Dimensionnement d'un Canal en Terre

Contexte : L'hydraulique à surface libre et le dimensionnement des canaux trapézoïdauxCanaux ouverts de section transversale en forme de trapèze, couramment utilisés pour l'irrigation et le drainage en raison de la stabilité de leurs talus..

Cet exercice vous guidera à travers les étapes de conception d'un canal d'irrigation de section trapézoïdale creusé en pleine terre. L'objectif est de déterminer la hauteur d'eau, appelée profondeur normaleHauteur d'eau atteinte en régime d'écoulement uniforme, lorsque les forces motrices (gravité) sont équilibrées par les forces de frottement., pour un débit donné, tout en s'assurant que l'écoulement ne provoquera pas l'érosion des parois du canal. Nous utiliserons pour cela la formule de Manning-Strickler, un outil fondamental en hydraulique à surface libre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un problème d'ingénierie classique. Il combine le calcul des propriétés géométriques d'une section avec l'application d'une formule empirique (Manning-Strickler) et la vérification de critères de stabilité physique (vitesse et contrainte admissibles).

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la formule de Manning-Strickler pour un écoulement en régime uniformeUn régime d'écoulement où la profondeur, la section mouillée et la vitesse ne changent pas le long du canal..
Calculer les paramètres géométriques (surface, périmètre, rayon hydraulique) d'une section trapézoïdale.
Déterminer par itération la profondeur normale d'un écoulement.
Vérifier la stabilité d'un canal en terre en calculant la vitesse d'écoulement et la contrainte de cisaillementForce de frottement exercée par l'eau en mouvement sur le fond et les parois du canal, responsable de l'érosion. au radier.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un canal en terre de section trapézoïdale pour transporter un débit constant. Le canal doit être stable, c'est-à-dire ne pas subir d'érosion.

Caractéristiques du Matériau

Caractéristique	Valeur
Type de sol	Limon sableux non colloïdal
Vitesse maximale admissible (\(V_{\text{adm}}\))	0.70 m/s
Contrainte de cisaillement critique (\(\tau_{\text{adm}}\))	3.0 N/m²

Schéma de la Section du Canal Trapézoïdal

Paramètre de l'Écoulement	Symbole	Valeur	Unité
Débit à transporter	\(Q\)	2.5	m³/s
Pente du fond du canal	\(I\)	0.0004	-
Coefficient de Manning-Strickler	\(K\)	30	m¹/³/s
Largeur au fond (radier)	\(b\)	2.0	m
Fruit des talus (m H : 1 V)	\(m\)	2.0	-

Questions à traiter

Exprimer les caractéristiques géométriques de la section mouillée (surface \(A\), périmètre mouillé \(P\) et rayon hydraulique \(R_h\)) en fonction de la profondeur d'eau \(y\).
Établir l'équation de Manning-Strickler liant le débit \(Q\) à la profondeur \(y\) en utilisant les expressions de la question 1.
Déterminer la profondeur normale \(y_{\text{n}}\) de l'écoulement dans le canal (avec une précision de deux décimales).
Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement \(V\) et la contrainte de cisaillement au radier \(\tau\).
Le canal ainsi dimensionné est-il stable vis-à-vis de l'érosion ? Conclure.

Les bases sur l'Hydraulique à Surface Libre

Pour résoudre cet exercice, nous nous basons sur les principes de l'écoulement permanent et uniforme dans un canal ouvert.

1. Formule de Manning-Strickler
Cette formule empirique relie la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) aux caractéristiques du canal. En régime uniforme, le débit (\(Q\)) est donné par : \[ Q = V \cdot A = K \cdot A \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2} \] Où \(K\) est le coefficient de rugosité de Strickler, \(A\) la surface mouillée, \(R_{\text{h}}\) le rayon hydraulique, et \(I\) la pente du fond.

2. Propriétés d'une Section Trapézoïdale
Pour une largeur au fond \(b\), une profondeur d'eau \(y\) et un fruit de talus \(m\) :

Surface mouillée : \(A = (b + my) \cdot y\)
Périmètre mouillé : \(P = b + 2y\sqrt{1+m^2}\)
Rayon hydraulique : \(R_{\text{h}} = A/P\)

3. Contrainte de Cisaillement au Radier
La force de frottement exercée par l'eau sur le fond est estimée par la contrainte de cisaillement \(\tau\) : \[ \tau = \rho \cdot g \cdot R_{\text{h}} \cdot I \] Où \(\rho\) est la masse volumique de l'eau (≈ 1000 kg/m³) et \(g\) l'accélération de la pesanteur (≈ 9.81 m/s²).

Correction : Dimensionnement d’un Canal en Terre

Question 1 : Expression des caractéristiques géométriques

Principe

Le concept physique est de modéliser une forme réelle (la section d'eau dans le canal) par des expressions mathématiques. Ces expressions, dépendant de la hauteur d'eau \(y\), nous permettront de quantifier la surface disponible pour l'écoulement et le périmètre sur lequel s'exerce le frottement.

Mini-Cours

En hydraulique, trois paramètres géométriques sont fondamentaux :
• La surface mouillée (A) : C'est la section transversale de l'écoulement. Plus elle est grande, plus le canal peut transporter d'eau.
• Le périmètre mouillé (P) : C'est la longueur de la ligne de contact entre l'eau et les parois du canal (fond et talus). Il représente la source de la résistance par frottement.
• Le rayon hydraulique (R_h) : C'est le rapport A/P. Il caractérise l'efficacité de la section à évacuer l'eau : à surface égale, un grand R_h (forme proche du demi-cercle) signifie moins de frottement et donc un meilleur écoulement.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique à surface libre est toujours la même : "décrire la géométrie". Sans ces formules, impossible d'aller plus loin. Prenez l'habitude de les poser clairement avant d'attaquer la physique de l'écoulement.

Normes

Il ne s'agit pas de normes réglementaires à ce stade, mais de définitions géométriques universelles. Les formules du trapèze sont des fondamentaux mathématiques appliqués à l'hydraulique.

Formule(s)

Formule de la surface mouillée

\[ A = (b + my)y \]

Formule du périmètre mouillé

P = b + 2y\sqrt{1+m^2}

Formule du rayon hydraulique

R_{\text{h}} = \frac{A}{P} = \frac{(b + my)y}{b + 2y\sqrt{1+m^2}}

Hypothèses

On suppose que le canal est "prismatique", c'est-à-dire que sa section transversale est constante tout le long du tronçon étudié.

Donnée(s)

On extrait les paramètres géométriques fixes de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au fond	\(b\)	2.0	\(\text{m}\)
Fruit des talus	\(m\)	2.0	-

Astuces

Pour ne jamais se tromper, dessinez la section ! Décomposez le trapèze en un rectangle central et deux triangles sur les côtés. Vous retrouverez facilement la formule de l'aire : \(A = (b \cdot y) + 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot (my) \cdot y) = by + my^2 = (b+my)y\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant illustre les différentes grandeurs géométriques de la section mouillée.

Calcul(s)

Calcul du terme de talus

\begin{aligned} \sqrt{1+m^2} &= \sqrt{1+2^2} \\ &= \sqrt{5} \\ &\approx 2.236 \end{aligned}

Expression de la surface mouillée A(y)

\begin{aligned} A(y) &= (2 + 2y)y \\ &= 2y + 2y^2 \end{aligned}

Expression du périmètre mouillé P(y)

\begin{aligned} P(y) &= 2 + 2y\sqrt{5} \\ &\approx 2 + 4.472y \end{aligned}

Expression du rayon hydraulique Rh(y)

R_{\text{h}}(y) = \frac{2y + 2y^2}{2 + 4.472y}

Schéma (Après les calculs)

Cette étape étant purement algébrique, aucun schéma post-calcul n'est nécessaire.

Réflexions

Nous avons maintenant trois équations qui décrivent complètement la géométrie de l'écoulement pour n'importe quelle hauteur d'eau \(y\). Ces formules sont prêtes à être injectées dans les équations de l'hydraulique.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est la définition du fruit de talus \(m\). Ici, \(m=2\) signifie "2 unités à l'horizontale pour 1 unité à la verticale". Certaines conventions utilisent l'inverse (\(z=1/m\)). Vérifiez toujours la définition utilisée dans vos cours ou vos formulaires !

Points à retenir

Pour un trapèze, retenez la structure des formules :
• L'aire est une fonction quadratique de \(y\) (\(y^2\)).
• Le périmètre est une fonction linéaire de \(y\).
• Le rayon hydraulique est un ratio de ces deux fonctions.

Le saviez-vous ?

La forme trapézoïdale est la plus courante pour les canaux en terre car un talus parfaitement vertical (\(m=0\)) ne serait pas stable. L'angle du talus est choisi en fonction de la nature du sol pour éviter les glissements de terrain, une problématique au carrefour de l'hydraulique et de la géotechnique.

FAQ

Pourquoi le "périmètre mouillé" n'inclut-il pas la surface libre ?

Parce que le frottement principal s'exerce sur les parois solides du canal. Le frottement avec l'air à la surface libre est considéré comme négligeable dans la plupart des calculs d'ingénierie des canaux.

Résultat Final

Les expressions sont : \(A = 2y + 2y^2\), \(P \approx 2 + 4.472y\) et \(R_{\text{h}} = (2y + 2y^2) / (2 + 4.472y)\).

A vous de jouer

Si la hauteur d'eau était de \(y = 1.5 \, \text{m}\), quelle serait la surface mouillée \(A\) ?

Question 2 : Établissement de l'équation de Manning-Strickler

Principe

Le concept physique est l'équilibre des forces en régime uniforme : la composante de la gravité qui pousse l'eau vers l'aval est exactement compensée par les forces de frottement sur le périmètre mouillé. La formule de Manning-Strickler est une expression empirique de cet équilibre.

Mini-Cours

La formule \(Q = K A R_{\text{h}}^{2/3} I^{1/2}\) montre que le débit est proportionnel à :
• La géométrie (\(A R_{\text{h}}^{2/3}\)) : Une section large et efficace transporte plus d'eau.
• La pente (\(I^{1/2}\)) : Une pente plus forte augmente la force motrice de la gravité, donc le débit.
• La rugosité (\(K\)) : Des parois plus lisses (grand \(K\)) réduisent le frottement et augmentent le débit.

Remarque Pédagogique

Votre objectif ici est de "tout mettre ensemble". Prenez la formule générale, remplacez tout ce que vous connaissez (les constantes \(Q, K, I\)) et tout ce que vous pouvez exprimer en fonction de votre inconnue (les formules de \(A(y)\) et \(P(y)\)). À la fin, il ne doit rester qu'une seule équation avec une seule inconnue : \(y\).

Normes

La formule de Manning-Strickler est l'une des formules les plus utilisées au monde pour le dimensionnement des canaux. Bien qu'empirique, son usage est validé par des décennies de pratique et est mentionné dans tous les guides de conception hydraulique nationaux et internationaux.

Formule(s)

Formule de Manning-Strickler (forme débit)

Q = K \cdot A \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2}

Formule de Manning-Strickler (forme géométrique)

\frac{A^{5/3}}{P^{2/3}} = \frac{Q}{K \sqrt{I}}

Hypothèses

L'utilisation de cette formule suppose que l'écoulement est turbulent et en régime permanent et uniforme. On suppose également que la pente du canal est faible (inférieure à 10%).

Donnée(s)

On liste les paramètres de l'écoulement.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	2.5	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Coefficient de Strickler	\(K\)	30	\(\text{m}^{1/3}/\text{s}\)
Pente	\(I\)	0.0004	-

Astuces

Calculez toujours le terme de droite de l'équation réarrangée (\(Q / (K \sqrt{I})\)) en premier. C'est une constante qui deviendra votre "valeur cible" pour la suite du problème, ce qui simplifie la présentation.

Schéma (Avant les calculs)

Le profil en long du canal illustre le concept de régime uniforme : la ligne d'eau est parallèle au fond du canal.

Calcul(s)

Calcul du terme constant (valeur cible)

\begin{aligned} \frac{Q}{K \sqrt{I}} &= \frac{2.5}{30 \cdot \sqrt{0.0004}} \\ &= \frac{2.5}{30 \cdot 0.02} \\ &= \frac{2.5}{0.6} \\ &\approx 4.167 \end{aligned}

Établissement de l'équation en A et P

\frac{A(y)^{5/3}}{P(y)^{2/3}} = 4.167

Équation finale en fonction de y

\frac{((2 + 2y)y)^{5/3}}{(2 + 4.472y)^{2/3}} \approx 4.167

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire.

Réflexions

Nous avons transformé un problème physique complexe en une seule équation mathématique à une inconnue, \(y\). C'est une étape cruciale de la modélisation en ingénierie. La complexité de l'équation nous impose une résolution numérique.

Points de vigilance

Attention aux unités du coefficient de Strickler \(K\) ! Elles sont en \(\text{m}^{1/3}/\text{s}\) et sont spécifiquement conçues pour être utilisées avec des unités du Système International (mètres et secondes). L'utilisation d'autres unités sans conversion mènera à des résultats erronés.

Points à retenir

Le regroupement \(A \cdot R_{\text{h}}^{2/3}\) est appelé "module de débit". L'équation de Manning dit simplement que le débit \(Q\) est proportionnel à ce module et à la racine de la pente. Retenir la forme \(A^{5/3}/P^{2/3}\) est un raccourci très utile.

Le saviez-vous ?

L'ingénieur irlandais Robert Manning a proposé sa formule en 1891. Il l'a établie en analysant 7 formules différentes de l'époque et en cherchant une expression simple qui donnait des résultats moyens. Sa simplicité et sa robustesse expliquent son incroyable longévité et son usage universel encore aujourd'hui.

FAQ

Que se passe-t-il si l'écoulement n'est pas uniforme ?

Si l'écoulement est "varié" (la profondeur change), la ligne d'eau n'est plus parallèle au fond. L'équation de Manning ne s'applique plus directement et il faut utiliser des équations plus complexes (comme l'équation de Saint-Venant) qui prennent en compte les changements de vitesse et de profondeur.

Résultat Final

L'équation à résoudre pour trouver \(y\) est : \( \frac{((2 + 2y)y)^{5/3}}{(2 + 4.472y)^{2/3}} \approx 4.167 \).

A vous de jouer

Si le débit à transporter était de \(Q=3.0 \text{ m³/s}\), quelle serait la nouvelle "valeur cible" à droite de l'équation ?

Question 3 : Détermination de la profondeur normale \(y_{\text{n}}\)

Principe

Le concept est de trouver la racine d'une équation non-linéaire. Physiquement, cela revient à trouver la seule hauteur d'eau \(y_{\text{n}}\) pour laquelle la capacité de transport du canal (définie par sa géométrie, sa pente et sa rugosité) est exactement égale au débit imposé.

Mini-Cours

La méthode "par essais et erreurs" est une approche numérique fondamentale. Elle consiste à :
1. Choisir une valeur d'essai pour l'inconnue (\(y\)).
2. Calculer le résultat de la fonction pour cette valeur.
3. Comparer le résultat à la valeur cible.
4. Ajuster la valeur d'essai dans la bonne direction (augmenter ou diminuer \(y\)) et recommencer jusqu'à ce que le résultat soit suffisamment proche de la cible.

Remarque Pédagogique

Ne cherchez pas la perfection du premier coup. L'important est d'être méthodique. Choisissez une première valeur, puis une seconde, et regardez si vous vous approchez ou vous éloignez de la solution. Cela vous permet "d'encadrer" la bonne réponse, puis d'affiner votre recherche dans cet intervalle.

Normes

Il n'y a pas de norme pour la résolution, mais les cahiers des charges des projets d'ingénierie imposent souvent une précision pour les calculs (par exemple, 1% d'erreur relative ou une précision au centimètre pour la hauteur d'eau).

Formule(s)

On cherche \(y\) qui satisfait :

f(y) = \frac{((2 + 2y)y)^{5/3}}{(2 + 4.472y)^{2/3}} \approx 4.167

Hypothèses

On fait l'hypothèse que la fonction \(f(y)\) est continue et strictement croissante pour \(y > 0\). Cela garantit qu'il n'existe qu'une seule solution positive unique, ce qui est physiquement le cas pour un canal simple.

Donnée(s)

La seule donnée pour cette étape est la valeur cible que nous avons calculée précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur
Valeur Cible	\(Q / (K \sqrt{I})\)	4.167

Astuces

Pour faire un premier guess intelligent, essayez d'estimer la vitesse. Si vous visez une vitesse de 0.5 m/s (valeur plausible), l'aire nécessaire serait \(A = Q/V = 2.5/0.5 = 5 \, \text{m}^2\). En regardant la formule de l'aire \(A = 2y+2y^2\), une valeur de \(y\) autour de 1.1-1.2 m semble un bon point de départ.

Schéma (Avant les calculs)

Le graphique illustre la recherche de l'intersection entre la courbe de la fonction \(f(y)\) et la droite horizontale de la valeur cible.

Calcul(s)

Essai 1 avec y = 1.0 m

\begin{aligned} A &= (2+2(1))(1) \\ &= 4.0 \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} P &= 2+4.472(1) \\ &= 6.472 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} f(1.0) &= \frac{4.0^{5/3}}{6.472^{2/3}} \\ &= \frac{10.079}{3.47} \\ &\approx 2.90 \quad (\text{Trop faible}) \end{aligned}

Essai 2 avec y = 1.2 m

\begin{aligned} A &= (2+2(1.2))(1.2) \\ &= 5.28 \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} P &= 2+4.472(1.2) \\ &= 7.366 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} f(1.2) &= \frac{5.28^{5/3}}{7.366^{2/3}} \\ &= \frac{16.33}{3.78} \\ &\approx 4.32 \quad (\text{Trop élevé}) \end{aligned}

Essai 3 avec y = 1.18 m

\begin{aligned} A &= (2+2(1.18))(1.18) \\ &= 5.145 \, \text{m}^2 \end{aligned}

\begin{aligned} P &= 2+4.472(1.18) \\ &= 7.277 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} f(1.18) &= \frac{5.145^{5/3}}{7.277^{2/3}} \\ &= \frac{15.65}{3.75} \\ &\approx 4.17 \quad (\text{Très proche !}) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire n'est nécessaire.

Réflexions

La méthode itérative, bien que simple, est puissante et permet de résoudre des problèmes complexes. Le résultat, \(y_{\text{n}} = 1.18 \, \text{m}\), est la hauteur d'équilibre que l'eau prendra naturellement dans ce canal pour ce débit.

Points de vigilance

Attention à ne pas faire de fautes de frappe dans la calculatrice en entrant la formule complexe à chaque fois. Il est facile de se tromper avec les exposants 5/3 et 2/3. L'utilisation d'un tableur (Excel, Google Sheets) est fortement recommandée pour minimiser ce risque.

Points à retenir

La résolution d'une équation implicite par itération est une compétence clé de l'ingénieur. Retenez le processus : poser l'équation, définir la cible, tester, comparer, ajuster. C'est une méthode universelle.

Le saviez-vous ?

Avant l'avènement des calculatrices et des ordinateurs, les ingénieurs utilisaient des "abaques" ou "nomogrammes". C'étaient des graphiques complexes avec plusieurs échelles sur lesquels on pouvait, avec une simple règle, trouver la solution d'équations comme celle de Manning sans faire de calculs itératifs !

FAQ

Existe-t-il des méthodes plus rapides que les essais/erreurs ?

Oui, des méthodes numériques plus sophistiquées comme la méthode de dichotomie (on coupe l'intervalle de recherche en deux à chaque étape) ou la méthode de Newton-Raphson (qui utilise la dérivée de la fonction pour converger plus vite) sont implémentées dans les logiciels de calcul.

Résultat Final

La profondeur normale de l'écoulement est \(y_{\text{n}} \approx 1.18 \, \text{m}\).

A vous de jouer

Si la valeur cible était 5.0 (pour \(Q=3.0 \text{ m³/s}\)), la profondeur normale serait-elle plus grande ou plus petite que 1.18 m ? (Sans calcul, juste par raisonnement).

La profondeur serait plus grande pour accommoder un débit plus important.

Question 4 : Calcul de la vitesse et de la contrainte de cisaillement

Principe

Maintenant que la géométrie est entièrement définie (\(y_{\text{n}}\) est connu), on peut calculer les conséquences physiques de cet écoulement : sa vitesse moyenne (liée au temps de parcours et à l'énergie) et la force qu'il exerce sur le fond (liée à l'érosion).

Mini-Cours

• La vitesse moyenne (\(V=Q/A\)) est une conséquence directe de l'équation de continuité. Pour un débit donné, si la section se rétrécit, la vitesse doit augmenter, et vice-versa.
• La contrainte de cisaillement (\(\tau = \rho g R_{\text{h}} I\)) représente la force de traction que l'écoulement exerce sur le lit. Elle est proportionnelle à la masse volumique de l'eau (\(\rho\)), à la gravité (\(g\)), à la pente (\(I\)) qui est le moteur, et au rayon hydraulique (\(R_{\text{h}}\)) qui caractérise l'échelle de l'écoulement.

Remarque Pédagogique

Pensez à ces calculs comme à un "diagnostic" de l'écoulement que vous avez dimensionné. Vous avez trouvé la forme de l'écoulement (\(y_{\text{n}}\)), maintenant vous en mesurez les "signes vitaux" (\(V\) et \(\tau\)).

Normes

Les formules utilisées (\(V=Q/A\) et \(\tau = \rho g R_{\text{h}} I\)) sont des équations fondamentales de la mécanique des fluides. Les valeurs limites de vitesse et de contrainte, cependant, proviennent de manuels de référence en génie civil et en géotechnique, comme ceux du U.S. Bureau of Reclamation ou de chercheurs comme Ven Te Chow.

Formule(s)

Formule de la vitesse moyenne

V = \frac{Q}{A}

Formule de la contrainte de cisaillement

\tau = \rho \cdot g \cdot R_{\text{h}} \cdot I

Hypothèses

Pour \(V=Q/A\), on suppose que la vitesse est uniformément répartie sur la section, ce qui est une approximation. En réalité, elle est nulle sur les parois et maximale près de la surface libre. Pour la formule de \(\tau\), on calcule une contrainte moyenne ; la contrainte réelle varie le long du périmètre mouillé.

Donnée(s)

On utilise les résultats précédents et des constantes physiques.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur normale	\(y_\text{n}\)	1.18	\(\text{m}\)
Débit	\(Q\)	2.5	\(\text{m}^3/\text{s}\)
Pente	\(I\)	0.0004	-
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	\(\text{m/s}^2\)

Astuces

Pour vérifier vos calculs, vous pouvez retrouver la vitesse directement avec la formule de Manning : \(V = K \cdot R_{\text{h}}^{2/3} \cdot I^{1/2}\). Si vous trouvez la même valeur qu'avec \(V=Q/A\), c'est que votre calcul de \(y_{\text{n}}\) et des paramètres géométriques est cohérent !
\(V = 30 \cdot (0.707)^{2/3} \cdot (0.0004)^{1/2} = 30 \cdot 0.79 \cdot 0.02 \approx 0.474 \, \text{m/s}\). C'est très proche de 0.486 m/s, la petite différence vient des arrondis.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente la section d'écoulement finale pour laquelle les calculs de vitesse et de contrainte vont être effectués.

Calcul(s)

Calcul de la surface mouillée A

\begin{aligned} A &= (2 + 2 \cdot 1.18) \cdot 1.18 \\ &= 5.145 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul du périmètre mouillé P

\begin{aligned} P &= 2 + 2 \cdot 1.18 \cdot \sqrt{1+2^2} \\ &= 7.277 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul du rayon hydraulique Rh

\begin{aligned} R_{\text{h}} &= \frac{A}{P} \\ &= \frac{5.145}{7.277} \\ &\approx 0.707 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de la vitesse moyenne V

\begin{aligned} V &= \frac{Q}{A} \\ &= \frac{2.5 \, \text{m}^3/\text{s}}{5.145 \, \text{m}^2} \\ &\approx 0.486 \, \text{m/s} \end{aligned}

Calcul de la contrainte de cisaillement τ

\begin{aligned} \tau &= \rho \cdot g \cdot R_{\text{h}} \cdot I \\ &= 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.707 \cdot 0.0004 \\ &\approx 2.77 \, \text{N/m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme qualitatif montre la répartition de la vitesse de l'eau (lignes isovitesses) dans la section du canal. La vitesse est maximale près de la surface libre et nulle au contact des parois.

Réflexions

Les valeurs de \(V \approx 0.49 \, \text{m/s}\) et \(\tau \approx 2.77 \, \text{Pa}\) sont les "efforts" que le canal subit. Elles n'ont de sens que si on les compare à ce que le canal peut "supporter", ce qui est l'objet de la dernière question.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités de la formule de la contrainte de cisaillement sont dans le Système International (kg, m, s, N). Une erreur fréquente est de mélanger des unités, par exemple en utilisant une densité en g/cm³.

Points à retenir

Retenez que la vitesse et la contrainte sont deux "sorties" du calcul de dimensionnement. La profondeur normale \(y_{\text{n}}\) est un résultat intermédiaire, tandis que \(V\) et \(\tau\) sont les résultats finaux qui permettent de juger de la performance et de la sécurité du design.

Le saviez-vous ?

La notion de contrainte de cisaillement est la même que celle utilisée en résistance des matériaux pour calculer des boulons ou des soudures. En hydraulique, c'est le fluide qui "cisaille" le lit du canal, de la même manière qu'une force de cisaillement pourrait couper un boulon.

FAQ

La contrainte n'est-elle pas plus forte sur les talus ?

C'est une excellente question. La formule \(\tau = \rho g R_{\text{h}} I\) donne une contrainte moyenne. Des formules plus complexes montrent que la contrainte maximale sur le radier est proche de \(\rho g y I\), tandis que sur les talus, elle est légèrement plus faible. Pour une première approche, la contrainte moyenne est un bon indicateur.

Résultat Final

La vitesse moyenne est \(V \approx 0.49 \, \text{m/s}\) et la contrainte de cisaillement au radier est \(\tau \approx 2.77 \, \text{N/m}^2\).

A vous de jouer

Si la pente du canal était deux fois plus faible (\(I=0.0002\)), la contrainte de cisaillement serait-elle divisée par deux, plus que divisée par deux, ou moins que divisée par deux ? (Indice : une pente plus faible change aussi \(y_{\text{n}}\) et donc \(R_{\text{h}}\)).
Réponse : Elle serait divisée par deux, car pour un \(Q\) constant, le produit \(R_{\text{h}} \cdot I\) tend à rester proportionnel à \(\sqrt{I}\), donc \(\tau\) est presque proportionnel à \(I\).

Question 5 : Vérification de la stabilité du canal

Principe

Le concept physique est celui de la "résistance du matériau". On compare les efforts appliqués (contraintes de l'écoulement) à la capacité de résistance du matériau (contraintes admissibles du sol). Si la résistance est supérieure aux efforts, la structure est stable.

Mini-Cours

La stabilité des canaux en terre est un domaine de l'ingénierie appelé "morphodynamique fluviale". La vitesse admissible et la contrainte de cisaillement critique (\(\tau_c\), aussi appelée contrainte de Shields) sont des valeurs déterminées en laboratoire ou sur le terrain. Elles dépendent de la taille des grains du sol, de leur cohésion, et de la présence de végétation. Si \(\tau > \tau_c\), les grains commencent à être mis en mouvement : c'est le début de l'érosion.

Remarque Pédagogique

C'est le moment de vérité pour un ingénieur. Un calcul peut être mathématiquement juste, mais physiquement faux s'il ne respecte pas les limites du monde réel. Cette étape finale de vérification est la plus importante et ne doit jamais être oubliée.

Normes

Les valeurs de vitesses et contraintes admissibles sont tabulées dans des manuels de conception de canaux, comme le "Design of Small Canal Structures" du U.S. Bureau of Reclamation, ou des ouvrages de référence comme le "Open-Channel Hydraulics" de Ven Te Chow. Ces valeurs sont des recommandations et doivent être adaptées aux conditions locales.

Formule(s)

Critère de stabilité sur la vitesse

V_{\text{calculée}} \le V_{\text{admissible}}

Critère de stabilité sur la contrainte

\tau_{\text{calculée}} \le \tau_{\text{admissible}}

Hypothèses

On suppose que les valeurs admissibles fournies dans l'énoncé sont fiables et correspondent bien au matériau qui sera réellement utilisé pour construire le canal.

Donnée(s)

On rappelle les limites de stabilité et les valeurs calculées.

Paramètre	Valeur Calculée	Valeur Admissible
Vitesse	\(0.49 \, \text{m/s}\)	\(0.70 \, \text{m/s}\)
Contrainte de cisaillement	\(2.77 \, \text{N/m}^2\)	\(3.0 \, \text{N/m}^2\)

Astuces

En conception, on vise souvent un "coefficient de sécurité". Par exemple, on peut s'assurer que \(\tau_{\text{calculée}} \le 0.9 \cdot \tau_{\text{admissible}}\). Dans notre cas, \(2.77 / 3.0 \approx 0.92\), ce qui est une marge de sécurité raisonnable mais pas immense. On est proche de la limite.

Schéma (Avant les calculs)

Ce diagramme illustre le principe de la vérification : le point de fonctionnement, défini par les valeurs calculées, doit se trouver à l'intérieur de la zone délimitée par les valeurs admissibles.

Calcul(s)

Vérification de la stabilité en vitesse

V = 0.49 \, \text{m/s} \le V_{\text{adm}} = 0.70 \, \text{m/s} \quad \Rightarrow \quad \textbf{VALIDÉ}

Vérification de la stabilité en contrainte

\tau = 2.77 \, \text{N/m}^2 \le \tau_{\text{adm}} = 3.0 \, \text{N/m}^2 \quad \Rightarrow \quad \textbf{VALIDÉ}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de la zone de stabilité confirme visuellement que notre point de fonctionnement est bien dans la zone autorisée.

Réflexions

Les deux critères étant respectés, le design est jugé adéquat. Le canal est capable de transporter le débit requis sans s'auto-détruire par érosion. Le projet peut passer à l'étape suivante (calcul des volumes de terrassement, etc.).

Points de vigilance

Un design validé pour un débit ne l'est pas forcément pour un autre ! Si le canal doit fonctionner avec des débits plus élevés (crue), une nouvelle vérification est impérative. La stabilité aux faibles débits doit aussi être vérifiée pour éviter la sédimentation (dépôt de particules).

Points à retenir

Le dimensionnement d'un ouvrage n'est pas seulement un calcul, c'est un processus itératif de Conception -> Calcul -> Vérification. Si la vérification échoue, il faut retourner à la conception et modifier un paramètre (la largeur \(b\), la pente \(I\), ou le fruit \(m\)) et tout recommencer.

Le saviez-vous ?

La gestion de l'érosion et de la sédimentation est un enjeu majeur dans la maintenance des canaux. Le Canal de Suez ou le Canal de Panama, par exemple, nécessitent un dragage constant pour maintenir leur profondeur de navigation, un coût qui se chiffre en millions de dollars chaque année.

FAQ

Que faire si le canal n'est pas stable ?

Plusieurs solutions sont possibles : 1) Élargir le canal (augmenter \(b\)) pour réduire la hauteur d'eau et donc la vitesse et la contrainte. 2) Adoucir la pente (\(I\)). 3) Protéger les parois avec un revêtement plus résistant (enrochement, géotextiles, ou même du béton).

Résultat Final

Le dimensionnement du canal avec une largeur de 2.0 m et une hauteur d'eau de 1.18 m est stable et validé car la vitesse et la contrainte de cisaillement calculées sont inférieures aux limites admissibles.

A vous de jouer

Si le sol était plus fragile, avec une contrainte admissible de seulement 2.5 N/m², notre design serait-il encore valide ?
Non, car la contrainte calculée (2.77 N/m²) serait supérieure à la contrainte admissible.

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez cet outil pour voir comment le débit d'un canal trapézoïdal (\(K=30\), \(I=0.0004\)) change en fonction de sa largeur au fond (\(b\)) et de la pente des talus (\(m\)).

Paramètres d'Entrée

Largeur au fond, b (m) 2.0 m

Pente du talus, m (-) 2.0

Résultats pour y = 1.18 m

Débit Calculé, Q (m³/s) -

Vitesse, V (m/s) -

Régime uniforme: Régime d'écoulement où la hauteur d'eau et la vitesse restent constantes sur une section donnée du canal. Il y a équilibre entre les forces motrices (gravité) et les forces de résistance (frottement).
Profondeur normale (\(y_n\)): La hauteur d'eau spécifique qui s'établit dans un canal en régime uniforme pour un débit et une pente donnés.
Coefficient de Manning-Strickler (K): Coefficient empirique qui caractérise la rugosité des parois d'un canal. Plus les parois sont lisses, plus K est élevé. Il est l'inverse du coefficient de Manning 'n' (\(K = 1/n\)).
Rayon Hydraulique (\(R_h\)): Rapport entre la surface mouillée (\(A\)) et le périmètre mouillé (\(P\)). Il représente un diamètre "efficace" pour l'écoulement et est un paramètre clé de la résistance au frottement.
Contrainte de cisaillement (\(\tau\)): Force de frottement exercée par le fluide en mouvement sur une unité de surface du lit et des berges. Si elle dépasse la valeur critique du matériau, l'érosion commence.