Détermination de la hauteur de remontée capillaire
Contexte : L'Effet de la Tension Superficielle
La capillarité est le phénomène par lequel un liquide a tendance à monter (ou descendre) dans un tube très fin ou entre des surfaces rapprochées. Cet effet, visible au quotidien lorsque l'on trempe un sucre dans un café, est dû aux forces de tension superficielleForce qui existe à la surface d'un liquide, due à la cohésion entre ses molécules. Elle tend à minimiser la surface du liquide. du liquide et à son adhésion avec la surface solide. En hydraulique, la capillarité est cruciale pour comprendre le comportement des fluides dans les milieux poreux (comme les sols) ou dans de petits conduits. Cet exercice a pour but de calculer la hauteur de cette remontée à l'aide de la loi de Jurin.
Remarque Pédagogique : L'équilibre des forces est au cœur de ce problème. La force de tension superficielle, qui tire le liquide vers le haut le long des parois, doit être équilibrée par le poids de la colonne de liquide qui a été soulevée. Comprendre cette balance permet de dériver la formule de la hauteur capillaire.
Objectifs Pédagogiques
- Définir la tension superficielle et l'angle de contact.
- Calculer la force ascensionnelle due à la capillarité.
- Calculer le poids de la colonne de liquide soulevée.
- Appliquer la loi de Jurin pour déterminer la hauteur de remontée capillaire.
Données de l'étude
- Tension superficielle de l'eau : \(\sigma = 0.073 \, \text{N/m}\)
- Angle de contactAngle formé par la surface du liquide et la paroi du solide. Pour l'eau sur du verre propre, il est proche de 0°. eau-verre : \(\theta = 0^\circ\)
- Écartement entre les plaques : \(e = 0.5 \, \text{mm}\)
- Masse volumique de l'eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma de la Remontée Capillaire
Questions à traiter
- Calculer la force ascensionnelle due à la tension superficielle (\(F_{\text{cap}}\)) par unité de longueur de plaque.
- Exprimer le poids de la colonne d'eau soulevée (\(P\)) par unité de longueur, en fonction de la hauteur \(h_c\).
- En posant l'équilibre des forces, déduire l'expression de la hauteur capillaire \(h_c\) (Loi de Jurin pour deux plaques).
- Calculer la valeur numérique de \(h_c\).
Correction : Détermination de la hauteur capillaire
Question 1 : Force ascensionnelle capillaire (\(F_{\text{cap}}\))
Principe :
La tension superficielle \(\sigma\) est une force par unité de longueur. Elle agit le long de la ligne de contact entre le liquide, le solide et l'air. Seule sa composante verticale, \(\sigma \cos(\theta)\), contribue à soulever le liquide. Comme il y a deux plaques, cette force s'exerce sur deux lignes de contact.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Il est crucial de ne pas oublier qu'il y a deux lignes de contact (une sur chaque plaque) qui "tirent" le liquide vers le haut. La force totale est donc le double de la force sur une seule plaque.
Formule utilisée
Calcul
Question 2 : Poids de la colonne d'eau (\(P\))
Principe :
Le poids de la colonne d'eau soulevée est égal à la masse de cette colonne multipliée par l'accélération de la pesanteur. La masse est le volume de la colonne multiplié par la masse volumique de l'eau. On calcule ce poids par unité de longueur (perpendiculaire aux plaques).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : On néglige le petit volume d'eau dans le ménisqueSurface courbe d'un liquide à l'interface avec un solide, due à la tension superficielle. (la partie courbée). Le volume est donc approché par un simple parallélépipède de hauteur \(h_c\), de largeur \(e\), et de longueur 1 (puisqu'on calcule par unité de longueur).
Formule(s) utilisée(s) :
Expression du Poids
Question 3 : Loi de Jurin pour deux plaques
Principe :
À l'équilibre, la force capillaire ascensionnelle est exactement compensée par le poids de la colonne de liquide soulevée. En égalant les deux expressions trouvées précédemment, on peut isoler la hauteur \(h_c\).
Calcul
Question 4 : Calcul numérique de \(h_c\)
Principe :
Il s'agit maintenant de l'application numérique de la formule de Jurin, en veillant à ce que toutes les unités soient cohérentes (unités du Système International : mètres, kilogrammes, secondes).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : L'erreur la plus commune ici est l'unité de l'écartement \(e\). Il est donné en millimètres (mm) et doit impérativement être converti en mètres (m) avant le calcul, en divisant par 1000.
Calcul
Tableau Récapitulatif Interactif
Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.
| Paramètre | Valeur Calculée |
|---|---|
| Force Capillaire (\(F_{\text{cap}}\)) | Cliquez pour révéler |
| Hauteur de Remontée (\(h_c\)) | Cliquez pour révéler |
À vous de jouer ! (Défi)
Nouveau Scénario : On souhaite obtenir une remontée capillaire de \(h_c = 50 \, \text{mm}\) en utilisant un liquide différent mais en gardant le même écartement (\(e=0.5 \, \text{mm}\)) et le même angle de contact (\(\theta=0^\circ\)). La masse volumique de ce nouveau liquide est de \(1200 \, \text{kg/m}^3\). Quelle doit être sa tension superficielle \(\sigma\) ?
Pièges à Éviter
Conversion des unités : L'écartement (\(e\)) doit être en mètres, pas en millimètres. C'est la source d'erreur la plus fréquente.
Oublier un des deux "côtés" : La force de tension s'exerce sur les deux plaques. Oublier le facteur 2 dans la formule de la force est une erreur classique.
Simulation Interactive de la Capillarité
Variez les paramètres pour visualiser l'impact sur la hauteur de remontée capillaire.
Paramètres de Simulation
Visualisation de la Hauteur (en mm)
Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion
1. Remontée dans un tube
Comment la formule changerait-elle pour un tube circulaire de rayon \(r\) ? La ligne de contact est un cercle de périmètre \(2\pi r\) et la section de la colonne d'eau est un disque d'aire \(\pi r^2\). Refaites le bilan des forces pour trouver la loi de Jurin pour un tube.
2. Effet de la température
La tension superficielle de l'eau diminue lorsque la température augmente. Comment une augmentation de la température affecterait-elle la hauteur de remontée capillaire ?
Le Saviez-Vous ?
Les arbres géants comme les séquoias utilisent la capillarité pour faire monter la sève sur des hauteurs de plus de 100 mètres ! Leurs vaisseaux conducteurs (le xylème) sont un réseau de tubes extrêmement fins où les forces de capillarité et de cohésion de l'eau sont suffisantes pour vaincre la gravité sur des distances impressionnantes.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si l'angle de contact est supérieur à 90° ?
Si \(\theta > 90^\circ\), comme c'est le cas pour le mercure sur du verre, le terme \(\cos(\theta)\) devient négatif. La "hauteur" capillaire \(h_c\) devient alors négative, ce qui signifie que le niveau du liquide entre les plaques est plus bas que le niveau extérieur. On parle alors de "dépression capillaire".
La largeur des plaques a-t-elle une importance ?
Pour ce calcul (force par unité de longueur), non. Cependant, dans un cas réel, la largeur des plaques intervient pour calculer la force totale et le poids total de la colonne d'eau. La hauteur de remontée, elle, ne dépend que de l'écartement entre les plaques, pas de leur largeur.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on divise par deux l'écartement (\(e\)) entre les plaques, la hauteur de remontée capillaire (\(h_c\)) est :
2. Quel paramètre ne fait PAS monter le niveau d'eau par capillarité ?
Glossaire
- Tension Superficielle
- Force qui existe à la surface d'un liquide, due à la cohésion entre ses molécules. Elle tend à minimiser la surface du liquide et s'exprime en N/m.
- Angle de Contact
- Angle (\(\theta\)) formé à la jonction d'une interface liquide-solide-gaz. Il mesure le degré de "mouillabilité" d'un solide par un liquide.
- Ménisque
- Surface courbe d'un liquide à l'interface avec un solide, due à la tension superficielle. Il est concave si le liquide mouille la paroi (ex: eau sur verre) et convexe sinon (ex: mercure sur verre).
- Loi de Jurin
- Loi physique qui décrit la hauteur de montée ou de descente d'un liquide dans un tube capillaire ou entre des plaques.
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