ÉTUDE HYDRAULIQUE

Débit d’un Orifice par la Formule de Torricelli

Détermination du Débit d'un Orifice par la Formule de Torricelli

Détermination du Débit d'un Orifice par la Formule de Torricelli

Comprendre la Formule de Torricelli

La loi de Torricelli, issue d'une simplification de l'équation de Bernoulli, est un principe fondamental de la dynamique des fluides. Elle stipule que la vitesse théorique d'un fluide s'écoulant d'un orifice est la même que celle qu'un objet acquerrait en chute libre depuis la même hauteur. En pratique, cette vitesse idéale est corrigée par des coefficients pour tenir compte des effets de la viscosité (frottements) et de la contraction du jet à la sortie de l'orifice (vena contracta). Cet exercice explore comment utiliser ce principe pour calculer le débit réel à travers un orifice.

Données de l'étude

On étudie la vidange d'un grand réservoir ouvert à l'atmosphère par un orifice circulaire à paroi mince situé sur sa paroi latérale.

Caractéristiques du système :

  • Hauteur du plan d'eau au-dessus du centre de l'orifice (\(H\)) : \(5.0 \, \text{m}\).
  • Diamètre de l'orifice (\(d_o\)) : \(40 \, \text{mm}\).
  • Coefficient de vitesse (\(C_v\)) : \(0.98\).
  • Coefficient de contraction (\(C_c\)) : \(0.62\).
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\).
Schéma : Écoulement par un Orifice
Vena Contracta H

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse théorique (\(V_{\text{th}}\)) d'écoulement à la sortie de l'orifice.
  2. Calculer la vitesse réelle (\(V_{\text{réel}}\)) du jet.
  3. Calculer le débit réel (\(Q_{\text{réel}}\)) s'écoulant par l'orifice.

Correction : Détermination du Débit d'un Orifice par la Formule de Torricelli

Question 1 : Calcul de la Vitesse Théorique (\(V_{\text{th}}\))

Principe :

La formule de Torricelli découle de l'équation de Bernoulli appliquée entre la surface libre du réservoir (où la vitesse est nulle et la pression atmosphérique) et la sortie de l'orifice. Elle donne la vitesse d'un fluide idéal (sans viscosité) sortant d'un orifice sous l'effet de la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{\text{th}} = \sqrt{2gH} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{th}} &= \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5.0 \, \text{m}} \\ &= \sqrt{98.1} \\ &\approx 9.90 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La vitesse théorique d'écoulement est d'environ 9.90 m/s.

Question 2 : Calcul de la Vitesse Réelle (\(V_{\text{réel}}\))

Principe :

La vitesse réelle du jet est inférieure à la vitesse théorique à cause des pertes d'énergie par frottement lors du passage dans l'orifice. Le coefficient de vitesse (\(C_v\)) est le rapport entre la vitesse réelle et la vitesse théorique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_{\text{réel}} = C_v \cdot V_{\text{th}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{réel}} &= 0.98 \times 9.90 \, \text{m/s} \\ &\approx 9.70 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La vitesse réelle du jet à la sortie de l'orifice est d'environ 9.70 m/s.

Question 3 : Calcul du Débit Réel (\(Q_{\text{réel}}\))

Principe :

Le débit réel est le produit de la vitesse réelle du jet par la surface réelle du jet. Le jet se contracte après l'orifice, atteignant une section minimale appelée "vena contracta". La surface de cette section contractée (\(S_c\)) est calculée à l'aide du coefficient de contraction (\(C_c\)) et de la surface de l'orifice (\(S_o\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S_o = \frac{\pi d_o^2}{4} \quad | \quad S_c = C_c \cdot S_o \quad | \quad Q_{\text{réel}} = S_c \cdot V_{\text{réel}} \]

On peut aussi utiliser le coefficient de débit \(C_d = C_c \cdot C_v\) dans la formule \( Q_{\text{réel}} = C_d \cdot S_o \cdot V_{\text{th}} \).

Données et Conversion :
  • Diamètre de l'orifice (\(d_o\)) : \(40 \, \text{mm} = 0.040 \, \text{m}\).
Calcul :

Calcul de la surface de l'orifice :

\[ \begin{aligned} S_o &= \frac{\pi \times (0.040 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.001257 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la surface contractée :

\[ \begin{aligned} S_c &= 0.62 \times 0.001257 \, \text{m}^2 \\ &\approx 0.000779 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul du débit réel :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{réel}} &= 0.000779 \, \text{m}^2 \times 9.70 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.00756 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

En litres par seconde : \(0.00756 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 = 7.56 \, \text{L/s}\).

Résultat Question 3 : Le débit réel s'écoulant par l'orifice est d'environ 7.56 L/s.
Détermination du Débit d'un Orifice - Exercice d'Application

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