Détermination du Profil de Vitesse

Comprendre l'Écoulement Laminaire

L'écoulement laminaire, ou écoulement de Poiseuille, décrit le mouvement d'un fluide lorsque ses particules se déplacent en couches (ou "lamelles") parallèles, sans se mélanger. Ce type d'écoulement, typique des fluides visqueux ou des faibles vitesses, est fondamental en hydraulique. En raison du frottement interne du fluide (la viscositéRésistance d'un fluide à l'écoulement. Un fluide très visqueux (miel) s'écoule difficilement, contrairement à un fluide peu visqueux (eau).) et de l'adhérence aux parois fixes, la vitesse n'est pas uniforme à travers la section d'écoulement. Elle est nulle aux parois et maximale au centre, formant un profil de vitesseReprésentation graphique de la variation de la vitesse du fluide en fonction de la position dans la section d'écoulement. parabolique caractéristique. La détermination de ce profil est cruciale pour calculer le débit, les pertes de charge et les contraintes de cisaillement.

Remarque Pédagogique : Imaginez un jeu de cartes que vous poussez par le dessus. La carte du dessous reste fixe, tandis que les autres glissent les unes sur les autres, la carte du dessus allant le plus vite. C'est une excellente analogie de l'écoulement laminaire, où chaque "carte" est une couche de fluide et le "frottement" entre les cartes représente la viscosité.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement d'une huile hydraulique entre deux plaques parallèles fixes, suffisamment larges pour considérer l'écoulement comme bidimensionnel. Cet écoulement est généré par un gradient de pression.

Caractéristiques de l'écoulement :

Fluide : Huile hydraulique
Viscosité dynamiqueMesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement. Unité SI : Pascal-seconde (Pa·s). (\(\mu\)) : \(0.05 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
Distance entre les plaques (\(2h\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Gradient de pressionVariation de la pression par unité de longueur dans la direction de l'écoulement. C'est le "moteur" de l'écoulement. (\(\frac{\Delta P}{L}\)) : \(12,000 \, \text{Pa/m}\)

Schéma de l'Écoulement entre Plaques Parallèles

Questions à traiter

Déterminer l'équation du profil de vitesse \(u(y)\) entre les plaques.
Calculer la vitesse maximale du fluide (\(u_{max}\)).
Calculer la vitesse de l'huile à une distance de 3 mm de l'axe central (\(y = 3 \, \text{mm}\)).
Calculer la vitesse moyenne (\(u_{moy}\)) de l'écoulement.

Correction : Détermination du Profil de Vitesse en Écoulement Laminaire

Question 1 : Équation du Profil de Vitesse \(u(y)\)

Principe :

Le profil de vitesse dans un écoulement laminaire entre deux plaques fixes est obtenu en intégrant deux fois l'équation de Navier-Stokes simplifiée. Cela montre que l'équilibre entre les forces de pression (le gradient de pression) et les forces de frottement (liées à la viscosité) donne naissance à un profil de vitesse parabolique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La forme parabolique est la signature de l'écoulement laminaire dans une conduite. La vitesse est nulle aux parois (condition de non-glissement) et maximale au centre, là où l'influence du frottement des parois est la plus faible. Comprendre cette forme est essentiel pour la mécanique des fluides.

Formule(s) utilisée(s) :

u(y) = \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\Delta P}{L} \right) (h^2 - y^2)

Où \(h\) est la demi-distance entre les plaques et \(y\) est la distance par rapport à l'axe central.

Données(s) et Conversion :

Distance entre les plaques (\(2h\)) : \(10 \, \text{mm} \Rightarrow h = 5 \, \text{mm} = 0.005 \, \text{m}\)
Viscosité (\(\mu\)) : \(0.05 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
Gradient de pression (\(\frac{\Delta P}{L}\)) : \(12,000 \, \text{Pa/m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} u(y) &= \frac{1}{2 \times 0.05} \left( 12000 \right) ((0.005)^2 - y^2) \\ &= \frac{1}{0.1} \times 12000 \times (0.000025 - y^2) \\ &= 120,000 \times (0.000025 - y^2) \end{aligned}

Résultat Question 1 : L'équation du profil de vitesse est \(u(y) = 120,000 (0.000025 - y^2)\), avec \(u\) en m/s et \(y\) en m.

Question 2 : Vitesse Maximale (\(u_{max}\))

Principe :

Le profil de vitesse étant une parabole tournée vers le bas, la vitesse maximale est atteinte au sommet, c'est-à-dire sur l'axe central de l'écoulement où \(y=0\). Il suffit de remplacer \(y\) par 0 dans l'équation du profil de vitesse.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La vitesse maximale est directement proportionnelle au gradient de pression (la force motrice) et au carré de la distance entre les plaques, mais inversement proportionnelle à la viscosité (la force de freinage). C'est logique : plus on pousse fort ou plus l'espace est grand, plus ça va vite ; plus le fluide est "collant", plus ça ralentit.

Formule(s) utilisée(s) :

u_{max} = u(y=0) = \frac{h^2}{2\mu} \left( \frac{\Delta P}{L} \right)

Calcul(s) :

\begin{aligned} u_{max} &= 120,000 \times (0.000025 - 0^2) \\ &= 120,000 \times 0.000025 \\ &= 3 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La vitesse maximale au centre de l'écoulement est \(u_{max} = 3 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Vitesse à \(y = 3 \, \text{mm}\)

Principe :

Pour trouver la vitesse en un point précis de l'écoulement, il suffit d'utiliser l'équation du profil de vitesse \(u(y)\) déterminée à la première question et d'y insérer la valeur de \(y\) souhaitée, en veillant à la convertir en mètres.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul montre concrètement comment la vitesse diminue à mesure que l'on s'éloigne du centre pour se rapprocher des parois. La différence entre \(u_{max}\) et \(u(y)\) est due au gradient de vitesseTaux de variation de la vitesse par rapport à la distance perpendiculaire à l'écoulement (du/dy). Il est maximal près des parois et nul au centre. et au cisaillement interne du fluide.

Données(s) et Conversion :

Position (\(y\)) : \(3 \, \text{mm} = 0.003 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} u(0.003) &= 120,000 \times (0.000025 - (0.003)^2) \\ &= 120,000 \times (0.000025 - 0.000009) \\ &= 120,000 \times 0.000016 \\ &= 1.92 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 3 : À une distance de 3 mm de l'axe, la vitesse de l'huile est de \(u(3\,\text{mm}) = 1.92 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Vitesse Moyenne (\(u_{moy}\))

Principe :

La vitesse moyenne n'est pas simplement la moyenne entre la vitesse nulle et la vitesse maximale. Pour un profil parabolique entre deux plaques, on peut démontrer par intégration que la vitesse moyenne est exactement égale aux deux tiers de la vitesse maximale. C'est cette vitesse moyenne qui serait utilisée pour calculer le débit (\(Q = A \cdot u_{moy}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le rapport \(u_{moy}/u_{max}\) est une caractéristique de la forme du profil de vitesse. Pour un écoulement laminaire dans un tuyau cylindrique, ce rapport est de 1/2. Pour un écoulement turbulent, le profil est plus "aplati" et le rapport est plus proche de 1 (typiquement autour de 0.8-0.85).

Formule(s) utilisée(s) :

u_{moy} = \frac{2}{3} u_{max}

Calcul(s) :

\begin{aligned} u_{moy} &= \frac{2}{3} \times 3 \, \text{m/s} \\ &= 2 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La vitesse moyenne de l'écoulement est \(u_{moy} = 2 \, \text{m/s}\).

Test de Compréhension : Si vous calculez le débit \(Q\) dans ce canal (de largeur \(W\)), quelle vitesse devez-vous utiliser ?

La vitesse maximale (\(u_{max}\)).
La vitesse à mi-hauteur (\(u(y=h/2)\)).
La vitesse moyenne (\(u_{moy}\)).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée	Unité
Vitesse maximale (\(u_{max}\))	Cliquez pour révéler	m/s
Vitesse à y=3mm	Cliquez pour révéler	m/s
Vitesse moyenne (\(u_{moy}\))	Cliquez pour révéler	m/s

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On utilise maintenant une huile plus visqueuse (\(\mu = 0.08 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)). Pour obtenir la même vitesse maximale (\(u_{max} = 3 \, \text{m/s}\)), quel nouveau gradient de pression (\(\Delta P/L\)) faut-il appliquer (en Pa/m) ?

\(\Delta P/L\) (en Pa/m) =

Pièges à Éviter

Le facteur 2 sur la distance : Ne pas confondre la distance totale entre les plaques (\(2h\)) et la demi-distance (\(h\)) utilisée dans les formules. Ici \(2h = 10\) mm, donc \(h = 5\) mm.

Unités du gradient de pression : Assurez-vous que le gradient de pression est bien en Pascals par mètre (Pa/m) pour être cohérent avec les autres unités SI.

Vitesse moyenne vs maximale : Ne jamais utiliser la vitesse maximale pour calculer le débit. C'est la vitesse moyenne qui représente le flux global.

Simulation Interactive du Profil de Vitesse

Variez les paramètres de l'écoulement pour observer l'évolution du profil de vitesse parabolique.

Paramètres de Simulation

Gradient de Pression (\(\Delta P/L\)): 12000 Pa/m

Viscosité (\(\mu\)): 0.05 Pa·s

Profil de Vitesse

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Écoulement dans un tuyau (Poiseuille) : Le cas le plus courant est l'écoulement dans un tuyau cylindrique. Le profil de vitesse est aussi parabolique, mais la vitesse moyenne est alors égale à la moitié de la vitesse maximale (\(u_{moy} = 0.5 \cdot u_{max}\)).

2. Contrainte de cisaillement : La contrainte de cisaillement (\(\tau\)) n'est pas uniforme. Elle est nulle au centre (\(y=0\)) et maximale aux parois (\(y=\pm h\)). Elle peut être calculée en dérivant le profil de vitesse : \(\tau(y) = \mu \frac{du}{dy}\).

3. Nombre de Reynolds : Comment savoir si l'écoulement est laminaire ? On calcule le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement. Un Re faible indique un écoulement laminaire, un Re élevé indique un écoulement turbulent. (\(Re = \frac{\rho v D_h}{\mu}\)). Pour un écoulement entre plaques, si \(Re < 2300\), l'écoulement est généralement considéré comme laminaire.

Le Saviez-Vous ?

Le ketchup est un fluide "non-newtonien" : sa viscosité diminue quand on l'agite. C'est pourquoi il est si difficile à faire sortir de la bouteille au début, mais coule très facilement une fois qu'on l'a secoué. Son profil de vitesse n'est pas parfaitement parabolique et change avec la contrainte appliquée.

Foire Aux Questions (FAQ)

Cette formule est-elle valable pour un écoulement turbulent ?

Non, absolument pas. En régime turbulent, les particules de fluide ont des mouvements chaotiques et se mélangent intensément. Le profil de vitesse est beaucoup plus "plat" au centre et la chute de vitesse est très brutale près des parois. Les équations sont beaucoup plus complexes et reposent souvent sur des modèles empiriques.

Que se passe-t-il si une des plaques bouge ?

C'est ce qu'on appelle un écoulement de Couette. Le profil de vitesse n'est plus symétrique. Il résulte de la superposition du profil parabolique dû à la pression et d'un profil linéaire dû au mouvement de la plaque. La vitesse n'est plus nulle à la paroi mobile.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. En écoulement laminaire entre plaques, où la contrainte de cisaillement est-elle maximale ?

Au centre de l'écoulement.
Partout, elle est constante.
Au contact des plaques fixes.

2. Si on divise par deux la viscosité du fluide (tout le reste étant égal), la vitesse maximale va...

...doubler.
...être divisée par deux.
...quadrupler.

Glossaire

Écoulement laminaire: Régime d'écoulement où le fluide se déplace en couches lisses et parallèles, sans turbulence. Typique des faibles vitesses ou des fluides très visqueux.
Profil de vitesse: Représentation graphique de la variation de la vitesse du fluide en fonction de la position dans la section d'écoulement.
Viscosité dynamique (\(\mu\)): Mesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement. Unité SI : Pascal-seconde (Pa·s).
Gradient de pression (\(\Delta P/L\)): Variation de la pression par unité de longueur dans la direction de l'écoulement. C'est le "moteur" de l'écoulement.
Nombre de Reynolds (Re): Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement. Un Re faible indique un écoulement laminaire, un Re élevé indique un écoulement turbulent.