Détermination de la forme de la surface libre

Hydraulique : Surface Libre d'un Liquide en Rotation

Détermination de la forme de la surface libre d'un liquide en rotation

Contexte : La Danse des Forces dans un Fluide en Rotation

Lorsqu'un récipient cylindrique contenant un liquide est mis en rotation à une vitesse angulaire constante autour de son axe vertical, la surface du liquide, initialement plate, se creuse. Chaque particule de fluide est soumise à deux forces : son poids (vers le bas) et la force centrifugeForce apparente qui semble éloigner un objet du centre de rotation. Elle est due à l'inertie de l'objet. Formule : Fc = mω²r. (horizontalement vers l'extérieur). L'équilibre de ces forces donne à la surface libre une forme de paraboloïde de révolutionSurface tridimensionnelle obtenue en faisant tourner une parabole autour de son axe de symétrie.. Cet exercice vise à déterminer mathématiquement l'équation de cette surface.

Remarque Pédagogique : Ce phénomène n'est pas qu'une curiosité de laboratoire. Il est au cœur du fonctionnement des pompes centrifuges, des séparateurs, et a même permis la création de télescopes à miroir liquide, où un bassin de mercure en rotation forme un miroir parabolique parfait à faible coût.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre les forces agissant sur une particule de fluide en rotation uniforme.
Établir l'équation différentielle de la surface libre.
Déterminer l'équation de la parabole formée par la surface du liquide.
Calculer la hauteur du liquide en fonction de la vitesse de rotation et de la position radiale.
Appliquer le principe de conservation du volume pour trouver les nouvelles hauteurs.

Données de l'étude

Un récipient cylindrique ouvert, de rayon \(R = 10 \, \text{cm}\), contient de l'eau jusqu'à une hauteur \(h_0 = 15 \, \text{cm}\) au repos. Le récipient est ensuite mis en rotation à une vitesse angulaire constante \(\omega\) autour de son axe vertical.

Schéma du Liquide au Repos et en Rotation

Donnée :

Intensité de la pesanteur : \(g = 9.8 \, \text{N/kg}\)

Questions à traiter

Établir l'équation littérale de la surface libre \(z(r)\), en posant que la hauteur au centre est \(z(0) = h_c\).
Calculer la différence de hauteur \(\Delta h = z(R) - z(0)\) entre le bord du récipient et le centre pour une vitesse angulaire \(\omega = 15 \, \text{rad/s}\).
En utilisant la conservation du volume, calculer les hauteurs finales au centre (\(h_c\)) et au bord (\(h_R\)) du récipient pour cette même vitesse de rotation.

Correction : Détermination de la forme de la surface libre d'un liquide en rotation

Question 1 : Équation de la Surface Libre

Principe :

La surface libre est une surface isobare (pression constante). La pente en tout point de cette surface est perpendiculaire à la résultante des forces agissant sur une particule de fluide (poids et force centrifuge). La tangente de l'angle \(\theta\) que fait la surface avec l'horizontale est égale au rapport de la force centrifuge sur le poids.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'étape cruciale est de comprendre que la forme de la surface est dictée par l'équilibre local des forces. En intégrant cet équilibre sur toute la surface, on obtient sa forme globale. C'est un exemple puissant de passage d'une loi locale (pente) à une forme globale (équation de la courbe).

Formule(s) utilisée(s) :

\frac{dz}{dr} = \tan(\theta) = \frac{F_c}{P} = \frac{m \omega^2 r}{mg} = \frac{\omega^2 r}{g}

\int dz = \int \frac{\omega^2 r}{g} dr \Rightarrow z(r) = \frac{\omega^2 r^2}{2g} + C

Donnée(s) :

Aucune donnée numérique n'est nécessaire pour cette question littérale. On utilise la condition aux limites : pour \(r=0\), la hauteur est \(z(0) = h_c\).

Calcul(s) :

En remplaçant la constante d'intégration \(C\) par la hauteur au centre \(h_c\) (qui est la valeur de \(z\) pour \(r=0\)), on obtient directement l'équation de la surface :

z(r) = h_c + \frac{\omega^2 r^2}{2g}

Points de vigilance :

Ne pas oublier la constante d'intégration : Une erreur fréquente est d'oublier la constante \(C\) lors de l'intégration. Cette constante est physiquement très importante car elle représente la hauteur de base de la parabole, qui dépendra des conditions initiales du remplissage.

Le saviez-vous ?

Résultat : L'équation de la surface libre est \(z(r) = h_c + \frac{\omega^2 r^2}{2g}\).

Question 2 : Différence de Hauteur Bord-Centre

Principe :

Il suffit d'appliquer l'équation de la surface trouvée précédemment pour les points \(r=0\) (centre) et \(r=R\) (bord), puis de calculer leur différence. Le calcul du dénivelé \(\Delta h\) ne dépend pas de la hauteur initiale du liquide, mais uniquement des paramètres de rotation et du rayon.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette question montre que le "creusement" de la parabole (\(\Delta h\)) est indépendant de la quantité de liquide. Que le récipient soit à moitié plein ou presque plein, pour une même vitesse de rotation, la différence de hauteur entre le bord et le centre sera identique.

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta h = z(R) - z(0) = \left(h_c + \frac{\omega^2 R^2}{2g}\right) - h_c = \frac{\omega^2 R^2}{2g}

Donnée(s) :

Vitesse angulaire \(\omega = 15 \, \text{rad/s}\)
Rayon \(R = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m}\)
Intensité de la pesanteur \(g = 9.8 \, \text{N/kg}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \Delta h &= \frac{15^2 \times (0.1)^2}{2 \times 9.8} \\ &= \frac{225 \times 0.01}{19.6} \\ &= \frac{2.25}{19.6} \approx 0.1148 \, \text{m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités cohérentes : Comme pour l'exercice de physique, il est impératif d'utiliser les unités du Système International pour tous les calculs : le rayon en mètres (m), la vitesse angulaire en radians par seconde (rad/s), et g en N/kg (ou m/s²). Une erreur sur le rayon (en cm) est très fréquente.

Le saviez-vous ?

Résultat : La différence de hauteur entre le bord et le centre est \(\Delta h \approx 11.5 \, \text{cm}\).

Question 3 : Hauteurs Finales par Conservation du Volume

Principe :

Le volume de liquide dans le récipient est constant. Le volume initial (cylindre de hauteur \(h_0\)) doit être égal au volume final (volume sous le paraboloïde). Le volume du paraboloïde de révolution est la moitié du volume du cylindre circonscrit. Cette relation simple permet de trouver que la hauteur initiale \(h_0\) est la moyenne des hauteurs au centre \(h_c\) et au bord \(h_R\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La conservation du volume est un principe de bon sens qui fournit l'équation manquante pour résoudre le problème. Sans cette condition, nous aurions une infinité de paraboles possibles (une pour chaque valeur de \(h_c\)). La physique nous donne la forme de la courbe, et la conservation de la matière fixe sa position verticale.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{initial}} = \pi R^2 h_0

V_{\text{final}} = \text{Vol}_{\text{cylindre base } h_c} + \text{Vol}_{\text{paraboloïde}} = \pi R^2 h_c + \frac{1}{2} \pi R^2 \Delta h

V_{\text{initial}} = V_{\text{final}} \Rightarrow h_0 = h_c + \frac{\Delta h}{2}

Donnée(s) :

Hauteur initiale \(h_0 = 15 \, \text{cm} = 0.15 \, \text{m}\)
Dénivelé calculé \(\Delta h \approx 0.1148 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

On calcule d'abord la hauteur au centre \(h_c\) :

h_c = h_0 - \frac{\Delta h}{2} \approx 0.15 - \frac{0.1148}{2} \approx 0.0926 \, \text{m}

Puis on calcule la hauteur au bord \(h_R\), qui est \(h_c + \Delta h\) :

h_R = h_c + \Delta h \approx 0.0926 + 0.1148 \approx 0.2074 \, \text{m}

Points de vigilance :

Volume du paraboloïde : L'erreur classique est de mal calculer le volume sous la surface de révolution. Il faut intégrer \(2\pi r \, z(r) \, dr\). Le résultat final, \(V_{paraboloïde} = \frac{1}{2}\pi R^2 \Delta h\), est simple et à retenir : c'est la moitié du volume du cylindre de même rayon et de même hauteur \(\Delta h\).

Le saviez-vous ?

Résultat : La hauteur finale au centre est \(h_c \approx 9.3 \, \text{cm}\) et la hauteur au bord est \(h_R \approx 20.7 \, \text{cm}\).

Simulation Interactive de la Surface Libre

Faites varier la vitesse de rotation et le rayon du récipient. Observez comment la forme de la parabole et les hauteurs changent.

Paramètres de la Rotation

Vitesse angulaire (\(\omega\)) (15 rad/s)

Rayon du récipient (R) (10 cm)

Hauteur au centre (h_c)

Hauteur au bord (h_R)

Dénivelé (\(\Delta h\))

Profil de la Surface Libre z(r)

Le Saviez-Vous ?

Le "Large Zenith Telescope" en Colombie-Britannique, Canada, était le plus grand télescope à miroir liquide du monde. Son miroir de 6 mètres de diamètre était une fine couche de mercure tournant à environ 8.5 tours par minute pour former une surface parabolique parfaite, capable de collecter la lumière d'étoiles lointaines.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la vitesse de rotation est très élevée ?

Si \(\omega\) est suffisamment grand, la hauteur au centre \(h_c\) peut devenir nulle, voire négative. Cela signifie que le fond du récipient se découvre. Si la hauteur au bord \(h_R\) dépasse la hauteur du récipient, le liquide déborde. Le calcul permet de déterminer ces vitesses de rotation critiques.

La densité du liquide a-t-elle un impact ?

Non. Dans la dérivation de la pente (\(dz/dr = \omega^2 r / g\)), la masse \(m\) de la particule de fluide s'annule. La forme de la surface ne dépend donc que de la vitesse de rotation et de la gravité, pas de la nature du liquide (tant qu'il est considéré comme un fluide newtonien incompressible).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la vitesse angulaire \(\omega\), la différence de hauteur \(\Delta h\) entre le bord et le centre :

Est la même.
Est doublée.
Est quadruplée.

2. La forme géométrique de la section transversale de la surface libre est une :

Hyperbole.
Parabole.
Catenoïde (chaînette).

Glossaire

Force Centrifuge: Force d'inertie (ou pseudo-force) ressentie par un corps dans un référentiel en rotation, qui tend à l'éloigner de l'axe de rotation. Sa magnitude est \(F_c = m \omega^2 r\).
Vitesse Angulaire (\(\omega\)): Vitesse à laquelle un objet tourne autour d'un axe. Elle est mesurée en radians par seconde (rad/s).
Surface Libre: Interface entre un liquide et un gaz (généralement l'air). C'est une surface où la pression est considérée comme constante et égale à la pression atmosphérique.
Paraboloïde de Révolution: Surface engendrée par la rotation d'une parabole autour de son axe de symétrie. C'est la forme d'équilibre de la surface libre d'un liquide en rotation.

D’autres exercices de fondamentaux de l’hydraulique:

Détermination de la forme de la surface libre

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Liquide au Repos et en Rotation

Questions à traiter

Correction : Détermination de la forme de la surface libre d'un liquide en rotation

Question 1 : Équation de la Surface Libre

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Différence de Hauteur Bord-Centre

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Hauteurs Finales par Conservation du Volume

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation Interactive de la Surface Libre

Paramètres de la Rotation

Profil de la Surface Libre z(r)

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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