Détermination de la Pression Différentielle

Comprendre les Manomètres Différentiels

Un manomètre différentiel est un instrument utilisé pour mesurer la différence de pression entre deux points. Il est particulièrement utile dans l'étude des écoulements pour déterminer les pertes de charge ou pour mesurer des débits via un tube de Venturi ou une plaque à orifice. L'appareil est typiquement un tube en U contenant un fluide manométrique dense, qui relie les deux points dont on veut connaître la différence de pression. En appliquant la loi fondamentale de l'hydrostatique, on peut relier la différence de pression à la différence de hauteur des colonnes de fluide.

Données de l'étude

Deux conduites horizontales, A et B, transportant respectivement de l'huile et de l'eau, sont connectées par un manomètre différentiel à mercure.

Caractéristiques physiques et géométriques :

Fluide en A : Huile (\(\rho_{\text{huile}} = 900 \, \text{kg/m}^3\))
Fluide en B : Eau (\(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
Fluide manométrique : Mercure (\(\rho_{\text{mercure}} = 13600 \, \text{kg/m}^3\))
Hauteur \(h_1 = 300 \, \text{mm}\)
Hauteur \(h_2 = 150 \, \text{mm}\)
Hauteur \(h_3 = 450 \, \text{mm}\)
Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma : Manomètre différentiel

On cherche à déterminer la différence de pression \(P_A - P_B\).

Questions à traiter

Écrire l'équation de la manométrie en partant du point A et en allant jusqu'au point B.
Réarranger l'équation pour isoler la différence de pression \(P_A - P_B\).
Calculer numériquement la différence de pression en Pascals (Pa).

Correction : Détermination de la Pression Différentielle

Question 1 : Équation de la manométrie

Principe :

On applique la loi fondamentale de l'hydrostatique en suivant un chemin continu à travers les fluides, du point A au point B. On part de \(P_A\). On descend dans l'huile, donc la pression augmente. On descend ensuite dans le mercure, la pression augmente encore. Enfin, on remonte dans l'eau jusqu'au point B, donc la pression diminue. On choisit le niveau le plus bas du mercure comme point de départ commun pour "traverser" le manomètre.

L'équation s'écrit en partant de A, en descendant jusqu'à l'interface inférieure du mercure, puis en remontant jusqu'à B. Une autre méthode, plus directe, consiste à écrire que la pression est la même aux deux points de l'interface la plus basse du fluide manométrique.

Posons X le point dans la branche gauche à la même altitude que l'interface mercure-eau dans la branche droite. \[P_X = P_A + \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot (h_1 + h_3)\] Posons Y le point dans la branche droite à cette même altitude. \[P_Y = P_B + \rho_{\text{eau}} \cdot g \cdot h_2 + \rho_{\text{mercure}} \cdot g \cdot h_3\] Comme X et Y sont à la même altitude dans le même fluide (mercure), on a \(P_X = P_Y\).

Formule(s) utilisée(s) :

P_A + \rho_{\text{huile}} g (h_1+h_3) = P_B + \rho_{\text{eau}} g h_2 + \rho_{\text{mercure}} g h_3

Question 2 : Isoler la différence de pression \(P_A - P_B\)

Principe :

Il s'agit d'une simple manipulation algébrique de l'équation obtenue à l'étape précédente pour regrouper les termes de pression d'un côté et les termes de hauteur et de densité de l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :

P_A - P_B = \rho_{\text{eau}} g h_2 + \rho_{\text{mercure}} g h_3 - \rho_{\text{huile}} g (h_1+h_3)

Résultat Question 2 : L'équation réarrangée est \(P_A - P_B = g (\rho_{\text{eau}} h_2 + \rho_{\text{mercure}} h_3 - \rho_{\text{huile}} (h_1+h_3))\).

Question 3 : Calcul numérique de la différence de pression

Principe :

On remplace les variables par leurs valeurs numériques en veillant à utiliser des unités cohérentes (le Système International : mètres, kg, secondes). Le résultat sera directement en Pascals (Pa).

Données spécifiques (en unités SI) :

\(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
\(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\), \(\rho_{\text{huile}} = 900 \, \text{kg/m}^3\), \(\rho_{\text{mercure}} = 13600 \, \text{kg/m}^3\)
\(h_1 = 0.30 \, \text{m}\), \(h_2 = 0.15 \, \text{m}\), \(h_3 = 0.45 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} P_A - P_B &= 9.81 \times [ (1000 \times 0.15) + (13600 \times 0.45) - (900 \times (0.30 + 0.45)) ] \\ &= 9.81 \times [ 150 + 6120 - (900 \times 0.75) ] \\ &= 9.81 \times [ 6270 - 675 ] \\ &= 9.81 \times 5595 \\ &= 54886.95 \, \text{Pa} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La différence de pression est \(P_A - P_B \approx 54.89 \, \text{kPa}\). Puisque le résultat est positif, la pression en A est supérieure à la pression en B.

Quiz Intermédiaire : Si le fluide manométrique (mercure) était remplacé par un fluide moins dense, la différence de hauteur \(h_3\) pour la même différence de pression serait :

Plus petite.
Plus grande.
Inchangée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression dans un fluide au repos à la même altitude est :

Toujours différente.
Dépendante de la forme du contenant.
Toujours la même.

2. Quand on descend dans un fluide, la pression hydrostatique :

Augmente.
Diminue.
Reste constante.

Glossaire

Manomètre Différentiel: Dispositif utilisant un ou plusieurs fluides pour mesurer la différence de pression entre deux points distincts, souvent dans des conduites ou des systèmes d'écoulement.
Loi Fondamentale de l'Hydrostatique: Principe qui énonce que la différence de pression entre deux points dans un fluide au repos est égale au poids de la colonne de fluide qui les sépare (\(\Delta P = \rho g h\)).
Pression Différentielle: Différence de pression, \(P_A - P_B\), entre deux points A et B. Elle est fondamentale pour analyser les écoulements de fluides et calculer les pertes de charge.

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