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Hydraulique

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... • Par Étude Hydraulique

Dimensionnement d'un Accumulateur Oléopneumatique

Contexte : L'utilisation d'un Accumulateur OléopneumatiqueDispositif de stockage d'énergie hydraulique utilisant la compressibilité d'un gaz (azote) pour compenser les variations de pression ou de volume d'huile dans un circuit. dans un circuit hydraulique.

Cet exercice pratique vise à déterminer le volume nominal minimal requis pour un accumulateur à piston destiné à compenser les fuites d'un vérin hydraulique. Le dimensionnement doit garantir que la pression de fonctionnement du système reste dans une plage acceptable, en appliquant les lois des gaz parfaits (ici, la loi d'expansion isotherme).

Remarque Pédagogique : Cet exercice met en lumière l'importance de la loi de Boyle-Mariotte en Oléohydraulique. Une erreur de dimensionnement peut entraîner une perte de fonction du vérin ou des surpressions dangereuses.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le rôle de l'accumulateur (compensation de volume) dans un circuit.
Appliquer la loi des gaz parfaits pour un processus isotherme.
Calculer les volumes de gaz \(V_1\) et \(V_2\) aux pressions limites \(P_1\) et \(P_2\).
Déterminer le volume nominal \(V_0\) minimal de l'accumulateur.

Données de l'étude

Un accumulateur oléopneumatique est intégré dans un circuit d'asservissement. On suppose une compression/détente du gaz lente, ce qui permet de retenir l'hypothèse d'une transformation isotherme (\(n=1\)).

Fiche Technique de l'application

Caractéristique	Valeur
Pression minimale de service (\(P_{1, \text{min}}\))	150 bar
Pression maximale de service (\(P_{2, \text{max}}\))	250 bar
Volume d'huile à compenser (\(\Delta V\))	5 Litres

Schéma de principe de l'Accumulateur à Piston

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(P_0\)	Pression de précharge du gaz (fixée à 90% de \(P_{1, \text{min}}\))	135	bar
\(P_1\)	Pression minimale de service	150	bar
\(P_2\)	Pression maximale de service	250	bar
\(\Delta V\)	Volume d'huile requis	5	Litres

Questions à traiter

Calculer le rapport de pression de précharge sur pression minimale de service (\(P_0/P_1\)).
Déterminer le volume de gaz \(V_1\) (en L) lorsque la pression est \(P_1\), en fonction du volume nominal \(V_0\) choisi (on prendra \(V_0 = 20 \text{ L}\) pour cette question).
Déterminer le volume de gaz \(V_2\) (en L) lorsque la pression est \(P_2\), en fonction de \(V_0 = 20 \text{ L}\).
Calculer le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) (en L) fourni par l'accumulateur de \(V_0=20 \text{ L}\).
Calculer le volume nominal minimal \(V_{0, \text{req}}\) (en L) de l'accumulateur pour fournir le volume \(\Delta V=5 \text{ L}\) requis.

Les bases sur la Loi de Comportement des Gaz

Le fonctionnement d'un accumulateur oléopneumatique repose sur la compressibilité du gaz (Azote) et l'incompressibilité relative de l'huile. La relation entre la pression et le volume du gaz est régie par la loi d'état suivante :

1. Loi des transformations polytropiques
La transformation subie par le gaz peut être décrite par la loi générale : \[ P \cdot V^n = \text{constante} \] où \(n\) est l'indice polytropique.

2. Cas spécifique : Transformation Isotherme
Lorsque le cycle de variation de pression est lent (comme pour la compensation de fuites), on considère que la température du gaz reste constante (\(T = \text{constante}\)). L'indice polytropique est alors \(n=1\), et la loi devient : \[ P \cdot V = \text{constante} \quad (\text{Loi de Boyle-Mariotte}) \] Dans la pratique, pour un cycle rapide (amortissement de chocs), on utilise souvent \(n=1,4\) (transformation adiabatique).

Correction : Dimensionnement d'un Accumulateur Oléopneumatique

Question 1 : Calculer le rapport de pression \(P_0/P_1\)

Principe

Le rapport de la pression de précharge (\(P_0\)) à la pression minimale de service (\(P_1\)) est critique. Il sert de **critère de non-désalignement**. Théoriquement, \(P_0\) doit être inférieur ou égal à \(P_1\) pour que l'accumulateur commence à se décharger, mais il est toujours maintenu légèrement en dessous (typiquement 85% à 90%) pour des raisons d'efficacité et pour éviter le dégonflement complet de la vessie.

Mini-Cours

La pression de précharge \(P_0\) est la pression initiale du gaz (avant l'introduction de l'huile). Une règle courante en Oléohydraulique est de fixer \(P_0\) à \(0.9 \cdot P_{1, \text{min}}\). Ce ratio est sans unité et dicte le facteur de compression du gaz dans le fonctionnement normal.

Remarque Pédagogique

La bonne pratique consiste à toujours choisir \(P_0\) le plus proche possible de \(P_1\) pour maximiser l'énergie stockée sans compromettre la membrane (vessie ou piston). Cependant, un rapport trop proche de \(1\) est théoriquement impossible à atteindre en pratique.

Normes

La pression de précharge est définie par la norme ISO 14310. Il est d'usage que \(P_0 \le 0.9 \cdot P_{1, \text{min}}\) pour assurer que la quantité d'huile désirée (\(\Delta V\)) soit disponible et, surtout, que le gaz ne s'échappe pas par la connexion d'huile lorsque la pression système est minimale (\(P_1\)).

Formule(s)

Ratio de pression de précharge :

\text{Ratio} = \frac{P_0}{P_1}

Hypothèses

L'hypothèse principale est que le gaz (Azote) se comporte comme un gaz parfait et que la pression de précharge a été fixée à \(90\%\) de \(P_{1, \text{min}}\) (la valeur de \(P_1\) utilisée est \(150 \text{ bar}\)).

\(P_0 = 135 \text{ bar}\)
\(P_1 = 150 \text{ bar}\)

Donnée(s)

Récupération des données d'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de précharge	\(P_0\)	135	bar
Pression minimale de service	\(P_1\)	150	bar

Astuces

Le ratio doit toujours être inférieur ou égal à \(1\). Si vous trouvez une valeur supérieure, cela signifie que la pression de précharge est trop élevée par rapport à la pression minimale de service, ce qui est dangereux ou rend l'accumulateur inefficace.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la condition initiale : le gaz occupe tout le volume nominal \(V_0\) à la pression \(P_0\). La colonne de gaz est maximale, car aucune huile n'a encore été introduite.

État Initial (Précharge P₀)

Calcul(s)

Calcul simple du ratio de pression. On insère les valeurs brutes et on réalise la division.

Étape 1 : Application Numérique

Nous insérons les valeurs \(P_0 = 135 \text{ bar}\) et \(P_1 = 150 \text{ bar}\) dans la formule pour déterminer leur rapport.

\begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{135 \text{ bar}}{150 \text{ bar}} \\ &= 0.9 \end{aligned}

Le calcul montre que le rapport de pression est exactement \(0.9\). Ceci confirme que la précharge \(P_0\) est bien réglée à 90% de la pression minimale de service \(P_1\).

Schéma (Après les calculs)

Ce ratio de \(0.9\) est standard pour optimiser l'utilisation du volume de gaz.

Ratio de Pression

Réflexions

Un ratio de \(0.9\) confirme que la précharge est correctement ajustée pour garantir que l'accumulateur puisse se décharger efficacement lorsque la pression atteint \(P_1 = 150 \text{ bar}\). C'est la condition d'opération optimale.

Points de vigilance

Ne jamais confondre \(P_0\) (Précharge) et \(P_1\) (Pression minimale). Si \(P_0\) est trop proche de \(P_2\), le volume utile sera trop faible. De plus, s'assurer que \(P_0\) est mesurée à la bonne température de référence.

Points à retenir

Ratio Standard : \(P_0/P_1 \approx 0.9\).

La loi d'état \(P \cdot V^n = \text{constante}\) est la base de tous les calculs d'accumulateurs.
La cohérence des unités de pression est vitale.

Le saviez-vous ?

Les accumulateurs à vessie sont les plus couramment utilisés en industrie. Ils sont plus légers et compacts que les accumulateurs à piston, bien que ces derniers permettent des débits plus élevés.

FAQ

Questions fréquentes sur la précharge.

Résultat Final

Le rapport \(P_0/P_1\) est de \(0.9\).

A vous de jouer

Que vaudrait le volume \(V_1\) (en L) si le volume nominal \(V_0\) était \(15 \text{ L}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Détermination de \(P_0\) pour une utilisation optimale.
Formule Essentielle : \(P_0 = 0.9 \cdot P_1\).
Point de Vigilance Majeur : Unité de pression (bar ou Pa).

Question 2 : Déterminer \(V_1\) (volume de gaz à \(P_1\))

Principe

Le volume \(V_1\) est le volume maximal occupé par le gaz lorsque la pression du système atteint sa limite inférieure de fonctionnement, \(P_1\). À cette pression, l'accumulateur a délivré la quantité maximale d'huile qu'il peut fournir dans un cycle. Il s'agit d'une simple application de la loi de Boyle-Mariotte.

Mini-Cours

En transformation isotherme (\(n=1\)), la loi de Boyle-Mariotte s'applique directement : \(P_0 \cdot V_0 = P_1 \cdot V_1\). En réarrangeant cette formule pour isoler le volume de gaz à la pression \(P_1\), on obtient : \(V_1 = V_0 \cdot \frac{P_0}{P_1}\).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de comprendre que lorsque la pression d'huile atteint \(P_1\), le gaz s'est détendu jusqu'à son volume maximal utile \(V_1\). La chute de pression entre \(P_2\) et \(P_1\) est ce qui génère le volume utile d'huile.

Normes

Le calcul de \(V_1\) est une étape fondamentale. Les normes de sécurité imposent que ce volume \(V_1\) ne soit pas trop proche de \(V_0\) pour prévenir l'usure excessive des pièces d'étanchéité de la vessie ou du piston.

Formule(s)

Volume \(V_1\) (Isotherme \(n=1\))

V_1 = V_0 \cdot \frac{P_0}{P_1}

Hypothèses

Nous utilisons les valeurs données et le volume nominal (théorique) choisi pour cette vérification intermédiaire.

\(V_0 = 20 \text{ L}\) (Volume nominal de l'accumulateur)
\(P_0 = 135 \text{ bar}\) (Pression de précharge)
\(P_1 = 150 \text{ bar}\) (Pression minimale de service)

Donnée(s)

Données utilisées pour cette étape.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume nominal (choisi)	\(V_0\)	20	L
Pression de précharge	\(P_0\)	135	bar
Pression minimale	\(P_1\)	150	bar

Astuces

Puisque \(P_0/P_1\) est le ratio de \(0.9\) calculé à la question 1, \(V_1\) doit être égal à \(0.9 \cdot V_0\). Cette relation simple permet une vérification rapide de l'ordre de grandeur de votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'état du gaz lorsque la pression d'huile a atteint \(P_1\). Le piston se trouve à la limite maximale de décharge. Le gaz occupe alors \(V_1\).

Volume de Gaz à P₁ (Décharge Maximale)

Calcul(s)

Nous appliquons la formule en remplaçant les symboles par les valeurs connues et en utilisant la cohérence des unités (bar et L).

Étape 1 : Application Numérique

On utilise la loi de Boyle-Mariotte (\(P_0 V_0 = P_1 V_1\)) pour isoler \(V_1\). Nous insérons les valeurs :

\begin{aligned} V_1 &= 20 \text{ L} \cdot \frac{135 \text{ bar}}{150 \text{ bar}} \\ &= 20 \text{ L} \cdot 0.9 \\ V_1 &= 18 \text{ L} \end{aligned}

Le volume \(V_1\) est calculé à \(18 \text{ L}\). L'accumulateur a donc "absorbé" \(2 \text{ L}\) d'huile \((20 - 18)\) depuis sa précharge, ce qui est logique puisque \(P_1 > P_0\).

Schéma (Après les calculs)

Confirmation que \(V_1\) est bien le volume maximal de gaz en phase de décharge.

V₁ en pourcents de V₀

Réflexions

Le fait que \(V_1\) soit \(90\%\) de \(V_0\) signifie que seulement \(10\%\) du volume total de l'accumulateur est de l'huile au début du cycle de décharge. L'essentiel du volume utile est contenu entre \(V_1\) et \(V_2\).

Points de vigilance

Assurez-vous toujours que \(V_1 \ge V_{0} \cdot 0.1\). Si \(V_1\) est trop petit, cela signifie qu'une petite quantité d'huile pourrait maintenir la pression \(P_1\), mais l'accumulateur aurait peu de capacité de décharge supplémentaire.

Points à retenir

\(V_1\) est le volume de gaz à \(P_1\).
\(V_1\) représente le "point de coupure" de l'utilisation de l'accumulateur en décharge.

Le saviez-vous ?

Si l'accumulateur est dimensionné pour un amortissement de chocs très rapide, l'indice \(n=1.4\) (adiabatique) est utilisé. Le volume \(V_0\) requis est alors beaucoup plus grand pour la même \(\Delta V\).

FAQ

...

Résultat Final

Le volume de gaz \(V_1\) à \(P_1\) est de \(18 \text{ L}\).

A vous de jouer

Quel serait le volume \(V_1\) (en L) si on considérait une transformation adiabatique avec \(n=1.4\) ? (Utilisez la formule \(P_0 V_0^{1.4} = P_1 V_1^{1.4}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

**Formule :** \(V_1 = V_0 \cdot \left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{\frac{1}{n}}\) avec \(n=1\).
**Valeur :** \(V_1 = 18 \text{ L}\) pour \(V_0 = 20 \text{ L}\).

Question 3 : Déterminer \(V_2\) (volume de gaz à \(P_2\))

Principe

Le volume \(V_2\) est le volume minimal que le gaz occupera dans l'accumulateur, correspondant à l'état où le système est à sa pression maximale de service, \(P_2\). C'est le point de compression maximale du gaz et de stockage maximal d'huile.

Mini-Cours

Nous utilisons la même loi des gaz isotherme (\(P_0 \cdot V_0 = P_2 \cdot V_2\)), mais cette fois-ci, nous la résolvons pour \(V_2\). La relation montre que le volume est inversement proportionnel à la pression : \(V_2 = V_0 \cdot \frac{P_0}{P_2}\).

Remarque Pédagogique

La différence de pression (\(P_2 - P_1\)) doit être optimisée. Si \(P_2\) est trop élevée par rapport à \(P_1\), cela comprime fortement le gaz (petit \(V_2\)) mais l'accumulateur devient peu efficient sur un petit cycle de pression.

Normes

Il est impératif de vérifier que la pression de service maximale \(P_2\) n'excède jamais la pression maximale admissible (PMA) de l'accumulateur, indiquée par le fabricant, pour des raisons de sécurité structurelle.

Formule(s)

Volume \(V_2\) (Isotherme \(n=1\))

V_2 = V_0 \cdot \frac{P_0}{P_2}

Hypothèses

Nous continuons avec les hypothèses de la transformation isotherme et le volume nominal choisi.

\(V_0 = 20 \text{ L}\)
\(P_0 = 135 \text{ bar}\)
\(P_2 = 250 \text{ bar}\)

Donnée(s)

Données utilisées pour cette étape.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume nominal (choisi)	\(V_0\)	20	L
Pression de précharge	\(P_0\)	135	bar
Pression maximale	\(P_2\)	250	bar

Astuces

Le ratio \(P_0/P_2\) est toujours inférieur à 1, ce qui confirme que \(V_2\) sera plus petit que \(V_0\). Le ratio doit être vérifié rapidement : \(135/250 \approx 0.54\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'état du gaz lorsque la pression d'huile a atteint \(P_2\). Le piston est descendu à son minimum, comprimant le gaz au volume \(V_2\).

Volume de Gaz à P₂ (Compression Maximale)

Calcul(s)

Nous appliquons la formule en remplaçant les symboles par les valeurs connues. Notez que la pression \(P_2\) est utilisée au dénominateur car elle correspond au volume de gaz minimal (\(V_2\)).

Étape 1 : Application Numérique

On utilise la loi de Boyle-Mariotte (\(P_0 V_0 = P_2 V_2\)) pour isoler \(V_2\), en insérant \(P_0=135 \text{ bar}\), \(P_2=250 \text{ bar}\) et \(V_0=20 \text{ L}\).

\begin{aligned} V_2 &= V_0 \cdot \frac{P_0}{P_2} \\ &= 20 \text{ L} \cdot \frac{135 \text{ bar}}{250 \text{ bar}} \\ &= 20 \text{ L} \cdot 0.54 \\ V_2 &= 10.8 \text{ L} \end{aligned}

Le volume minimal de gaz est \(10.8 \text{ L}\). Ce volume est bien inférieur à \(V_1=18 \text{ L}\), ce qui est cohérent avec une compression du gaz à une pression supérieure (\(P_2 > P_1\)).

Schéma (Après les calculs)

Le volume \(V_2\) est le plus petit volume de gaz que l'accumulateur atteindra pendant son cycle normal.

V₂ en pourcents de V₀

Réflexions

Le gaz est comprimé de \(V_0 = 20 \text{ L}\) (état initial) à \(V_2 = 10.8 \text{ L}\) (état maximal). Le volume d'huile total stocké est donc \(20 - 10.8 = 9.2 \text{ L}\). Ce volume stocké est le maximum absolu pour cet accumulateur à ces pressions.

Points de vigilance

Ne pas utiliser la pression maximale admissible (PMA) de l'accumulateur à la place de \(P_{2, \text{max}}\) de service. La PMA sert uniquement à vérifier la sécurité de l'équipement. L'utilisation d'une pression \(P_2\) trop proche de la PMA réduit la durée de vie du joint de l'accumulateur.

Points à retenir

\(V_2\) est le volume minimal de gaz à \(P_2\).
\(V_0 - V_2\) est le volume d'huile total stocké.

Le saviez-vous ?

Les accumulateurs sont souvent dimensionnés en considérant une pression de précharge \(P_0\) maximale de \(2/3 \cdot P_{2, \text{max}}\) pour des raisons de performance, bien que la règle \(0.9 \cdot P_{1, \text{min}}\) reste la plus importante pour la fonction de compensation.

FAQ

Questions fréquentes sur la compression maximale.

Résultat Final

Le volume de gaz \(V_2\) à \(P_2\) est de \(10.8 \text{ L}\).

A vous de jouer

Quel serait le volume \(V_2\) (en L) si \(P_2\) était seulement de \(200 \text{ bar}\) (\(V_0=20 \text{ L}, P_0=135 \text{ bar}\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

**Formule :** \(V_2 = V_0 \cdot \left(\frac{P_0}{P_2}\right)^{\frac{1}{n}}\) avec \(n=1\).
**Valeur :** \(V_2 = 10.8 \text{ L}\) pour \(V_0 = 20 \text{ L}\).

Question 4 : Calculer le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) (fourni par l'accumulateur de \(V_0=20 \text{ L}\))

Principe

Le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) est la quantité d'huile réelle que l'accumulateur peut fournir ou absorber dans sa plage de fonctionnement (\(P_1\) à \(P_2\)). Il est égal à la différence entre le volume de gaz maximal (\(V_1\)) et le volume de gaz minimal (\(V_2\)).

Mini-Cours

Le volume d'huile disponible (\(\Delta V_{\text{eff}}\)) est la seule partie du volume nominal qui peut être utilisée pour la compensation ou le secours. Plus la plage de pression \(P_2/P_1\) est grande, plus le volume utile est important.

Remarque Pédagogique

Pour qu'un accumulateur soit valide, le volume utile calculé (\(\Delta V_{\text{eff}}\)) doit absolument être supérieur ou égal au volume \(\Delta V_{\text{requis}}\) spécifié dans l'énoncé (\(\Delta V = 5 \text{ L}\)).

Normes

Le calcul de \(\Delta V_{\text{eff}}\) est la vérification finale de l'adéquation d'un volume nominal choisi \(V_0\) à un besoin \(\Delta V\) donné. Un coefficient de sécurité de \(1.1\) à \(1.3\) est souvent appliqué au \(\Delta V_{\text{requis}}\) pour plus de fiabilité.

Formule(s)

Volume utile disponible

\Delta V_{\text{eff}} = V_1 - V_2

Volume utile en fonction de \(V_0\) (pour \(n=1\))

\Delta V_{\text{eff}} = V_0 \cdot \left( \frac{P_0}{P_1} - \frac{P_0}{P_2} \right)

Hypothèses

Nous utilisons les résultats intermédiaires des questions précédentes, assurant la cohérence de la démarche.

\(V_1 = 18 \text{ L}\) (Calculé en Q2)
\(V_2 = 10.8 \text{ L}\) (Calculé en Q3)

Donnée(s)

Volumes intermédiaires calculés :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume de gaz à \(P_1\)	\(V_1\)	18	L
Volume de gaz à \(P_2\)	\(V_2\)	10.8	L

Astuces

La valeur entre parenthèses dans la formule alternative (\(0.36\)) représente le pourcentage maximal du volume nominal \(V_0\) qui sera réellement utilisable dans ce cycle de pression. Ici, \(36\%\) de \(V_0\) est utile.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la différence entre \(V_1\) et \(V_2\) qui correspond au volume d'huile fourni. Le volume utile est la zone grisée entre les deux positions du piston.

Volume Utile ΔVeff = V₁ - V₂

Calcul(s)

Le volume utile est simplement la différence entre le volume maximal de gaz (\(V_1\)) et le volume minimal de gaz (\(V_2\)) dans le cycle de service.

Étape 1 : Calcul par Soustraction

Nous soustrayons le volume de gaz à \(P_2\) (\(V_2\)) du volume de gaz à \(P_1\) (\(V_1\)) pour obtenir le volume d'huile délivré.

\begin{aligned} \Delta V_{\text{eff}} &= 18.0 \text{ L} - 10.8 \text{ L} \\ \Delta V_{\text{eff}} &= 7.2 \text{ L} \end{aligned}

Le volume utile disponible est de \(7.2 \text{ L}\).

Vérification (Formule alternative)

Pour une vérification, on peut réutiliser la formule complète en fonction de \(V_0\) et des rapports de pression. On commence par calculer le facteur d'utilisation volumétrique (\(0.36\)).

\begin{aligned} \Delta V_{\text{eff}} &= V_0 \cdot \left( \frac{P_0}{P_1} - \frac{P_0}{P_2} \right) \\ &= 20 \text{ L} \cdot \left( \frac{135}{150} - \frac{135}{250} \right) \\ &= 20 \text{ L} \cdot (0.9 - 0.54) \\ &= 20 \text{ L} \cdot 0.36 \\ \Delta V_{\text{eff}} &= 7.2 \text{ L} \end{aligned}

Le résultat de la vérification est identique, confirmant le volume utile de \(7.2 \text{ L}\).

Schéma (Après les calculs)

Conclusion sur l'adéquation du volume \(V_0=20 \text{ L}\) par rapport au besoin.

Vérification du Besoin

Réflexions

Le volume utile calculé (\(\Delta V_{\text{eff}} = 7.2 \text{ L}\)) dépasse largement le volume d'huile requis (\(\Delta V = 5 \text{ L}\)), ce qui confère une marge de sécurité de \(2.2 \text{ L}\) (\(44\%\)). L'accumulateur de \(20 \text{ L}\) est donc **largement suffisant**.

Points de vigilance

Assurez-vous toujours que \(\Delta V_{\text{eff}} \ge \Delta V_{\text{requis}}\). Un volume utile trop juste pourrait entraîner une perte de fonction en cas de fluctuation imprévue de la demande de volume d'huile.

Points à retenir

Le volume utile est la clé du dimensionnement.
\(\Delta V_{\text{eff}} = V_1 - V_2\).

Le saviez-vous ?

Dans les systèmes réels, un coefficient de sécurité de \(1.1\) à \(1.3\) est souvent appliqué au volume requis \(\Delta V\) pour tenir compte des incertitudes sur l'indice polytropique et la température.

FAQ

Questions fréquentes sur la notion de volume utile.

Résultat Final

Le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) fourni est de \(7.2 \text{ L}\).

A vous de jouer

Quel serait le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) (en L) si le \(V_0\) choisi était \(15 \text{ L}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

**Formule :** \(\Delta V_{\text{eff}} = V_1 - V_2\).
**Valeur :** \(\Delta V_{\text{eff}} = 7.2 \text{ L}\).

Question 5 : Calculer le volume nominal minimal \(V_{0, \text{req}}\)

Principe

L'objectif est d'isoler le volume nominal \(V_0\) de l'équation du volume utile en utilisant le volume d'huile **requis** (\(\Delta V = 5 \text{ L}\)) plutôt qu'un volume effectif. Cela donne la valeur minimale théorique nécessaire au dimensionnement.

Mini-Cours

Nous inversons la formule du volume utile pour isoler \(V_0\). La formule réarrangée montre clairement que \(V_0\) est directement proportionnel au volume d'huile requis (\(\Delta V\)) et inversement proportionnel au facteur d'expansion lié à la plage de pression de service.

Remarque Pédagogique

Le volume \(V_{0, \text{req}}\) calculé est un volume théorique de rupture. En pratique, on choisira toujours le volume nominal standard du fabricant immédiatement supérieur (par exemple, si \(V_{0, \text{req}} = 13.89 \text{ L}\), on choisit \(15 \text{ L}\)).

Normes

Cette méthode de calcul est la plus courante pour démarrer le processus de sélection d'un accumulateur en croisant le besoin (\(\Delta V\)) avec les limites de pression (\(P_1\) et \(P_2\)) de l'application.

Formule(s)

Volume nominal requis (pour \(n=1\))

V_{0, \text{req}} = \frac{\Delta V}{\frac{P_0}{P_1} - \frac{P_0}{P_2}}

Hypothèses

Toutes les hypothèses précédentes sont conservées, en particulier l'isotherme (\(n=1\)) et la cohérence des pressions.

\(\Delta V = 5 \text{ L}\)
\(P_0/P_1 = 0.9\)
\(P_0/P_2 = 0.54\)

Donnée(s)

Données de l'énoncé et rapports de pression :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume d'huile requis	\(\Delta V\)	5	Litres
Facteur d'expansion (Calculé en Q4)	\(\left( \frac{P_0}{P_1} - \frac{P_0}{P_2} \right)\)	0.36	-

Astuces

Le dénominateur de la formule, \(0.36\) dans notre cas, est le facteur d'utilisation volumétrique. Plus ce facteur est grand (proche de \(1\)), plus l'accumulateur est efficace, et plus le \(V_{0, \text{req}}\) est faible.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre que le volume nominal \(V_0\) doit être suffisamment grand pour que le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) atteigne au moins les \(5 \text{ L}\) requis.

Volume Nominal Requis (V₀ req)

Calcul(s)

Nous utilisons la formule dérivée de la question 4, en substituant le volume utile effectif par le volume requis \(\Delta V\).

Étape 1 : Calcul du Facteur d'Utilisation Volumétrique

Ce facteur représente la proportion du volume nominal \(V_0\) qui peut être utilisée entre \(P_1\) et \(P_2\).

\begin{aligned} \text{Facteur utilisable} &= \frac{P_0}{P_1} - \frac{P_0}{P_2} \\ &= \frac{135}{150} - \frac{135}{250} \\ &= 0.9 - 0.54 \\ &= 0.36 \end{aligned}

Ce facteur est de \(0.36\), soit \(36\%\).

Étape 2 : Application Numérique du volume requis

Nous divisons le volume d'huile requis (\(\Delta V = 5 \text{ L}\)) par le facteur d'utilisation volumétrique pour trouver le volume nominal minimal nécessaire \(V_{0, \text{req}}\).

\begin{aligned} V_{0, \text{req}} &= \frac{\Delta V}{\text{Facteur utilisable}} \\ &= \frac{5 \text{ L}}{0.36} \\ V_{0, \text{req}} &\approx 13.888... \text{ L} \\ V_{0, \text{req}} &\approx 13.89 \text{ L} \end{aligned}

Le volume minimal requis est \(13.89 \text{ L}\).

Schéma (Après les calculs)

Conclusion et choix du volume nominal réel (standard).

Choix de l'Accumulateur Standard

Réflexions

Le volume nominal minimal requis est de \(13.89 \text{ L}\). L'étape suivante de la conception est le choix commercial. Si le volume standard le plus proche est \(15 \text{ L}\), il offre une petite marge de sécurité. Le choix de \(20 \text{ L}\) (utilisé dans les questions précédentes) offrait une marge encore plus confortable.

Points de vigilance

Si l'on devait tenir compte d'une variation de température (passage à \(n=1.4\)), le volume requis \(V_{0, \text{req}}\) serait plus grand. Il faut toujours considérer la transformation la plus défavorable (\(n=1.4\)) si le cycle est rapide (amortissement des chocs).

Points à retenir

La formule inverse est utilisée pour le dimensionnement initial.
Le volume final doit être un volume standard supérieur à \(V_{0, \text{req}}\).

Le saviez-vous ?

En plus de la compensation et de l'amortissement des chocs, les accumulateurs peuvent également être utilisés pour créer un "circuit de secours" de courte durée, permettant le déplacement de vérins en cas de panne de pompe.

FAQ

Questions fréquentes sur la détermination du volume nominal.

Résultat Final

Le volume nominal minimal requis est \(V_{0, \text{req}} \approx 13.89 \text{ L}\).

A vous de jouer

Quel serait le volume nominal minimal \(V_{0, \text{req}}\) (en L) si le volume d'huile requis \(\Delta V\) était de \(7 \text{ L}\) au lieu de \(5 \text{ L}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

**Formule :** \(V_{0, \text{req}} = \Delta V / (V_1/V_0 - V_2/V_0)\).
**Valeur :** \(V_{0, \text{req}} \approx 13.89 \text{ L}\).

Outil Interactif : Simulateur de Dimensionnement

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier la pression minimale \(P_1\) et la pression maximale \(P_2\) d'un accumulateur de \(V_0=20 \text{ L}\) (fixe) et visualisez l'impact sur le volume utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) fourni. La précharge \(P_0\) est toujours fixée à \(0.9 \cdot P_1\).

Paramètres d'Entrée

Pression Minimale de Service (\(P_1\)) [bar] 150 bar

Pression Maximale de Service (\(P_2\)) [bar] 250 bar

Volume Nominal Fixe (\(V_0\)) 20 Litres

Indice Polytropique (\(n\)) (Fixe) 1 (Isotherme)

Résultats Clés (\(V_0=20 \text{ L}\))

Pression de Précharge (\(P_0\)) [bar] -

Volume de Gaz à \(P_1\) (\(V_1\)) [L] -

Volume de Gaz à \(P_2\) (\(V_2\)) [L] -

Volume Utile \(\Delta V_{\text{eff}}\) [L] -

Glossaire

Accumulateur Oléopneumatique: Dispositif de stockage d'énergie hydraulique par compression d'un gaz (généralement Azote) séparé de l'huile par une vessie, un piston ou une membrane.
Pression de Précharge (\(P_0\)): Pression initiale du gaz dans l'accumulateur, mesurée sans huile. Elle est critique pour l'efficacité et la sécurité.
Volume Nominal (\(V_0\)): Volume total (interne) de l'accumulateur (volume du gaz à la pression \(P_0\)).
Volume Utile (\(\Delta V_{\text{eff}}\)): Quantité maximale d'huile que l'accumulateur peut délivrer ou absorber entre la pression minimale (\(P_1\)) et la pression maximale (\(P_2\)).
Loi de Boyle-Mariotte (\(n=1\)): Loi des gaz décrivant un processus isotherme, où \(P \cdot V\) reste constant. Utilisée pour des cycles lents (compensation de fuite).

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