ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination du Régime d’Écoulement

Détermination du Régime d'Écoulement (Nombre de Froude)

Détermination du Régime d'Écoulement (Nombre de Froude)

Comprendre le Nombre de Froude et les Régimes d'Écoulement

Le nombre de Froude (\(Fr\)) est un nombre sans dimension utilisé en hydraulique à surface libre pour caractériser le régime d'un écoulement. Il compare les forces d'inertie (liées à la vitesse du fluide) aux forces de gravité. La valeur du nombre de Froude permet de distinguer trois régimes fondamentaux :

  • \(Fr < 1\) : Écoulement subcritique (ou fluvial). Les ondes peuvent se propager vers l'amont ; l'écoulement est lent et profond.
  • \(Fr = 1\) : Écoulement critique. C'est l'état de transition.
  • \(Fr > 1\) : Écoulement supercritique (ou torrentiel). Les ondes ne peuvent pas remonter le courant ; l'écoulement est rapide et peu profond.
La connaissance du régime d'écoulement est primordiale pour la conception et l'analyse des canaux, des déversoirs et des rivières.

Données de l'étude

On observe un écoulement d'eau dans un canal en béton de section rectangulaire.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement :

  • Débit (\(Q\)) : \(15 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Largeur du canal (\(b\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur d'eau mesurée (\(y\)) : \(1.2 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Écoulement dans un Canal Rectangulaire
v b = 5.0 m y = 1.2 m

L'écoulement est-il rapide (torrentiel) ou lent (fluvial) ?

Questions à traiter

  1. Calculer la surface mouillée (\(A\)) et la largeur à la surface libre (\(B\)).
  2. Calculer la profondeur hydraulique (\(D_h\)).
  3. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\)).
  4. Calculer le nombre de Froude (\(Fr\)) et conclure sur le régime d'écoulement.

Correction : Détermination du Régime d'Écoulement

Question 1 : Calcul de la Surface Mouillée (\(A\)) et de la Largeur au Miroir (\(B\))

Principe :

Pour une section rectangulaire simple, la surface mouillée est le produit de la largeur du fond par la hauteur d'eau. La largeur à la surface libre (ou largeur au miroir) est simplement égale à la largeur du fond.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = b \cdot y \quad | \quad B = b \]
Calculs :
\[ \begin{aligned} A &= 5.0 \, \text{m} \times 1.2 \, \text{m} = 6.0 \, \text{m}^2 \\ B &= 5.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La surface mouillée est \(A = 6.0 \, \text{m}^2\) et la largeur au miroir est \(B = 5.0 \, \text{m}\).

Question 2 : Calcul de la Profondeur Hydraulique (\(D_h\))

Principe :

La profondeur hydraulique est un paramètre géométrique utilisé dans le calcul du nombre de Froude. Elle est définie comme le rapport de la surface mouillée sur la largeur à la surface libre. Pour un canal rectangulaire, elle est simplement égale à la hauteur d'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_h = \frac{A}{B} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} D_h &= \frac{6.0 \, \text{m}^2}{5.0 \, \text{m}} \\ &= 1.2 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La profondeur hydraulique est de \(1.2 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul de la Vitesse d'Écoulement (\(v\))

Principe :

La vitesse moyenne de l'écoulement se déduit directement de l'équation de continuité, en divisant le débit total par la surface mouillée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{Q}{A} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= \frac{15 \, \text{m}^3/\text{s}}{6.0 \, \text{m}^2} \\ &= 2.5 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse moyenne de l'écoulement est de \(2.5 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Calcul du Nombre de Froude (\(Fr\)) et Conclusion

Principe :

Le nombre de Froude est calculé en utilisant la vitesse, la gravité et la profondeur hydraulique. La valeur obtenue est ensuite comparée à 1 pour déterminer le régime de l'écoulement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Fr = \frac{v}{\sqrt{g D_h}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Fr &= \frac{2.5 \, \text{m/s}}{\sqrt{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.2 \, \text{m}}} \\ &= \frac{2.5}{\sqrt{11.772}} \\ &= \frac{2.5}{3.43} \approx 0.729 \end{aligned} \]

Puisque \(Fr \approx 0.729\), ce qui est inférieur à 1, l'écoulement est subcritique.

Résultat Question 4 : Le nombre de Froude est d'environ \(0.73\). L'écoulement est **subcritique (fluvial)**.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un écoulement avec un nombre de Froude de 1.5 est :

2. Pour un même débit, si la hauteur d'eau dans un canal rectangulaire diminue, la vitesse...

3. Dans un écoulement fluvial, une petite perturbation (comme jeter un caillou) peut-elle se propager vers l'amont ?

Glossaire

Nombre de Froude (\(Fr\))
Nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (liées à la vitesse) aux forces de gravité. Il est le critère principal pour classifier les régimes d'écoulement à surface libre.
Écoulement Subcritique (Fluvial)
Régime d'écoulement lent et profond, caractérisé par un nombre de Froude inférieur à 1. Les perturbations peuvent remonter le courant.
Écoulement Supercritique (Torrentiel)
Régime d'écoulement rapide et peu profond, caractérisé par un nombre de Froude supérieur à 1. Les perturbations sont emportées vers l'aval.
Profondeur Hydraulique (\(D_h\))
Paramètre de longueur caractéristique d'un écoulement à surface libre, défini par le rapport de la section mouillée à la largeur de la surface libre (\(A/B\)).
Régime d'Écoulement - Exercice d'Application

D’autres exercices d’hydraulique à surface libre:

Analyse d’une Courbe de Remous
Analyse d’une Courbe de Remous

Détermination de la Courbe de Remous en Amont d'un Barrage Détermination de la Courbe de Remous en Amont d'un Barrage Comprendre la Courbe de Remous Lorsqu'un obstacle, comme un barrage ou un seuil, est placé dans un canal, il provoque une élévation du niveau de l'eau...

Calcul du Débit sous une Vanne de Fond
Calcul du Débit sous une Vanne de Fond

Calcul du Débit sous une Vanne de Fond (Écoulement Dénoyé) Calcul du Débit sous une Vanne de Fond (Écoulement Dénoyé) Comprendre l'Écoulement sous une Vanne Les vannes de fond sont des dispositifs de régulation utilisés dans les canaux pour contrôler le niveau d'eau...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *