité (calculée Q2) : \(Q_{\text{pleine}} \approx 6.81 \text{ m}^3/\text{s}\)
Demande (énoncé) : \(Q_{\text{projet}} = 5.0 \text{ m}^3/\text{s}\)

Astuces

Toujours garder une marge de sécurité. Si \(Q_{\text{pleine}}\) était très proche de \(Q_{\text{projet}}\) (ex: 5.1 m³/s), l'ingénieur devrait immédiatement choisir un diamètre supérieur.

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable pour une simple comparaison numérique.

Calcul(s)

Comparaison

On vérifie si la capacité \(Q_{\text{pleine}}\) est supérieure à la demande \(Q_{\text{projet}}\) :

6.81 \text{ m}^3/\text{s} \quad (Q_{\text{pleine}}) \quad > \quad 5.0 \text{ m}^3/\text{s} \quad (Q_{\text{projet}})

Réflexions

La comparaison est directe : \( 6.81 \text{ m}^3/\text{s} > 5.0 \text{ m}^3/\text{s} \). Cela signifie que la capacité *totale* du ponceau est supérieure au débit de projet. C'est une bonne première indication, le diamètre n'est pas trop petit.

Cependant, nous n'avons pas encore vérifié la contrainte de remplissage de 80%, qui est la vraie contrainte de conception.

Points de vigilance

Ne pas conclure trop vite ! Ce n'est pas parce que \(Q_{\text{pleine}} > Q_{\text{projet}}\) que le ponceau est valide. Nous devons vérifier la capacité à la hauteur maximale autorisée (\(y=1.6 \text{ m}\)), ce qui est l'objet des questions suivantes.

Points à retenir

La capacité totale (\(Q_{\text{pleine}}\)) doit être supérieure au débit de projet (\(Q_{\text{projet}}\)).
C'est une condition nécessaire, mais pas suffisante.

Le saviez-vous ?

Paradoxalement, le débit maximal dans un conduit circulaire n'est pas à pleine section (\(y/D = 1.0\)), mais à environ \(y/D \approx 0.94\). Pourquoi ? À 94% de remplissage, l'aire est légèrement plus petite, mais le périmètre mouillé (friction) diminue plus vite, augmentant le rayon hydraulique \(R_h\) et donc le débit. \(Q_{\text{max}}\) est souvent environ 8% plus grand que \(Q_{\text{pleine}}\).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Oui, la capacité totale (\(Q_{\text{pleine}} \approx 6.81 \text{ m}^3/\text{s}\)) est supérieure au débit de projet (\(5.0 \text{ m}^3/\text{s}\)). La vérification préliminaire est positive.

A vous de jouer

Si le débit de projet avait été de \(Q_{\text{projet}} = 7.0 \text{ m}^3/\text{s}\), que pourriez-vous conclure immédiatement ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Capacité vs Demande.
Vérification : \(Q_{\text{pleine}} > Q_{\text{projet}}\) (étape 1/2).

Question 4 : Propriétés à \(y/D = 0.8\) (\(y = 1.6 \text{ m}\))

Principe

C'est l'étape la plus complexe. Nous devons calculer les propriétés géométriques non pas pour un cercle plein, mais pour une section partielle définie par la hauteur maximale autorisée \(y = 1.6 \text{ m}\).

Mini-Cours

Pour une section partielle, l'aire et le périmètre dépendent de l'angle au centre \(\theta\) qui sous-tend la surface de l'eau. Cet angle doit être calculé en radians pour que les formules géométriques \(A = D^2/8 (\theta - \sin\theta)\) et \(P = D/2 \cdot \theta\) soient correctes.

Remarque Pédagogique

Comparez les résultats que vous obtiendrez (\(A_{80}\) et \(P_{80}\)) avec \(A_{\text{pleine}}\) et \(P_{\text{pleine}}\). Vous verrez que \(A_{80}\) est environ 84% de \(A_{\text{pleine}}\) (\(2.65 / 3.14\)), ce qui est logique. Mais \(R_h\) sera très différent !

Normes

La contrainte \(y/D \le 0.8\) est une norme de conception courante pour les ponceaux (par exemple, recommandée par la FHWA aux États-Unis ou dans les guides de conception routière) pour garantir une revancheLa distance verticale entre la surface de l'eau et le sommet (plafond) du ponceau. Une contrainte \(y/D \le 0.8\) impose une revanche de 20% du diamètre. de 20% du diamètre.

Formule(s)

Nous devons d'abord trouver l'angle au centre \(\theta\) (en radians) :

\theta = 2 \cdot \arccos\left(1 - \frac{2y}{D}\right)

Puis l'Aire (A) et le Périmètre Mouillé (P) :

A_{80} = \frac{D^2}{8} (\theta - \sin(\theta)) \quad | \quad P_{80} = \frac{D}{2} \theta

Et enfin le Rayon Hydraulique (Rh) :

R_{h,80} = \frac{A_{80}}{P_{80}}

Hypothèses

Nous supposons que la surface de l'eau est horizontale (ce qui est vrai en écoulement uniforme).

Donnée(s)

\(y = 0.8 \times D = 0.8 \times 2.0 = 1.6 \text{ m}\)
\(D = 2.0 \text{ m}\)

Astuces

PIÈGE CLASSIQUE : Assurez-vous que votre calculatrice est en mode RADIAN avant de calculer \(\arccos\) et \(\sin(\theta)\). Si elle est en degrés, vos résultats seront complètement faux.

Schéma (Avant les calculs)

Section Partielle (\(y/D = 0.8\))

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de l'angle \(\theta\) (en RADIANS)

On remplace \(y\) par 1.6 m et \(D\) par 2.0 m dans la formule de \(\theta\) :

\begin{aligned} \theta &= 2 \cdot \arccos\left(1 - \frac{2y}{D}\right) \\ &= 2 \cdot \arccos\left(1 - \frac{2 \cdot 1.6}{2.0}\right) \\ &= 2 \cdot \arccos\left(1 - \frac{3.2}{2.0}\right) \\ &= 2 \cdot \arccos(1 - 1.6) \\ &= 2 \cdot \arccos(-0.6) \\ &\approx 2 \cdot (2.2143 \text{ rad}) \quad \text{(valeur de arccos(-0.6) en radians)} \\ \Rightarrow \theta &\approx 4.4286 \text{ rad} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'Aire \(A_{80}\)

On utilise \(D=2.0\) et la valeur de \(\theta\) (en radians) trouvée ci-dessus :

\begin{aligned} A_{80} &= \frac{D^2}{8} (\theta - \sin(\theta)) \\ &= \frac{(2.0)^2}{8} (4.4286 - \sin(4.4286)) \\ &= \frac{4.0}{8} \cdot (4.4286 - (-0.8716)) \quad \text{(car sin(4.4286 rad) \(\approx\) -0.8716)} \\ &= 0.5 \cdot (4.4286 + 0.8716) \\ &= 0.5 \cdot (5.3002) \\ \Rightarrow A_{80} &\approx 2.650 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du Périmètre Mouillé \(P_{80}\)

On remplace \(D=2.0\) et \(\theta \approx 4.4286\) :

\begin{aligned} P_{80} &= \frac{D}{2} \cdot \theta \\ &= \frac{2.0}{2} \cdot 4.4286 \\ &= 1 \cdot 4.4286 \\ \Rightarrow P_{80} &\approx 4.429 \text{ m} \end{aligned}

Étape 4 : Calcul du Rayon Hydraulique \(R_{h,80}\)

On utilise la définition \(R_h = A/P\) avec nos valeurs calculées \(A_{80}\) et \(P_{80}\) :

\begin{aligned} R_{h,80} &= \frac{A_{80}}{P_{80}} \\ &= \frac{2.650 \text{ m}^2}{4.429 \text{ m}} \\ \Rightarrow R_{h,80} &\approx 0.5985 \text{ m} \end{aligned}

Réflexions

Notez que \(R_{h,80} \approx 0.599 \text{ m}\) est plus grand que \(R_{h,\text{pleine}} = 0.5 \text{ m}\). C'est normal. L'efficacité hydraulique (le rapport A/P) est maximale autour de 81% de remplissage, car le périmètre mouillé \(P\) n'inclut pas le plafond du tuyau, réduisant la friction.

Points de vigilance

1. Mode RADIAN sur la calculatrice.
2. Attention au signe de \(\sin(\theta)\). Pour \(\theta \approx 4.43 \text{ rad}\) (plus grand que \(\pi \approx 3.14\)), le sinus est négatif. L'aire est \((\theta - \sin\theta)\), donc \( (4.43 - (-0.87)) \), ce qui augmente l'aire, comme attendu.

Points à retenir

Les formules pour \(A\) et \(P\) en section partielle sont complexes et nécessitent le calcul de l'angle \(\theta\) en radians.
\(R_h\) n'est pas proportionnel à la hauteur \(y\).

Le saviez-vous ?

Le Rayon Hydraulique \(R_h\) est maximal à \(y/D \approx 0.81\). La Vitesse \(V\) (proportionnelle à \(R_h^{2/3}\)) est aussi maximale à \(y/D \approx 0.81\). Le Débit \(Q\) (proportionnel à \(A \cdot R_h^{2/3}\)) est maximal à \(y/D \approx 0.94\). C'est pour cela que les calculs sont non-intuitifs.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Pour un remplissage de 80% :
\(A_{80} \approx 2.650 \text{ m}^2\)
\(R_{h,80} \approx 0.599 \text{ m}\)

A vous de jouer

Calculez l'Aire \(A_{50}\) pour une hauteur de \(y = 1.0 \text{ m}\) (\(y/D = 0.5\)). (Indice: \(\theta = \pi\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Géométrie de section partielle (trigonométrie).
Formules : \(\theta = 2 \arccos(1-2y/D)\), puis \(A\) et \(P\).
Piège : Mode RADIAN.

Question 5 : Débit à \(y/D = 0.8\) et conclusion

Principe

C'est la vérification finale. Nous utilisons les propriétés géométriques de la Q4 dans l'équation de Manning pour trouver le débit exact à la hauteur maximale autorisée (\(y=1.6 \text{ m}\)). Nous comparons ensuite ce débit de capacité réelle au débit de projet.

Mini-Cours

La démarche de dimensionnement est complète :

Définir la contrainte (ex: \(y/D \le 0.8\)).
Calculer les propriétés géométriques à cette contrainte (\(A_{80}, R_{h,80}\)).
Calculer le débit de capacité à cette contrainte (\(Q_{80}\)).
Vérifier que \(Q_{80} > Q_{\text{projet}}\).

Si cette condition est vraie, le design est valide.

Remarque Pédagogique

Notez que \(Q_{80} \approx 6.47 \text{ m}^3/\text{s}\) est inférieur à \(Q_{\text{pleine}} \approx 6.81 \text{ m}^3/\text{s}\). Cela est dû au fait que la légère augmentation de \(R_h\) n'a pas compensé la diminution de l'Aire (\(A\)). Le débit maximal se situe plus haut, vers \(y/D = 0.94\).

Normes

Cette démarche est la procédure standard de vérification en régime uniforme, requise par toutes les normes de conception hydraulique d'ouvrages routiers.

Formule(s)

Q_{80} = \frac{1}{n} \cdot A_{80} \cdot R_{h,80}^{2/3} \cdot S_0^{1/2}

Et la vérification finale :

Q_{80} \stackrel{?}{>} Q_{\text{projet}}

Hypothèses

Nous supposons que l'écoulement sera bien en régime uniforme (ponceau assez long, pente régulière) et qu'il n'y a pas de contrôle par l'amont ou l'aval (ex: niveau d'eau amont trop haut, ou aval noyé) qui primerait sur ce calcul.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de Q4 et les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Aire 80% (Q4)	\(A_{80}\)	2.650	m²
Rayon hyd. 80% (Q4)	\(R_{h,80}\)	0.599	m
Rugosité Manning	\(n\)	0.013	s/m¹/³
Pente	\(S_0\)	0.002	m/m
Débit de Projet	\(Q_{\text{projet}}\)	5.0	m³/s

Astuces

Si vous avez déjà calculé \(Q_{\text{pleine}}\), vous pouvez estimer \(Q_{80}\). Il existe des abaques (graphiques) donnant les ratios \(Q/Q_{\text{pleine}}\) en fonction de \(y/D\). Pour \(y/D=0.8\), \(Q/Q_{\text{pleine}} \approx 0.95\).
Vérification : \(0.95 \times Q_{\text{pleine}} = 0.95 \times 6.81 = 6.47 \text{ m}^3/\text{s}\). Ça correspond !

Schéma (Avant les calculs)

Non applicable. Le calcul est l'étape finale.

Calcul(s)

Nous utilisons les valeurs de \(A_{80}\) et \(R_{h,80}\) arrondies de la Question 4.

Étape 1 : Calcul des termes exposantiels

Le terme de pente est le même qu'à la Q2 :

S_0^{1/2} = \sqrt{0.002} \approx 0.04472

On utilise \(R_{h,80} \approx 0.599\) m (de Q4) :

R_{h,80}^{2/3} = (0.599)^{2/3} \approx 0.7100

Étape 2 : Application de l'équation de Manning

On assemble tous les termes, en utilisant \(A_{80} \approx 2.650\) (de Q4) et les valeurs ci-dessus :

\begin{aligned} Q_{80} &= \frac{1}{n} \cdot A_{80} \cdot R_{h,80}^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \\ &= \left( \frac{1}{0.013} \right) \cdot (2.650) \cdot (0.7100) \cdot (0.04472) \\ &= (76.923...) \cdot (2.650) \cdot (0.7100) \cdot (0.04472) \\ \Rightarrow Q_{80} &\approx 6.47 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Terme à terme : (1/n) \(\approx\) 76.923, \(A_{80}\) \(\approx\) 2.650, \(R_{h,80}^{2/3}\) \(\approx\) 0.710, \(S_0^{1/2}\) \(\approx\) 0.0447.

Étape 3 : Vérification finale

On compare ce débit de capacité (à 80% de remplissage) au débit de projet :

\begin{aligned} Q_{80} \text{ (Capacité à 80%)} &\stackrel{?}{>} Q_{\text{projet}} \text{ (Demande)} \\ 6.47 \text{ m}^3/\text{s} &> 5.0 \text{ m}^3/\text{s} \quad \Rightarrow \quad \textbf{OK!} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Vérification Finale

Réflexions

Nous vérifions maintenant les deux contraintes :

Contrainte de Capacité : Le débit de projet est \(Q_{\text{projet}} = 5.0 \text{ m}^3/\text{s}\). Notre calcul montre qu'à 80% de remplissage, le ponceau peut évacuer \(Q_{80} = 6.47 \text{ m}^3/\text{s}\).
Puisque \(Q_{80} > Q_{\text{projet}}\), la contrainte de capacité est respectée.
Contrainte de Remplissage : Puisque le débit de projet (\(5.0\)) est inférieur au débit maximal autorisé (\(6.47\)), la hauteur d'eau réelle (\(y_n\)) pour \(Q=5.0\) sera inférieure à \(y=1.6 \text{ m}\).
Par conséquent, la contrainte \(y/D \le 0.8\) est respectée.

Points de vigilance

La conclusion finale repose sur la comparaison \(Q_{80}\) vs \(Q_{\text{projet}}\). Une erreur dans l'une des 4 questions précédentes aurait conduit à une mauvaise conclusion. L'hydraulique est un processus cumulatif.

Points à retenir

La vérification finale d'un ponceau en régime uniforme est : Capacité de Débit à la hauteur maximale autorisée > Débit de Projet.

Le saviez-vous ?

Dans un cas réel, ce calcul en régime uniforme (type "canal") n'est qu'une partie de l'histoire. L'ingénieur doit aussi vérifier le contrôle par l'amont (l'eau peut-elle "entrer" assez vite ?) et le contrôle par l'aval (le niveau d'eau à la sortie ne "noie"-t-il pas l'écoulement ?). L'hydraulique des ponceaux est un sujet complexe !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le débit maximal à 80% de remplissage est \(Q_{80} \approx 6.47 \text{ m}^3/\text{s}\).
Comme \(Q_{80} \text{ (6.47)} > Q_{\text{projet}} \text{ (5.0)}\), le ponceau de 2.0 m est adéquat et respecte les deux contraintes.

A vous de jouer

Si la pente était plus forte, à \(S_0 = 0.003\), quel serait le débit \(Q_{80}\) (en m³/s) ? (Indice: le débit est proportionnel à \(S_0^{1/2}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Vérification finale de l'ouvrage.
Condition de succès : \(Q_{\text{calculé}}(y_{\text{max}}) > Q_{\text{projet}}\).

Outil Interactif : Simulateur de Débit (Manning)

Utilisez les curseurs pour voir comment la hauteur d'eau (\(y\)) et la pente (\(S_0\)) influencent le débit (\(Q\)) et la vitesse (\(V\)) pour ce ponceau de 2.0 m.

Paramètres d'Entrée

Hauteur d'eau \(y\) (m) 1.6 m

Pente \(S_0\) (m/m) 0.002 m/m

Résultats Clés (pour \(D=2.0\), \(n=0.013\))

Débit Calculé \(Q\) - m³/s

Vitesse d'écoulement \(V\) - m/s

Glossaire

Aire Mouillée (\(A\)): La surface de la section transversale de l'écoulement (en m²), perpendiculaire à la direction de l'écoulement.
Équation de Manning: Une équation empirique fondamentale en hydraulique pour calculer la vitesse (et donc le débit) d'un écoulement à surface libre en régime uniforme.
Périmètre Mouillé (\(P\)): La longueur de la paroi du canal ou conduit qui est en contact avec l'eau (en m). Pour un ponceau plein, c'est la circonférence. Pour un ponceau partiel, c'est la longueur de l'arc.
Ponceau (Culvert): Un conduit fermé (souvent circulaire ou rectangulaire) permettant à l'eau de s'écouler sous un obstacle, comme une route, un chemin de fer ou un remblai.
Rayon Hydraulique (\(R_h\)): Le rapport entre l'aire mouillée et le périmètre mouillé (\(R_h = A / P\)). C'est une mesure de l'efficacité hydraulique de la section : plus il est grand, moins il y a de friction par rapport à l'aire.
Revanche (Freeboard): La distance verticale entre la surface de l'eau et le sommet (plafond) du ponceau. Une contrainte \(y/D \le 0.8\) impose une revanche de 20% du diamètre.

Dimensionnement d’un Ponceau (Culvert)

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la Section

Section Transversale du Ponceau

Données Hydrauliques

Questions à traiter

Les bases sur l'Écoulement à Surface Libre

Correction : Dimensionnement d'un Ponceau (Culvert)

Question 1 : Propriétés à pleine section (\(D = 2.0 \text{ m}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Section Circulaire Pleine

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calcul du débit à pleine section (\(Q_{\text{pleine}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Profil Longitudinal (Pente)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Comparaison de la capacité totale

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Calcul(s)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Propriétés à \(y/D = 0.8\) (\(y = 1.6 \text{ m}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Section Partielle (\(y/D = 0.8\))

Calcul(s)