ÉTUDE HYDRAULIQUE

Conception d’un canal d’amenée

Hydraulique : Conception d'un Canal d'Amenée pour une Micro-Centrale Hydroélectrique

Conception d'un canal d'amenée pour une micro-centrale hydroélectrique

Contexte : L'Art de Guider l'Eau en Douceur

Un canal d'amenéeCanal à ciel ouvert qui transporte l'eau depuis une prise d'eau (sur une rivière) jusqu'à la chambre de mise en charge ou directement à la turbine d'une centrale. est une composante essentielle de nombreuses micro-centrales hydroélectriques, en particulier celles dites "au fil de l'eau". Son rôle est de dériver une partie du débit d'une rivière et de le transporter avec une pente très faible sur une certaine distance. L'objectif est de créer une différence de hauteur (chute) entre le canal et la rivière, qui sera ensuite exploitée par la turbine. La conception de ce canal est un compromis : il doit être assez grand pour transporter le débit requis sans déborder, mais sa construction (excavation, revêtement) représente un coût majeur. On cherche donc la section hydrauliquement optimalePour une aire (et donc un volume d'excavation) donnée, c'est la forme géométrique qui minimise le périmètre mouillé, et donc les frottements. Elle permet de faire passer le débit maximal. pour minimiser les coûts tout en assurant une efficacité maximale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice aborde un problème d'optimisation classique en génie civil. Il ne s'agit plus seulement d'analyser un écoulement, mais de le concevoir. On utilise les lois de l'hydraulique (Manning-Strickler) non pas pour trouver une hauteur, mais pour définir les dimensions mêmes de l'ouvrage (largeur, hauteur) qui répondent le mieux à un critère d'efficacité (minimiser le périmètre mouillé, et donc les frottements et les coûts de revêtement).

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les propriétés géométriques d'une section trapézoïdale.
  • Appliquer la formule de Manning-Strickler pour un problème de conception.
  • Comprendre et appliquer le concept de section hydrauliquement optimale.
  • Déterminer les dimensions d'un canal (largeur au fond, hauteur d'eau) pour un débit donné.
  • Calculer la revancheMarge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal dans le canal et le sommet des berges. Elle prévient les débordements dus aux vagues ou aux fluctuations de débit. et la hauteur totale d'un canal.

Données de l'étude

On doit concevoir un canal d'amenée de section trapézoïdale, creusé en terre avec un revêtement en béton lisse. Le canal doit transporter un débit \(Q = 15 \, \text{m}^3/\text{s}\) en régime uniforme. Pour des raisons de stabilité des talus, on impose un fruitInclinaison des parois d'un canal. Un fruit de m=1 signifie que la paroi s'écarte horizontalement de 1 mètre pour chaque mètre de dénivelé vertical (pente de 1:1 ou 45°). de \(m=1\).

Schéma d'une Section de Canal Trapézoïdal
b h mh

Données :

  • Pente du canal : \(S_0 = 0.05 \% = 0.0005\)
  • Coefficient de Strickler pour le béton lisse : \(K_s = 80 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Fruit des berges : \(m=1\) (ce qui correspond à un angle de 45°)

Questions à traiter

  1. Donner les expressions de la section mouillée \(A\), du périmètre mouillé \(P\) et du rayon hydraulique \(R_h\) pour une section trapézoïdale en fonction de la largeur au fond \(b\), de la hauteur d'eau \(h\) et du fruit \(m\).
  2. Pour une section trapézoïdale, la condition d'optimalité hydraulique (périmètre minimal pour une aire donnée) est \(R_h = h/2\). En utilisant cette condition, exprimer \(b\) en fonction de \(h\) et \(m\), puis exprimer \(A\) et \(R_h\) uniquement en fonction de \(h\).
  3. En utilisant la formule de Manning-Strickler et les relations de la section optimale, calculer la hauteur d'eau normale \(h_n\) et la largeur au fond \(b\) du canal.
  4. Une revanche de 30% de la hauteur d'eau est requise. Quelle est la hauteur totale \(H_{canal}\) du canal à construire ?

Correction : Conception d'un canal d'amenée pour une micro-centrale hydroélectrique

Question 1 : Propriétés Géométriques de la Section Trapézoïdale

Principe :
Section A Périmètre P

Une section trapézoïdale peut être vue comme un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(h\), flanqué de deux triangles rectangles. La section mouillée \(A\) est la somme des aires de ces trois formes. Le périmètre mouillé \(P\) est la somme de la base \(b\) et des longueurs des deux talus, calculées avec le théorème de Pythagore.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Comprendre comment décomposer une forme complexe en éléments simples est une compétence fondamentale. Le "fruit" \(m\) est une manière pratique de définir la pente des berges : c'est le rapport de la projection horizontale sur la projection verticale (\(m = \Delta x / \Delta y\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = (b + mh)h = bh + mh^2 \]
\[ P = b + 2h\sqrt{1+m^2} \]
\[ R_h = \frac{A}{P} = \frac{(b+mh)h}{b+2h\sqrt{1+m^2}} \]
Donnée(s) :

Cette question est purement littérale. Les formules sont établies pour une utilisation ultérieure.

Calcul(s) :

Aucun calcul numérique n'est demandé à cette étape.

Points de vigilance :

Périmètre mouillé vs largeur au miroir : Ne pas confondre le périmètre mouillé \(P\) (longueur de la paroi en contact avec l'eau) avec la largeur à la surface libre, ou "largeur au miroir", \(T = b + 2mh\).

Le saviez-vous ?

La section trapézoïdale est la plus commune pour les canaux en terre car elle est naturellement stable. Un canal rectangulaire creusé dans la terre verrait ses parois verticales s'effondrer pour former un talus naturel, c'est-à-dire un trapèze.

FAQ en rapport avec la question :
Comment est choisi le fruit \(m\) ?

Le fruit des talus dépend de la nature du sol. Un sol rocheux peut supporter des parois quasi-verticales (\(m \approx 0\)), tandis qu'un sol sableux ou argileux nécessite un fruit plus grand (\(m=2\) ou \(m=3\)) pour garantir que les berges ne s'érodent pas et ne glissent pas dans le canal.

Résultat : Les formules géométriques de la section trapézoïdale sont établies.

Question 2 : Condition d'Optimalité Hydraulique

Principe :
Section optimale = demi-hexagone

Pour un débit et une pente donnés, la vitesse est maximale lorsque le rayon hydraulique \(R_h\) est maximal. Cela se produit lorsque, pour une section \(A\) donnée, le périmètre mouillé \(P\) est minimal. Mathématiquement, on peut démontrer que pour un trapèze, cette condition est atteinte lorsque la section est un demi-hexagone régulier, ce qui se traduit par la relation simple \(R_h = h/2\). Cette "section optimale" minimise les frottements et donc les pertes d'énergie, mais aussi les coûts de revêtement du canal.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le concept de section optimale est un puissant outil de pré-dimensionnement. Il permet de fixer une relation entre la largeur \(b\) et la hauteur \(h\), transformant un problème à deux variables en un problème à une seule variable, beaucoup plus simple à résoudre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_h = \frac{h}{2} \quad \text{(condition d'optimalité)} \]
\[ \frac{(b+mh)h}{b+2h\sqrt{1+m^2}} = \frac{h}{2} \Rightarrow b = 2h(\sqrt{1+m^2} - m) \]
Donnée(s) :
  • Fruit des berges : \(m = 1\)
Calcul(s) :

On trouve d'abord la relation entre \(b\) et \(h\) pour la section optimale :

\[ \begin{aligned} b &= 2h(\sqrt{1+1^2} - 1) \\ &= 2h(\sqrt{2} - 1) \\ &\approx 0.828h \end{aligned} \]

Puis on exprime \(A\) et \(R_h\) uniquement en fonction de \(h\) :

\[ \begin{aligned} A &= (b+mh)h = (0.828h + 1 \cdot h)h \\ &= 1.828h^2 \end{aligned} \]
\[ R_h = \frac{h}{2} = 0.5h \]
Points de vigilance :

Condition spécifique au trapèze : La condition \(R_h = h/2\) est spécifique à la section trapézoïdale optimale. Pour une section rectangulaire optimale, la condition est \(b=2h\). Chaque forme a sa propre condition d'optimalité.

Le saviez-vous ?

La forme hydrauliquement la plus efficace de toutes est le demi-cercle. Cependant, construire un canal semi-circulaire en béton est beaucoup plus complexe et coûteux qu'un canal trapézoïdal. Le trapèze optimal (demi-hexagone) est donc un excellent compromis entre efficacité hydraulique et faisabilité constructive.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la section optimale est-elle un demi-hexagone ?

Parmi toutes les formes, le cercle est celle qui a le plus petit périmètre pour une aire donnée. Un canal ne pouvant être un cercle fermé, la forme la plus efficace est le demi-cercle. La section trapézoïdale qui s'approche le plus de cette efficacité est celle dans laquelle on peut inscrire un demi-cercle tangent aux trois parois, ce qui correspond géométriquement à un demi-hexagone régulier.

Résultat : Pour la section optimale, on a \(b \approx 0.828h\), \(A \approx 1.828h^2\) et \(R_h = 0.5h\).

Question 3 : Dimensions du Canal Optimal

Principe :
Débit Q Pente S0 Rugosité n Géométrie (A, Rh) ⇒ h, b

On injecte les expressions de \(A\) et \(R_h\) pour la section optimale dans l'équation de Manning-Strickler. Cela donne une équation avec une seule inconnue, la hauteur normale \(h_n\), qui peut cette fois être résolue directement. Une fois \(h_n\) trouvée, on en déduit la largeur au fond \(b\) correspondante.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que la conception prend forme. On passe de relations théoriques à des dimensions physiques concrètes pour le canal. Le choix d'une section optimale a simplifié le problème au point de le rendre soluble algébriquement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = K_s \cdot A \cdot R_h^{2/3} \cdot S_0^{1/2} \]
Donnée(s) :
  • Débit : \(Q = 15 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Coefficient de Strickler : \(K_s = 80 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Pente : \(S_0 = 0.0005\)
  • Relations optimales : \(A \approx 1.828h^2\), \(R_h = 0.5h\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} 15 &= 80 \times (1.828h^2) \times (0.5h)^{2/3} \times \sqrt{0.0005} \\ 15 &= 80 \times 1.828 \times (0.5)^{2/3} \times h^2 \times h^{2/3} \times 0.02236 \\ 15 &\approx 146.24 \times 0.63 \times h^{8/3} \times 0.02236 \\ 15 &\approx 2.058 \cdot h^{8/3} \\ h^{8/3} &\approx \frac{15}{2.058} \approx 7.288 \\ h &= (7.288)^{3/8} \approx 2.15 \, \text{m} \end{aligned} \]

On en déduit la largeur au fond \(b\):

\[ \begin{aligned} b &\approx 0.828 \times h \\ &\approx 0.828 \times 2.15 \approx 1.78 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Puissances fractionnaires : Attention à la manipulation des exposants. \(h^2 \times h^{2/3} = h^{(2 + 2/3)} = h^{8/3}\). Pour isoler \(h\), il faut élever le résultat à la puissance inverse, c'est-à-dire \(3/8\).

Le saviez-vous ?

Les canaux d'irrigation de l'empire Romain, les aqueducs, étaient des chefs-d'œuvre d'ingénierie. Le Pont du Gard, par exemple, fait partie d'un aqueduc de 50 km de long avec une pente moyenne de seulement 0.034% (34 cm par km), une prouesse de précision pour l'époque, témoignant d'une maîtrise empirique remarquable des écoulements.

FAQ en rapport avec la question :
Le coefficient de Strickler/Manning est-il vraiment constant ?

Non, c'est une simplification. En réalité, le coefficient de rugosité dépend légèrement de la hauteur d'eau et de la forme de la section. Cependant, pour les calculs courants en ingénierie, le considérer comme une constante associée au matériau du revêtement est une approximation tout à fait acceptable et largement utilisée.

Résultat : Les dimensions optimales du canal sont une hauteur d'eau \(h_n \approx 2.15 \, \text{m}\) et une largeur au fond \(b \approx 1.78 \, \text{m}\).

Question 4 : Hauteur Totale du Canal (avec Revanche)

Principe :
Revanche H canal

La hauteur d'eau calculée (\(h_n\)) est la hauteur en régime normal. On ne construit jamais un canal avec des berges exactement à ce niveau. On ajoute toujours une marge de sécurité verticale, appelée "revanche", pour éviter les débordements en cas de vagues, de fluctuations de débit, ou d'imprécisions de construction. La hauteur totale de l'ouvrage est donc la hauteur d'eau plus cette revanche.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est le passage du calcul hydraulique pur au dimensionnement de l'ouvrage de génie civil. La revanche est un coefficient de sécurité, souvent fixé de manière empirique ou réglementaire (par exemple, un pourcentage de la hauteur d'eau, ou une valeur fixe).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_{\text{canal}} = h_n + \text{Revanche} \]
Donnée(s) :
  • Hauteur normale : \(h_n \approx 2.15 \, \text{m}\)
  • Revanche requise : 30% de \(h_n\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Revanche} &= 0.30 \times 2.15 \\ &\approx 0.645 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} H_{\text{canal}} &= 2.15 + 0.645 \\ &= 2.795 \, \text{m} \end{aligned} \]

En pratique, on arrondirait à une valeur de construction simple, par exemple \(H_{\text{canal}} = 2.80 \, \text{m}\).

Points de vigilance :

Ne pas oublier la revanche : Omettre la revanche dans le dimensionnement final d'un canal est une erreur de conception grave qui expose l'ouvrage à des risques de débordement et d'érosion des berges.

Le saviez-vous ?

Pour les très grands canaux, comme le canal de Panama ou le canal de Suez, la revanche est calculée en tenant compte non seulement des vagues générées par le vent, mais aussi des vagues d'étrave créées par le passage des navires, qui peuvent être très importantes.

FAQ en rapport avec la question :
La revanche est-elle toujours un pourcentage ?

Non. C'est une méthode simple pour les petits canaux. Pour les grands ouvrages, la revanche est souvent une valeur absolue (ex: 1 mètre) ou calculée via des formules plus complexes qui dépendent du nombre de Froude, de la largeur de la surface libre et de l'exposition au vent.

Résultat : La hauteur totale du canal à construire, incluant la revanche, est d'environ \(2.80 \, \text{m}\).

Simulation Interactive de la Conception

Faites varier le débit à transporter et le fruit des talus. Observez comment les dimensions optimales du canal (largeur b et hauteur h) s'ajustent.

Paramètres du Projet
Hauteur d'eau optimale h
Largeur au fond optimale b
Section mouillée A
Section Transversale Optimale

Pour Aller Plus Loin : Canaux en Terrain Complexe

Conception en déblai/remblai : Dans la réalité, un canal est rarement entièrement creusé (en déblai). Souvent, les terres excavées sont utilisées pour construire des digues de chaque côté (en remblai). La conception devient alors une optimisation du mouvement des terres pour minimiser les coûts. De plus, si le canal traverse des terrains de nature différente, le fruit des talus et le coefficient de rugosité peuvent varier le long du tracé, nécessitant des calculs par tronçons.

Le Saviez-Vous ?

Le Grand Canal de Chine est le plus long canal artificiel du monde, s'étendant sur près de 1800 km. Commencé au 5ème siècle avant J.-C., il a été un pilier du transport, du commerce et de l'irrigation en Chine pendant des siècles et est aujourd'hui classé au patrimoine mondial de l'UNESCO.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la section optimale minimise-t-elle les coûts ?

Il y a deux raisons principales. Premièrement, pour un débit et une pente donnés, une section plus efficace hydrauliquement (périmètre minimal) permet d'avoir une section mouillée (aire) plus petite, ce qui réduit le volume de terre à excaver. Deuxièmement, le coût du revêtement (béton, géomembrane) est directement proportionnel à la surface de ce revêtement, qui correspond au périmètre mouillé. Minimiser le périmètre minimise donc directement ce coût.

Que se passe-t-il si on ne peut pas utiliser la section optimale ?

Très souvent, des contraintes de terrain (emprise disponible, géologie) imposent une largeur au fond \(b\) ou une hauteur \(h\). Le problème n'est plus une optimisation, mais un calcul direct. On fixe la dimension contrainte, et on utilise la formule de Manning-Strickler pour trouver l'autre dimension. La section ne sera pas "optimale", mais elle sera fonctionnelle.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un canal trapézoïdal, la section hydrauliquement la plus avantageuse est :

2. Si on augmente la rugosité d'un canal (par exemple, par manque d'entretien), pour un même débit et une même pente, la hauteur d'eau normale va :

Glossaire

Canal d'Amenée
Canal à ciel ouvert qui transporte l'eau avec une faible pente pour créer une chute exploitable par une centrale hydroélectrique.
Section Hydrauliquement Optimale
Forme géométrique d'un canal qui, pour une aire donnée, minimise le périmètre mouillé et donc les pertes par frottement.
Fruit (ou talus)
Rapport de la projection horizontale à la projection verticale de la berge d'un canal. Un fruit de \(m=1\) correspond à une pente de 45°.
Revanche
Marge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal et le sommet des berges d'un canal pour prévenir les débordements.
Hauteur Normale (hn)
Hauteur d'eau d'équilibre dans un canal long où les forces de gravité (pente) compensent les forces de frottement pour un débit constant.
Hydraulique à Surface Libre : Conception d'un Canal d'Amenée

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