ÉTUDE HYDRAULIQUE

Couple et Vitesse d’un Moteur Hydraulique

Exercice : Moteur Hydraulique

Calcul de Couple et Vitesse d’un Moteur Hydraulique

Contexte : L'OléohydrauliqueAussi appelée hydraulique de puissance. C'est la technique de transmission de puissance par les fluides (huile) sous pression..

Cet exercice vise à déterminer les performances clés d'un moteur hydrauliqueUn actionneur rotatif qui convertit l'énergie hydraulique (pression, débit) en énergie mécanique (couple, vitesse). à cylindrée fixe. En utilisant les données fournies, nous allons calculer sa vitesse de rotation, son couple et sa puissance de sortie.

Remarque Pédagogique : Comprendre ces calculs est essentiel pour dimensionner un moteur hydraulique pour une application spécifique (treuil, roue motrice, convoyeur...) et pour évaluer son efficacité énergétique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse de rotation théorique et réelle d'un moteur.
  • Calculer le couple théorique et réel disponible à l'arbre.
  • Déterminer la puissance de sortie (utile) du moteur.
  • Comprendre l'impact des rendements volumétrique et mécanique.

Données de l'étude

Nous étudions un moteur hydraulique à cylindrée fixe alimenté par une centrale hydraulique. Les caractéristiques du moteur et les conditions de fonctionnement sont les suivantes :

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type de Moteur À pistons axiaux (cylindrée fixe)
Cylindrée (\(V_{\text{m}}\)) 50 cm³/tr
Pression de service max. 250 bar
Schéma de principe d'un moteur hydraulique
M C, N Qm, Pin Pout (Réservoir)
Paramètre Description Valeur Unité
Cylindrée (\(V_{\text{m}}\)) Volume d'huile absorbé par tour 50 cm³/tr
Débit d'alimentation (\(Q_{\text{m}}\)) Quantité d'huile fournie au moteur 75 L/min
Chute de Pression (\(\Delta P\)) Différence de pression entrée/sortie 200 bar
Rendement Volumétrique (\(\eta_v\)) Ratio vitesse réelle / théorique (pertes par fuites) 0.95 -
Rendement Mécanique (\(\eta_m\)) Ratio couple réel / théorique (pertes par frottements) 0.92 -

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de rotation théorique (\(N_{\text{th}}\)) du moteur en tr/min.
  2. En déduire la vitesse de rotation réelle (\(N_{\text{reel}}\)) en tr/min.
  3. Calculer le couple théorique (\(C_{\text{th}}\)) disponible à l'arbre en N.m.
  4. En déduire le couple réel (utile) (\(C_{\text{reel}}\)) en N.m.
  5. Calculer la puissance utile (\(P_{\text{u}}\)) développée par le moteur en kW.

Les bases sur les Moteurs Hydrauliques

Un moteur hydraulique convertit l'énergie hydraulique (débit \(Q\) et pression \(\Delta P\)) en énergie mécanique (vitesse \(N\) et couple \(C\)). Son fonctionnement est l'inverse de celui d'une pompe.

1. Vitesse de Rotation (N)
La vitesse est directement liée au débit (\(Q_{\text{m}}\)) qui alimente le moteur et à sa cylindrée (\(V_{\text{m}}\)). La vitesse théorique (sans fuites) se calcule par : \[ N_{\text{th}} \text{ (tr/min)} = \frac{Q_{\text{m}} \text{ (L/min)} \times 1000}{V_{\text{m}} \text{ (cm³/tr)}} \] La vitesse réelle tient compte des fuites internes via le rendement volumétriqueRatio entre la vitesse réelle et la vitesse théorique. Il quantifie les pertes de débit dues aux fuites internes. (\(\eta_v\)) : \[ N_{\text{reel}} = N_{\text{th}} \times \eta_v \]

2. Couple Moteur (C)
Le couple est généré par la chute de pression (\(\Delta P\)) agissant sur la cylindrée (\(V_{\text{m}}\)). Le couple théorique (sans frottements) se calcule par : \[ C_{\text{th}} \text{ (N.m)} = \frac{V_{\text{m}} \text{ (cm³/tr)} \times \Delta P \text{ (bar)}}{20 \times \pi} \] Le couple réel (utile) tient compte des frottements via le rendement mécaniqueRatio entre le couple réel et le couple théorique. Il quantifie les pertes de couple dues aux frottements mécaniques. (\(\eta_m\)) : \[ C_{\text{reel}} = C_{\text{th}} \times \eta_m \]

Correction : Calcul de Couple et Vitesse d’un Moteur Hydraulique

Question 1 : Calculer la vitesse de rotation théorique (\(N_{\text{th}}\))

Principe

La vitesse théorique (\(N_{\text{th}}\)) est la vitesse qu'atteindrait l'arbre du moteur s'il n'y avait aucune fuite interne. Elle est déterminée en divisant le débit d'huile total qui entre dans le moteur (en cm³/min) par le volume d'huile nécessaire pour faire un tour (la cylindrée, en cm³/tr).

Mini-Cours

La cylindrée (\(V_{\text{m}}\)) est le volume d'huile "avalé" par le moteur en un tour. Le débit (\(Q_{\text{m}}\)) est le volume d'huile fourni par minute. Pour que les unités soient cohérentes, nous devons convertir le débit de L/min en cm³/min. Sachant que \(1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm³}\), on multiplie \(Q_{\text{m}}\) par 1000.

Remarque Pédagogique

Voyez la vitesse théorique comme le calcul idéal. C'est la première étape indispensable avant de pouvoir appliquer les corrections pour le monde réel (les fuites). En conception, on commence toujours par ce calcul pour dimensionner le composant.

Normes

Ce calcul est une application directe des principes de la mécanique des fluides. Les normes (ex: ISO 4409) interviennent plutôt pour définir comment mesurer en pratique le débit, la pression et la cylindrée.

Formule(s)

Vitesse théorique

\[ N_{\text{th}} \text{ (tr/min)} = \frac{Q_{\text{m}} \text{ (L/min)} \times 1000 \text{ (cm³/L)}}{V_{\text{m}} \text{ (cm³/tr)}} \]
Hypothèses

Pour ce calcul théorique, l'hypothèse principale est que le moteur est "parfait", c'est-à-dire :

  • Il n'y a aucune fuite d'huile interne (le rendement volumétrique est de 100%).
  • Le fluide (huile) est incompressible.
Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit d'alimentation\(Q_{\text{m}}\)75L/min
Cylindrée\(V_{\text{m}}\)50cm³/tr
Astuces

Une façon simple de retenir la formule est de penser aux unités : on veut des \(\text{[tr/min]}\). On a des \(\text{[L/min]}\) et des \(\text{[cm³/tr]}\). Il faut transformer les \(\text{[L]}\) en \(\text{[cm³]}\) pour les annuler. D'où \(\text{[L/min]} \times 1000 \text{ [cm³/L]} = \text{[cm³/min]}\). Ensuite, \(\text{[cm³/min]} / \text{[cm³/tr]} = \text{[tr/min]}\). Les unités vous guident !

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur la relation entre le débit entrant et la vitesse de sortie.

Flux et Vitesse (Théorique)
Qm MOTEUR (Vm) Nth
Calcul(s)

Nous allons appliquer la formule étape par étape en remplaçant les symboles par leurs valeurs.

Étape 1 : Poser la formule

\[ N_{\text{th}} = \frac{Q_{\text{m}} \text{ (L/min)} \times 1000}{V_{\text{m}} \text{ (cm³/tr)}} \]

Étape 2 : Remplacer les valeurs de l'énoncé

\[ N_{\text{th}} = \frac{75 \times 1000}{50} \]

Étape 3 : Calculer le numérateur (débit converti)

\[ N_{\text{th}} = \frac{75000 \text{ (cm³/min)}}{50 \text{ (cm³/tr)}} \]

Étape 4 : Calcul final

\[ N_{\text{th}} = 1500 \text{ tr/min} \]
Réflexions

Un moteur avec une cylindrée de 50 cm³/tr (ou 0.05 L/tr) qui absorbe 75 L/min tournera bien à 1500 tr/min (car 1500 * 0.05 = 75). Le calcul est cohérent.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est l'oubli du facteur 1000. Si vous divisez 75 L/min par 50 cm³/tr directement, le résultat (1.5) sera incohérent. Assurez-vous toujours que les unités de volume sont identiques (ici, cm³).

Points à retenir

Pour un moteur parfait (théorique) :

  • La vitesse est directement proportionnelle au débit d'alimentation.
  • La vitesse est inversement proportionnelle à la cylindrée.
Le saviez-vous ?

Les moteurs hydrauliques peuvent avoir des cylindrées très variables, de moins de 1 cm³/tr pour de la micro-hydraulique à plus de 25 000 cm³/tr (25 L/tr) pour les moteurs lents et coupleux utilisés en marine ou forage.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Pourquoi multiplier par 1000 ?

Pour convertir les Litres (L) en centimètres cubes (cm³). \(1 \text{ Litre} = 1000 \text{ cm³}\). Il est indispensable que le volume du débit (en \(\text{cm³/min}\)) et le volume de la cylindrée (en \(\text{cm³/tr}\)) soient dans la même unité pour pouvoir les diviser.

Cette vitesse dépend-elle de la pression ?

Théoriquement, non. La vitesse est liée au débit. En réalité, une pression plus élevée peut augmenter légèrement les fuites, ce qui réduirait un peu la vitesse réelle (via \(\eta_v\)), mais la vitesse *théorique* ne dépend que du débit et de la cylindrée.

Résultat Final
La vitesse de rotation théorique est de 1500 tr/min.
A vous de jouer

Si le débit était réduit à 60 L/min (avec la même cylindrée), quelle serait la nouvelle vitesse théorique \(N_{\text{th}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

  • Concept : Vitesse théorique (sans fuites).
  • Formule : \(N_{\text{th}} = (Q_{\text{m}} \times 1000) / V_{\text{m}}\).
  • Point Clé : Vitesse proportionnelle au débit.

Question 2 : En déduire la vitesse de rotation réelle (\(N_{\text{reel}}\))

Principe

Dans un moteur réel, une petite partie du débit d'huile ne participe pas à la rotation. Cette huile "fuit" directement de l'entrée vers la sortie à travers les jeux internes (entre pistons et cylindres, barillet et glace de distribution...). La vitesse réelle est donc toujours inférieure à la vitesse théorique.

Mini-Cours

Le rendement volumétriqueRatio entre la vitesse réelle et la vitesse théorique. Il quantifie les pertes de débit dues aux fuites internes. (\(\eta_v\)) est le paramètre qui quantifie cette perte. C'est un nombre sans unité, toujours inférieur à 1 (par ex: 0.95 signifie 95% d'efficacité). Il représente la fraction du débit qui est réellement transformée en mouvement de rotation.

Remarque Pédagogique

La vitesse théorique est une valeur de calcul, la vitesse réelle est ce que vous mesureriez sur l'arbre du moteur avec un tachymètre. La différence entre les deux est une perte nette d'énergie (le "débit de fuite") qui se transforme en chaleur.

Normes

Le rendement volumétrique n'est pas une constante. Il est fourni par le fabricant du moteur sous forme de courbes, car il varie en fonction de la pression, de la vitesse de rotation, et de la viscosité de l'huile (température).

Formule(s)

Vitesse réelle

\[ N_{\text{reel}} = N_{\text{th}} \times \eta_v \]
Hypothèses

Pour cet exercice, nous posons l'hypothèse que :

  • Le rendement volumétrique de 0.95 est constant pour les conditions de fonctionnement données (pression, débit).
Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et les données de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse théorique\(N_{\text{th}}\)1500tr/min
Rendement Volumétrique\(\eta_v\)0.95-
Astuces

Un rendement volumétrique de 0.95 (95%) est typique pour un moteur à pistons en bon état. Un moteur à engrenages, moins étanche, aurait un \(\eta_v\) plus bas (ex: 0.85-0.90). Si ce chiffre baisse avec le temps, c'est un signe d'usure du moteur.

Calcul(s)

Nous utilisons la formule et remplaçons les symboles par le résultat précédent (\(N_{\text{th}}\)) et la donnée de l'énoncé (\(\eta_v\)).

Étape 1 : Poser la formule

\[ N_{\text{reel}} = N_{\text{th}} \times \eta_v \]

Étape 2 : Remplacer les valeurs

\[ N_{\text{reel}} = 1500 \text{ (tr/min)} \times 0.95 \]

Étape 3 : Calcul final

\[ N_{\text{reel}} = 1425 \text{ tr/min} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la réalité du fonctionnement : le débit entrant (\(Q_{\text{m}}\)) se divise en un débit de fuite (\(Q_{\text{f}}\)) et un débit qui produit la vitesse réelle (\(N_{\text{reel}}\)).

Bilan des Débits (Réel)
Qm (100%) MOTEUR Nreel (ηv = 95%) Qf (Fuites) (5%)
Réflexions

Nous avons "perdu" 75 tr/min (1500 - 1425) à cause des fuites internes. On peut calculer le "débit de fuite" \(Q_{\text{f}}\) : c'est 5% du débit total. \(Q_{\text{f}} = Q_{\text{m}} \times (1 - \eta_v) = 75 \text{ L/min} \times (1 - 0.95) = 3.75 \text{ L/min}\). Ces 3.75 L/min traversent le moteur sans produire de travail.

Points de vigilance

Ne jamais diviser par le rendement volumétrique pour trouver la vitesse réelle ! La vitesse réelle doit *toujours* être inférieure à la vitesse théorique. Une multiplication par un nombre < 1 est donc logique.

Points à retenir
  • La vitesse réelle est inférieure à la vitesse théorique.
  • \(N_{\text{reel}} = N_{\text{th}} \times \eta_v\).
  • Le rendement volumétrique \(\eta_v\) quantifie les pertes par fuites.
Le saviez-vous ?

Les fuites internes augmentent considérablement lorsque l'huile devient chaude, car sa viscosité diminue. Un moteur peut fonctionner correctement à froid mais "perdre sa vitesse" à chaud, signe d'une usure avancée.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Où part cette huile "perdue" ?

Elle passe par les jeux mécaniques (entre les pièces en mouvement) et retourne généralement au réservoir via une conduite de "drain", sans passer par l'orifice de sortie principal.

Résultat Final
La vitesse de rotation réelle est de 1425 tr/min.
A vous de jouer

Si le moteur était plus usé et que son \(\eta_v\) chutait à 0.90, quelle serait la vitesse réelle (pour \(N_{\text{th}}=1500\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

  • Concept : Vitesse réelle (avec fuites).
  • Formule : \(N_{\text{reel}} = N_{\text{th}} \times \eta_v\).
  • Point Clé : \(\eta_v\) est toujours < 1.

Question 3 : Calculer le couple théorique (\(C_{\text{th}}\))

Principe

Le couple théorique (\(C_{\text{th}}\)) est l'effort de rotation pur généré par la force de la pression (\(\Delta P\)) s'appliquant sur la "surface" équivalente du moteur (liée à sa cylindrée \(V_{\text{m}}\)). Ce calcul ne prend pas en compte les pertes par frottement. C'est le couple "idéal" que le moteur pourrait fournir.

Mini-Cours

La puissance hydraulique théorique est \(P_{\text{th}} = \Delta P \times Q_{\text{th}}\). La puissance mécanique théorique est \(P_{\text{th}} = C_{\text{th}} \times \omega_{\text{th}}\) (où \(\omega\) est la vitesse angulaire en rad/s).
On sait que \(Q_{\text{th}} = V_{\text{m}} \times N_{\text{th}}\) et \(\omega_{\text{th}} = N_{\text{th}} \times 2\pi / 60\).
En égalant les puissances et en convertissant les unités (bars, cm³), on arrive à la formule simplifiée : \( C_{\text{th}} \text{ (N.m)} = (V_{\text{m}} \times \Delta P) / (20 \times \pi) \).

Remarque Pédagogique

Pensez au couple comme la "force de rotation". Il est directement lié à la pression. Plus la pression est élevée, plus le moteur "pousse" fort. La cylindrée agit comme un "bras de levier" : plus elle est grande, plus le couple est important pour une même pression.

Normes

La formule est une dérivation des principes de la puissance. Les normes (ex: ISO 4391) définissent les termes et symboles à utiliser.

Formule(s)

Couple théorique

\[ C_{\text{th}} \text{ (N.m)} = \frac{V_{\text{m}} \text{ (cm³/tr)} \times \Delta P \text{ (bar)}}{20 \times \pi} \]
Hypothèses

Pour ce calcul théorique, l'hypothèse principale est que le moteur est "parfait", c'est-à-dire :

  • Il n'y a aucune perte par frottement (le rendement mécanique est de 100%).
Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Cylindrée\(V_{\text{m}}\)50cm³/tr
Chute de Pression\(\Delta P\)200bar
Astuces

Puisque \(1 / (20\pi) \approx 0.0159\), de nombreux techniciens utilisent la formule approchée : \(C_{\text{th}} \approx 0.0159 \times V_{\text{m}} \times \Delta P\). Essayez : \(0.0159 \times 50 \times 200 = 159 \text{ N.m}\). C'est très proche et rapide à calculer.

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur la relation entre la pression entrante et le couple de sortie.

Pression et Couple (Théorique)
ΔP MOTEUR (Vm) Cth
Calcul(s)

Nous allons appliquer la formule en remplaçant les symboles par leurs valeurs.

Étape 1 : Poser la formule

\[ C_{\text{th}} = \frac{V_{\text{m}} \text{ (cm³/tr)} \times \Delta P \text{ (bar)}}{20 \times \pi} \]

Étape 2 : Remplacer les valeurs de l'énoncé

\[ C_{\text{th}} = \frac{50 \times 200}{20 \times \pi} \]

Étape 3 : Calculer le numérateur et le dénominateur

\[ C_{\text{th}} = \frac{10000}{62.8318...} \]

Étape 4 : Calcul final

\[ C_{\text{th}} \approx 159.15 \text{ N.m} \]
Réflexions

Un couple de 159 N.m est significatif. Pour visualiser, cela équivaut à soulever une masse d'environ 15.9 kg (car \(P = m \times g \approx m \times 10\)) au bout d'un bras de levier de 1 mètre. Ce couple est disponible même à très basse vitesse (couple de démarrage).

Points de vigilance

La constante \(20 \times \pi\) (environ 62.83) est un facteur de conversion essentiel. Elle n'est valable *que* pour \(V_{\text{m}}\) en \(\text{[cm³/tr]}\) et \(\Delta P\) en \(\text{[bar]}\) pour obtenir des \(\text{[N.m]}\). Si vos unités d'entrée changent, cette constante change !

Points à retenir
  • Le couple théorique est proportionnel à la cylindrée (\(V_{\text{m}}\)).
  • Le couple théorique est proportionnel à la chute de pression (\(\Delta P\)).
  • Formule clé : \(C_{\text{th}} = (V_{\text{m}} \times \Delta P) / (20\pi)\).
Le saviez-vous ?

La formule \(C_{\text{th}} \approx 0.0159 \times V_{\text{m}} \times \Delta P\) est très utilisée sur le terrain. L'autre formule très connue est \(C_{\text{th}} \text{ (daN.m)} = (V_{\text{m}} \times \Delta P) / 628\), qui donne le résultat en décaNewton-mètres.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

D'où vient la constante \(20 \times \pi\) ?

C'est une conversion d'unités. Couple \(C \text{ [N.m]} = \text{Puissance } P \text{ [W]} / \text{Vitesse } \omega \text{ [rad/s]}\). Puissance \(P \text{ [W]} = \text{Pression } P \text{ [Pa]} \times \text{Débit } Q \text{ [m³/s]}\). \(\Delta P \text{ [bar]} = \Delta P \times 10^5 \text{ [Pa]}\). \(V_{\text{m}} \text{ [cm³/tr]} = V_{\text{m}} \times 10^{-6} \text{ [m³/tr]}\). \(N \text{ [tr/min]} = N / 60 \text{ [tr/s]}\). \(Q_{\text{th}} = V_{\text{m}} \times N/60 \text{ [m³/s]}\). \(\omega_{\text{th}} = N \times 2\pi / 60 \text{ [rad/s]}\). En remplaçant tout, les \(N/60\) s'annulent et il reste \(C_{\text{th}} = (\Delta P \times 10^5 \times V_{\text{m}} \times 10^{-6}) / (2\pi) = (\Delta P \times V_{\text{m}}) / (20\pi)\).

Résultat Final
Le couple théorique est d'environ 159.15 N.m.
A vous de jouer

Si la pression disponible n'était que de 150 bar, quel serait le couple théorique \(C_{\text{th}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

  • Concept : Couple théorique (sans frottements).
  • Formule : \(C_{\text{th}} = (V_{\text{m}} \times \Delta P) / (20\pi)\).
  • Point Clé : Couple proportionnel à la pression.

Question 4 : En déduire le couple réel (utile) (\(C_{\text{reel}}\))

Principe

De même que pour la vitesse, le couple réel disponible à l'arbre est inférieur au couple théorique. Une partie du couple est "perdue" pour vaincre les frottements internes (mécaniques, visqueux). C'est ce qu'on appelle le "couple de perte".

Mini-Cours

Le rendement mécaniqueRatio entre le couple réel et le couple théorique. Il quantifie les pertes de couple dues aux frottements mécaniques. (\(\eta_m\)) est le paramètre qui quantifie cette perte. C'est un nombre sans unité, toujours inférieur à 1 (par ex: 0.92 signifie 92% d'efficacité). Il représente la fraction du couple théorique qui est réellement disponible à l'arbre.

Remarque Pédagogique

Le couple réel est la "force de rotation" que vous pouvez réellement utiliser pour votre application (soulever une charge, faire tourner une roue). La différence entre \(C_{\text{th}}\) et \(C_{\text{reel}}\) est l'effort que le moteur doit fournir juste pour "se vaincre lui-même".

Normes

Comme le rendement volumétrique, le rendement mécanique \(\eta_m\) est fourni par le fabricant et dépend des conditions de fonctionnement (pression, vitesse, viscosité).

Formule(s)

Couple réel

\[ C_{\text{reel}} = C_{\text{th}} \times \eta_m \]
Hypothèses

Pour cet exercice, nous posons l'hypothèse que :

  • Le rendement mécanique de 0.92 est constant pour les conditions de fonctionnement données.
Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q3 et les données de l'énoncé :

ParamètreSymboleValeurUnité
Couple théorique\(C_{\text{th}}\)159.15N.m
Rendement Mécanique\(\eta_m\)0.92-
Astuces

Un \(\eta_m\) de 0.92 (92%) est une valeur réaliste. Ce rendement est souvent plus faible à basse pression (car les frottements fixes sont proportionnellement plus importants) et peut aussi chuter à très haute vitesse (frottements visqueux).

Calcul(s)

Nous utilisons la formule et remplaçons les symboles par le résultat précédent (\(C_{\text{th}}\)) et la donnée de l'énoncé (\(\eta_m\)).

Étape 1 : Poser la formule

\[ C_{\text{reel}} = C_{\text{th}} \times \eta_m \]

Étape 2 : Remplacer les valeurs

\[ C_{\text{reel}} = 159.15 \text{ (N.m)} \times 0.92 \]

Étape 3 : Calcul final

\[ C_{\text{reel}} \approx 146.42 \text{ N.m} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre le bilan des efforts : le couple théorique (\(C_{\text{th}}\)) généré par la pression est en partie consommé par les frottements (\(C_{\text{f}}\)), laissant le couple réel (\(C_{\text{reel}}\)) disponible à l'arbre.

Bilan des Couples (Réel)
Cth (100%) MOTEUR Creel (ηm = 92%) Cf (Frottements) (8%)
Réflexions

Nous avons "perdu" environ 12.73 N.m (159.15 - 146.42) juste pour vaincre les frottements internes du moteur. C'est ce couple réel de 146.42 N.m qui est disponible sur l'arbre pour entraîner une charge.

Points de vigilance

Ne jamais diviser par le rendement mécanique. Le couple *réel* (utile) doit *toujours* être inférieur au couple théorique. Une multiplication par un nombre < 1 est donc logique.

Points à retenir
  • Le couple réel est inférieur au couple théorique.
  • \(C_{\text{reel}} = C_{\text{th}} \times \eta_m\).
  • Le rendement mécanique \(\eta_m\) quantifie les pertes par frottements.
Le saviez-vous ?

Le produit des deux rendements (\(\eta_v \times \eta_m\)) donne le rendement global (ou total) \(\eta_t\) du moteur. Ici, \(\eta_t = 0.95 \times 0.92 = 0.874\), soit 87.4% d'efficacité globale.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Qu'est-ce qui cause ces frottements ?

Ils proviennent de nombreuses sources : frottement des joints d'étanchéité, frottement des pistons/palettes dans leurs logements, frottement au niveau des roulements de l'arbre, et frottement "visqueux" de l'huile elle-même qui est cisaillée.

Résultat Final
Le couple réel (utile) est d'environ 146.42 N.m.
A vous de jouer

Avec un moteur de moindre qualité (\(\eta_m = 0.88\)), quel serait le couple réel \(C_{\text{reel}}\) (pour \(C_{\text{th}}=159.15\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

  • Concept : Couple réel (avec frottements).
  • Formule : \(C_{\text{reel}} = C_{\text{th}} \times \eta_m\).
  • Point Clé : \(\eta_m\) est toujours < 1.

Question 5 : Calculer la puissance utile (\(P_{\text{u}}\))

Principe

La puissance mécanique utile (ou puissance de sortie) est la puissance réellement disponible sur l'arbre du moteur. Elle est le produit du couple réel et de la vitesse de rotation réelle. C'est la finalité du moteur : fournir une puissance mécanique pour une application.

Mini-Cours

La puissance (en Watts) est la vitesse de travail. En physique, \(P = \text{Travail} / \text{Temps}\). Pour un mouvement de rotation, cela se traduit par \(P = \text{Couple} \times \text{Vitesse Angulaire}\). La formule \(P = C \times \omega\) (avec \(P\) en Watts, \(C\) en N.m et \(\omega\) en rad/s) est fondamentale en mécanique.

Remarque Pédagogique

C'est la puissance que vous facturez à votre client ou que vous utilisez pour dimensionner le reste de votre machine. Elle prend en compte *toutes* les pertes (fuites et frottements), car elle utilise le couple *réel* et la vitesse *réelle*.

Normes

Le Watt (W) est l'unité de puissance du Système International (SI). Le Kilowatt (kW) = 1000 W. Le cheval-vapeur (ch) est une ancienne unité encore parfois utilisée (1 kW \(\approx\) 1.36 ch).

Formule(s)

Puissance utile (en kW)

\[ P_{\text{u}} \text{ (kW)} = \frac{C_{\text{reel}} \text{ (N.m)} \times N_{\text{reel}} \text{ (tr/min)}}{9550} \]
Hypothèses

Le calcul est direct, basé sur les résultats réels précédents. L'hypothèse est que la constante 9550 est suffisamment précise pour notre calcul.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats réels des questions 2 et 4 :

ParamètreSymboleValeurUnité
Couple réel\(C_{\text{reel}}\)146.42N.m
Vitesse réelle\(N_{\text{reel}}\)1425tr/min
Astuces

Pour un ordre de grandeur rapide, vous pouvez approximer 9550 par 10 000. \(P_{\text{u}} \approx (146 \times 1425) / 10000 \approx 208890 / 10000 \approx 20.9 \text{ kW}\). C'est proche du résultat exact (21.85 kW) et permet de vérifier rapidement que vous n'avez pas fait d'erreur d'un facteur 10 ou 100.

Calcul(s)

Nous utilisons la formule de la puissance en [kW] en y injectant les valeurs réelles (\(C_{\text{reel}}\) et \(N_{\text{reel}}\)) calculées précédemment.

Étape 1 : Poser la formule

\[ P_{\text{u}} \text{ (kW)} = \frac{C_{\text{reel}} \text{ (N.m)} \times N_{\text{reel}} \text{ (tr/min)}}{9550} \]

Étape 2 : Remplacer les valeurs (Q2 et Q4)

\[ P_{\text{u}} = \frac{146.42 \times 1425}{9550} \]

Étape 3 : Calculer le numérateur

\[ P_{\text{u}} = \frac{208648.5}{9550} \]

Étape 4 : Calcul final

\[ P_{\text{u}} \approx 21.85 \text{ kW} \]
Schéma (Après les calculs)

Le bilan de puissance est le résumé final. La puissance hydraulique d'entrée (\(P_{\text{h}}\)) est convertie en puissance utile (\(P_{\text{u}}\)), mais une partie est perdue en chaleur à cause des fuites (\(P_{\text{fuites}}\)) et des frottements (\(P_{\text{frottements}}\)).

Bilan de Puissance Global
Ph (Entrée) (25 kW = 100%) CONVERSION D'ÉNERGIE Pu (Utile) (21.85 kW = 87.4%) Pertes Fuites (≈ 1.25 kW) Pertes Frottements (≈ 1.90 kW)
Réflexions

La puissance hydraulique fournie au moteur (puissance d'entrée) est \(P_{\text{h}} = (\Delta P \times Q_{\text{m}}) / 600 = (200 \times 75) / 600 = 25 \text{ kW}\). Le moteur convertit ces 25 kW hydrauliques en 21.85 kW mécaniques. Le rendement global \(\eta_t = P_{\text{u}} / P_{\text{h}} = 21.85 / 25 = 0.874\) (soit 87.4%). On vérifie bien que \(\eta_t = \eta_v \times \eta_m = 0.95 \times 0.92 = 0.874\). Les calculs sont cohérents !

Points de vigilance

La constante 9550 est un facteur de conversion très utilisé en mécanique. Elle n'est valable *que* pour obtenir des \(\text{[kW]}\) à partir de \(\text{[N.m]}\) et \(\text{[tr/min]}\). Si vous voulez des Watts (W), il faut multiplier par 1000, ou utiliser la formule de base \(P_{\text{W}} = C \times (N \times 2\pi / 60)\).

Points à retenir
  • La puissance utile est le produit du couple *réel* et de la vitesse *réelle*.
  • Formule clé : \(P_{\text{u}} \text{ (kW)} = (C_{\text{reel}} \times N_{\text{reel}}) / 9550\).
  • Le rendement global \(\eta_t = P_{\text{u}} / P_{\text{h}} = \eta_v \times \eta_m\).
Le saviez-vous ?

Les 3.15 kW "perdus" (25 kW en entrée - 21.85 kW en sortie) sont entièrement convertis en chaleur. C'est pourquoi les gros systèmes hydrauliques ont besoin de refroidisseurs (radiateurs) pour dissiper cette chaleur et empêcher l'huile de surchauffer.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Pourquoi diviser par 9550 ?

C'est une conversion d'unités. \(P \text{ [W]} = C \text{ [N.m]} \times \omega \text{ [rad/s]}\). Or, \(\omega = N \text{ [tr/min]} \times 2\pi / 60\). Donc \(P \text{ [W]} = C \times N \times 2\pi / 60\). Pour avoir des Kilowatts [kW], on divise par 1000 : \(P \text{ [kW]} = (C \times N \times 2\pi) / 60000 = (C \times N) / (60000 / 2\pi)\). Et \(60000 / (2\pi) \approx 9549.3\), arrondi à 9550.

Résultat Final
La puissance utile est d'environ 21.85 kW.
A vous de jouer

Calculez la puissance hydraulique d'entrée \(P_{\text{h}}\) (en kW) avec la formule \(P_{\text{h}} = (Q_{\text{m}} \times \Delta P) / 600\). (avec \(Q_{\text{m}}=75 \text{ L/min}\) et \(\Delta P=200 \text{ bar}\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

  • Concept : Puissance mécanique de sortie.
  • Formule : \(P_{\text{u}} = (C_{\text{reel}} \times N_{\text{reel}}) / 9550\).
  • Point Clé : C'est la puissance réelle disponible pour l'application.

Outil Interactif : Simulateur de Moteur

Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et la pression influencent les performances du moteur. (Basé sur \(V_{\text{m}}=50 \text{ cm³/tr}\), \(\eta_v=0.95\), \(\eta_m=0.92\)).

Paramètres d'Entrée
75 L/min
200 bar
Résultats Clés
Vitesse Réelle (\(N_{\text{reel}}\)) - tr/min
Couple Réel (\(C_{\text{reel}}\)) - N.m
Puissance Utile (\(P_{\text{u}}\)) - kW

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) quantifie ?

2. Si on augmente le débit (\(Q_{\text{m}}\)) en gardant la pression constante, que se passe-t-il principalement ?

3. Si on augmente la chute de pression (\(\Delta P\)) en gardant le débit constant, que se passe-t-il principalement ?

4. La formule \(C_{\text{th}} = (V_{\text{m}} \times \Delta P) / (20\pi)\) donne un couple en :

5. La puissance mécanique est le produit de :

Glossaire

Cylindrée (\(V_{\text{m}}\))
Volume de fluide (en \(\text{cm³}\)) nécessaire pour effectuer un tour complet de l'arbre du moteur.
Couple (\(C\))
Effort de rotation (en \(\text{N.m}\)) disponible sur l'arbre du moteur. C'est la "force" de rotation.
Rendement Volumétrique (\(\eta_v\))
Ratio entre la vitesse réelle et la vitesse théorique (\(N_{\text{reel}} / N_{\text{th}}\)). Il quantifie les pertes de débit dues aux fuites internes.
Rendement Mécanique (\(\eta_m\))
Ratio entre le couple réel et le couple théorique (\(C_{\text{reel}} / C_{\text{th}}\)). Il quantifie les pertes de couple dues aux frottements.
Chute de Pression (\(\Delta P\))
Différence de pression du fluide entre l'entrée et la sortie du moteur. C'est le "moteur" du couple.
Exercice : Moteur Hydraulique

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