ÉTUDE HYDRAULIQUE

Point de Fonctionnement d’une Pompe

Exercice : Point de Fonctionnement d’une Pompe

Point de Fonctionnement d’une Pompe

Contexte : Le point de fonctionnementLe point de fonctionnement d'un système pompe-réseau est le débit auquel la hauteur manométrique fournie par la pompe est exactement égale à la hauteur requise par le réseau. C'est l'équilibre naturel du système. d'une pompe.

En ingénierie hydraulique, l'un des défis majeurs est de sélectionner la pompe adéquate pour un réseau de canalisations donné. Une pompe trop puissante gaspille de l'énergie, tandis qu'une pompe sous-dimensionnée ne fournira pas le débit requis. Cet exercice a pour but de déterminer le débit et la pression réels qu'une pompe centrifuge fournira lorsqu'elle est connectée à un circuit spécifique. Ce point d'équilibre, appelé point de fonctionnement, est crucial pour la conception et l'optimisation des systèmes de transport de fluides.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser mathématiquement les performances d'une pompe et d'un réseau, puis à trouver leur point d'intersection. C'est une compétence fondamentale pour tout ingénieur ou technicien travaillant avec des systèmes de fluides, garantissant un fonctionnement efficace et sécuritaire.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et modéliser la courbe caractéristique d'une pompe (\(HMT\)).
  • Savoir calculer la courbe de charge d'un réseau hydraulique en tenant compte des pertes de charge.
  • Déterminer le point de fonctionnement (débit \(Q\) et hauteur \(H\)) par résolution graphique et analytique.

Données de l'étude

On souhaite transférer de l'eau d'un réservoir inférieur (A) vers un réservoir supérieur (B) à l'aide d'une pompe centrifuge et d'une conduite en acier. L'objectif est de trouver le débit réel de l'installation.

Schéma de l'installation
A ZA B ZB P ΔZ = Hgéo
Caractéristique Symbole Valeur
Hauteur géométrique (dénivelé) \(H_{\text{géo}} = Z_B - Z_A\) \(15 \text{ m}\)
Longueur de la conduite \(L\) \(200 \text{ m}\)
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) \(100 \text{ mm}\)
Coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) \(0.02\) (valeur initiale/supposée)
Somme des coefficients de pertes singulières \(\Sigma K\) \(2.1\)
Courbe de la pompe (HMT en m, Q en m³/s) \(HMT(Q)\) \(20 - 250 Q^2\)

Questions à traiter

  1. Établir l'expression littérale de la hauteur manométrique requise par le réseau, \(H_{\text{réseau}}\), en fonction du débit \(Q\).
  2. Calculer la valeur numérique du coefficient de pertes de charge quadratique du réseau, noté \(A_{\text{réseau}}\), par une méthode itérative.
  3. Donner l'équation numérique finale de la courbe caractéristique du réseau : \(H_{\text{réseau}}(Q)\).
  4. Poser l'équation permettant de trouver le débit de fonctionnement \(Q_f\).
  5. Calculer le débit de fonctionnement \(Q_f\) (en m³/s et L/s) et la hauteur manométrique correspondante \(H_f\) (en m).

Les bases sur l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés doivent être maîtrisés : la performance de la pompe et la demande du réseau.

1. Courbe Caractéristique de la Pompe (\(HMT\))
Chaque pompe possède une courbe de performance unique, fournie par le fabricant. Elle décrit la hauteur manométrique totale (pression) que la pompe peut fournir en fonction du débit qui la traverse. Généralement, plus le débit augmente, plus la hauteur fournie diminue. Cette relation est souvent modélisée par une équation polynomiale, typiquement du second degré : \[ HMT(Q) = H_0 - A_{\text{pompe}} \cdot Q^2 \] Où \(H_0\) est la hauteur à débit nul (hauteur d'arrêt).

2. Courbe Caractéristique du Réseau (\(H_{\text{réseau}}\))
Cette courbe représente la "demande" du circuit : c'est la hauteur (l'énergie) nécessaire pour faire circuler un certain débit. Elle se compose de deux parties : la hauteur statique (ou géométrique), et les pertes de charge dynamiques (dues au frottement). L'équation générale, basée sur le théorème de Bernoulli, est : \[ H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + J_{\text{totales}}(Q) \] Où \(H_{\text{géo}}\) est la différence d'altitude, et \(J_{\text{totales}}\) sont les pertes de charge totales (linéaires et singulières), qui sont proportionnelles au carré du débit (\(J \propto Q^2\)).

Correction : Point de Fonctionnement d’une Pompe

Question 1 : Expression littérale de \(H_{\text{réseau}}(Q)\)

Principe

La hauteur que la pompe doit fournir (\(H_{\text{réseau}}\)) sert à vaincre deux obstacles : la différence de niveau statique entre les bassins (\(H_{\text{géo}}\)) et les frottements du fluide dans la tuyauterie (pertes de charge \(J_{\text{totales}}\)). On additionne ces deux composantes, car l'énergie fournie doit compenser à la fois l'élévation et les pertes.

Mini-Cours

L'équation de Bernoulli généralisée entre les surfaces libres des deux réservoirs (points A et B) est la base de ce calcul. Elle stipule que l'énergie ajoutée par la pompe (\(HMT\)) est égale à la variation d'énergie potentielle (\(g \Delta Z\)) plus les pertes d'énergie par frottement (\(g J_{\text{totales}}\)). En divisant par \(g\), on obtient la relation en termes de hauteur : \(H_{\text{réseau}} = \Delta Z + J_{\text{totales}}\).

Remarque Pédagogique

Pensez au réseau comme un "adversaire" de la pompe. Il impose une "résistance" qui a une partie fixe (monter l'eau, \(H_{\text{géo}}\)) et une partie qui augmente très vite avec la vitesse (les frottements, \(J_{\text{totales}}\)). Cette question consiste à écrire la "loi" de cette résistance.

Normes

Les principes de la mécanique des fluides utilisés ici sont universels. Le calcul des pertes de charge se base sur l'équation de Darcy-Weisbach, une formule fondamentale et reconnue internationalement dans toutes les normes de dimensionnement de tuyauteries.

Formule(s)

Hauteur requise par le réseau :

\[ H_{\text{réseau}} = H_{\text{géo}} + J_{\text{totales}} \]

Pertes de charge totales :

\[ J_{\text{totales}} = \left( \lambda \frac{L}{D} + \Sigma K \right) \frac{V^2}{2g} \]

Relation vitesse-débit :

\[ V = \frac{Q}{S} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]
Hypothèses

Pour établir cette formule, nous supposons plusieurs choses :

  • Le fluide (eau) est incompressible.
  • L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
  • Les surfaces des réservoirs sont assez grandes pour que la vitesse y soit considérée comme nulle.
  • La pression à la surface des deux réservoirs est la pression atmosphérique (elle s'annule donc).
Donnée(s)

Pour cette question, nous n'utilisons que les variables littérales : \(H_{\text{géo}}\), \(\lambda\), \(L\), \(D\), \(\Sigma K\), \(g\), et \(Q\).

Astuces

Regroupez dès le début tous les termes constants qui seront multipliés par \(Q^2\). Cela permet de voir immédiatement la structure de l'équation finale : \(H = C_1 + C_2 \cdot Q^2\), une parabole.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la Hauteur Réseau
Débit QHauteur HHréseau(Q)HgéoJtotales
Calcul(s)

Substitution de la vitesse \(V\) en fonction du débit \(Q\) :

\[ \begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{1}{2g} \left( \frac{4Q}{\pi D^2} \right)^2 \\ &= \frac{16Q^2}{2g \pi^2 D^4} \\ &= \frac{8Q^2}{g \pi^2 D^4} \end{aligned} \]

Injection dans l'équation de la hauteur réseau :

\[ H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + \left( \lambda \frac{L}{D} + \Sigma K \right) \frac{8Q^2}{g \pi^2 D^4} \]
Schéma (Après les calculs)
Composantes de la Hauteur Réseau
Débit QHauteur HHréseau(Q)HgéoJtotales
Réflexions

L'équation finale montre clairement que la "difficulté" pour le fluide à traverser le réseau augmente quadratiquement avec le débit. Doubler le débit ne demande pas de doubler l'énergie pour les frottements, mais de la quadrupler ! C'est pourquoi les pertes de charge deviennent si importantes à haute vitesse.

Points de vigilance

Ne pas confondre la hauteur requise par le réseau (\(H_{\text{réseau}}\)) avec la hauteur fournie par la pompe (\(HMT\)). Ce sont deux concepts distincts dont l'égalité ne se produit qu'au point de fonctionnement. Une autre erreur est d'oublier le terme statique \(H_{\text{géo}}\) s'il n'est pas nul.

Points à retenir

La courbe caractéristique d'un réseau hydraulique est toujours de la forme : \(H_{\text{réseau}} = (\text{Hauteur Statique}) + (\text{Coefficient de pertes}) \times Q^2\). C'est la somme d'une constante et d'un terme quadratique.

Le saviez-vous ?

L'ingénieur et physicien irlandais Osborne Reynolds, à la fin du 19ème siècle, a été le premier à démontrer expérimentalement la transition entre l'écoulement laminaire (ordonné, faibles pertes) et turbulent (chaotique, fortes pertes). La plupart des écoulements dans les réseaux industriels sont turbulents, ce qui justifie l'utilisation de la loi de Darcy-Weisbach.

FAQ
Pourquoi les pertes de charge sont-elles proportionnelles au carré de la vitesse (et donc du débit) ?

Cela vient du terme d'énergie cinétique (\(V^2/2g\)) dans l'équation de Bernoulli. Les pertes par frottement sont une fraction de cette énergie cinétique. Dans un écoulement turbulent, cette dissipation d'énergie due aux tourbillons et au chaos est particulièrement forte et suit cette loi quadratique.

Résultat Final
L'expression littérale de la courbe du réseau est : \(H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + \left[ \left( \lambda \frac{L}{D} + \Sigma K \right) \frac{8}{g \pi^2 D^4} \right] \cdot Q^2\).
A vous de jouer

Si on doublait le diamètre \(D\) de la conduite, par quel facteur le terme multiplicatif de \(Q^2\) (les pertes de charge) serait-il divisé ?

Indice : le diamètre est à la puissance 4 (terme \(D^4\)) et à la puissance 1 (terme \(L/D\)).

Question 2 : Calcul de \(A_{\text{réseau}}\) par itérations

Principe

Le coefficient \(\lambda\) n'est pas vraiment constant. Il dépend du régime d'écoulement (nombre de Reynolds), qui lui-même dépend de la vitesse du fluide, donc du débit \(Q\). Comme nous cherchons justement ce débit, nous sommes face à un problème circulaire. La méthode itérative consiste à : 1) Supposer une valeur de \(\lambda\). 2) Calculer le débit \(Q\) qui en résulte. 3) Avec ce débit, calculer une nouvelle valeur de \(\lambda\). 4) Recommencer jusqu'à ce que la valeur de \(\lambda\) ne change presque plus.

Mini-Cours

Pour calculer le nouveau \(\lambda\), nous avons besoin du nombre de Reynolds (\(Re = \frac{VD}{\nu}\)), qui caractérise le type d'écoulement, et de la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite. Ces deux valeurs sont utilisées dans des formules complexes comme celle de Colebrook-White (implicite) ou des approximations explicites comme la formule de Swamee-Jain, très pratique pour les calculs manuels.

Remarque Pédagogique

Cette méthode peut sembler complexe, mais elle reflète la réalité physique : le débit influence les frottements, qui en retour influencent le débit. Le système cherche naturellement un point d'équilibre. Heureusement, ce processus converge très rapidement, souvent en seulement une ou deux itérations.

Normes

La méthode de calcul du coefficient de frottement \(\lambda\) est standardisée. L'utilisation du diagramme de Moody ou de la formule de Colebrook (ou ses approximations comme Swamee-Jain) est une pratique d'ingénierie courante et exigée par de nombreuses normes de conception de réseaux de tuyauterie.

Formule(s)

Nombre de Reynolds :

\[Re = \frac{4Q}{\pi D \nu}\]

Formule de Swamee-Jain (pour l'écoulement turbulent) :

\[\lambda = \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{\epsilon}{3.7D} + \frac{5.74}{Re^{0.9}}\right) \right]^2}\]
Hypothèses

On suppose que le régime d'écoulement est turbulent, ce qui est presque toujours le cas dans les installations de pompage industrielles. La formule de Swamee-Jain n'est valide que pour \(Re > 4000\).

Donnée(s)

Nous ajoutons aux données initiales les propriétés du fluide (eau à 15°C) et de la conduite (acier).

ParamètreSymboleValeurUnité
Viscosité cinématique de l'eau\(\nu\)\(1.14 \times 10^{-6}\)\(\text{m}^2/\text{s}\)
Rugosité absolue de l'acier\(\epsilon\)\(4.5 \times 10^{-5}\)\(\text{m}\)
Hypothèse initiale pour lambda\(\lambda_0\)\(0.02\)-
Astuces

Pour la première estimation du débit, ne vous compliquez pas. Utilisez simplement la valeur de \(\lambda\) fournie dans l'énoncé. L'itération corrigera rapidement cette première approximation. Vous verrez que même avec un point de départ assez éloigné, la solution converge vite.

Schéma (Avant les calculs)
Boucle Itérative de Calcul
1. Supposer λ₀2. Calculer Q₀3. Calculer Re₀4. Calculer λ₁λ₁ ≈ λ₀ ?
Calcul(s)

Itération 1

1. On part de \(\lambda_0 = 0.02\). On a déjà calculé que cela donne \(A_{\text{réseau},0} \approx 34791\) et un débit \(Q_0 \approx 0.01195 \text{ m}^3/\text{s}\).

2. On calcule la vitesse et le nombre de Reynolds correspondants :

\[ V_0 = \frac{4 Q_0}{\pi D^2} = \frac{4 \times 0.01195}{\pi \times (0.1)^2} \approx 1.52 \text{ m/s} \]
\[ Re_0 = \frac{V_0 D}{\nu} = \frac{1.52 \times 0.1}{1.14 \times 10^{-6}} \approx 133421 \]

3. On calcule une nouvelle valeur \(\lambda_1\) avec la formule de Swamee-Jain :

\[\begin{aligned} \lambda_1 &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(\frac{4.5 \times 10^{-5}}{3.7 \times 0.1} + \frac{5.74}{133421^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(0.0001216 + 0.0001388\right) \right]^2} \\ &= \frac{0.25}{(-3.584)^2} \approx 0.01946 \end{aligned} \]

Itération 2

1. On repart avec \(\lambda_1 = 0.01946\). On calcule le nouveau \(A_{\text{réseau},1}\) :

\[\begin{aligned} A_{\text{réseau},1} &= \left( 0.01946 \frac{200}{0.1} + 2.1 \right) \frac{8}{9.81 \pi^2 (0.1)^4} \\ &= (38.92 + 2.1) \times 826.4 \approx 33900 \end{aligned}\]

2. On recalcule le débit \(Q_1\) :

\[ Q_1 = \sqrt{\frac{20-15}{33900+250}} \approx 0.01210 \text{ m}^3/\text{s} \]

3. On recalcule \(V_1\), \(Re_1\) et enfin \(\lambda_2\) :

\[ V_1 \approx 1.54 \text{ m/s} \quad \Rightarrow \quad Re_1 \approx 135175 \]
\[\begin{aligned} \lambda_2 &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10}\left(0.0001216 + \frac{5.74}{135175^{0.9}}\right) \right]^2} \\ &\approx 0.01943 \end{aligned}\]

Les valeurs de \(\lambda_1\) (0.01946) et \(\lambda_2\) (0.01943) sont très proches (moins de 0.2% d'écart). La convergence est atteinte. Nous adoptons \(\lambda = 0.0194\).

Schéma (Après les calculs)
Convergence de Lambda
ItérationValeur de λλ₀=0.0200λ₁=0.01946λ₂=0.01943Convergence
Réflexions

L'itération nous a permis de passer d'une estimation (\(\lambda=0.02\)) à une valeur calculée plus précise (\(\lambda=0.0194\)) qui tient compte des conditions réelles de l'écoulement. Bien que la différence soit faible dans ce cas (environ 3%), elle peut être significative dans d'autres configurations, notamment avec des fluides plus visqueux.

Points de vigilance

La principale difficulté est de ne pas se tromper dans les nombreuses étapes de calcul. Il est crucial d'être méthodique. Une autre erreur serait d'oublier que la formule de Swamee-Jain utilise un logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)), et non un logarithme népérien (\(\ln\)).

Points à retenir

Le calcul précis des pertes de charge est un processus interdépendant : \(\lambda\) dépend de \(Q\), et \(Q\) dépend de \(\lambda\). L'itération est la méthode standard pour résoudre ce type de problème en ingénierie.

Le saviez-vous ?

Avant l'avènement des calculatrices et des ordinateurs, les ingénieurs utilisaient le diagramme de Moody, un abaque complexe, pour trouver \(\lambda\) graphiquement. La méthode itérative que nous venons d'appliquer est la manière dont un logiciel de simulation résout ce problème numériquement.

FAQ
Combien d'itérations sont généralement nécessaires ?

Pour la plupart des problèmes d'eau dans des conduites standards, la convergence est extrêmement rapide. Deux à trois itérations suffisent presque toujours pour obtenir une précision bien supérieure à celle des données d'entrée (comme la rugosité \(\epsilon\)).

Résultat Final
Après convergence, le coefficient de pertes de charge quadratique du réseau est \(A_{\text{réseau}} \approx 33800 \text{ s}^2/\text{m}^5\).
A vous de jouer

Si la rugosité du tuyau était beaucoup plus grande (\(\epsilon = 0.001 \text{ m}\)), la valeur finale de \(\lambda\) serait-elle plus grande ou plus petite ?

Question 3 : Équation numérique de la courbe du réseau

Principe

Cette étape consiste simplement à assembler les deux parties de la courbe réseau : la partie statique (constante, \(H_{\text{géo}}\)) et la partie dynamique (qui dépend de \(Q^2\), via le coefficient \(A_{\text{réseau}}\) que nous venons de calculer de manière précise).

Mini-Cours

Une équation de la forme \(y = C + Ax^2\) représente une parabole dont le sommet est au point \((0, C)\) et qui est ouverte vers le haut. Notre courbe réseau \(H_{\text{réseau}}(Q)\) est exactement cela : elle commence à une hauteur \(H_{\text{géo}}\) pour un débit nul, puis "monte" de plus en plus vite à mesure que le débit augmente.

Remarque Pédagogique

Considérez cette équation comme la "carte d'identité" de votre réseau. Peu importe la pompe que vous brancherez dessus, le réseau exigera toujours une hauteur \(H\) pour un débit \(Q\) donné par cette formule. C'est une caractéristique immuable de l'installation physique.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour cette étape, qui est une simple application mathématique des principes précédents.

Formule(s)

Équation générale de la courbe réseau :

\[ H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + A_{\text{réseau}} \cdot Q^2 \]
Hypothèses

Cette équation n'est valide que si les hypothèses faites précédemment (fluide incompressible, régime turbulent établi, etc.) sont respectées.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données des questions précédentes.

ParamètreValeurUnité
\(H_{\text{géo}}\)\(15\)\(\text{m}\)
\(A_{\text{réseau}}\)\(\approx 33800\)\(\text{s}^2/\text{m}^5\)
Astuces

Pour vérifier rapidement la cohérence de votre équation, calculez \(H_{\text{réseau}}\) pour \(Q=0\). Vous devez retrouver \(H_{\text{géo}}\). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur dans votre équation.

Schéma (Avant les calculs)
Composantes de la Hauteur Réseau
Débit QHauteur HHréseau(Q)HgéoJtotales
Calcul(s)

Construction de l'équation numérique :

\[ H_{\text{réseau}}(Q) = 15 + 33800 \cdot Q^2 \]
Schéma (Après les calculs)
Tracé de la Courbe Réseau
Réflexions

Nous avons maintenant une description mathématique complète de la demande du réseau. La prochaine étape logique est de la comparer à l'offre de la pompe pour trouver le point d'équilibre.

Points de vigilance

Faites attention à ne pas intervertir les coefficients. La courbe réseau est une parabole "montante" (\(+ A \cdot Q^2\)) alors que la courbe de pompe est souvent une parabole "descendante" (\(- A \cdot Q^2\)).

Points à retenir

Tout réseau hydraulique simple peut être modélisé par une équation \(H = H_{\text{géo}} + A \cdot Q^2\). Savoir déterminer \(H_{\text{géo}}\) et \(A\) est la clé pour analyser n'importe quelle installation.

Le saviez-vous ?

Les logiciels professionnels de simulation hydraulique (comme EPANET) ne font rien de plus que cela : ils modélisent chaque tuyau par son propre coefficient de pertes \(A_i\), puis résolvent un grand système d'équations pour trouver l'équilibre de pression et de débit en chaque point du réseau.

FAQ
Que se passe-t-il s'il n'y a pas de dénivelé (\(H_{\text{géo}}=0\)) ?

C'est le cas d'un circuit fermé, comme un circuit de chauffage. La courbe réseau part alors de l'origine (\(H=0\) pour \(Q=0\)) et la pompe ne sert qu'à vaincre les pertes de charge. L'équation devient simplement \(H_{\text{réseau}} = A_{\text{réseau}} \cdot Q^2\).

Résultat Final
L'équation numérique de la courbe caractéristique du réseau est : \(H_{\text{réseau}}(Q) = 15 + 33800 \cdot Q^2\).
A vous de jouer

En utilisant l'équation, quelle serait la hauteur requise par le réseau pour faire passer un débit de \(10 \text{ L/s}\) (soit \(0.01 \text{ m}^3\text{/s}\)) ?

Question 4 : Poser l'équation de fonctionnement

Principe

Le point de fonctionnement est le point d'équilibre où l'offre de la pompe rencontre la demande du réseau. C'est le seul débit pour lequel la hauteur fournie par la pompe (\(HMT\)) est exactement égale à la hauteur requise par le réseau (\(H_{\text{réseau}}\)). On pose donc l'égalité mathématique entre les deux équations de courbe.

Mini-Cours

Ce concept est analogue à l'équilibre entre l'offre et la demande en économie. La pompe "offre" une certaine pression pour un débit donné, et le réseau "demande" une certaine pression pour ce même débit. Le "prix" (la hauteur) et la "quantité" (le débit) d'équilibre se trouvent à l'intersection des deux courbes.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante sur le plan conceptuel. C'est ici que l'on "connecte" mathématiquement la pompe au réseau. Avant cela, nous avions deux objets d'étude séparés. Maintenant, nous les traitons comme un système unique et nous cherchons son état d'équilibre stable.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une application du principe fondamental d'équilibre des systèmes physiques.

Formule(s)

Condition d'équilibre :

\[ HMT(Q_f) = H_{\text{réseau}}(Q_f) \]

Expressions des courbes :

\begin{aligned} HMT(Q) &= 20 - 250 Q^2 & \text{(Courbe de la pompe)} \\ H_{\text{réseau}}(Q) &= 15 + 33800 Q^2 & \text{(Courbe du réseau)} \end{aligned}
Hypothèses

On suppose que la courbe de la pompe donnée par le fabricant est exacte et ne se dégrade pas dans le temps (usure), et que les caractéristiques du réseau sont également stables.

Donnée(s)

Les deux équations de courbe sont les seules données nécessaires pour cette étape.

CaractéristiqueÉquation
Courbe Pompe\(HMT(Q) = 20 - 250 Q^2\)
Courbe Réseau\(H_{\text{réseau}}(Q) = 15 + 33800 Q^2\)
Astuces

Avant de résoudre, il est toujours utile de dessiner rapidement les deux courbes. Une parabole descendante pour la pompe, une parabole montante pour le réseau. Cela vous donne une idée visuelle de l'endroit où elles vont se croiser et confirme qu'une solution unique (positive) existe.

Schéma (Avant les calculs)
Intersection des Courbes Pompe et Réseau
Calcul(s)

Égalité au point de fonctionnement \(Q_f\) :

\[ 20 - 250 Q_f^2 = 15 + 33800 Q_f^2 \]
Schéma (Après les calculs)
Intersection des Courbes Pompe et Réseau
Réflexions

Cette équation du second degré (en \(Q_f^2\)) n'a qu'une seule inconnue. Sa résolution à la prochaine étape nous donnera la valeur exacte du débit que l'on observera dans l'installation réelle.

Points de vigilance

Veillez à bien recopier les signes et les coefficients de chaque équation. Une erreur d'inattention à ce stade rendra tout le reste du calcul incorrect.

Points à retenir

La condition fondamentale pour trouver le point de fonctionnement est toujours et partout : \(H_{\text{pompe}} = H_{\text{réseau}}\). C'est le point de départ de toute analyse de système de pompage.

Le saviez-vous ?

Dans certains systèmes complexes, la courbe réseau peut avoir une forme inhabituelle et croiser la courbe de pompe en plusieurs points. Certains de ces points peuvent être instables, menant à des vibrations et des coups de bélier. L'analyse de la stabilité des points de fonctionnement est un domaine avancé de l'hydraulique.

FAQ
Et si les courbes ne se croisent pas (pour Q > 0) ?

Cela signifie que la pompe est mal choisie. Si la hauteur d'arrêt de la pompe (\(H_0\)) est inférieure à la hauteur géométrique du réseau (\(H_{\text{géo}}\)), la pompe n'est même pas capable de commencer à vaincre le dénivelé et aucun débit ne s'établira. Le débit de fonctionnement sera de zéro.

Résultat Final
L'équation à résoudre pour trouver le débit de fonctionnement \(Q_f\) est : \(20 - 250 Q_f^2 = 15 + 33800 Q_f^2\).
A vous de jouer

Posez l'équation de fonctionnement si on utilisait une pompe plus puissante de courbe \(HMT(Q) = 25 - 300 Q^2\).

Question 5 : Calcul du point de fonctionnement (\(Q_f, H_f\))

Principe

Il s'agit maintenant de résoudre l'équation algébrique établie à la question précédente pour trouver la valeur numérique du débit \(Q_f\). Une fois cette valeur connue, on la réinjecte dans l'une des deux équations de courbe (celle de la pompe ou celle du réseau) pour trouver la hauteur de fonctionnement \(H_f\) correspondante.

Mini-Cours

La résolution implique d'isoler l'inconnue \(Q_f^2\). Pour cela, on regroupe tous les termes constants d'un côté de l'égalité et tous les termes en \(Q_f^2\) de l'autre côté. On factorise ensuite par \(Q_f^2\) et on divise pour obtenir sa valeur. La dernière étape est d'extraire la racine carrée pour trouver \(Q_f\).

Remarque Pédagogique

Une fois \(Q_f\) calculé, il est très judicieux de calculer \(H_f\) en utilisant les deux équations (\(HMT(Q_f)\) ET \(H_{\text{réseau}}(Q_f)\)). Vous devez trouver exactement le même résultat (aux erreurs d'arrondi près). C'est un excellent moyen de vérifier l'ensemble de vos calculs depuis le début.

Normes

Pas de norme spécifique. C'est une résolution mathématique standard.

Formule(s)

Équation de fonctionnement à résoudre :

\[ 20 - 250 Q_f^2 = 15 + 33800 Q_f^2 \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour les questions précédentes.

Donnée(s)

Les coefficients numériques des deux équations de courbe sont les seules données nécessaires.

Astuces

Utilisez la mémoire de votre calculatrice pour conserver la valeur de \(Q_f^2\) sans l'arrondir. Vous obtiendrez ainsi une valeur de \(H_f\) plus précise à la fin. N'arrondissez que le résultat final.

Schéma (Avant les calculs)
Intersection des Courbes Pompe et Réseau
Calcul(s)

Étape 1 : Résolution de l'équation pour trouver \(Q_f^2\)

\[\begin{aligned} 20 - 15 &= 33800 Q_f^2 + 250 Q_f^2 \\ 5 &= (33800 + 250) Q_f^2 \\ Q_f^2 &= \frac{5}{34050} \\ &\approx 0.00014684 \end{aligned}\]

Étape 2 : Calcul du débit \(Q_f\)

\[\begin{aligned} Q_f &= \sqrt{0.00014684} \\ &\approx 0.012118 \; \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}\]

Étape 3 : Conversion du débit en L/s

\[ \begin{aligned} Q_f (\text{L/s}) &= 0.012118 \text{ m}^3\text{/s} \times 1000 \text{ L/m}^3 \\ &\approx 12.12 \text{ L/s} \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul de la hauteur de fonctionnement \(H_f\)

\[ \begin{aligned} H_f &= 20 - 250 Q_f^2 \\ &= 20 - 250 \times 0.00014684 \\ &= 20 - 0.0367 \\ &\approx 19.96 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de Fonctionnement sur les Courbes
Réflexions

Le débit de 12.12 L/s est le débit que l'on mesurera réellement dans la conduite. La pompe fournira alors une pression équivalente à 19.96 m de colonne d'eau. On peut noter que ce point est très proche de la hauteur d'arrêt de la pompe (20 m), ce qui signifie que la pompe travaille à un faible débit et contre une forte résistance. Elle est peut-être surdimensionnée en pression pour ce réseau.

Points de vigilance

La principale erreur est d'oublier de prendre la racine carrée pour passer de \(Q_f^2\) à \(Q_f\). Assurez-vous également que le résultat est physiquement cohérent : un débit ou une hauteur ne peuvent pas être négatifs.

Points à retenir

La méthode de résolution est systématique : 1. Égaliser \(H_{\text{pompe}}\) et \(H_{\text{réseau}}\). 2. Isoler et résoudre pour \(Q_f\). 3. Réinjecter \(Q_f\) dans l'une des équations pour trouver \(H_f\). Cette méthode fonctionne pour tous les systèmes simples.

Le saviez-vous ?

Le point de fonctionnement idéal n'est pas n'importe où sur la courbe de la pompe. Il devrait se situer le plus près possible du "BEP" (Best Efficiency Point), le point où le rendement de la pompe est maximal. Faire fonctionner une pompe loin de son BEP entraîne un gaspillage d'énergie et une usure prématurée.

FAQ
Que se passe-t-il si je ferme partiellement une vanne dans le circuit ?

Fermer une vanne augmente le coefficient de pertes de charge singulières \(\Sigma K\). Cela augmente la valeur de \(A_{\text{réseau}}\), rendant la courbe réseau plus "raide". Le point d'intersection se déplacera le long de la courbe de pompe vers un débit plus faible et une hauteur plus élevée.

Résultat Final
Le point de fonctionnement du système est : \(Q_f \approx 12.12 \text{ L/s}\) (soit \(0.01212 \text{ m}^3\text{/s}\)) et \(H_f \approx 19.96 \text{ m}\).
A vous de jouer

Si la hauteur géométrique n'était que de 10 m, quel serait le nouveau débit de fonctionnement \(Q_f\) en L/s ?

Outil Interactif : Simulateur d'Installation

Utilisez les curseurs pour modifier la hauteur géométrique ou la longueur de la conduite et observez en temps réel l'impact sur le point de fonctionnement.

Paramètres du Réseau
15 m
200 m
Point de Fonctionnement
Débit (\(Q_f\)) (L/s) -
Hauteur (\(H_f\)) (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le point de fonctionnement d'un système pompe-réseau ?

2. Si la longueur de la conduite augmente, comment le point de fonctionnement est-il affecté ?

3. La "hauteur d'arrêt" d'une pompe correspond à...

4. Dans la formule \(H_{\text{réseau}}(Q) = H_{\text{géo}} + A_{\text{réseau}} \cdot Q^2\), que représente le terme \(A_{\text{réseau}} \cdot Q^2\) ?

5. Si l'on remplace l'eau par un fluide plus visqueux, comment le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) et le débit \(Q_f\) évolueront-ils (pour un même débit) ?

Point de Fonctionnement
Le seul et unique point (un débit \(Q\) et une hauteur \(H\)) où le système est en équilibre, c'est-à-dire où la hauteur fournie par la pompe est égale à la hauteur requise par le réseau.
HMT (Hauteur Manométrique Totale)
L'énergie totale (exprimée en mètres de colonne de fluide) transmise par la pompe au fluide. C'est la "force" avec laquelle la pompe pousse le fluide.
Pertes de Charge
L'énergie dissipée par le frottement du fluide contre les parois de la conduite (pertes linéaires) et par les obstacles comme les coudes, vannes, etc. (pertes singulières).
Courbe Caractéristique
Une représentation graphique de la performance (d'une pompe) ou de la demande (d'un réseau) en fonction du débit.
Exercice : Point de Fonctionnement d’une Pompe

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