ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

Contexte : Le phénomène de cavitationFormation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de sa pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles peut endommager les canalisations..

Dans les réseaux hydrauliques en charge, notamment ceux présentant des points hauts, il est crucial de s'assurer que la pression ne descende jamais en dessous de la pression de vapeur saturante du fluide. Si cela se produit, le liquide se vaporise localement, créant des bulles de vapeur. Ces bulles, transportées par l'écoulement vers des zones de plus haute pression, implosent violemment, causant des dégradations matérielles importantes et des pertes d'efficacité. Cet exercice a pour but de vous apprendre à identifier ce risque en calculant la pression en un point singulier d'un réseau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans l'application du théorème de Bernoulli généralisé, qui inclut les pertes de charge, pour résoudre un problème d'ingénierie concret et essentiel à la conception de réseaux de transport de fluides.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour un fluide réel en mouvement.
  • Calculer les pertes de charge linéaires à l'aide de la formule de Colebrook-White.
  • Calculer les pertes de charge singulières.
  • Déterminer la pression en un point d'un circuit et évaluer le risque de cavitation.

Données de l'étude

On étudie un système de pompage transférant de l'eau d'un réservoir A vers un réservoir B. La canalisation passe par un point haut C, comme illustré sur le schéma.

Schéma de l'Installation Hydraulique
Z=0 Réservoir A zA = 10m Réservoir B zB = 30m Point Haut C zC = 35m L_AC = 200m L_CB = 300m Z
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique\(Q_v\)100\(\text{L/s}\)
Diamètre intérieur de la conduiteD250\(\text{mm}\)
Rugosité absolue de la conduite (PVC)k0.015\(\text{mm}\)
Altitude du plan d'eau A\(z_A\)10\(\text{m}\)
Altitude du point haut C\(z_C\)35\(\text{m}\)
Longueur de la conduite AC\(L_{\text{AC}}\)200\(\text{m}\)
Perte de charge singulière (aspiration)\(K_{\text{asp}}\)0.5-
Perte de charge singulière (coude en C)\(K_{\text{coude}}\)0.3-
Masse volumique de l'eau (20°C)\(\rho\)998\(\text{kg/m}^3\)
Viscosité cinématique de l'eau (20°C)\(\nu\)1.004 x 10⁻⁶\(\text{m}^2\text{/s}\)
Pression de vapeur saturante (20°C)\(P_{\text{vap,abs}}\)2340\(\text{Pa}\)
Pression atmosphérique\(P_{\text{atm}}\)101325\(\text{Pa}\)
Accélération de la pesanteurg9.81\(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse d'écoulement \(v\) de l'eau dans la conduite.
  2. Calculer le nombre de Reynolds \(Re\).
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) avec la formule de Colebrook-White.
  4. Calculer la somme des pertes de charge, linéaires et singulières, entre A et C (\(\Delta H_{\text{A} \to \text{C}}\)).
  5. Calculer la pression au point C et conclure sur le risque de cavitation.

Les bases de l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur le théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel. Ce théorème est une expression du principe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement.

1. Théorème de Bernoulli généralisé
Entre deux points 1 et 2 d'une ligne de courant, l'équation s'écrit : \[ \frac{v_1^2}{2g} + z_1 + \frac{P_1}{\rho g} = \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + \frac{P_2}{\rho g} + \Delta H_{1 \to 2} \] Chaque terme représente une énergie par unité de poids, aussi appelée "charge" (en mètres) : charge cinétique (\(v^2/2g\)), charge de position (\(z\)) et charge de pression (\(P/\rho g\)). \(\Delta H_{1 \to 2}\) représente les pertes de charge totales entre 1 et 2.

2. Pertes de Charge
Elles se divisent en deux catégories :

  • Linéaires (ou régulières) : dues au frottement du fluide sur les parois de la conduite. Calculées avec \( J = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \).
  • Singulières : dues aux accidents de parcours (coudes, vannes, etc.). Calculées avec \( \Delta H_s = K \frac{v^2}{2g} \).
Le coefficient \(\lambda\) est obtenu via le diagramme de Moody ou la formule de Colebrook-White, en fonction du nombre de Reynolds \(Re = \frac{vD}{\nu}\) et de la rugosité relative \(k/D\).

Correction : Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

Question 1 : Calculer la vitesse d'écoulement \(v\)

Principe

La vitesse d'écoulement dans une conduite est directement liée au débit volumique et à la section transversale de la conduite. C'est une application directe du principe de conservation de la masse (ou du débit) pour un fluide incompressible.

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le débit volumique (\(Q_v\), en m³/s) est constant tout au long d'une conduite. Il est le produit de la section transversale de la conduite (\(S\), en m²) par la vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\), en m/s). Cette vitesse moyenne est celle que l'on utilise dans les calculs d'ingénierie.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique est souvent de déterminer les conditions de base de l'écoulement. Le calcul de la vitesse est un prérequis indispensable pour presque tous les calculs qui suivront (Reynolds, pertes de charge, etc.). C'est le fondement de votre analyse.

Normes

Bien que le calcul lui-même soit un principe physique de base, les normes de conception de réseaux (comme la norme EN 805 en Europe pour l'adduction d'eau) fixent des plages de vitesses recommandées (généralement entre 0.5 et 2.5 m/s) pour limiter les dépôts, l'érosion, le bruit et les coups de bélier.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q_v}{S} \]

Formule de la section

\[ S = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses
  • L'écoulement est incompressible (\(\rho\) est constante), ce qui est une excellente approximation pour l'eau.
  • La conduite est considérée comme fonctionnant en pleine section.
Donnée(s)

Il est impératif de convertir les données dans les unités du Système International (m³/s et m) avant tout calcul.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q_v\)\(100 \text{ L/s} = 0.1\)\(\text{m}^3\text{/s}\)
DiamètreD\(250 \text{ mm} = 0.25\)\(\text{m}\)
Astuces

Pour une estimation rapide, retenez que 100 L/s dans une conduite DN250 (diamètre 250mm) donne une vitesse d'environ 2 m/s. C'est un bon ordre de grandeur à avoir en tête pour vérifier vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Section de la conduite et débit
Dv = ?S
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la section S

\begin{aligned} S &= \frac{\pi \times (0.25)^2}{4} \\ &\approx 0.049087 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la vitesse v

\begin{aligned} v &= \frac{0.1 \text{ m}^3\text{/s}}{0.049087 \text{ m}^2} \\ &\approx 2.037 \text{ m/s} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Profil de Vitesse Turbulent
v_maxv = 2.04 m/s

Le profil de vitesse réel est "aplati" en régime turbulent. La vitesse calculée est une moyenne.

Réflexions

Une vitesse de 2.04 m/s est une valeur courante et acceptable pour une conduite de refoulement en PVC. Elle est suffisamment élevée pour éviter la sédimentation mais pas excessive au point de causer une usure prématurée ou des pertes de charge trop importantes.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la conversion des unités. Assurez-vous que le débit est en m³/s et le diamètre en m avant tout calcul. Une erreur fréquente est d'oublier d'élever le diamètre au carré pour calculer la section.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Conservation du débit (\(Q_v = \text{constante}\)).
  • Formule Essentielle : \(v = Q_v / (\pi D^2 / 4)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités (L/s \(\rightarrow\) m³/s et mm \(\rightarrow\) m).
Le saviez-vous ?

L'équation de continuité est une manifestation de l'un des principes les plus fondamentaux de la physique : la conservation de la masse, formellement énoncée par Antoine Lavoisier au 18ème siècle : "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme". Dans notre cas, le volume qui entre dans un segment de tuyau doit en ressortir.

FAQ
La vitesse est-elle la même en tout point de la section ?

Non, en réalité la vitesse est nulle sur la paroi (condition de non-glissement) et maximale au centre du tuyau. La vitesse que nous calculons est la vitesse "moyenne", qui est celle que l'on utilise dans les formules d'ingénierie comme Bernoulli ou les pertes de charge car elle donne le bon débit.

Résultat Final
La vitesse de l'eau dans la conduite est d'environ 2.04 m/s.
A vous de jouer

Si le débit était réduit de moitié (50 L/s), quelle serait la nouvelle vitesse ? (La relation est linéaire).

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds \(Re\)

Principe

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Il compare les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et le chaos) aux forces visqueuses (qui tendent à amortir le mouvement et à le garder ordonné). C'est le critère universel pour distinguer un écoulement laminaire (lisse) d'un écoulement turbulent (chaotique).

Mini-Cours

Un écoulement dans une conduite est dit :
- Laminaire si \(Re < 2000\) : Les filets de fluides glissent les uns sur les autres en couches ordonnées. Les pertes de charge sont faibles et proportionnelles à la vitesse.
- Turbulent si \(Re > 4000\) : L'écoulement est désordonné, avec des tourbillons et des fluctuations de vitesse. Les pertes de charge sont plus élevées et proportionnelles au carré de la vitesse.
- Transitoire entre 2000 et 4000 : Le régime est instable.

Remarque Pédagogique

Déterminer le régime d'écoulement via le nombre de Reynolds est crucial. Le choix de la formule pour calculer les pertes de charge (la question suivante) dépend directement de ce résultat. Se tromper de régime mène à une erreur sur tout le reste du calcul. C'est le diagnostic avant le traitement.

Normes

Le nombre de Reynolds et les seuils de transition entre régimes sont des concepts universels de la mécanique des fluides, reconnus dans toutes les normes techniques et publications scientifiques mondiales.

Formule(s)

Formule du nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{v \times D}{\nu} \]
Hypothèses
  • Le fluide est Newtonien (sa viscosité ne dépend pas des contraintes qu'il subit). C'est le cas de l'eau.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse\(v\)2.037\(\text{m/s}\)
DiamètreD0.25\(\text{m}\)
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.004 \times 10^{-6}\)\(\text{m}^2\text{/s}\)
Astuces

Dans la plupart des applications d'adduction d'eau avec des conduites de taille courante, l'écoulement est presque toujours turbulent. Si vous trouvez un \(Re\) inférieur à 4000, il est très probable qu'il y ait une erreur d'unité dans votre calcul !

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'écoulement
Laminaire (Re < 2000)Turbulent (Re > 4000)
Calcul(s)

Calcul du nombre de Reynolds

\begin{aligned} Re &= \frac{2.037 \times 0.25}{1.004 \times 10^{-6}} \\ &\approx 507221 \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser où ce résultat se place sur l'axe des régimes d'écoulement.

20004000LaminaireTransitoireTurbulentRe ≈ 5.1x10⁵
Réflexions

Le nombre de Reynolds de plus de 500 000 confirme sans ambiguïté que l'écoulement est en régime turbulent. Cela signifie que les pertes d'énergie seront significatives et qu'il faudra utiliser des formules adaptées à ce régime, comme celle de Colebrook-White.

Points de vigilance

Faites attention à ne pas confondre la viscosité cinématique \(\nu\) (en m²/s) et la viscosité dynamique \(\mu\) (en Pa.s). La formule utilise la viscosité cinématique. On a la relation \(\nu = \mu / \rho\). Utiliser la mauvaise viscosité est une erreur très fréquente.

Points à retenir

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Le nombre de Reynolds classifie le régime d'écoulement.
  • Formule Essentielle : \(Re = vD/\nu\).
  • Point de Vigilance Majeur : Utiliser la viscosité cinématique \(\nu\) et non la viscosité dynamique \(\mu\).
Le saviez-vous ?

Osborne Reynolds, l'ingénieur irlandais qui a donné son nom à ce nombre, a mené ses expériences célèbres en 1883 en injectant un filet d'encre dans un écoulement d'eau dans un tube de verre. Il a pu ainsi visualiser de manière spectaculaire la transition du régime laminaire (filet d'encre rectiligne) au régime turbulent (l'encre se mélange instantanément).

FAQ
Le nombre de Reynolds a-t-il une unité ?

Non, c'est un nombre adimensionnel. Toutes les unités (m/s, m, m²/s) s'annulent dans le calcul, ce qui lui donne sa portée universelle, quel que soit le système d'unités utilisé (à condition qu'il soit cohérent).

La température de l'eau a-t-elle un impact ?

Oui, absolument. La viscosité de l'eau change avec la température (l'eau chaude est moins visqueuse). Cela modifie le nombre de Reynolds et donc les pertes de charge. C'est pourquoi la température du fluide est une donnée d'entrée importante.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est d'environ 507 221.
A vous de jouer

Calculez le Reynolds si on transportait du fuel léger (\(\nu \approx 5 \times 10^{-6} \text{ m}^2\text{/s}\)) à la même vitesse. L'écoulement serait-il toujours turbulent ?

Question 3 : Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\)

Principe

Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) (ou facteur de friction de Darcy) quantifie l'intensité des frottements du fluide sur la paroi de la conduite. Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, ce coefficient dépend à la fois du nombre de Reynolds (l'intensité de la turbulence) et de la rugosité relative de la conduite (\(k/D\)), qui est le rapport entre la taille des aspérités de la paroi et le diamètre de la conduite.

Mini-Cours

Le diagramme de Moody est une représentation graphique qui permet de trouver \(\lambda\) à partir de \(Re\) et \(k/D\). La formule de Colebrook-White est l'équation mathématique qui décrit ce diagramme dans la zone de transition et le régime turbulent rugueux. Comme elle est implicite (le terme \(\lambda\) apparaît des deux côtés), elle se résout par une méthode itérative.

Remarque Pédagogique

La détermination de \(\lambda\) est une étape clé car les pertes de charge linéaires sont souvent la part la plus importante des pertes totales dans les longs réseaux. Une petite erreur sur \(\lambda\) peut avoir un impact significatif sur le résultat final. C'est le "coefficient de difficulté" du parcours pour le fluide.

Normes

La formule de Colebrook-White est la référence dans de nombreuses normes et codes de calcul internationaux pour les écoulements en charge, comme l'American Society of Civil Engineers (ASCE) ou les normes européennes (EN).

Formule(s)

Formule de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses
  • L'écoulement est turbulent et s'est pleinement développé (on n'est pas juste à l'entrée de la conduite).
  • La rugosité \(k\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Nombre de Reynolds\(Re\)507221-
Rugosité absoluek0.015\(\text{mm}\)
DiamètreD250\(\text{mm}\)
Astuces

Pour éviter la résolution itérative, on peut utiliser des approximations explicites très précises, comme la formule de Swamee-Jain : \( \lambda = 0.25 / [\log_{10}((k/3.7D) + (5.74/Re^{0.9}))]^2 \). Le résultat est quasi-identique à celui de Colebrook et parfait pour une calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation sur le diagramme de Moody (qualitatif)
k/D = ?Re = 5.1x10⁵λ = ?Re (Nombre de Reynolds)
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative

\begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0.015 \text{ mm}}{250 \text{ mm}} \\ &= 0.00006 \end{aligned}

Résolution itérative de la formule de Colebrook-White

L'équation de Colebrook-White est implicite, ce qui signifie que \(\lambda\) apparaît des deux côtés. On la résout par itérations successives : on part d'une estimation initiale de \(\lambda\), on calcule le membre de droite de l'équation pour obtenir une nouvelle estimation, et on répète le processus jusqu'à ce que la valeur de \(\lambda\) ne change plus de manière significative.

Itération 1 (Estimation initiale)

On commence avec une estimation initiale courante pour un écoulement turbulent, par exemple \(\lambda_0 = 0.02\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00006}{3.7} + \frac{2.51}{507221 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= 8.581 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= (1/8.581)^2 = 0.01358 \end{aligned}

Itération 2

On réinjecte la nouvelle valeur \(\lambda_1 = 0.01358\) dans l'équation.

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00006}{3.7} + \frac{2.51}{507221 \sqrt{0.01358}} \right) \\ &= 8.461 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= (1/8.461)^2 = 0.01396 \end{aligned}

Itération 3

On continue avec \(\lambda_2 = 0.01396\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00006}{3.7} + \frac{2.51}{507221 \sqrt{0.01396}} \right) \\ &= 8.473 \\ \Rightarrow \lambda_3 &= (1/8.473)^2 = 0.01391 \end{aligned}

Itération 4

On continue avec \(\lambda_3 = 0.01391\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_4}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00006}{3.7} + \frac{2.51}{507221 \sqrt{0.01391}} \right) \\ &= 8.472 \\ \Rightarrow \lambda_4 &= (1/8.472)^2 = 0.01392 \end{aligned}

Convergence

La valeur se stabilise. On peut s'arrêter car les changements deviennent négligeables. On retient la valeur convergée.

\[ \lambda \approx 0.0139 \]
Schéma (Après les calculs)
Solution sur le diagramme de Moody
k/D = 0.00006Re = 5.1x10⁵λ (Friction)Re (Nombre de Reynolds)

Le point rouge confirme la position de notre solution sur le diagramme.

Réflexions

Cette valeur de \(\lambda\) est faible, ce qui est cohérent avec une conduite en PVC (très lisse) et un régime turbulent bien établi. Pour une vieille conduite en acier rouillé (k \(\approx\) 1 mm), \(\lambda\) serait beaucoup plus élevé (environ 0.028), ce qui doublerait presque les pertes par frottement !

Points de vigilance

Assurez-vous que la rugosité \(k\) et le diamètre \(D\) sont dans la même unité pour calculer la rugosité relative \(k/D\). L'autre point est de ne pas se tromper de logarithme (log base 10, et non le logarithme népérien ln) si vous utilisez une calculatrice.

Points à retenir

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Le frottement dépend du régime (Re) et de l'état de surface (k/D).
  • Formule Essentielle : La forme de l'équation de Colebrook-White (sans forcément la mémoriser).
  • Point de Vigilance Majeur : Le calcul de la rugosité relative k/D doit se faire avec des unités identiques.
Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944 par Lewis Ferry Moody, a été une avancée majeure en ingénierie hydraulique. Avant cela, les ingénieurs utilisaient une multitude de formules empiriques complexes et moins précises. Ce diagramme a unifié et simplifié la détermination du facteur de friction pour des générations d'ingénieurs.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser une formule plus simple ?

Pour le régime turbulent, la physique de l'écoulement est très complexe. Colebrook-White est le fruit de nombreuses expériences et reste la formule la plus précise qui couvre la quasi-totalité des cas pratiques. Les formules plus simples sont souvent limitées à des régimes spécifiques (ex: turbulent lisse) et moins précises.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) est de 0.0139.
A vous de jouer

Si la conduite était en fonte (\(k=0.25\text{ mm}\)), quelle serait la valeur approximative de \(\lambda\) en utilisant la formule de Swamee-Jain ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge totales entre A et C (\(\Delta H_{\text{A} \to \text{C}}\))

Principe

L'énergie totale du fluide diminue le long de l'écoulement à cause des frottements et des perturbations. Cette perte d'énergie, appelée perte de charge, est la somme de deux composantes : les pertes linéaires, réparties sur toute la longueur de la conduite, et les pertes singulières, concentrées au niveau des "accidents" de parcours (coudes, vannes, etc.).

Mini-Cours

Chaque singularité (coude, vanne...) est caractérisée par un coefficient de perte de charge K, sans dimension. Ce coefficient est déterminé expérimentalement et est tabulé dans les manuels d'hydraulique. La perte d'énergie (en mètres) à la traversée de la singularité est proportionnelle à l'énergie cinétique du fluide (\(K \times v^2/2g\)). La perte totale est simplement la somme de toutes ces pertes.

Remarque Pédagogique

Il est important de bien identifier toutes les sources de pertes de charge sur le tronçon étudié. Oublier une singularité peut conduire à une sous-estimation des pertes et donc à une surestimation de la pression disponible en aval. Faites un "inventaire" des obstacles sur votre schéma.

Normes

Les valeurs des coefficients K pour les accessoires de tuyauterie (coudes, tés, vannes...) sont standardisées et peuvent être trouvées dans des documents de référence comme ceux de l'Hydraulic Institute ou dans les catalogues des fabricants.

Formule(s)

Formule générale des pertes de charge

\[ \Delta H_{\text{A} \to \text{C}} = \underbrace{\lambda \frac{L_{\text{AC}}}{D} \frac{v^2}{2g}}_{\text{Pertes linéaires}} + \underbrace{\sum K_i \frac{v^2}{2g}}_{\text{Pertes singulières}} \]
Hypothèses
  • Les coefficients K sont considérés comme indépendants du nombre de Reynolds, ce qui est une hypothèse valide pour les écoulements fortement turbulents.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse\(v\)2.037\(\text{m/s}\)
Longueur AC\(L_{\text{AC}}\)200\(\text{m}\)
DiamètreD0.25\(\text{m}\)
Lambda\(\lambda\)0.0139-
Coefficients K\(K_{\text{asp}}, K_{\text{coude}}\)0.5, 0.3-
Astuces

Comme toutes les pertes de charge sont proportionnelles au terme \(v^2/2g\), il est judicieux de calculer ce terme une seule fois et de le mettre en facteur : \( \Delta H = (\lambda \frac{L}{D} + \sum K) \frac{v^2}{2g} \). Cela simplifie les calculs et réduit les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Sources des pertes de charge
K_aspJ (λ)K_coude
Calcul(s)

Calcul de l'énergie cinétique par unité de poids

\begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(2.037)^2}{2 \times 9.81} \\ &\approx 0.211 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge linéaires \(J_{\text{AC}}\)

\begin{aligned} J_{\text{AC}} &= 0.0139 \times \frac{200}{0.25} \times 0.211 \\ &\approx 2.35 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge singulières \(\Delta H_{\text{s, AC}}\)

\begin{aligned} \Delta H_{\text{s, AC}} &= (0.5 + 0.3) \times 0.211 \\ &= 0.8 \times 0.211 \\ &\approx 0.17 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge totales

\begin{aligned} \Delta H_{\text{A} \to \text{C}} &= J_{\text{AC}} + \Delta H_{\text{s, AC}} \\ &= 2.35 + 0.17 \\ &= 2.52 \text{ m} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge et ligne piézométrique
ACBCharge en ALigne piézométrique (HGL)Ligne de charge (EGL)v²/2g
Réflexions

On remarque que les pertes de charge linéaires (2.35 m, soit 93% du total) sont nettement plus importantes que les pertes singulières (0.17 m, soit 7%). C'est un cas typique pour les conduites de transport relativement longues. Pour des circuits courts avec beaucoup d'accessoires (comme en génie des procédés), la proportion pourrait s'inverser.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier une des composantes (linéaire ou singulière) ou de mal sommer les coefficients K. Faites une liste de toutes les singularités sur votre schéma pour n'en oublier aucune.

Points à retenir

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : La perte d'énergie totale est toujours la somme des pertes linéaires et singulières.
  • Formule Essentielle : \(\Delta H_{\text{tot}} = (\lambda \frac{L}{D} + \sum K) \frac{v^2}{2g}\).
  • Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier de singularités et bien sommer les coefficients K.
Le saviez-vous ?

Les premiers ingénieurs hydrauliciens, comme Henri Darcy au 19ème siècle, ont développé ces formules de manière empirique en réalisant des centaines de mesures sur des conduites réelles pour alimenter en eau les fontaines de Dijon. Leurs travaux sont encore à la base de l'hydraulique moderne !

FAQ
Pourquoi la perte de charge au coude est-elle appliquée au point C ?

La perte d'énergie due à un coude se produit lors du changement de direction. Pour l'analyse du tronçon A vers C, on considère que la perte se matérialise juste après le point C, mais elle est bien causée par le passage en C. On l'inclut donc dans le bilan énergétique jusqu'à ce point pour être conservatif.

Résultat Final
La perte de charge totale entre A et C est de 2.52 m.
A vous de jouer

Si on ajoutait une vanne à moitié ouverte (\(K=2.0\)) entre A et C, quelle serait la nouvelle perte de charge totale ?

Question 5 : Calculer la pression au point C et conclure sur le risque de cavitation

Principe

On applique le principe de conservation de l'énergie (théorème de Bernoulli) entre la surface libre du réservoir A (où l'on connaît toutes les conditions : altitude, pression atmosphérique, vitesse nulle) et le point C (où l'on cherche la pression). La charge totale en C sera égale à la charge initiale en A, diminuée des pertes d'énergie entre A et C.

Mini-Cours

La pression absolue est la pression mesurée par rapport au vide parfait (0 Pa). La pression relative est celle mesurée par rapport à la pression atmosphérique ambiante. On a : \(P_{\text{abs}} = P_{\text{rel}} + P_{\text{atm}}\). Le phénomène de cavitation dépend de la pression absolue, car c'est elle qui est comparée à la pression de vapeur saturante du liquide.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de synthèse qui donne tout son sens aux calculs précédents. Une bonne application de Bernoulli est la clé pour concevoir des systèmes hydrauliques sûrs et fonctionnels. Faites toujours un bilan d'énergie entre un point où vous savez tout et un point où vous cherchez une information.

Normes

Les normes de conception imposent généralement une marge de sécurité. Par exemple, on peut exiger que la pression absolue minimale reste supérieure à la pression de vapeur + une marge (ex: +2 ou 3 mètres de colonne d'eau) pour se prémunir contre les incertitudes et les régimes transitoires.

Formule(s)

Équation de Bernoulli entre A et C

\[ \frac{v_A^2}{2g} + z_A + \frac{P_A}{\rho g} = \frac{v_C^2}{2g} + z_C + \frac{P_C}{\rho g} + \Delta H_{\text{A} \to \text{C}} \]
Hypothèses
  • La vitesse à la surface du réservoir A est considérée comme nulle (\(v_A \approx 0\)).
  • La pression à la surface du réservoir A est la pression atmosphérique (\(P_A = P_{\text{atm}}\)).
  • La vitesse au point C est la vitesse d'écoulement dans la conduite (\(v_C = v\)).
Donnée(s)

On rassemble toutes les données et les résultats précédents.

\(z_A\)10 m
\(z_C\)35 m
\(P_{\text{atm}}\)101325 Pa
\(v_C^2/2g\)0.211 m
\(\Delta H_{\text{A} \to \text{C}}\)2.52 m
Astuces

Visualisez la ligne piézométrique (HGL). Sa hauteur est \(z + P/\rho g\). Le risque de cavitation apparaît si la HGL "plonge" en dessous de l'altitude de la conduite. Notre objectif est de calculer la hauteur de la HGL en C et de la comparer à \(z_C\).

Schéma (Avant les calculs)
Bilan d'énergie entre A et C
ACÉtat 1 (connu)État 2 (inconnu)
Calcul(s)

Isolement de la charge de pression en C

\[ \frac{P_{\text{C,abs}}}{\rho g} = \frac{P_{\text{A,abs}}}{\rho g} + z_A - z_C - \frac{v_C^2}{2g} - \Delta H_{\text{A} \to \text{C}} \]

Calcul de la charge de pression en C

\begin{aligned} \frac{P_{\text{C,abs}}}{\rho g} &= \frac{101325}{998 \times 9.81} + 10 - 35 - 0.211 - 2.52 \\ &= 10.35 - 25 - 0.211 - 2.52 \\ &= -17.38 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de la pression absolue en C

\begin{aligned} P_{\text{C,abs}} &= -17.38 \times (998 \times 9.81) \\ &\approx -170172 \text{ Pa} \end{aligned}

Vérification du risque de cavitation

On compare la pression absolue calculée \(P_{\text{C,abs}}\) à la pression de vapeur saturante \(P_{\text{vap,abs}} = 2340 \text{ Pa}\).

\[ -170172 \text{ Pa} < 2340 \text{ Pa} \Rightarrow \text{Cavitation} \]

Le calcul mène à une pression absolue négative, ce qui est physiquement impossible. La pression ne peut pas descendre en dessous du vide absolu (0 Pa). Cela signifie que bien avant d'atteindre cette valeur théorique, la pression aura chuté en dessous de la pression de vapeur, provoquant la cavitation.

Schéma (Après les calculs)
Ligne piézométrique sous la conduite
zCHGLPression < 0
Réflexions

Le calcul démontre que la pression au point C chuterait à une valeur physiquement impossible. En réalité, dès que la pression absolue atteint la pression de vapeur saturante (2340 Pa), l'eau commence à bouillir (cavitation), et le modèle de Bernoulli n'est plus valide. Le système ne peut pas fonctionner en l'état ; il y aurait une rupture de la colonne d'eau au point haut.

Points de vigilance

La principale erreur à éviter est de mal poser les termes de l'équation de Bernoulli. Il faut bien identifier les points de départ et d'arrivée et inclure TOUTES les pertes de charge entre ces deux points. De plus, il est crucial de bien distinguer pression absolue et pression relative pour la comparaison avec la pression de vapeur.

Points à retenir

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : La pression chute avec l'altitude et les pertes de charge.
  • Formule Essentielle : Le théorème de Bernoulli généralisé.
  • Point de Vigilance Majeur : Comparer la pression absolue à la pression de vapeur.
Le saviez-vous ?

Les "coups de bélier", ces bruits de claquement violents dans les tuyauteries, sont parfois causés par l'implosion de poches de vapeur formées par cavitation lors de l'arrêt brutal d'une pompe ou de la fermeture rapide d'une vanne. La surpression peut être énorme et détruire la canalisation.

FAQ
Comment pourrait-on résoudre ce problème de cavitation ?

Plusieurs solutions existent : 1) Abaisser le profil de la conduite pour que le point C soit moins haut. 2) Augmenter le diamètre de la conduite pour réduire la vitesse et donc les pertes de charge. 3) Placer une pompe en amont pour augmenter la charge avant le point C. 4) Installer une ventouse au point C pour évacuer l'air et la vapeur.

Résultat Final
La pression absolue calculée est négative, ce qui est impossible. Le système est mal conçu et la cavitation se produira inévitablement au point C.
A vous de jouer

Quelle est l'altitude maximale \(z_C\) que la conduite pourrait atteindre avant que la pression absolue ne tombe en dessous de 0 Pa (vide théorique), en gardant les mêmes conditions ?

Outil Interactif : Simulateur de Pression

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et l'altitude du point haut. Observez l'impact direct sur la pression relative au point C et sur le risque de cavitation.

Paramètres d'Entrée
100 L/s
35 m
Résultats Clés
Pression Relative en C (bar) -
Vitesse d'écoulement (m/s) -
Risque de Cavitation -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quand le phénomène de cavitation apparaît-il ?

2. Dans l'équation de Bernoulli, que représentent les pertes de charge ?

3. Si on augmente le débit dans la conduite, comment évolue la pression au point haut C (toute autre chose égale) ?

4. De quoi dépend principalement le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) en régime turbulent ?

Glossaire

Cavitation
Phénomène de vaporisation d'un liquide lorsque sa pression locale devient inférieure à sa pression de vapeur saturante. L'implosion des bulles de vapeur ainsi créées peut causer des dommages importants aux équipements.
Charge Hydraulique
Représente l'énergie totale d'un fluide par unité de poids, exprimée en mètres. C'est la somme de la hauteur géométrique (z), de la hauteur de pression (P/\(\rho\)g) et de la hauteur cinétique (v²/2g).
Pertes de Charge
Diminution de la charge hydraulique (énergie) due aux frottements du fluide sur les parois (pertes linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui permet de caractériser le régime d'un écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent). Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces de viscosité.
Détermination de la Pression Minimale en un Point Haut

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