ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination de la Pression Différentielle

Exercice : Pression Différentielle en Hydraulique

Détermination de la Pression Différentielle

Contexte : Le manomètre différentielInstrument de mesure utilisé pour déterminer la différence de pression entre deux points dans un système fluide..

En mécanique des fluides, la mesure de la différence de pression entre deux points d'un écoulement est fondamentale. Elle permet de calculer des débits (avec un tube de Venturi), de quantifier les pertes de charge ou de surveiller le fonctionnement d'équipements. L'un des outils les plus classiques pour cette mesure est le manomètre en U. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de cette pression différentielle en appliquant les principes de la statique des fluides.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi fondamentale de l'hydrostatique pour analyser un instrument de mesure courant et traduire une hauteur de fluide en une différence de pression.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe de fonctionnement d'un manomètre en U.
  • Appliquer la relation fondamentale de l'hydrostatique.
  • Calculer une différence de pression à partir de données géométriques et de propriétés de fluides.
  • Maîtriser les conversions d'unités pour la pression et la masse volumique.

Données de l'étude

On cherche à mesurer la différence de pression entre deux points A et B d'une canalisation horizontale transportant de l'eau. Pour ce faire, on utilise un manomètre en U contenant du mercure. La distance verticale entre le centre de la canalisation (point A) et l'interface eau-mercure dans la branche de gauche (point C) est de 200 mm.

Schéma du Manomètre Différentiel
Écoulement d'eau A B C Mercure h h_AC
Paramètre Description Valeur Unité
\(\rho_{\text{eau}}\) Masse volumique de l'eau 1000 \(\text{kg/m}^3\)
\(\rho_{\text{mercure}}\) Masse volumique du mercure 13600 \(\text{kg/m}^3\)
\(h\) Dénivellation du mercure 50 \(\text{mm}\)
\(h_{\text{AC}}\) Distance verticale A-C 200 \(\text{mm}\)
\(g\) Accélération de la pesanteur 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la différence de pression \( \Delta P = P_{\text{A}} - P_{\text{B}} \) entre les points A et B.
  2. En supposant que la pression absolue au point A est de 1.2 bar, déterminez la pression absolue au point C (interface eau/mercure).
  3. Inversement, si l'on souhaite mesurer une différence de pression de 10 kPa, quelle serait la dénivellation \(h\) observée sur le manomètre ?

Les bases de l'hydrostatique

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser la relation fondamentale de l'hydrostatique, qui lie la pression, la masse volumique et l'altitude dans un fluide au repos.

1. Relation Fondamentale de l'Hydrostatique
Pour un fluide incompressible de masse volumique \(\rho\), la différence de pression entre deux points 1 et 2 est donnée par : \[ P_2 - P_1 = - \rho \cdot g \cdot (z_2 - z_1) \] Où \(z\) est l'altitude (axe vertical ascendant). Plus simplement, si on descend d'une hauteur \(H\), la pression augmente de \(\rho \cdot g \cdot H\).

2. Principe de Pascal
Dans un fluide au repos, deux points situés à la même altitude ont la même pression. Ce principe est crucial pour "traverser" le manomètre d'une branche à l'autre au niveau du fluide le plus bas.

Correction : Détermination de la Pression Différentielle

Question 1 : Calculer la différence de pression \( \Delta P = P_{\text{A}} - P_{\text{B}} \)

Principe

L'idée est de "parcourir" le chemin du point A au point B à travers les tubes et le manomètre, en ajoutant ou en retirant de la pression à chaque fois que l'on change d'altitude. On utilise le fait que la pression est la même à altitude égale dans un même fluide continu pour passer d'une branche à l'autre du manomètre.

Mini-Cours

La pression en un point d'un fluide dépend de la colonne de fluide située au-dessus de lui. En partant d'un point de pression connue (ou inconnue, comme \(P_{\text{A}}\)), on peut calculer la pression en tout autre point en suivant un chemin et en appliquant la formule \( \Delta P = \rho \cdot g \cdot h \) pour chaque segment vertical.

Remarque Pédagogique

La méthode la plus sûre est de partir du point A, de "descendre" jusqu'au niveau le plus bas du mercure, de "remonter" de l'autre côté jusqu'au point B, et de poser l'équation. On nomme les points d'interface pour plus de clarté. Soient C le point d'interface eau/mercure dans la branche de gauche et D le point à la même altitude que C dans la branche de droite.

Normes

Ce calcul ne dépend pas de normes spécifiques (comme les Eurocodes), mais des principes fondamentaux et universels de la physique des fluides, établis par des scientifiques comme Pascal et Bernoulli.

Formule(s)

Équation de base

\[ P_{\text{A}} - P_{\text{B}} = (\rho_{\text{mercure}} - \rho_{\text{eau}}) \cdot g \cdot h \]
Hypothèses

Pour que ce calcul soit valide, nous posons plusieurs hypothèses simplificatrices.

  • Les fluides (eau et mercure) sont incompressibles et non miscibles.
  • Le système est au repos (statique) au moment de la mesure.
  • La pression est uniforme sur une section droite de la canalisation.
Donnée(s)

Nous rappelons ici les valeurs numériques nécessaires pour cette question.

  • Masse volumique de l'eau, \(\rho_{\text{eau}}\) = 1000 \(\text{kg/m}^3\)
  • Masse volumique du mercure, \(\rho_{\text{mercure}}\) = 13600 \(\text{kg/m}^3\)
  • Dénivellation, \(h\) = 50 \(\text{mm}\)
  • Accélération de la pesanteur, \(g\) = 9.81 \(\text{m/s}^2\)
Astuces

Attention aux unités ! C'est la source d'erreur N°1. Convertissez systématiquement toutes les longueurs en mètres (m) avant de faire l'application numérique pour être cohérent avec le Système International.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est notre point de départ. Il nous permet de visualiser les différentes colonnes de fluide et la dénivellation \(h\) qui est la clé du calcul.

Modélisation du problème
Canalisation (Eau)ABFluide ManométriqueCDh
Calcul(s)

Nous appliquons la formule en convertissant d'abord la hauteur en mètres.

\[ \begin{aligned} P_{\text{A}} - P_{\text{B}} &= (\rho_{\text{mercure}} - \rho_{\text{eau}}) \cdot g \cdot h \\ &= (13600 - 1000) \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times (50 \times 10^{-3} \text{ m}) \\ &= 12600 \times 9.81 \times 0.05 \\ &= 6180.3 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul montre un équilibre des pressions. Le schéma suivant illustre cet équilibre au niveau de l'interface C-D. La pression exercée par la colonne de gauche (depuis A) est égale à la pression exercée par la colonne de droite (depuis B) plus la surpression du mercure.

Équilibre des Pressions au niveau C-D
Niveau d'équilibre (C-D)Pression en CPression en D
Réflexions

Le résultat de 6180.3 Pa (soit environ 6.18 kPa) est positif, ce qui confirme que la pression au point A est supérieure à celle au point B. Cela est cohérent avec un écoulement de A vers B qui subirait des pertes de charge.

Points de vigilance

La principale erreur est d'oublier de soustraire la masse volumique du fluide de la canalisation (\(\rho_{\text{eau}}\)) dans la formule. La dénivellation \(h\) n'est pas due uniquement au poids du mercure, mais à la différence de poids entre la colonne de mercure et une colonne équivalente d'eau.

Points à retenir

Pour un manomètre différentiel, la différence de pression est proportionnelle à la dénivellation et à la différence des masses volumiques entre le fluide manométrique et le fluide de la canalisation.

  • Formule clé : \( \Delta P = (\rho_{\text{mano}} - \rho_{\text{fluide}}) \cdot g \cdot h \)
  • Toujours convertir les unités dans le Système International.
Le saviez-vous ?

Le premier baromètre à mercure, un instrument proche du manomètre, a été inventé en 1643 par Evangelista Torricelli, un élève de Galilée. Cette invention a non seulement permis de mesurer la pression atmosphérique mais a aussi prouvé l'existence du vide, un concept très débattu à l'époque.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce type de calcul.

Et si la canalisation n'était pas horizontale ?

Si les points A et B ne sont pas à la même altitude, il faut ajouter le terme de pression hydrostatique dû à leur différence de hauteur. La formule deviendrait \( (P_{\text{A}} + \rho_{\text{eau}}gz_{\text{A}}) - (P_{\text{B}} + \rho_{\text{eau}}gz_{\text{B}}) = (\rho_{\text{mercure}} - \rho_{\text{eau}})gh \).

Pourquoi utiliser du mercure et pas de l'eau dans le manomètre ?

Le mercure est 13.6 fois plus dense que l'eau. Pour une même différence de pression, la dénivellation \(h\) sera 13.6 fois plus faible avec le mercure. Cela permet d'utiliser des manomètres beaucoup plus compacts pour mesurer de fortes pressions.

Résultat Final
La différence de pression entre les points A et B est de 6180.3 Pa.
A vous de jouer

Recalculez la différence de pression si la dénivellation \(h\) était de 80 mm.

Question 2 : Calculer la pression au point C (interface)

Principe

Pour trouver la pression au point C, on part de la pression connue au point A et on applique la loi de l'hydrostatique pour la colonne d'eau qui les sépare. Comme on descend de A vers C, la pression va augmenter.

Mini-Cours

La loi de l'hydrostatique stipule que la pression augmente linéairement avec la profondeur. Cette augmentation est égale au produit de la masse volumique du fluide \(\rho\), de l'accélération de la pesanteur \(g\), et de la hauteur de la colonne de fluide \(h\). C'est le poids de la colonne de fluide qui vient s'ajouter à la pression de surface.

Remarque Pédagogique

Cette question est une application directe de la relation \(P_{\text{bas}} = P_{\text{haut}} + \rho g h\). Il faut juste être vigilant à bien identifier le fluide entre les deux points (ici, de l'eau) et à utiliser les bonnes unités.

Normes

Comme pour la question 1, ce calcul est régi par les principes de base de la physique et ne fait pas appel à des normes de construction spécifiques.

Formule(s)

Équation de l'hydrostatique

\[ P_{\text{C}} = P_{\text{A}} + \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot h_{\text{AC}} \]
Hypothèses

On reprend les hypothèses de la statique des fluides : l'eau est un fluide incompressible et au repos dans la branche du manomètre.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et la nouvelle information de cette question.

  • Pression en A, \(P_{\text{A}}\) = 1.2 \(\text{bar}\)
  • Masse volumique de l'eau, \(\rho_{\text{eau}}\) = 1000 \(\text{kg/m}^3\)
  • Distance verticale, \(h_{\text{AC}}\) = 200 \(\text{mm}\)
  • Accélération de la pesanteur, \(g\) = 9.81 \(\text{m/s}^2\)
Astuces

Une conversion utile à mémoriser : 1 bar = \(10^5\) Pa. Cela permet de passer rapidement d'une unité à l'autre sans risque d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la partie gauche du manomètre, entre le point A dans la canalisation et le point C à l'interface.

Zoom sur la branche gauche
CanalisationACh_AC
Calcul(s)

La première étape cruciale est de convertir toutes les unités dans le Système International (Pascals pour la pression, mètres pour la longueur).

\[ \begin{aligned} P_{\text{C}} &= P_{\text{A}} + \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot h_{\text{AC}} \\ &= (1.2 \times 10^5 \text{ Pa}) + (1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 0.2 \text{ m}) \\ &= 120000 \text{ Pa} + 1962 \text{ Pa} \\ &= 121962 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul est confirmé : la pression en C est la somme de la pression en A et de la pression de la colonne d'eau. Ce diagramme représente l'addition des pressions.

Composition de la Pression en C
Pression en CPression en APoids Colonne EauPression C
Réflexions

La pression au point C est de 121962 Pa, soit environ 1.22 bar. Elle est logiquement supérieure à la pression en A, car le point C supporte le poids de la colonne d'eau de 200 mm en plus de la pression initiale en A. Cette étape est fondamentale pour comprendre comment la pression est transmise dans le manomètre.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune serait de mal convertir les bars en Pascals (un facteur 100 000) ou d'oublier de convertir les millimètres en mètres. Une autre erreur serait de soustraire la pression de la colonne d'eau au lieu de l'ajouter, en oubliant que la pression augmente avec la profondeur.

Points à retenir

La pression dans un fluide augmente lorsque l'on descend et diminue lorsque l'on monte. Cette variation est directement proportionnelle à la hauteur verticale du déplacement.

Le saviez-vous ?

La pression atmosphérique standard au niveau de la mer est d'environ 101325 Pa, soit 1.01325 bar. C'est la pression exercée par le poids de toute la colonne d'air au-dessus de nos têtes !

FAQ

Voici une question fréquente sur ce calcul.

La pression calculée est-elle absolue ou relative ?

Comme la pression de départ \(P_{\text{A}}\) est donnée en pression absolue (1.2 bar), le résultat \(P_{\text{C}}\) est également une pression absolue. Si \(P_{\text{A}}\) avait été une pression relative (par rapport à la pression atmosphérique), \(P_{\text{C}}\) aurait aussi été une pression relative.

Résultat Final
La pression absolue au point C est de 121962 Pa (ou 1.21962 bar).
A vous de jouer

Quelle serait la pression en C (en Pa) si la pression en A était de 1.5 bar ?

Question 3 : Calculer la dénivellation \(h\) pour un \(\Delta P\) donné

Principe

Cette question est l'inverse de la première. On connaît la différence de pression que l'on veut mesurer, et on cherche la conséquence géométrique sur le manomètre. Il suffit de réarranger la formule de la question 1 pour isoler la variable que l'on cherche, c'est-à-dire \(h\).

Mini-Cours

La manipulation algébrique d'équations est une compétence fondamentale en sciences. Partant de \(Y = A \cdot X\), si l'on cherche \(X\), on divise par \(A\) des deux côtés pour obtenir \(X = Y/A\). Ici, \(Y\) est \(\Delta P\), \(A\) est le terme \((\rho_{\text{mercure}} - \rho_{\text{eau}}) \cdot g\), et \(X\) est notre inconnue \(h\).

Remarque Pédagogique

Ce type de calcul "inverse" est très courant en ingénierie. On l'utilise pour le dimensionnement : on connaît la contrainte à ne pas dépasser (ici, la pression à mesurer) et on en déduit une dimension géométrique (ici, la hauteur \(h\) que doit pouvoir accommoder l'instrument).

Normes

Aucune norme spécifique ne s'applique ici, il s'agit d'une application directe des lois de la physique.

Formule(s)

Formule de la dénivellation

\[ h = \frac{P_{\text{A}} - P_{\text{B}}}{(\rho_{\text{mercure}} - \rho_{\text{eau}}) \cdot g} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : fluides incompressibles, système statique, etc.

Donnée(s)

On utilise les données de base et la nouvelle différence de pression.

  • Pression différentielle, \(P_{\text{A}} - P_{\text{B}}\) = 10 \(\text{kPa}\)
  • Masse volumique de l'eau, \(\rho_{\text{eau}}\) = 1000 \(\text{kg/m}^3\)
  • Masse volumique du mercure, \(\rho_{\text{mercure}}\) = 13600 \(\text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur, \(g\) = 9.81 \(\text{m/s}^2\)
Astuces

Avant de faire le calcul, on peut anticiper le résultat. 10 kPa est un peu plus grand que les 6.18 kPa de la Q1. La hauteur \(h\) devrait donc être un peu plus grande que 50 mm. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur du résultat final.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma est le même que celui de l'énoncé, mais cette fois, la valeur de \(h\) est l'inconnue que nous cherchons à déterminer.

Schéma avec Inconnue
Canalisation (Eau)ABMercure?
Calcul(s)

On convertit la pression en Pascals, puis on applique la formule réarrangée.

\[ \begin{aligned} h &= \frac{P_{\text{A}} - P_{\text{B}}}{(\rho_{\text{mercure}} - \rho_{\text{eau}}) \cdot g} \\ &= \frac{10 \times 10^3 \text{ Pa}}{(13600 - 1000) \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\ &= \frac{10000}{123606} \\ &\approx 0.0809 \text{ m} \\ &\Rightarrow h \approx 80.9 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant mettre à jour le schéma initial avec la valeur calculée pour la dénivellation.

Résultat du dimensionnement
h ≈ 81 mm
Réflexions

Pour une pression différentielle de 10 kPa, on observerait une dénivellation de 81 mm. C'est une valeur plus grande que les 50 mm de la question 1, ce qui est logique puisque la pression à mesurer (10 kPa) est plus grande que celle calculée initialement (6.18 kPa). Cela montre la relation de proportionnalité directe entre \( \Delta P \) et \(h\).

Points de vigilance

Lors de la réorganisation de la formule, une erreur fréquente est d'inverser le numérateur et le dénominateur. Assurez-vous que la pression est bien au numérateur. Un bon moyen de vérifier est l'analyse dimensionnelle : on divise des Pascals (N/m²) par des (kg/m³ * m/s²), ce qui donne bien des mètres.

Points à retenir

La même formule physique peut être utilisée pour trouver différentes inconnues en fonction du problème posé. La maîtrise de la manipulation algébrique est donc aussi importante que la connaissance de la formule elle-même.

Le saviez-vous ?

Les manomètres modernes sont souvent électroniques et utilisent des capteurs à membrane ou piézoélectriques. Cependant, le manomètre en U reste un outil d'étalonnage de référence en raison de sa simplicité, de sa robustesse et de sa lecture directe basée sur les lois fondamentales de la physique.

FAQ

Voici une question fréquente sur ce type de calcul.

Que se passe-t-il si la pression en B est supérieure à celle en A ?

Si \(P_{\text{B}} > P_{\text{A}}\), la différence de pression \(P_{\text{A}} - P_{\text{B}}\) serait négative. Dans la réalité, cela signifie que la dénivellation serait inversée : le niveau de mercure serait plus haut dans la branche de gauche (côté A) que dans la branche de droite.

Résultat Final
La dénivellation du mercure observée serait d'environ 81 mm.
A vous de jouer

Quelle serait la dénivellation \(h\) (en mm) pour une différence de pression de 5 kPa ?

Outil Interactif : Simulateur de Manomètre

Utilisez les curseurs pour faire varier la dénivellation du fluide manométrique et sa masse volumique, et observez l'impact direct sur la différence de pression calculée. Le fluide de la canalisation est de l'eau (\(1000 \text{ kg/m}^3\)).

Paramètres d'Entrée
50 mm
13600 kg/m³
Résultats Clés
Pression Différentielle (Pa) -
Pression Différentielle (kPa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est l'objectif principal d'un manomètre différentiel ?

2. Si la dénivellation \(h\) dans le manomètre à mercure double, que devient la différence de pression ?

3. Quel principe physique fondamental permet d'affirmer que la pression est la même à deux points situés à la même altitude dans un fluide continu au repos ?

4. Pourquoi le mercure (\(\rho \approx 13600 \text{ kg/m}^3\)) est-il souvent préféré à l'huile (\(\rho \approx 900 \text{ kg/m}^3\)) dans les manomètres ?

5. Si la pression en A est de 15000 Pa et la pression en B est de 10000 Pa, que vaut \(P_{\text{A}} - P_{\text{B}}\) ?

Pression Différentielle
La différence de pression entre deux points d'un système. Notée \( \Delta P \).
Hydrostatique
Branche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos.
Masse Volumique
Masse d'un matériau par unité de volume. Notée \(\rho\), elle s'exprime en kg/m³.
Pascal (Pa)
L'unité de mesure de la pression dans le Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (N/m²).
Exercice : Détermination de la Pression Différentielle

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