ÉTUDE HYDRAULIQUE

Point de Fonctionnement d’une Pompe

Détermination du Point de Fonctionnement d'une Pompe

Détermination du Point de Fonctionnement d'une Pompe

Comprendre le Point de Fonctionnement

Le choix d'une pompe pour un réseau hydraulique ne se fait pas au hasard. Il faut s'assurer que la pompe est capable de fournir la hauteur d'énergie (HMT) nécessaire pour vaincre les forces de résistance du réseau et transporter le débit souhaité. Le **point de fonctionnement** est le point d'équilibre unique où la hauteur fournie par la pompe est exactement égale à la hauteur requise par le réseau pour un débit donné. Graphiquement, il correspond à l'intersection de deux courbes : la **courbe caractéristique de la pompe** (fournie par le fabricant) et la **courbe du réseau** (calculée à partir des caractéristiques de l'installation). Trouver ce point est essentiel pour garantir que l'installation fonctionnera comme prévu.

Données de l'étude

On souhaite installer une pompe pour transférer de l'eau d'un réservoir bas vers un réservoir haut, à travers une conduite en béton.

Caractéristiques du réseau et de la pompe :

  • Altitude du niveau d'eau dans le réservoir d'aspiration : \(z_1 = 10 \, \text{m}\)
  • Altitude du niveau d'eau dans le réservoir de refoulement : \(z_2 = 30 \, \text{m}\)
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(500 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la conduite (\(D\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Courbe de la pompe (HMT en m, Q en m³/s) : \(H_{\text{pompe}} = 40 - 150 Q^2\)
  • Pour simplifier, on utilisera un coefficient de perte de charge linéaire constant : \(f = 0.02\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Système Pompe-Réseau
Point 1 Point 2 Pompe z1=10m z2=30m

La pompe fournit l'énergie pour vaincre la hauteur géométrique et les pertes de charge.

Questions à traiter

  1. Déterminer la hauteur géométrique totale (\(H_{\text{géo}}\)) que la pompe doit vaincre.
  2. Établir l'équation de la courbe du réseau, \(H_{\text{réseau}} = f(Q)\).
  3. Calculer le débit (\(Q\)) et la hauteur (\(H\)) au point de fonctionnement.

Correction : Détermination du Point de Fonctionnement d'une Pompe

Question 1 : Calcul de la Hauteur Géométrique (\(H_{\text{géo}}\))

Principe :

La hauteur géométrique (ou hauteur statique) est la différence d'altitude verticale nette que le fluide doit franchir. Elle correspond simplement à la différence de niveau entre la surface libre du réservoir de refoulement (arrivée) et celle du réservoir d'aspiration (départ).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{géo}} = z_2 - z_1 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} H_{\text{géo}} &= 30 \, \text{m} - 10 \, \text{m} \\ &= 20 \, \text{m} \end{aligned} \]

C'est la hauteur minimale que la pompe doit fournir, même à débit nul, juste pour que l'eau atteigne le niveau du second réservoir.

Résultat Question 1 : La hauteur géométrique totale est de \(20 \, \text{m}\).

Question 2 : Équation de la Courbe du Réseau

Principe :

La courbe du réseau représente la hauteur totale que la pompe doit fournir pour un débit Q donné. Cette hauteur est la somme de la hauteur géométrique (constante) et des pertes de charge (qui augmentent avec le débit). La perte de charge se calcule avec la formule de Darcy-Weisbach.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + \Delta H = H_{\text{géo}} + f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]

Comme \(v = Q/A\), on peut exprimer les pertes de charge en fonction de \(Q^2\).

Calcul :

A. Calcul du coefficient de perte de charge en fonction de Q² :

\[ \begin{aligned} A &= \pi \frac{D^2}{4} = \pi \frac{(0.2 \, \text{m})^2}{4} \approx 0.0314 \, \text{m}^2 \\ \Delta H &= f \frac{L}{D} \frac{1}{2gA^2} Q^2 \\ &= 0.02 \times \frac{500}{0.2} \times \frac{1}{2 \times 9.81 \times (0.0314)^2} Q^2 \\ &= 50 \times \frac{1}{0.0193} Q^2 \\ &\approx 2590.7 \, Q^2 \end{aligned} \]

B. Équation finale de la courbe du réseau :

\[ H_{\text{réseau}}(Q) = 20 + 2590.7 \, Q^2 \]
Résultat Question 2 : L'équation de la courbe du réseau est \(H_{\text{réseau}} = 20 + 2590.7 \, Q^2\).

Question 3 : Calcul du Point de Fonctionnement (\(Q, H\))

Principe :

Le point de fonctionnement est atteint lorsque l'énergie fournie par la pompe est égale à l'énergie requise par le réseau. On trouve donc ce point en égalant les deux équations de courbe : \(H_{\text{pompe}}(Q) = H_{\text{réseau}}(Q)\).

Calcul :

A. Égalisation des équations :

\[ \begin{aligned} 40 - 150 Q^2 &= 20 + 2590.7 \, Q^2 \\ 40 - 20 &= 2590.7 \, Q^2 + 150 Q^2 \\ 20 &= (2590.7 + 150) Q^2 \\ 20 &= 2740.7 \, Q^2 \end{aligned} \]

B. Calcul du débit de fonctionnement (\(Q\)) :

\[ \begin{aligned} Q^2 &= \frac{20}{2740.7} \approx 0.007297 \\ Q &= \sqrt{0.007297} \approx 0.0854 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

En m³/h : \(Q \approx 0.0854 \times 3600 \approx 307.5 \, \text{m}^3/\text{h}\).

C. Calcul de la hauteur de fonctionnement (\(H\)) :

On remplace Q dans l'une des deux équations (celle de la pompe est plus simple).

\[ \begin{aligned} H &= 40 - 150 \times (0.0854)^2 \\ &= 40 - 150 \times 0.007297 \\ &= 40 - 1.09 \\ &\approx 38.91 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le point de fonctionnement est atteint pour un débit de \(Q \approx 0.0854 \, \text{m}^3/\text{s}\) (\(307.5 \, \text{m}^3/\text{h}\)) et une HMT de \(H \approx 38.91 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La courbe du réseau représente :

2. Si on installe une pompe plus puissante (qui fournit une HMT plus élevée pour un même débit), le point de fonctionnement...

3. Fermer partiellement une vanne sur la conduite a pour effet de :

Glossaire

Point de Fonctionnement
Point d'équilibre d'un système pompe-réseau, défini par le débit (Q) et la hauteur (H) pour lesquels la HMT fournie par la pompe est égale à la hauteur requise par le réseau.
Courbe Caractéristique (Pompe)
Courbe fournie par le constructeur qui représente la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe peut fournir en fonction du débit qui la traverse.
Courbe du Réseau
Courbe représentant la hauteur d'énergie totale nécessaire pour faire circuler un débit donné dans un réseau de conduites. C'est la somme de la hauteur géométrique et des pertes de charge.
Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale transmise par la pompe au fluide par unité de poids, exprimée en mètres de colonne de fluide.
Hauteur Géométrique (\(H_{\text{géo}}\))
Différence d'altitude statique entre le point d'arrivée et le point de départ du fluide. C'est la hauteur à vaincre même sans écoulement.
Point de Fonctionnement - Exercice d'Application

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