ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination du Diamètre Économique d’une Conduite

Détermination du Diamètre Économique d'une Conduite en Hydraulique

Détermination du Diamètre Économique d'une Conduite

Contexte : L'optimisation des coûts dans les projets hydrauliques.

Le choix du diamètre d'une conduite est une décision d'ingénierie cruciale qui a un impact direct sur le coût total d'un projet sur sa durée de vie. Un tuyau de grand diamètre est cher à l'achat et à l'installation (coût d'investissement élevé), mais il engendre de faibles pertes de charge, réduisant ainsi la consommation d'énergie de la pompe (coût de pompage faible). Inversement, un tuyau de petit diamètre est moins cher à l'achat mais nécessite plus d'énergie pour vaincre les frottements. Le diamètre économique est celui qui minimise la somme de ces deux coûts sur la durée de vie de l'installation. Cet exercice vous guidera dans la recherche de cet optimum économique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine la mécanique des fluides (calcul de pertes de charge) et l'économie de l'ingénieur (analyse des coûts). Nous allons calculer le coût total (investissement + pompage) pour plusieurs diamètres standards et identifier graphiquement celui qui offre le meilleur compromis. C'est une démarche typique des phases d'avant-projet pour optimiser les infrastructures hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la puissance hydrauliquePuissance que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre les pertes de charge et assurer le débit. Unité : Watt (W). et la puissance électrique consommée par une pompe.
  • Évaluer le coût annuel de pompage en fonction des pertes de charge.
  • Calculer le coût d'investissementCoût initial d'achat et d'installation de l'équipement (ici, la conduite). Il est généralement amorti sur la durée de vie du projet. annualisé d'une conduite.
  • Analyser la variation des coûts en fonction du diamètre de la conduite.
  • Déterminer graphiquement et par le calcul le diamètre économique optimal.

Données de l'étude

On souhaite pomper un débit constant d'eau sur une longue distance. Nous devons choisir le diamètre le plus économique parmi plusieurs options standards pour une conduite en acier. L'objectif est de minimiser le coût total annualisé.

Schéma de l'installation de pompage
Source Pompe Destination L = 2000 m Q = 150 m³/h Diamètre D = ?
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit à transporter \(Q\) 150 \(\text{m}^3/\text{h}\)
Longueur de la conduite \(L\) 2000 \(\text{m}\)
Rugosité de l'acier \(\epsilon\) 0.05 \(\text{mm}\)
Durée de fonctionnement annuelle \(t\) 4000 \(\text{heures/an}\)
Coût de l'électricité \(C_e\) 0.15 \(\text{€/kWh}\)
Rendement de la pompe \(\eta\) 0.75 -
Taux d'amortissement (annuité) \(a\) 10% \(\text{par an}\)
Coût linéaire de la conduite - \(1200 \cdot D\) \(\text{€/m}\) (avec D en m)

Questions à traiter

On considère les diamètres normalisés suivants : 150 mm, 200 mm, 250 mm et 300 mm.

  1. Pour chaque diamètre, calculer la perte de charge linéaire \(h_f\).
  2. Pour chaque diamètre, calculer la puissance électrique requise par la pompe \(P_e\) et le coût annuel de pompage.
  3. Pour chaque diamètre, calculer le coût d'investissement total de la conduite et son coût annualisé.
  4. Calculer le coût total annualisé pour chaque diamètre et déterminer le diamètre économique.

Les bases de l'Optimisation Hydraulique

Avant la correction, revoyons les concepts économiques et énergétiques clés.

1. Puissance Hydraulique et Électrique :
La puissance que la pompe doit fournir au fluide (puissance hydraulique) pour vaincre les pertes de charge \(h_f\) est : \[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot h_f \] La pompe n'est pas parfaite (rendement \(\eta < 1\)), donc la puissance électrique qu'elle consomme sur le réseau est supérieure : \[ P_e = \frac{P_h}{\eta} = \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot h_f}{\eta} \]

2. Coût de Pompage :
Le coût annuel de l'énergie est simplement la puissance électrique consommée (en kW) multipliée par le nombre d'heures de fonctionnement et par le coût du kWh. \[ \text{Coût Pompage} = P_e [\text{kW}] \cdot t [\text{h}] \cdot C_e [\text{€/kWh}] \]

3. Coût d'Investissement Annualisé :
Le coût d'achat de la conduite est une dépense unique. Pour la comparer au coût annuel de l'énergie, on l'étale sur la durée de vie du projet via un taux d'amortissement \(a\). \[ \text{Coût Invest. Annuel} = \text{Coût Total Conduite} \cdot a \] Le coût total est le coût linéaire (€/m) multiplié par la longueur (m).

Correction : Détermination du Diamètre Économique d'une Conduite

Question 1 : Calcul de la perte de charge pour chaque diamètre

Principe (le concept physique)

Pour chaque diamètre envisagé, nous devons calculer la perte de charge correspondante. La méthode est la même que dans l'exercice précédent : nous calculons la vitesse du fluide, puis le nombre de Reynolds pour connaître le régime, et enfin le facteur de frottement qui nous permet d'appliquer la formule de Darcy-Weisbach. Nous répétons ce processus pour les quatre diamètres proposés.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La perte de charge \(h_f\) est extrêmement sensible au diamètre. D'après l'équation de continuité (\(V=Q/A\)) et Darcy-Weisbach, on peut montrer que \(h_f\) est approximativement proportionnelle à \(1/D^5\). Cela signifie qu'une petite augmentation du diamètre entraîne une chute drastique des pertes de charge, et donc de l'énergie nécessaire au pompage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette première étape est purement technique et relève de la mécanique des fluides. C'est le "moteur" de notre analyse économique. Il est essentiel de réaliser ces calculs avec rigueur, car toute erreur ici se répercutera sur l'évaluation des coûts. Organiser les calculs dans un tableau est une excellente pratique pour éviter les confusions.

Normes (la référence réglementaire)

Les diamètres de tuyauterie ne sont pas continus ; ils sont standardisés (normalisés) pour faciliter la fabrication, le stockage et la compatibilité des raccords. Les normes (ISO, EN, ASME, etc.) définissent ces séries de diamètres nominaux (DN) et leurs épaisseurs correspondantes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la Vitesse :

\[ V = \frac{Q}{A} \]

Formule de l'Aire d'une section circulaire :

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Formule du Nombre de Reynolds :

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]

Formule du Facteur de Frottement (Swamee-Jain) :

\[ f = \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}} \right) \right]^2} \]

Formule de la Perte de Charge (Darcy-Weisbach) :

\[ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un écoulement permanent et incompressible. Les pertes de charge singulières (coudes, vannes...) sont négligées, ce qui est raisonnable pour une conduite très longue où les pertes régulières par frottement sont prédominantes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Débit, \(Q = 150 \, \text{m}^3/\text{h} \approx 0.0417 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Longueur, \(L = 2000 \, \text{m}\)
  • Rugosité, \(\epsilon = 0.05 \, \text{mm} = 5 \times 10^{-5} \, \text{m}\)
  • Viscosité, \(\nu = 1.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Diamètres à tester : 0.15, 0.20, 0.25, 0.30 m
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque de nombreux calculs sont répétitifs, l'utilisation d'un tableur (Excel, Google Sheets) est fortement recommandée pour automatiser le processus et minimiser les risques d'erreur de calcul. Entrez les formules une fois, puis étirez-les pour les différents diamètres.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des diamètres
150mm200mm250mm300mmQuel diamètre choisir ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Nous allons détailler le calcul pour le premier diamètre (D = 150 mm) et résumer les autres dans un tableau.

Détail pour D = 0.150 m :

1. Aire de la section :

\[ \begin{aligned} A_{150} &= \frac{\pi \cdot (0.150)^2}{4} \\ &\approx 0.0177 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Vitesse du fluide :

\[ \begin{aligned} V_{150} &= \frac{0.0417}{0.0177} \\ &\approx 2.36 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

3. Nombre de Reynolds :

\[ \begin{aligned} Re_{150} &= \frac{2.36 \cdot 0.150}{1.0 \times 10^{-6}} \\ &\approx 354000 \end{aligned} \]

4. Facteur de frottement :

\[ \begin{aligned} f_{150} &= \frac{0.25}{\left[ \log_{10} \left( \frac{5 \times 10^{-5}/0.150}{3.7} + \frac{5.74}{354000^{0.9}} \right) \right]^2} \\ &\approx 0.0163 \end{aligned} \]

5. Perte de charge :

\[ \begin{aligned} h_{f,150} &= 0.0163 \cdot \frac{2000}{0.150} \cdot \frac{(2.36)^2}{2 \cdot 9.81} \\ &\approx 91.9 \, \text{m} \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif des calculs :

D (m)A (m²)V (m/s)Reε/Dfh_f (m)
0.1500.01772.363540000.000330.016391.9
0.2000.03141.332660000.000250.015817.6
0.2500.04910.852125000.000200.01565.7
0.3000.07070.591770000.000170.01562.3
Schéma (Après les calculs)
Perte de charge vs. Diamètre
91.9 m17.6 m5.7 m2.3 mDiamètre croissant
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, la perte de charge diminue de manière spectaculaire lorsque le diamètre augmente. Passer de 150 mm à 200 mm divise la perte de charge par plus de 5 ! Passer de 250 mm à 300 mm la divise encore par plus de 2. Ces valeurs de \(h_f\) seront la base de nos calculs de coût de pompage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Veillez à bien utiliser le bon diamètre et le bon nombre de Reynolds pour chaque ligne de calcul. Une erreur fréquente est de mélanger les valeurs d'une colonne à l'autre. La rugosité \(\epsilon\) doit être en mètres pour le calcul de la rugosité relative \(\epsilon/D\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La perte de charge est très sensible au diamètre de la conduite.
  • Le calcul doit être répété pour chaque diamètre candidat.
  • L'organisation des résultats dans un tableau est une méthode efficace.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La formule de Bazin, une formule empirique plus ancienne, était souvent utilisée pour le calcul des pertes de charge avant l'avènement des formules plus précises comme Colebrook-White. Elle ne dépendait que d'un coefficient lié à la nature de la paroi, sans prendre en compte directement la viscosité ou le régime d'écoulement, la rendant moins précise pour une large gamme de conditions.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le facteur de frottement \(f\) change-t-il si peu entre les diamètres ?

Dans cette plage de nombres de Reynolds élevés (régime turbulent pleinement développé), le facteur de frottement dépend principalement de la rugosité relative \(\epsilon/D\). Comme \(\epsilon\) et \(D\) varient dans le même sens (un plus gros tuyau est souvent un peu plus rugueux en absolu, mais ici \(\epsilon\) est constant), le rapport \(\epsilon/D\) change peu, et donc \(f\) reste relativement stable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes de charge calculées sont : 91.9 m (pour D=150mm), 17.6 m (D=200mm), 5.7 m (D=250mm), et 2.3 m (D=300mm).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la vitesse de l'eau (en m/s) pour le diamètre de 250 mm ?

Question 2 : Puissance électrique et coût annuel de pompage

Principe (le concept physique)

Le coût de pompage est le coût de l'énergie nécessaire pour compenser les pertes de charge calculées à l'étape précédente. Nous devons d'abord calculer la puissance hydraulique (l'énergie à fournir au fluide par seconde), puis en déduire la puissance électrique réellement consommée par la pompe en tenant compte de son rendement. Cette puissance, multipliée par la durée de fonctionnement et le prix de l'électricité, donne le coût annuel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le rendement d'une pompe (\(\eta\)) est le rapport entre la puissance qu'elle transmet au fluide (\(P_h\)) et la puissance qu'elle consomme sur l'arbre moteur (\(P_m\)). Le rendement global du groupe motopompe inclut aussi le rendement du moteur électrique. Ici, \(\eta\) est supposé être le rendement global. Il n'est jamais de 100% à cause des pertes par frottement, des fuites et des pertes électromagnétiques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape fait le lien direct entre un résultat de mécanique des fluides (\(h_f\)) et une conséquence économique concrète (la facture d'électricité). C'est le cœur de l'optimisation : on voit que des pertes de charge élevées se traduisent immédiatement par des coûts d'exploitation élevés.

Normes (la référence réglementaire)

Les directives sur l'écoconception (comme la directive européenne ErP) imposent des rendements minimaux pour les pompes mises sur le marché, afin de limiter le gaspillage énergétique. Le choix d'une pompe à haut rendement est une partie importante de l'optimisation économique d'une installation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la puissance électrique (en Watts) :

\[ P_e = \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot h_f}{\eta} \]

Formule du coût annuel de pompage (en €) :

\[ \text{Coût}_{\text{pompage}} = \frac{P_e}{1000} \cdot t \cdot C_e \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le rendement de la pompe est constant quel que soit le point de fonctionnement, ce qui est une simplification. En réalité, le rendement d'une pompe varie avec le débit et la hauteur manométrique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Les valeurs de \(h_f\) de la Q1
  • Débit, \(Q = 0.0417 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Masse volumique, \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Rendement, \(\eta = 0.75\)
  • Durée, \(t = 4000 \, \text{h/an}\)
  • Coût électricité, \(C_e = 0.15 \, \text{€/kWh}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le terme \(\rho \cdot g \cdot Q / \eta\) est constant pour tous les calculs. Calculez-le une fois : \(1000 \cdot 9.81 \cdot 0.0417 / 0.75 \approx 545.4\). Ensuite, pour chaque diamètre, \(P_e \approx 545.4 \cdot h_f\). Cela simplifie grandement les calculs répétitifs.

Schéma (Avant les calculs)
Du Tuyau à la Facture
h_f (m)Pompe (Pₑ)Compteur (kWh)Coût Annuel (€)
Calcul(s) (l'application numérique)

Nous détaillons le calcul pour D = 150 mm.

Détail pour D = 0.150 m (avec h_f = 91.9 m) :

1. Puissance électrique requise :

\[ \begin{aligned} P_{e, 150} &= \frac{\rho \cdot g \cdot Q \cdot h_{f, 150}}{\eta} \\ &= \frac{1000 \cdot 9.81 \cdot 0.0417 \cdot 91.9}{0.75} \\ &\approx 50137 \, \text{W} \\ &\approx 50.1 \, \text{kW} \end{aligned} \]

2. Coût annuel de pompage :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{pompage, 150}} &= P_{e, 150}[\text{kW}] \cdot t \cdot C_e \\ &= 50.1 \cdot 4000 \cdot 0.15 \\ &\approx 30082 \, \text{€/an} \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif des coûts de pompage :

D (m)h_f (m)P_e (kW)Coût pompage (€/an)
0.15091.950.130 082 €
0.20017.69.65 765 €
0.2505.73.11 866 €
0.3002.31.3764 €
Schéma (Après les calculs)
Coût de pompage vs. Diamètre
30 082 €5 765 €1 866 €764 €Diamètre croissant
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coût de pompage diminue de façon encore plus spectaculaire que les pertes de charge. On passe de plus de 30 000 € par an pour le plus petit diamètre à moins de 800 € pour le plus grand. Cela illustre parfaitement l'énorme impact du choix du diamètre sur les coûts d'exploitation à long terme.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la gestion des unités, notamment entre W et kW. La puissance \(P_e\) est calculée en Watts, il faut la diviser par 1000 pour la convertir en kilowatts avant de la multiplier par le coût en €/kWh.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La puissance de pompage est directement proportionnelle à la perte de charge.
  • Le coût d'exploitation est un facteur majeur dans la conception des réseaux hydrauliques.
  • Un rendement de pompe élevé est crucial pour minimiser les coûts énergétiques.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

On estime que les systèmes de pompage représentent près de 20% de la consommation mondiale d'électricité. L'optimisation du dimensionnement des conduites et le choix de pompes à haut rendement sont donc des enjeux majeurs pour la transition énergétique.

FAQ (pour lever les doutes)
Le coût de l'électricité est-il toujours constant ?

Non, c'est une simplification. Dans de nombreuses industries, le prix du kWh varie en fonction de l'heure (heures pleines/creuses). Une analyse économique plus poussée pourrait prendre en compte ces variations et optimiser les heures de pompage pour minimiser les coûts.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coûts annuels de pompage sont : 30 082 € (150mm), 5 765 € (200mm), 1 866 € (250mm), et 764 € (300mm).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le rendement de la pompe n'était que de 60% (\(\eta=0.60\)), quel serait le coût de pompage annuel pour le diamètre de 200 mm ?

Question 3 : Coût d'investissement annualisé

Principe (le concept physique)

Cette étape évalue le coût de l'infrastructure elle-même. Le coût d'une conduite dépend de son diamètre (plus de matière, plus cher). Nous calculons le coût total pour les 2000 mètres de conduite, puis nous appliquons un taux d'amortissement pour transformer ce coût initial unique en un coût annuel équivalent. Cela permet de le comparer directement au coût de pompage, qui est déjà annuel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'amortissement est un concept financier qui consiste à répartir le coût d'un investissement sur sa durée d'utilisation. Le taux d'annuité \(a\) utilisé ici est une simplification qui englobe à la fois le remboursement du capital investi et les intérêts. Une formule plus rigoureuse (formule de l'annuité constante) serait \(a = \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}\), où \(i\) est le taux d'intérêt et \(n\) la durée de vie en années.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Nous calculons maintenant l'autre face de la médaille. À la question précédente, le plus gros tuyau était le meilleur. Ici, nous allons voir que c'est le plus cher à l'achat. L'optimisation consistera à trouver le juste milieu entre ces deux tendances opposées.

Normes (la référence réglementaire)

Les coûts des matériaux de construction sont sujets à des fluctuations de marché. Les ingénieurs économistes utilisent des bases de données de prix (comme les mercuriales) et des formules d'indexation pour estimer les coûts d'investissement de manière fiable au moment du projet.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du coût d'investissement total :

\[ \text{Coût}_{\text{invest}} = (\text{Coût linéaire}) \cdot L = (1200 \cdot D) \cdot L \]

Formule du coût annualisé :

\[ \text{Coût}_{\text{annuel, invest}} = \text{Coût}_{\text{invest}} \cdot a \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose une relation linéaire simple entre le coût de la conduite et son diamètre. En réalité, la relation peut être plus complexe, mais elle est toujours fortement croissante. Le coût inclut la fourniture et la pose.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Les diamètres à tester : 0.15, 0.20, 0.25, 0.30 m
  • Longueur, \(L = 2000 \, \text{m}\)
  • Coût linéaire = \(1200 \cdot D \, \text{[€/m]}\)
  • Taux d'amortissement, \(a = 0.10 \, \text{(10%)}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le facteur \(1200 \cdot L \cdot a\) est constant. Calculez-le : \(1200 \cdot 2000 \cdot 0.10 = 240000\). Le coût annualisé pour chaque diamètre est alors simplement \(240000 \cdot D\).

Schéma (Avant les calculs)
Coût d'Investissement
Coût Total = (1200 * D) * LCoût Annuel = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Nous détaillons le calcul pour D = 150 mm.

Détail pour D = 0.150 m :

1. Coût d'investissement total :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{invest, 150}} &= (1200 \cdot 0.150) \cdot 2000 \\ &= 180 \cdot 2000 \\ &= 360000 \, \text{€} \end{aligned} \]

2. Coût d'investissement annualisé :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{annuel, invest, 150}} &= 360000 \cdot 0.10 \\ &= 36000 \, \text{€/an} \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif des coûts d'investissement :

D (m)Coût invest. (€)Coût invest. annualisé (€/an)
0.150360 000 €36 000 €
0.200480 000 €48 000 €
0.250600 000 €60 000 €
0.300720 000 €72 000 €
Schéma (Après les calculs)
Coût d'investissement vs. Diamètre
36 000 €48 000 €60 000 €72 000 €Diamètre croissant
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, le coût d'investissement augmente linéairement avec le diamètre. Le plus gros tuyau coûte deux fois plus cher que le plus petit. Cette tendance est exactement opposée à celle du coût de pompage. La solution optimale se trouvera à l'intersection de ces deux logiques contradictoires.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'annualiser le coût d'investissement. Comparer un coût de pompage annuel à un coût d'investissement total serait une erreur méthodologique majeure, comme comparer des pommes et des oranges. L'annualisation permet de ramener les deux coûts à une base temporelle commune.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coût d'investissement augmente avec la taille de l'équipement.
  • L'annualisation permet de comparer des coûts initiaux avec des coûts récurrents.
  • Ce coût s'oppose au coût d'exploitation (pompage).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les grands projets d'infrastructure (autoroutes, lignes à grande vitesse...), l'analyse des coûts sur le cycle de vie (Life Cycle Cost Analysis - LCCA) est une pratique standard. Elle prend en compte non seulement l'investissement et l'exploitation, mais aussi les coûts de maintenance, de démantèlement et même les coûts sociétaux (pollution, temps de trajet...).

FAQ (pour lever les doutes)
Le coût de la conduite est-il vraiment linéaire ?

Pas exactement. Le coût dépend du poids de l'acier, qui est proportionnel à \(D \cdot e\) (périmètre x épaisseur). Comme l'épaisseur \(e\) doit aussi augmenter légèrement avec le diamètre pour résister à la pression, la relation est souvent plus proche de \(D^{1.2}\) ou \(D^{1.5}\). La relation linéaire est une simplification acceptable pour une première approche.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coûts d'investissement annualisés sont : 36 000 € (150mm), 48 000 € (200mm), 60 000 € (250mm), et 72 000 € (300mm).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le taux d'amortissement était de 8% au lieu de 10%, quel serait le coût annualisé pour le diamètre de 250 mm ?

Question 4 : Coût total et diamètre économique

Principe (le concept physique)

C'est l'étape finale de synthèse. Pour chaque diamètre, nous additionnons les deux coûts annuels que nous avons calculés : le coût de pompage (qui diminue avec le diamètre) et le coût d'investissement (qui augmente avec le diamètre). Le diamètre qui présente le coût total le plus faible est le "diamètre économique", c'est-à-dire la solution technico-économique optimale pour ce projet.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La courbe du coût total en fonction du diamètre a typiquement une forme en "U" ou de "baignoire". Elle est dominée par les coûts de pompage pour les petits diamètres et par les coûts d'investissement pour les grands diamètres. Le minimum de cette courbe correspond au diamètre économique. Mathématiquement, on pourrait trouver cet optimum en dérivant l'équation du coût total par rapport à D et en cherchant le point où la dérivée s'annule.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La visualisation graphique est très puissante ici. En traçant les trois courbes (coût de pompage, coût d'investissement, coût total), on voit immédiatement le compromis et l'emplacement de l'optimum. C'est un outil de communication très efficace pour présenter les résultats d'une étude d'optimisation à un décideur.

Normes (la référence réglementaire)

Les appels d'offres pour les grands projets publics exigent souvent une analyse en "coût global", qui est une approche similaire. Le soumissionnaire n'est pas jugé uniquement sur le prix de l'investissement initial, mais sur le coût total de possession et d'exploitation sur une période donnée (par exemple, 20 ans).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du coût total annualisé :

\[ \text{Coût}_{\text{total}} = \text{Coût}_{\text{pompage}} + \text{Coût}_{\text{annuel, invest}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les paramètres économiques (coût de l'énergie, taux d'amortissement) sont constants sur la durée de vie du projet. Une analyse plus fine pourrait inclure des scénarios d'augmentation du prix de l'énergie.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Les coûts de pompage de la Q2
  • Les coûts d'investissement annualisés de la Q3
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois le tableau des coûts complété, il suffit de sommer les deux colonnes de coûts pour obtenir la dernière colonne. L'optimum est simplement la valeur la plus basse dans cette colonne.

Schéma (Avant les calculs)
La Balance des Coûts
PompageAchatCoût Total = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Nous détaillons le calcul pour D = 150 mm.

Détail pour D = 0.150 m :

\[ \begin{aligned} \text{Coût}_{\text{total, 150}} &= \text{Coût}_{\text{pompage, 150}} + \text{Coût}_{\text{annuel, invest, 150}} \\ &= 30082 + 36000 \\ &= 66082 \, \text{€/an} \end{aligned} \]

Tableau récapitulatif du coût total :

D (m)Coût pompage (€/an)Coût invest. (€/an)Coût Total (€/an)
0.15030 082 €36 000 €66 082 €
0.2005 765 €48 000 €53 765 €
0.2501 866 €60 000 €61 866 €
0.300764 €72 000 €72 764 €
Schéma (Après les calculs)
Courbes de Coûts et Diamètre Économique
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le coût total le plus faible est de 53 765 € par an, ce qui correspond au diamètre de 200 mm. Bien que le diamètre de 250 mm offre des coûts de pompage encore plus bas, l'économie d'énergie réalisée ne compense pas le surcoût d'investissement. Le diamètre de 150 mm, bien que moins cher à l'achat, est disqualifié par ses coûts de pompage prohibitifs. Le diamètre de 200 mm représente donc le meilleur compromis économique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous de bien sommer les coûts annualisés. Ne comparez que des valeurs ayant la même base temporelle. L'optimum n'est pas toujours le diamètre qui donne les pertes les plus faibles, mais celui qui donne le coût total le plus faible.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le diamètre économique minimise la somme des coûts d'investissement et d'exploitation.
  • Il résulte d'un compromis entre un coût initial élevé (gros tuyau) et un coût de fonctionnement élevé (petit tuyau).
  • La visualisation graphique des courbes de coût est un outil d'analyse très efficace.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe des formules empiriques, comme la formule de Bresse, qui donnent une première estimation rapide du diamètre économique en fonction du débit, sans passer par une analyse détaillée des coûts. Par exemple, une formule courante est \(D_{\text{éco}}[\text{m}] \approx 1.5 \cdot \sqrt{Q[\text{m}^3/\text{s}]}\). Pour notre débit de 0.0417 m³/s, cela donnerait \(D \approx 1.5 \cdot \sqrt{0.0417} \approx 0.306\) m, soit 300 mm. La différence avec notre résultat de 200 mm montre que ces formules doivent être utilisées avec prudence, car elles dépendent fortement des hypothèses de coût.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le prix de l'électricité augmentait fortement ?

Excellente question ! Une augmentation du coût de l'énergie déplacerait la courbe de coût de pompage vers le haut. Le coût total minimum se décalerait alors vers la droite, favorisant un diamètre plus grand (par exemple, 250 mm) pour économiser plus d'énergie. L'analyse de sensibilité par rapport au prix de l'énergie est une étape importante d'une étude d'optimisation réelle.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coût total annualisé le plus faible est de 53 765 €, obtenu pour le diamètre de 200 mm. C'est donc le diamètre économique.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le coût total annualisé pour le diamètre de 200 mm si le coût de l'électricité passait à 0.30 €/kWh ?

Outil Interactif : Paramètres du Collecteur

Modifiez le débit et les diamètres pour observer leur impact sur les pertes de charge.

Paramètres d'Entrée
10 m³/h
50 mm
32 mm
Résultats Clés (A -> C)
Perte Charge AB (m) -
Perte Charge BC (m) -
Perte Charge Totale (m) -

Le Saviez-Vous ?

Le diagramme de Moody, qui représente graphiquement l'équation de Colebrook, a été développé en 1944 par Lewis Ferry Moody. Il a révolutionné l'ingénierie hydraulique en fournissant une méthode graphique simple pour déterminer le facteur de frottement, évitant ainsi la résolution fastidieuse d'une équation implicite à une époque où les calculatrices n'existaient pas.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi néglige-t-on les pertes de charge singulières ?

Les pertes singulières sont dues aux "accidents" : coudes, tés, vannes, etc. Dans les réseaux avec de grandes longueurs de tuyaux droits, les pertes régulières (par frottement) sont prédominantes et on peut négliger les pertes singulières en première approximation. Pour un calcul de précision, surtout dans des réseaux compacts avec beaucoup de raccords, il faudrait les calculer et les ajouter. La perte dans un té comme celui-ci serait calculée avec un coefficient de perte \(K\) spécifique.

Comment la température de l'eau affecte-t-elle les calculs ?

La température affecte principalement la viscosité du fluide. Une eau plus chaude est moins visqueuse. Une viscosité plus faible \(\nu\) entraîne un nombre de Reynolds plus élevé pour la même vitesse, ce qui peut légèrement modifier le facteur de frottement. Pour des applications de haute précision ou avec de grands écarts de température, il est crucial d'utiliser la valeur de viscosité correspondant à la température de service.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le débit dans une conduite, la perte de charge régulière (h_f) sera approximativement...

2. Un écoulement avec un nombre de Reynolds de 1500 est considéré comme...

Perte de Charge (h_f)
Perte d'énergie d'un fluide en mouvement due aux frottements et aux singularités du réseau. Exprimée en mètres de colonne de fluide, elle représente une diminution de la pression.
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent) en comparant les forces d'inertie et les forces de viscosité.
Facteur de Frottement (f)
Coefficient adimensionnel qui intervient dans l'équation de Darcy-Weisbach et qui quantifie l'importance des pertes par frottement sur les parois de la conduite.
Détermination du Diamètre Économique d'une Conduite

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