Diamètre Économique d'une Conduite de Refoulement

Contexte : L'Optimisation des Réseaux Hydrauliques.

Le dimensionnement d'une conduite de refoulementTuyauterie dans laquelle l'eau est transportée sous pression par une pompe, d'un point bas vers un point plus élevé. est une étape cruciale dans les projets hydrauliques. Choisir un diamètre trop petit entraîne des pertes de chargePerte d'énergie (et donc de pression) subie par un fluide en mouvement dans une conduite, due aux frottements. élevées et donc un coût de pompage énergétique exorbitant sur la durée de vie de l'installation. À l'inverse, un diamètre trop grand minimise les coûts énergétiques mais représente un investissement initial très lourd. Cet exercice a pour but de trouver le juste milieu : le diamètre économique, qui minimise la somme des coûts annuels d'investissement et de fonctionnement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à réaliser une analyse technico-économique. Vous allez quantifier l'impact du diamètre sur les coûts d'amortissement de l'investissement et les coûts d'exploitation (énergie), puis utiliser ces calculs pour prendre une décision d'ingénierie optimale.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la hauteur manométrique totale (HMT) d'un circuit de pompage.
Déterminer les coûts annuels de pompage et d'amortissement d'une conduite.
Identifier le diamètre commercial qui minimise le coût annuel total.
Appliquer et comparer le résultat avec une formule empirique (formule de Bresse).

Données de l'étude

Une station de pompage doit transférer de l'eau d'une rivière vers un réservoir de stockage pour l'irrigation. L'objectif est de déterminer le diamètre le plus économique pour la conduite de refoulement qui relie les deux points.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide transporté	Eau à 20°C
Type de conduite	Acier (neuf)
Type de pompe	Centrifuge

Schéma de l'installation de pompage

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	150	L/s
Longueur de la conduite	\(L\)	1200	m
Dénivelé géométrique	\(H_g\)	25	m
Rugosité de la conduite	\(k\)	0.1	mm
Rendement de la pompe	\(\eta\)	0.75	-
Durée de fonctionnement	\(t\)	3000	h/an
Coût de l'énergie	\(C_{\text{kWh}}\)	0.18	€/kWh
Taux d'amortissement	\(a\)	8	%
Coût de la conduite (fourniture et pose)	\(C_{\text{pipe}}\)	\(500 \times D\)	€/m (avec D en m)

Questions à traiter

On étudiera les diamètres normalisés (DN) suivants : 250, 300, 350, 400, 450 et 500 mm.

Pour chaque diamètre, calculer la perte de charge linéaire totale \(\Delta H\).
Pour chaque diamètre, calculer la puissance absorbée par la pompe et le coût annuel de pompage.
Pour chaque diamètre, calculer le coût d'investissement de la conduite et son coût annuel d'amortissement.
Compiler les résultats dans un tableau, calculer le coût annuel total et identifier le diamètre économique.
Calculer le diamètre économique avec la formule de Bresse (\(D = 1.5 \sqrt{Q}\)) et comparer le résultat.

Les bases de l'hydraulique en charge

Le calcul du diamètre économique repose sur l'équilibre entre le coût d'investissement (CAPEX) et le coût de fonctionnement (OPEX). Voici les concepts clés.

1. Pertes de charge (Équation de Darcy-Weisbach)
Les pertes d'énergie dans une conduite sont principalement dues au frottement du fluide sur les parois. La perte de charge linéaire \(\Delta H\) (en mètres) est calculée par : \[ \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Où \(\lambda\) est le coefficient de perte de charge, \(L\) la longueur (m), \(D\) le diamètre (m), \(V\) la vitesse (m/s) et \(g\) l'accélération de la pesanteur (9.81 m/s²). Le coefficient \(\lambda\) dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative (équation de Colebrook-White).

2. Puissance de Pompage
La puissance hydraulique \(P_h\) nécessaire est celle qui compense le dénivelé et les pertes de charge. La puissance absorbée \(P_a\) par la pompe au réseau électrique est supérieure à cause du rendement \(\eta\). \[ P_a = \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{\text{MT}}}{\eta} \] Avec \(H_{\text{MT}} = H_g + \Delta H\), la hauteur manométrique totale, et \(\rho\) la masse volumique de l'eau (~1000 kg/m³).

Correction : Diamètre Économique d’une Conduite de Refoulement

Question 1 : Calcul des pertes de charge

Principe

L'objectif est de quantifier l'énergie perdue par frottement pour chaque diamètre envisagé. Plus le diamètre est petit, plus la vitesse de l'eau est grande, et plus les frottements (pertes de charge) sont importants. C'est la première étape pour évaluer le coût énergétique.

Mini-Cours

La perte de charge dans une conduite dépend du régime d'écoulement (laminaire ou turbulent), caractérisé par le nombre de Reynolds (Re)Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Un Re faible indique un écoulement laminaire, un Re élevé un écoulement turbulent., et de l'état de surface de la conduite (la rugosité). Pour les applications courantes, l'écoulement est turbulent. Le coefficient de perte de charge \(\lambda\) est alors déterminé via des abaques (diagramme de Moody) ou des formules complexes comme celle de Colebrook-White.

Remarque Pédagogique

Abordez ce calcul de manière systématique. Pour chaque diamètre, la séquence est toujours la même : calcul de la section, puis de la vitesse, puis du nombre de Reynolds, puis du coefficient \(\lambda\), et enfin de la perte de charge. L'organisation est la clé pour ne pas faire d'erreur.

Normes

Bien que ce calcul utilise des formules de mécanique des fluides universelles, le choix des matériaux de conduite, des coefficients de sécurité et des vitesses admissibles est souvent encadré par des normes professionnelles ou des DTU (Documents Techniques Unifiés) propres à chaque pays pour garantir la sécurité et la durabilité des installations.

Formule(s)

Formule de la Vitesse

V = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi D^2 / 4}

Formule du Nombre de Reynolds

Re = \frac{V \cdot D}{\nu}

Formule de Swamee-Jain

\lambda = \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{k}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right) \right]^2}

Formule de Darcy-Weisbach

\Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

L'écoulement est permanent et uniforme (débit constant).
Le fluide (eau) est incompressible.
La température est constante, donc la viscosité aussi.
Nous ne calculons que les pertes de charge linéaires (régulières) et négligeons les pertes singulières (coudes, vannes, etc.) qui sont moins influentes sur une conduite aussi longue.

Donnée(s)

Les données d'entrée sont le débit, les caractéristiques de la conduite et du fluide.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	0.150	m³/s
Longueur	\(L\)	1200	m
Rugosité	\(k\)	0.0001	m
Viscosité cinématique (eau à 20°C)	\(\nu\)	1.004 x 10⁻⁶	m²/s

Astuces

Une fois la vitesse calculée, vérifiez si elle se situe dans une plage typique pour les conduites de refoulement (généralement entre 0.8 et 2.5 m/s). Une valeur très en dehors de cette plage peut indiquer une erreur de calcul ou un diamètre manifestement inadapté.

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres d'un tronçon de conduite

Calcul(s)

Appliquons ces formules pour le DN 250 (\(D = 0.25\) m) à titre d'exemple.

Calcul de la Vitesse (V)

\begin{aligned} V &= \frac{0.150}{\pi \cdot (0.25)^2 / 4} \\ &\approx 3.06 \text{ m/s} \end{aligned}

Calcul du Nombre de Reynolds (Re)

\begin{aligned} Re &= \frac{3.06 \cdot 0.25}{1.004 \times 10^{-6}} \\ &\approx 7.62 \times 10^5 \end{aligned}

Calcul du Coefficient de Perte de Charge (\(\lambda\))

\begin{aligned} \lambda &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{0.0001}{3.7 \cdot 0.25} + \frac{5.74}{(7.62 \times 10^5)^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &\approx 0.0166 \end{aligned}

Calcul de la Perte de Charge (\(\Delta H\))

\begin{aligned} \Delta H &= 0.0166 \cdot \frac{1200}{0.25} \cdot \frac{(3.06)^2}{2 \cdot 9.81} \\ &\approx 37.98 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Évolution des pertes de charge avec le diamètre

Réflexions

Le résultat (\(\Delta H \approx 38\) m) est très élevé, presque une fois et demie le dénivelé géométrique (25 m) ! Cela signifie que la pompe devra fournir une énergie considérable juste pour vaincre les frottements. On peut déjà pressentir que ce diamètre sera probablement trop petit et donc non économique.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la gestion des unités. Le débit doit être en m³/s, le diamètre et la rugosité en m. Une erreur fréquente est d'oublier de convertir la rugosité (donnée en mm) en mètres, ce qui fausse le calcul de \(\lambda\).

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez l'enchaînement logique : Diamètre \(\rightarrow\) Vitesse \(\rightarrow\) Reynolds \(\rightarrow\) Lambda \(\rightarrow\) Perte de Charge. La perte de charge est très sensible au diamètre (varie approximativement en \(1/D^5\)) et à la vitesse (varie en \(V^2\)).

Le saviez-vous ?

L'équation de Colebrook-White, qui donne \(\lambda\), n'a pas de solution analytique simple. Avant l'ère des calculateurs, les ingénieurs utilisaient un graphique complexe, le diagramme de Moody, pour trouver \(\lambda\) manuellement. Les formules explicites comme Swamee-Jain sont des approximations modernes qui simplifient grandement ce processus.

FAQ

Résultat Final

En répétant ce calcul pour tous les diamètres, on obtient le tableau de résultats suivant :

DN (mm)	D (m)	V (m/s)	Re	λ	ΔH (m)
250	0.25	3.06	7.62 x 10⁵	0.0166	38.0
300	0.30	2.12	6.34 x 10⁵	0.0161	13.0
350	0.35	1.56	5.44 x 10⁵	0.0158	5.8
400	0.40	1.19	4.76 x 10⁵	0.0155	2.9
450	0.45	0.94	4.23 x 10⁵	0.0153	1.5
500	0.50	0.76	3.81 x 10⁵	0.0151	0.9

A vous de jouer

Si le débit était de 200 L/s, quelle serait la perte de charge (\(\Delta H\)) pour le DN 350 ? (Réponse attendue à +/- 5%)

Question 2 : Coût annuel de pompage

Principe

Après avoir quantifié l'énergie perdue (pertes de charge), on calcule maintenant l'énergie totale que la pompe doit fournir pour vaincre à la fois le dénivelé et ces pertes. Cette énergie, consommée sur une année, est ensuite traduite en un coût financier, qui représente la part "exploitation" de notre analyse économique.

Mini-Cours

La Hauteur Manométrique Totale (HMT)Énergie totale que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre le dénivelé et compenser toutes les pertes de charge. est la somme de la hauteur géométrique \(H_g\) et des pertes de charge \(\Delta H\). C'est la pression, exprimée en mètres de colonne d'eau, que la pompe doit générer. La puissance absorbée par la pompe est proportionnelle à cette HMT et au débit. Le rendement \(\eta\) est crucial car il indique quelle part de l'énergie électrique est réellement transmise à l'eau ; le reste est perdu en chaleur et frottements dans la pompe.

Remarque Pédagogique

Cette étape fait le lien direct entre un calcul purement hydraulique (\(\Delta H\)) et une conséquence économique concrète (la facture d'électricité). Comprenez bien que chaque mètre de perte de charge se paie "cash" chaque année de fonctionnement. C'est le cœur de l'optimisation.

Normes

Le rendement des pompes est un enjeu majeur. Des normes comme l'ISO 9906 définissent des classes de rendement et des protocoles de test pour les pompes hydrauliques, assurant que les performances annoncées par les fabricants sont fiables et comparables.

Formule(s)

Formule de la Hauteur Manométrique Totale

H_{\text{MT}} = H_g + \Delta H

Formule de la Puissance Absorbée

P_a (\text{kW}) = \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{\text{MT}}}{1000 \cdot \eta}

Formule du Coût Annuel de Pompage

C_{\text{pompage}} = P_a \cdot t \cdot C_{\text{kWh}}

Hypothèses

On suppose que le rendement de la pompe (0.75) est constant pour toute la plage de fonctionnement, ce qui est une simplification. En réalité, le rendement varie avec le point de fonctionnement (débit, HMT).

Donnée(s)

On réutilise les pertes de charge \(\Delta H\) de la question 1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	0.150	m³/s
Hauteur géométrique	\(H_g\)	25	m
Rendement pompe	\(\eta\)	0.75	-
Temps de fonctionnement	\(t\)	3000	h/an
Coût énergie	\(C_{\text{kWh}}\)	0.18	€/kWh

Astuces

Pour un calcul rapide, la puissance absorbée en kW peut être approximée par la formule \(P_a \approx 13 \times Q \times H_{MT} / \eta\), où Q est en m³/s et HMT en m. Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan énergétique de la pompe

Calcul(s)

Exemple pour le DN 250 (\(D=0.25\) m), avec \(H_g = 25\) m et \(\Delta H = 38.0\) m.

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

\begin{aligned} H_{\text{MT}} &= H_g + \Delta H \\ &= 25 + 38.0 \\ &= 63.0 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la Puissance Absorbée (Pa)

\begin{aligned} P_a &= \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{\text{MT}}}{1000 \cdot \eta} \\ &= \frac{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.150 \cdot 63.0}{1000 \cdot 0.75} \\ &\approx 123.6 \text{ kW} \end{aligned}

Calcul du Coût Annuel de Pompage

\begin{aligned} C_{\text{pompage}} &= P_a \cdot t \cdot C_{\text{kWh}} \\ &= 123.6 \cdot 3000 \cdot 0.18 \\ &\approx 66744 \text{ €/an} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Décomposition de la Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Réflexions

On observe une chute spectaculaire du coût de pompage lorsque le diamètre augmente. Passer du DN 250 au DN 300 divise presque par deux la facture énergétique. Cela montre à quel point un sous-dimensionnement de la conduite peut avoir des conséquences financières désastreuses sur le long terme.

Points de vigilance

L'erreur classique est dans le calcul de la puissance : il faut diviser par 1000 pour passer des Watts (W) aux kilowatts (kW), car le coût de l'énergie est donné en €/kWh. Oublier cette conversion conduit à un coût 1000 fois trop élevé.

Points à retenir

Le coût de l'énergie est directement proportionnel à la Hauteur Manométrique Totale (HMT). Chaque mètre de HMT gagné (en réduisant les pertes de charge) se traduit par une économie directe et récurrente. C'est le levier principal pour réduire les coûts d'exploitation (OPEX).

Le saviez-vous ?

Le pompage de l'eau représente environ 4% de la consommation mondiale d'électricité. Optimiser le diamètre des conduites et le rendement des pompes à grande échelle est un enjeu environnemental et économique majeur pour la gestion durable des ressources en eau.

FAQ

Résultat Final

En répétant ce calcul pour chaque diamètre, on obtient les coûts de pompage :

DN (mm)	ΔH (m)	HMT (m)	P_a (kW)	Coût Pompage (€/an)
250	38.0	63.0	123.6	66 744
300	13.0	38.0	74.6	40 262
350	5.8	30.8	60.4	32 632
400	2.9	27.9	54.7	29 554
450	1.5	26.5	52.0	28 084
500	0.9	25.9	50.8	27 432

A vous de jouer

Pour le DN 400, si le coût de l'énergie grimpait à 0.25 €/kWh, quel serait le nouveau coût annuel de pompage ?

Question 3 : Coût annuel d'amortissement

Principe

On évalue le coût d'achat et d'installation de la conduite (l'investissement initial, ou CAPEX). Comme cet investissement sert pendant de nombreuses années, on ne compte pas toute la dépense la première année. On la "répartit" sur sa durée de vie à l'aide d'un taux d'amortissement pour obtenir un coût annuel équivalent.

Mini-Cours

L'amortissement est un concept financier qui représente la perte de valeur d'un bien (ici, la conduite) due à l'usure et au temps. En appliquant un taux annuel (ici 8%), on obtient une charge annuelle qui représente le coût de "possession" de l'équipement. Le coût d'investissement est souvent modélisé, comme ici, par une formule simple proportionnelle au diamètre et à la longueur.

Remarque Pédagogique

Contrairement au coût de pompage qui diminue avec le diamètre, le coût d'investissement augmente. Plus le tuyau est gros, plus il est cher. C'est ce coût croissant qui va venir "contrer" la baisse du coût énergétique et permettre de trouver un optimum.

Normes

Les taux d'amortissement des infrastructures publiques comme les réseaux d'eau sont souvent définis par des règles de comptabilité publique qui fixent des durées de vie standards pour chaque type d'ouvrage (ex: 25, 40, ou 50 ans).

Formule(s)

Formule du Coût d'Investissement

C_{\text{invest}} = (C_{\text{pipe par m}}) \times L = (500 \times D) \times L

Formule du Coût Annuel d'Amortissement

C_{\text{amort}} = C_{\text{invest}} \times a

Hypothèses

Le coût de la conduite est supposé être une fonction linéaire simple du diamètre (\(500 \times D\)). En réalité, la relation est plus complexe, mais cette approximation est souvent suffisante pour une analyse d'optimisation.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coût unitaire conduite	\(C_{\text{pipe}}\)	500 x D	€/m
Longueur	\(L\)	1200	m
Taux d'amortissement	\(a\)	0.08	-

Astuces

Puisque le coût est linéaire avec le diamètre, il est facile de calculer la valeur pour un diamètre et d'en déduire les autres par proportionnalité, ce qui peut accélérer les calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Modélisation du coût d'investissement

Calcul(s)

Exemple pour le DN 250 (\(D = 0.25\) m).

Calcul du Coût d'Investissement

\begin{aligned} C_{\text{invest}} &= (500 \times D) \times L \\ &= (500 \times 0.25) \times 1200 \\ &= 125 \times 1200 \\ &= 150000 \text{ €} \end{aligned}

Calcul du Coût Annuel d'Amortissement

\begin{aligned} C_{\text{amort}} &= C_{\text{invest}} \times a \\ &= 150000 \times 0.08 \\ &= 12000 \text{ €/an} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Évolution du coût d'amortissement avec le diamètre

Réflexions

Comme prévu, le coût d'amortissement augmente régulièrement avec le diamètre. Le coût pour un tuyau de DN 500 est le double de celui d'un DN 250. Cette augmentation constante va nous permettre de trouver un point d'équilibre avec le coût de pompage qui, lui, diminue.

Points de vigilance

Assurez-vous que le diamètre (D) utilisé dans la formule de coût est bien en mètres, et non en millimètres. Une erreur d'un facteur 1000 sur le diamètre entraînerait une erreur du même ordre sur le coût final.

Points à retenir

Le coût d'investissement (CAPEX) est la force "opposée" au coût d'exploitation (OPEX). L'un augmente avec le diamètre, l'autre diminue. La recherche du diamètre économique est l'arbitrage entre ces deux tendances.

Le saviez-vous ?

Pour les très grands diamètres (plusieurs mètres), les conduites ne sont plus préfabriquées mais souvent construites sur place, par exemple en béton coulé ou en sections d'acier soudées directement dans la tranchée. Leur coût ne suit plus une simple loi linéaire.

FAQ

Résultat Final

Les coûts d'amortissement pour chaque diamètre sont :

DN (mm)	Coût Invest. (€)	Coût Amort. (€/an)
250	150 000	12 000
300	180 000	14 400
350	210 000	16 800
400	240 000	19 200
450	270 000	21 600
500	300 000	24 000

A vous de jouer

Si le coût de l'acier augmentait et que la formule devenait \(C_{\text{pipe}} = 650 \times D\), quel serait le nouveau coût d'amortissement pour le DN 400 ?

Question 4 : Coût total et diamètre économique

Principe

C'est l'étape de la conclusion. On additionne les deux composantes de coût (exploitation et investissement) pour chaque diamètre. Le diamètre qui présente le coût total annuel le plus faible est, par définition, le plus économique : c'est le meilleur compromis technico-économique.

Mini-Cours

L'analyse du coût global (ou "Life Cycle Cost") est une méthode d'ingénierie économique qui vise à évaluer le coût total d'un actif tout au long de sa vie. Elle inclut non seulement le coût d'achat (CAPEX) mais aussi tous les coûts futurs : énergie, maintenance, démantèlement (OPEX). Dans notre cas, nous simplifions en ne considérant que l'énergie et l'amortissement, qui sont les deux postes les plus influents.

Remarque Pédagogique

Le simple fait de mettre les chiffres dans un tableau et d'additionner les deux colonnes de coûts est l'outil le plus puissant de cette analyse. Il rend la décision évidente : il suffit de chercher la valeur la plus basse dans la colonne "Coût Total".

Normes

Il n'y a pas de norme pour ce calcul, car c'est un principe universel d'optimisation économique. Cependant, les méthodologies d'analyse de coût global peuvent être standardisées, comme dans la série de normes ISO 15686.

Formule(s)

Formule du Coût Total Annuel

C_{\text{Total}} = C_{\text{Pompage}} + C_{\text{Amortissement}}

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que le diamètre optimal est celui qui minimise la somme de ces deux coûts. On suppose que les autres coûts (maintenance, etc.) sont soit négligeables, soit peu dépendants du diamètre choisi.

Donnée(s)

On compile les résultats des questions 2 et 3 dans un tableau unique.

Astuces

Quand vous remplissez la colonne "Coût Total", vous devriez voir les valeurs d'abord diminuer (car la réduction du coût de pompage domine) puis augmenter (car l'augmentation du coût d'investissement prend le dessus). Le minimum se trouve au "creux de la vague".

Schéma (Avant les calculs)

Principe de l'optimisation économique

Calcul(s)

On somme simplement les colonnes. Pour le DN 400 :

Calcul du Coût Total Annuel

\begin{aligned} C_{\text{Total}} &= C_{\text{Pompage}} + C_{\text{Amortissement}} \\ &= 29554 + 19200 \\ &= 48754 \text{ €/an} \end{aligned}

Réflexions

Le tableau et le graphique montrent très clairement le compromis. Le DN 350 est déjà très bon, mais une petite augmentation de l'investissement pour passer au DN 400 permet encore d'économiser sur l'énergie, menant au coût total le plus faible. Au-delà (DN 450), le surcoût d'investissement n'est plus compensé par les gains énergétiques, qui deviennent de plus en plus faibles.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien comparer des grandeurs homogènes : des coûts annuels avec des coûts annuels. Ne jamais additionner un coût d'investissement total avec un coût de fonctionnement annuel.

Points à retenir

Le diamètre économique est le résultat d'une recherche de minimum dans la courbe de coût total. Cette courbe a une forme caractéristique en "U" ou en "cuvette", provenant de la somme d'une courbe décroissante (OPEX) et d'une courbe croissante (CAPEX).

Le saviez-vous ?

Cette méthode d'optimisation par la recherche d'un minimum de coût total n'est pas limitée à l'hydraulique. Elle est utilisée dans de très nombreux domaines de l'ingénierie : choix de l'épaisseur d'un isolant, dimensionnement de câbles électriques, taille d'un échangeur de chaleur, etc.

FAQ

Résultat Final

Le coût annuel total est minimal pour un diamètre de DN 400 mm, avec un coût de 48 754 €/an. C'est donc le diamètre économique.

A vous de jouer

Avec les coûts déjà calculés, si le taux d'amortissement passait à 12% (\(a=0.12\)), quel serait le nouveau diamètre économique ? (Recalculez les coûts d'amortissement et le total)

Question 5 : Comparaison avec la Formule de Bresse

Principe

Les formules empiriques, comme celle de Bresse, sont des "raccourcis" d'ingénieur basés sur l'expérience. Elles permettent d'obtenir très rapidement un ordre de grandeur du diamètre économique. Cette étape vise à comparer la précision de ce raccourci avec notre calcul détaillé.

Mini-Cours

La formule de Bresse, \(D = K \sqrt{Q}\), a été établie au XIXe siècle en se basant sur les coûts de l'époque (conduites en fonte, pompes à vapeur...). Le coefficient K encapsule le ratio entre le coût de l'investissement et le coût de l'énergie. Comme ce ratio a beaucoup évolué avec la technologie et le prix de l'électricité, la formule est aujourd'hui plus un guide qu'une règle absolue.

Remarque Pédagogique

Considérez toujours ce type de formule comme une première estimation ou un outil de vérification. Si votre calcul détaillé donne un résultat très éloigné (ex: un facteur 3) de la formule de Bresse, cela vaut la peine de revérifier vos calculs. Mais ne remplacez jamais une analyse détaillée par une formule empirique pour un projet final.

Normes

Il n'y a pas de norme associée à cette formule, c'est une "règle de l'art" historique.

Formule(s)

Formule de Bresse

D_{\text{eco}} = K \sqrt{Q}

Hypothèses

La formule suppose que le ratio des coûts (investissement/énergie) du projet actuel est similaire à celui qui prévalait lors de l'établissement de la formule. Le coefficient K=1.5 est spécifiquement pour les conduites de refoulement (pompage).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	0.150	m³/s
Coefficient de Bresse	\(K\)	1.5	-

Astuces

Assurez-vous toujours que le débit \(Q\) est en m³/s avant de l'injecter dans la formule. Utiliser le débit en L/s est une erreur très fréquente qui donne un résultat absurde.

Schéma (Avant les calculs)

Application de la formule de Bresse

Calcul(s)

Calcul du Diamètre Économique selon Bresse

\begin{aligned} D_{\text{eco}} &= 1.5 \sqrt{Q} \\ &= 1.5 \sqrt{0.150} \\ &\approx 0.581 \text{ m} \\ &\Rightarrow 581 \text{ mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison : Calcul Détaillé vs. Formule de Bresse

Réflexions

La formule de Bresse donne un diamètre de 581 mm, ce qui est nettement supérieur à notre résultat de 400 mm. Cela s'explique car les formules empiriques sont basées sur des ratios de coûts (énergie/investissement) historiques. Dans notre cas, le coût de la conduite (proportionnel à D) est élevé par rapport au coût de l'énergie, ce qui favorise un diamètre plus petit que celui prédit par la formule. Notre calcul détaillé, basé sur les coûts réels du projet, est donc plus précis.

Points de vigilance

Ne jamais utiliser une formule empirique en dehors de son domaine de validité. La formule de Bresse est adaptée aux réseaux d'eau classiques, mais serait inappropriée pour des fluides très visqueux ou des contextes économiques très différents (par exemple, si l'électricité était quasiment gratuite).

Points à retenir

Les formules empiriques sont des outils d'avant-projet pour dégrossir un problème. La décision finale d'ingénierie doit toujours reposer sur un calcul technico-économique détaillé basé sur les coûts actualisés du projet.

Le saviez-vous ?

Il existe d'autres formules empiriques pour le diamètre économique, comme celle de Munier ou de Vibert, chacune avec des coefficients légèrement différents pour s'adapter à divers contextes (conduites gravitaires, durée de fonctionnement, etc.).

FAQ

Résultat Final

La formule de Bresse donne une première estimation (DN 600) mais le calcul détaillé basé sur les coûts spécifiques du projet (DN 400 mm) est plus fiable pour la décision finale.

A vous de jouer

Dans certains cas (fonctionnement très ponctuel), on utilise un coefficient K de 1.3. Quel serait le diamètre de Bresse avec ce coefficient ?

Outil Interactif : Simulateur du Diamètre Économique

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et le coût de l'énergie. Observez comment le diamètre économique et les coûts annuels évoluent. Cela montre l'importance de ces deux paramètres dans le dimensionnement.

Paramètres d'Entrée

Débit (L/s) 150 L/s

Coût de l'énergie (€/kWh) 0.18 €/kWh

Résultats Clés

Diamètre Économique -

Coût Annuel Minimal -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le coût de l'énergie augmente fortement, le diamètre économique optimal va :

Rester le même
Diminuer
Augmenter

2. La hauteur manométrique totale (HMT) est la somme :

De la hauteur d'aspiration et de la longueur de la conduite
Du dénivelé géométrique et de toutes les pertes de charge
De la pression de la pompe et du débit

3. A quoi servent principalement les formules empiriques comme celle de Bresse ?

À obtenir une première estimation rapide lors des phases d'avant-projet
À calculer précisément la puissance de la pompe
À remplacer systématiquement les calculs détaillés

Glossaire

Conduite de refoulement: Tuyauterie dans laquelle l'eau est transportée sous pression par une pompe, d'un point bas vers un point plus élevé.
Perte de charge: Perte d'énergie (et donc de pression) subie par un fluide en mouvement dans une conduite, due aux frottements sur les parois (pertes de charge linéaires) et aux accidents de parcours comme les coudes ou les vannes (pertes de charge singulières).
Hauteur Manométrique Totale (HMT): Énergie totale que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre le dénivelé et compenser toutes les pertes de charge du circuit. Elle s'exprime en mètres de colonne de fluide (mCE).
Formule de Bresse: Formule empirique permettant une estimation rapide du diamètre économique d'une conduite, basée principalement sur le débit à transporter. Elle est utile pour les études préliminaires.