ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut d'un Réseau

Comprendre la Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

La ligne piézométrique (ou ligne de charge hydraulique) représente le niveau d'énergie de pression le long d'une conduite. Dans un réseau, cette ligne a une pente descendante due aux pertes de charge. Si le profil de la conduite monte et "traverse" cette ligne piézométrique, la pression dans la conduite devient inférieure à la pression atmosphérique (pression négative ou dépression). Cette situation est à éviter car elle peut entraîner l'entrée d'air ou de polluants dans le réseau par les joints, ou pire, provoquer la cavitation si la pression chute jusqu'à la tension de vapeur du liquide. Il est donc crucial de vérifier que la pression au point le plus haut du tracé reste positive et supérieure à une marge de sécurité.

Données de l'étude

Une pompe aspire de l'eau d'un réservoir dont la surface libre est à une cote de 100 m pour l'envoyer vers une ville. La conduite franchit une colline dont le sommet (point S) se situe à une altitude de 125 m.

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau à 20°C (\(\rho = 998.2 \, \text{kg/m}^3\))
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique (\(P_{atm}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
  • Débit de la pompe (\(Q\)) : \(90 \, \text{L/s}\)
  • Hauteur Manométrique Totale de la pompe (HMT) : \(45 \, \text{m}\)
  • Tronçon Pompe-Sommet (P-S) : Longueur \(L_{PS} = 800 \, \text{m}\), Diamètre \(D = 300 \, \text{mm}\), \(f = 0.02\)
Schéma du profil et de la ligne piézométrique
Z_A = 100m Pompe Point Haut S (Z_S = 125m) HMT=45m Ligne piézométrique Pression en S = ?

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'eau (\(V\)) et la hauteur de vitesse (\(V^2/2g\)).
  2. Déterminer la charge hydraulique (\(H_P\)) juste à la sortie de la pompe.
  3. Calculer la perte de charge régulière (\(h_{f,PS}\)) entre la pompe et le sommet S.
  4. Calculer la charge piézométrique (\(H_{piezo,S}\)) au sommet S.
  5. En déduire la pression relative (\(P_S\)) au sommet S, et conclure sur le risque de dépression.

Correction : Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut d'un Réseau

Question 1 : Vitesse et Hauteur de Vitesse

Principe :

On calcule ces valeurs de base à partir du débit et des caractéristiques de la conduite.

Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 90 \, \text{L/s} = 0.09 \, \text{m}^3\text{/s} \\ D &= 300 \, \text{mm} = 0.3 \, \text{m} \\ A &= \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi \times (0.3)^2}{4} \approx 0.0707 \, \text{m}^2 \\ V &= \frac{Q}{A} = \frac{0.09}{0.0707} \approx 1.27 \, \text{m/s} \\ \frac{V^2}{2g} &= \frac{(1.27)^2}{2 \times 9.81} \approx 0.082 \, \text{m} \end{aligned} \]

Question 2 : Charge à la Sortie de la Pompe (\(H_P\))

Principe :

La charge à la sortie de la pompe est égale à la charge du plan d'eau dans le réservoir d'aspiration, augmentée de la hauteur manométrique totale (HMT) fournie par la pompe.

Calcul :
\[ H_P = Z_A + HMT = 100 \, \text{m} + 45 \, \text{m} = 145 \, \text{m} \]

Question 3 : Perte de Charge entre la Pompe et le Sommet (\(h_{f,PS}\))

Principe :

On calcule la perte de charge régulière sur le tronçon P-S en utilisant la formule de Darcy-Weisbach.

Calcul :
\[ \begin{aligned} h_{f,PS} &= f \frac{L_{PS}}{D} \frac{V^2}{2g} \\ &= 0.02 \times \frac{800}{0.3} \times 0.082 \\ &= 53.33 \times 0.082 \\ &\approx 4.37 \, \text{m} \end{aligned} \]

Question 4 : Charge Piézométrique au Sommet (\(H_{piezo,S}\))

Principe :

La charge piézométrique en S est égale à la charge à la sortie de la pompe, diminuée des pertes de charge entre la pompe et le sommet S.

Calcul :
\[ H_{piezo,S} = H_P - h_{f,PS} = 145 \, \text{m} - 4.37 \, \text{m} = 140.63 \, \text{m} \]

Note : Pour un calcul plus précis, on devrait utiliser la ligne d'énergie (\(H = Z + P/\rho g + V^2/2g\)), mais comme la hauteur de vitesse est faible, l'utiliser ou non change peu le résultat final de la pression.

Résultat Question 4 : La charge piézométrique au point S est d'environ 140.63 m.

Question 5 : Pression Relative au Sommet S (\(P_S\))

Principe :

La charge piézométrique est la somme de la cote et de la hauteur de pression (\(H_{piezo} = Z + P/\rho g\)). On peut donc isoler la pression \(P\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{P_S}{\rho g} &= H_{piezo,S} - Z_S \\ &= 140.63 \, \text{m} - 125 \, \text{m} = 15.63 \, \text{m} \\ P_S &= 15.63 \, \text{m} \times \rho g \\ &= 15.63 \times 998.2 \times 9.81 \approx 152975 \, \text{Pa} \\ &\approx 1.53 \, \text{bar} \end{aligned} \]

La pression relative est de 1.53 bar. Comme cette valeur est positive, la pression absolue est supérieure à la pression atmosphérique. Il n'y a donc pas de risque de dépression ou de cavitation à ce point.

Résultat Question 5 : La pression au sommet S est de 1.53 bar, il n'y a pas de risque de dépression.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

10. Une pression négative (dépression) se produit en un point d'une conduite lorsque :

11. La ligne piézométrique représente la somme :

12. Si la pompe de cet exercice avait une HMT plus faible, le risque de dépression au point S serait :

Glossaire

Ligne Piézométrique
Aussi appelée Ligne de Charge Hydraulique (HGL en anglais). C'est la ligne qui représente le niveau que l'eau atteindrait dans des tubes piézométriques verticaux connectés le long de la conduite. Sa cote est la somme de l'altitude et de la hauteur de pression (\(Z + P/\rho g\)).
Dépression (Pression Négative)
Situation où la pression relative dans une conduite est inférieure à zéro, ce qui signifie que la pression absolue est inférieure à la pression atmosphérique locale. Cela crée un risque d'aspiration d'air ou de contaminants de l'extérieur.
Charge Hydraulique (\(H\))
Énergie totale du fluide par unité de poids en un point donné, incluant l'énergie de position (cote \(Z\)), l'énergie de pression (\(P/\rho g\)) et l'énergie cinétique (\(V^2/2g\)).
Pression en Point Haut - Exercice d'Application

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