ÉTUDE HYDRAULIQUE

Détermination de la Contrainte de Cisaillement à la Paroi

Contrainte de Cisaillement à la Paroi d'une Conduite

Détermination de la Contrainte de Cisaillement à la Paroi

Contexte : Le frottement, une force omniprésente à maîtriser.

Lorsqu'un fluide s'écoule dans une conduite, il "frotte" contre les parois internes. Cette force de frottement, répartie sur la surface de la conduite, est appelée la contrainte de cisaillement à la paroiNotée τw (tau w), c'est la force de frottement par unité de surface que le fluide exerce sur la paroi de la conduite. Elle est la cause directe des pertes de charge. (\(\tau_w\)). La connaissance de cette contrainte est capitale pour l'ingénieur car elle est directement liée à la perte d'énergie (ou "perte de charge") de l'écoulement. Savoir la calculer est donc indispensable pour dimensionner correctement les pompes, prévoir la chute de pression dans un réseau et comprendre les phénomènes d'érosion ou de dépôt dans les tuyauteries.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de l'équilibre des forces sur un volume de fluide. Nous allons montrer que la contrainte à la paroi peut être déterminée de deux manières : une approche "macroscopique" en considérant l'équilibre global du fluide dans le tuyau, et une approche "microscopique" en regardant ce qui se passe localement à la paroi via le gradient de vitesse. La concordance des deux résultats est une belle illustration de la cohérence des principes de la mécanique des fluides.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le principe fondamental de la statique à un volume de fluide en mouvement pour trouver \(\tau_w\).
  • Calculer le profil de vitesse et le gradient de vitesse à la paroi.
  • Utiliser la loi de viscosité de Newton pour vérifier la valeur de \(\tau_w\).
  • Comprendre le lien direct entre la perte de charge et la contrainte de frottement.
  • Renforcer la maîtrise des unités et des calculs en mécanique des fluides.

Données de l'étude

On considère l'écoulement laminaire, stationnaire et incompressible de glycérine dans une conduite horizontale de grande longueur. La chute de pression entre deux points distants a été mesurée. Les caractéristiques de l'écoulement sont les suivantes :

Schéma de l'Équilibre des Forces sur un Volume de Fluide
P₁A P₂A Contrainte de cisaillement τ_w L
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur du segment de conduite \(L\) 25 \(\text{m}\)
Diamètre intérieur \(D\) 0.05 \(\text{m}\)
Masse volumique de la glycérine \(\rho\) 1260 \(\text{kg/m}^3\)
Viscosité dynamique de la glycérine \(\mu\) 1.41 \(\text{Pa} \cdot \text{s}\)
Perte de charge mesurée \(\Delta P = P_1 - P_2\) 200 \(\text{kPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de cisaillement à la paroi (\(\tau_w\)) en réalisant un bilan des forces sur le volume de fluide.
  2. Déterminer le profil de vitesse \(u(r)\) et calculer la vitesse maximale \(u_{\text{max}}\).
  3. Calculer le gradient de vitesse à la paroi, \(\left( \frac{du}{dr} \right)_{r=R}\).
  4. Vérifier la valeur de la contrainte de cisaillement à la paroi (\(\tau_w\)) en utilisant la loi de viscosité de Newton.

Les bases de l'Hydraulique en Conduite

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés sur le cisaillement des fluides.

1. Contrainte de Cisaillement (\(\tau\)) :
C'est une force de frottement par unité de surface qui apparaît entre les couches d'un fluide s'écoulant à des vitesses différentes. Dans une conduite, cette contrainte est nulle au centre (où le gradient de vitesse est nul) et maximale à la paroi (où le gradient de vitesse est maximal).

2. Loi de Viscosité de Newton :
Pour de nombreux fluides (dits "newtoniens"), la contrainte de cisaillement est directement proportionnelle au gradient (à la variation) de vitesse. La constante de proportionnalité est la viscosité dynamique \(\mu\). À la paroi, cette loi s'écrit : \[ \tau_w = -\mu \left( \frac{du}{dr} \right)_{r=R} \] Le signe négatif indique que la force de frottement s'oppose au mouvement.

3. Équilibre Global :
Pour un écoulement stable, la force de pression qui pousse le fluide vers l'avant (\(\Delta P \cdot A\)) est exactement équilibrée par la force de frottement totale qui le freine à la paroi (\(\tau_w \cdot S_L\)), où \(A\) est l'aire de la section et \(S_L\) est la surface latérale de la conduite.

Correction : Détermination de la Contrainte de Cisaillement à la Paroi

Question 1 : Calculer \(\tau_w\) par bilan des forces

Principe (le concept physique)

Puisque l'écoulement est stationnaire (sans accélération), le volume de fluide contenu dans la conduite est en équilibre dynamique. Cela signifie que la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle. Les forces motrices (dues à la différence de pression) sont exactement compensées par les forces de freinage (le frottement visqueux sur la paroi).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche est une application directe du principe fondamental de la statique (ou de la dynamique pour un mouvement non accéléré) à un système ouvert (le volume de contrôle). La force de pression agissant sur la face d'entrée est \(P_1 \cdot A\), celle sur la face de sortie est \(-P_2 \cdot A\), et la force de frottement sur la surface latérale est \(-\tau_w \cdot S_L\). La somme de ces forces est nulle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la méthode la plus directe et la plus puissante pour trouver la contrainte à la paroi. Elle ne nécessite aucune connaissance du profil de vitesse, seulement la perte de charge et la géométrie. C'est un excellent exemple de la façon dont un bilan global peut donner des informations sur un phénomène local (le frottement à la paroi).

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs de pertes de charge dans les normes industrielles (comme celles de l'API - American Petroleum Institute - pour les oléoducs) sont fondamentalement basés sur ce bilan de forces, en utilisant des facteurs de friction pour quantifier la contrainte à la paroi en régime laminaire et turbulent.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'équilibre des forces s'écrit : \( (P_1 - P_2) \cdot A = \tau_w \cdot S_L \). Avec \(A=\pi R^2\) et \(S_L=2\pi R L\), on obtient :

\[ \Delta P \cdot \pi R^2 = \tau_w \cdot 2\pi R L \Rightarrow \tau_w = \frac{\Delta P \cdot R}{2L} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'écoulement est pleinement développé, ce qui signifie que la contrainte de cisaillement est constante sur toute la longueur \(L\) du segment de conduite étudié.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Perte de charge, \(\Delta P = 200 \, \text{kPa} = 200000 \, \text{Pa}\)
  • Rayon de la conduite, \(R = D/2 = 0.025 \, \text{m}\)
  • Longueur de la conduite, \(L = 25 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Convertissez immédiatement toutes les unités en unités SI de base (m, Pa, s, kg) avant de commencer le calcul. Ici, le seul piège est de convertir les kPa en Pa en multipliant par 1000.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des Forces sur le Fluide
P₁AP₂Aτ_w S_L
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule dérivée du bilan des forces.

\[ \begin{aligned} \tau_w &= \frac{\Delta P \cdot R}{2L} \\ &= \frac{200000 \, \text{Pa} \cdot 0.025 \, \text{m}}{2 \cdot 25 \, \text{m}} \\ &= \frac{5000}{50} \, \text{Pa} \\ &= 100 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte à la Paroi (Vue en Coupe)
τ_w = 100 Pa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de cisaillement à la paroi est de 100 Pascals. Cela représente la force de frottement que chaque mètre carré de la surface interne du tuyau exerce sur la glycérine. C'est cette force qui doit être continuellement vaincue par la pompe qui maintient la différence de pression.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier le facteur 2 au dénominateur ou d'utiliser le diamètre D au lieu du rayon R. La formule découle directement du rapport entre l'aire de la section (\(\pi R^2\)) et la surface latérale (\(2\pi R L\)). Garder cette dérivation en tête aide à éviter les erreurs.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte à la paroi est directement proportionnelle à la perte de charge et au rayon.
  • Elle est inversement proportionnelle à la longueur de la conduite.
  • Le bilan de forces est une méthode simple et efficace pour la déterminer.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la conception des coques de navires ou des fuselages d'avions, la réduction de la contrainte de cisaillement à la paroi (la "traînée de frottement") est un enjeu majeur pour économiser du carburant. Des revêtements spéciaux, inspirés de la peau de requin, sont parfois utilisés pour manipuler la couche limite et réduire ce frottement.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle valable en régime turbulent ?

Oui ! Le bilan de forces macroscopique est toujours valable, quelle que soit la nature de l'écoulement (laminaire ou turbulent). La contrainte à la paroi est toujours liée à la perte de charge par la même relation. Ce qui change en régime turbulent, c'est la relation entre \(\tau_w\) et le profil de vitesse, qui n'est plus aussi simple.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement à la paroi, calculée par le bilan des forces, est de 100 Pa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre de la conduite était doublé (0.10 m) mais que la perte de charge restait la même, quelle serait la nouvelle contrainte à la paroi en Pa ?

Question 2 : Profil de vitesse et vitesse maximale

Principe (le concept physique)

Comme vu dans l'exercice précédent, l'équilibre entre les forces de pression et les forces de viscosité internes au fluide conduit à un profil de vitesse parabolique en régime laminaire. La vitesse est nulle à la paroi et maximale au centre. Le calcul de ce profil est une étape intermédiaire nécessaire pour trouver le gradient de vitesse à la paroi.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule du profil de vitesse est la solution de l'équation de Navier-Stokes simplifiée pour un écoulement en conduite. Elle montre que la vitesse en un point \(r\) dépend de la distance au carré par rapport au centre, ce qui est la signature d'une parabole. La vitesse maximale est le sommet de cette parabole.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Même si nous avons déjà trouvé \(\tau_w\) avec le bilan global, cette question nous fait prendre un autre chemin. Nous allons calculer le profil de vitesse pour ensuite trouver la "pente" de ce profil à la paroi. C'est cette pente qui, selon Newton, est directement liée à la contrainte de cisaillement.

Normes (la référence réglementaire)

La validation des modèles de simulation numérique en mécanique des fluides (CFD) passe souvent par la comparaison des profils de vitesse calculés avec des solutions analytiques connues, comme le profil de Poiseuille pour les cas laminaires, qui sert de cas de référence (benchmark).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La vitesse maximale au centre (\(r=0\)) est donnée par :

\[ u_{\text{max}} = \frac{\Delta P \cdot R^2}{4\mu L} \]

Le profil de vitesse est ensuite :

\[ u(r) = u_{\text{max}} \left( 1 - \frac{r^2}{R^2} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On maintient les hypothèses d'un écoulement laminaire, stationnaire, incompressible et d'un fluide newtonien. La température, et donc la viscosité, est supposée constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Perte de charge, \(\Delta P = 200000 \, \text{Pa}\)
  • Rayon de la conduite, \(R = 0.025 \, \text{m}\)
  • Viscosité dynamique, \(\mu = 1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • Longueur de la conduite, \(L = 25 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Notez que \(u_{\text{max}}\) peut aussi s'écrire en fonction de \(\tau_w\) en utilisant la relation de la Q1 : \(\tau_w = \frac{\Delta P R}{2L} \Rightarrow \frac{\Delta P}{L} = \frac{2\tau_w}{R}\). En substituant dans la formule de \(u_{\text{max}}\), on obtient \(u_{\text{max}} = \frac{\tau_w R}{2\mu}\). C'est un calcul plus rapide si \(\tau_w\) est déjà connu.

Schéma (Avant les calculs)
Profil de Vitesse à Déterminer
u_max?r=0r=R
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la vitesse maximale \(u_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} u_{\text{max}} &= \frac{200000 \, \text{Pa} \cdot (0.025 \, \text{m})^2}{4 \cdot (1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}) \cdot (25 \, \text{m})} \\ &= \frac{200000 \cdot 0.000625}{141} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ &= \frac{125}{141} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ &\approx 0.8865 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

2. Établir l'équation du profil de vitesse \(u(r)\) :

\[ \begin{aligned} u(r) &= u_{\text{max}} \left( 1 - \frac{r^2}{R^2} \right) \\ &= 0.8865 \left( 1 - \frac{r^2}{0.025^2} \right) \\ &= 0.8865 \left( 1 - 1600 r^2 \right) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de Vitesse avec Valeur Maximale
0.89 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse maximale de la glycérine est d'environ 0.89 m/s. Cette valeur est relativement faible malgré la forte chute de pression, ce qui est dû à la très haute viscosité de la glycérine, qui freine considérablement l'écoulement. L'équation du profil de vitesse est maintenant entièrement déterminée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Encore une fois, la distinction entre rayon \(R\) et diamètre \(D\) est cruciale. De plus, ne confondez pas la perte de charge \(\Delta P\) (valeur positive) avec le gradient de pression (valeur négative). La formule de \(u_{\text{max}}\) utilise la valeur positive \(\Delta P\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le profil de vitesse dépend des propriétés du fluide (\(\mu\)), de la géométrie (\(R, L\)) et de la force motrice (\(\Delta P\)).
  • Une forte viscosité réduit considérablement la vitesse maximale pour une même perte de charge.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'industrie alimentaire, la viscosité est une propriété clé. Pour pomper du chocolat fondu ou du miel, qui sont très visqueux, il faut des pompes puissantes capables de générer une forte perte de charge pour atteindre un débit suffisant, même si les vitesses restent faibles.

FAQ (pour lever les doutes)
La vitesse maximale est-elle toujours au centre ?

Oui, pour un écoulement simple dans une conduite droite et circulaire. La symétrie du problème impose que le point de vitesse maximale soit sur l'axe central. Si la conduite est courbée, la force centrifuge déplace le point de vitesse maximale vers l'extérieur du virage.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse maximale est d'environ 0.8865 m/s et le profil de vitesse est donné par \(u(r) = 0.8865(1 - 1600r^2)\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la perte de charge était doublée (400 kPa), quelle serait la nouvelle vitesse maximale en m/s ?

Question 3 : Calculer le gradient de vitesse à la paroi

Principe (le concept physique)

Le gradient de vitesse représente à quel point la vitesse du fluide change rapidement lorsqu'on s'éloigne de l'axe. À la paroi, ce gradient est maximal : la vitesse passe de sa valeur à la paroi (zéro) à une valeur non nulle très rapidement. C'est cette "pente" abrupte du profil de vitesse qui est responsable de la force de frottement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, le gradient de vitesse est la dérivée de la fonction de vitesse \(u(r)\) par rapport à la coordonnée radiale \(r\). Pour trouver sa valeur à la paroi, il suffit de calculer cette dérivée, puis de l'évaluer à la position \(r=R\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le profil de vitesse parabolique. Sa pente est nulle au sommet (au centre de la conduite, \(r=0\)) et elle est la plus forte sur les bords, au contact de la paroi (\(r=R\)). C'est cette pente maximale que nous allons calculer.

Normes (la référence réglementaire)

Les rhéomètres, instruments qui mesurent la viscosité des fluides, fonctionnent en imposant un gradient de vitesse contrôlé (\(du/dr\)) et en mesurant la contrainte de cisaillement résultante (\(\tau\)). Les normes comme la ISO 3219 définissent les géométries (cône-plan, cylindres coaxiaux) pour garantir un gradient de vitesse uniforme et précis.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part du profil de vitesse et on le dérive par rapport à \(r\) :

\[ \frac{du}{dr} = \frac{d}{dr} \left[ u_{\text{max}} \left( 1 - \frac{r^2}{R^2} \right) \right] = -u_{\text{max}} \frac{2r}{R^2} \]

On évalue ensuite cette dérivée à la paroi, pour \(r=R\) :

\[ \left( \frac{du}{dr} \right)_{r=R} = - \frac{2 u_{\text{max}}}{R} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Cette dérivation est valide car on suppose que le profil de vitesse est une fonction continue et dérivable, ce qui est le cas pour l'écoulement de Poiseuille.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Vitesse maximale, \(u_{\text{max}} \approx 0.8865 \, \text{m/s}\) (du calcul Q2)
  • Rayon de la conduite, \(R = 0.025 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le signe négatif du gradient est important : il signifie que la vitesse diminue à mesure que \(r\) augmente (lorsqu'on s'éloigne du centre vers la paroi). L'unité du gradient de vitesse est (m/s)/m, ce qui se simplifie en s⁻¹ (par seconde).

Schéma (Avant les calculs)
Pente du Profil de Vitesse à la Paroi
(du/dr) à r=R ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de la dérivée à la paroi.

\[ \begin{aligned} \left( \frac{du}{dr} \right)_{r=R} &= - \frac{2 u_{\text{max}}}{R} \\ &= - \frac{2 \cdot 0.8865 \, \text{m/s}}{0.025 \, \text{m}} \\ &= - \frac{1.773}{0.025} \, \text{s}^{-1} \\ &= -70.92 \, \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Gradient de Vitesse Calculé
-70.92 s⁻¹
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le gradient de vitesse à la paroi est de -70.92 s⁻¹. Cela signifie que tout près de la paroi, la vitesse du fluide chute de près de 71 mètres par seconde pour chaque mètre de distance par rapport à la paroi. C'est cette variation de vitesse extrêmement rapide sur une très courte distance qui est à l'origine de la force de frottement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas le facteur 2 dans la formule, qui provient de la dérivation de \(r^2\). Une erreur fréquente est de calculer simplement \(-u_{\text{max}}/R\), ce qui donnerait un résultat deux fois trop faible.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le gradient de vitesse mesure la variation spatiale de la vitesse.
  • Il est maximal en valeur absolue à la paroi pour un écoulement de Poiseuille.
  • Sa valeur est \(-2u_{\text{max}}/R\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de gradient de vitesse est cruciale pour le mélange. Dans un mélangeur industriel, on ne cherche pas seulement à avoir une vitesse élevée, mais surtout de forts gradients de vitesse pour "cisailler" et disperser les composants les uns dans les autres de manière efficace.

FAQ (pour lever les doutes)
Le gradient de vitesse est-il toujours négatif ?

Dans ce système de coordonnées où \(r\) est positif en s'éloignant du centre, oui, car la vitesse diminue à mesure que \(r\) augmente. Si on avait choisi une coordonnée \(y\) partant de la paroi vers le centre, le gradient \((du/dy)_{y=0}\) serait positif.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le gradient de vitesse à la paroi est de -70.92 s⁻¹.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le rayon de la conduite était réduit de moitié (0.0125 m), mais que la vitesse maximale restait la même, quel serait le nouveau gradient de vitesse à la paroi (en s⁻¹) ?

Question 4 : Vérifier \(\tau_w\) avec la loi de Newton

Principe (le concept physique)

Cette dernière question consiste à vérifier la cohérence de nos calculs. Nous avons calculé \(\tau_w\) par une approche globale (bilan de forces) et nous avons calculé le gradient de vitesse à la paroi par une approche locale (dérivée du profil de vitesse). La loi de viscosité de Newton relie ces deux grandeurs. Si nos calculs sont corrects, l'application de cette loi doit nous redonner la même valeur de \(\tau_w\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi de Newton \(\tau = -\mu (du/dr)\) est la définition même d'un fluide newtonien. Elle postule une relation linéaire entre la cause (le gradient de vitesse, ou le taux de déformation) et l'effet (la contrainte de cisaillement interne). Cette vérification est donc un test de la validité de l'ensemble de la théorie de Poiseuille pour notre cas.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le moment où tout se recoupe. La Question 1 nous a donné la contrainte à la paroi en regardant les forces "extérieures" (la pression). Les Questions 2 et 3 nous ont permis de trouver le gradient de vitesse en regardant le comportement "intérieur" du fluide. La Question 4 utilise la viscosité comme un "traducteur" pour vérifier que la description intérieure (gradient) correspond bien à l'effet extérieur (contrainte).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification croisée des résultats par des méthodes indépendantes est un principe fondamental de l'assurance qualité en ingénierie et est implicite dans les normes de conception et de calcul (par exemple, les Eurocodes pour les structures), où différentes vérifications (résistance, stabilité, service) doivent toutes être satisfaites.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La loi de viscosité de Newton appliquée à la paroi est :

\[ \tau_w = -\mu \left( \frac{du}{dr} \right)_{r=R} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse clé ici est que le fluide est newtonien, c'est-à-dire que sa viscosité \(\mu\) est une constante qui ne dépend pas du gradient de vitesse. C'est une excellente approximation pour des fluides comme l'eau, l'air, et les huiles.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Viscosité dynamique, \(\mu = 1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}\)
  • Gradient de vitesse à la paroi, \( \left( \frac{du}{dr} \right)_{r=R} \approx -70.92 \, \text{s}^{-1}\) (du calcul Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)

Faites attention aux signes. La contrainte de cisaillement \(\tau_w\) est généralement définie comme une grandeur positive (l'intensité du frottement). Le gradient de vitesse \((du/dr)_{r=R}\) est négatif. La loi de Newton inclut un signe "moins" pour que le produit final soit positif, ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Gradient et Contrainte
(du/dr) à r=R×-μ= τ_w ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la loi de Newton avec les valeurs précédemment calculées.

\[ \begin{aligned} \tau_w &= - (1.41 \, \text{Pa} \cdot \text{s}) \cdot (-70.92 \, \text{s}^{-1}) \\ &\approx 99.9972 \, \text{Pa} \\ &\approx 100 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification par la Loi de Newton
Bilan des Forces100 PaLoi de Newton100 Pa✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de la contrainte de cisaillement obtenue par la loi de Newton (100 Pa) est identique à celle obtenue par le bilan de forces à la Question 1. Cette concordance parfaite valide l'ensemble de notre démarche et démontre la cohérence interne de la théorie de l'écoulement de Poiseuille.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur ici serait une erreur de calcul reportée des questions précédentes. Il est essentiel de bien vérifier chaque étape. Une petite erreur sur \(u_{\text{max}}\) se répercutera sur le gradient, puis sur cette vérification finale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte à la paroi est le produit de la viscosité et du gradient de vitesse à la paroi.
  • Cette relation permet de lier le comportement microscopique du fluide (gradient de vitesse) à une force macroscopique (frottement).
  • La vérification par deux méthodes indépendantes est une bonne pratique en ingénierie.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La contrainte de cisaillement est ce qui permet aux surfeurs de glisser sur l'eau. La planche de surf "cisaille" les couches d'eau, et la force de portance est générée par la différence de pression entre le dessus et le dessous de la planche, qui est elle-même liée au profil de vitesse et donc au cisaillement.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si le fluide n'est pas newtonien ?

Si le fluide est non-newtonien, la relation entre \(\tau\) et \(du/dr\) n'est plus linéaire. Par exemple, pour un "fluide de puissance", \(\tau = K(du/dr)^n\). Dans ce cas, le profil de vitesse n'est plus parabolique, et la vérification ne fonctionnerait plus. Le bilan de forces de la Q1 reste cependant toujours valable.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement calculée via la loi de Newton est de 100 Pa, ce qui confirme le résultat obtenu par le bilan des forces.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si un autre fluide avait un gradient de vitesse à la paroi de -100 s⁻¹ et une viscosité de 0.5 Pa·s, quelle serait la contrainte à la paroi en Pa ?

Outil Interactif : Paramètres d'Écoulement

Modifiez les paramètres de l'écoulement pour voir leur influence sur le débit et le régime.

Paramètres d'Entrée
200 kPa
50 mm
1.41 Pa·s
Résultats Clés
Contrainte à la Paroi (Pa) -
Vitesse Maximale (m/s) -
Nombre de Reynolds -

Le Saviez-Vous ?

Jean-Léonard-Marie Poiseuille (1797-1869) était un médecin et physicien français. Il n'était pas un ingénieur hydraulicien, mais il s'intéressait à la circulation du sang dans les capillaires. Ses expériences méticuleuses sur l'écoulement de l'eau dans des tubes très fins l'ont conduit à formuler la loi qui porte aujourd'hui son nom, une contribution majeure à l'hémodynamique et à la mécanique des fluides.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si l'écoulement devient turbulent ?

Si le nombre de Reynolds dépasse 2300, le profil de vitesse n'est plus parabolique mais devient plus "aplati" au centre. Les pertes de charge augmentent alors de manière beaucoup plus significative avec la vitesse (approximativement comme le carré de la vitesse) car l'énergie est dissipée non seulement par le frottement visqueux mais aussi par les tourbillons chaotiques. Les calculs deviennent plus complexes et font appel à des formules empiriques (comme l'équation de Darcy-Weisbach avec le diagramme de Moody).

Cette loi s'applique-t-elle si la conduite n'est pas horizontale ?

Oui, mais il faut modifier le terme de pression. Si la conduite est inclinée, la gravité joue un rôle. La perte de charge \(\Delta P\) dans la formule doit être remplacée par une perte de charge "généralisée" qui inclut la variation de pression due à l'altitude : \( \Delta P_{\text{gen}} = (P_1 + \rho g z_1) - (P_2 + \rho g z_2) \), où z est l'altitude. C'est un terme de l'équation de Bernoulli.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La contrainte de cisaillement dans un écoulement de Poiseuille est...

2. Si on double la perte de charge (\(\Delta P\)) dans une conduite, la contrainte de cisaillement à la paroi (\(\tau_w\)) est...

Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Force de frottement par unité de surface qui s'exerce entre les couches d'un fluide en mouvement relatif. Unité : Pascal (Pa).
Gradient de Vitesse (du/dr)
Taux de variation de la vitesse du fluide par rapport à une direction perpendiculaire à l'écoulement. Il mesure l'intensité du "cisaillement". Unité : s⁻¹.
Fluide Newtonien
Fluide pour lequel la contrainte de cisaillement est directement et linéairement proportionnelle au gradient de vitesse. La constante de proportionnalité est la viscosité.
Détermination de la Contrainte de Cisaillement à la Paroi

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Analyse d’un Écoulement de Couette
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