ÉTUDE HYDRAULIQUE

Comparaison des Pertes de Charge entre Conduites

Exercice : Comparaison des Pertes de Charge entre Conduites

Comparaison des Pertes de Charge entre Conduites

Contexte : L'efficacité énergétique des réseaux hydrauliques.

Dans le cadre de la conception d'un réseau d'adduction d'eau potable, un ingénieur doit choisir entre deux matériaux de conduite pour acheminer l'eau sur une distance de 1 km. Le choix du matériau a un impact direct sur les pertes de chargePerte d'énergie (généralement exprimée en hauteur de colonne de fluide) subie par un fluide en mouvement à cause des frottements contre les parois de la conduite., et donc sur les coûts de pompage et l'efficacité énergétique du réseau. Cet exercice vise à quantifier et comparer ces pertes pour deux matériaux courants : le PVC et la fonte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra de comprendre l'influence de la rugosité des matériaux sur les frottements et d'appliquer l'équation de Darcy-Weisbach, un pilier de l'hydraulique en charge.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse d'écoulement et le Nombre de Reynolds.
  • Déterminer un coefficient de perte de charge à l'aide de la rugosité relative.
  • Appliquer l'équation de Darcy-Weisbach pour quantifier les pertes d'énergie.
  • Comparer l'efficacité de différentes conduites et argumenter un choix technique.

Données de l'étude

On souhaite transporter de l'eau à 15°C sur une longueur droite de 1000 mètres avec un débit constant de 50 litres par seconde. Deux options de conduites, de même diamètre intérieur, sont envisagées.

Caractéristiques Communes
Caractéristique Valeur
Fluide Eau à 15°C
Débit volumique, \(Q\) 50 L/s
Longueur de la conduite, \(L\) 1000 m
Viscosité cinématique de l'eau, \(\nu\) \(1.14 \times 10^{-6}\) m²/s
Schéma de l'installation
L = 1000 m Q
Paramètre Conduite 1 : PVC Conduite 2 : Fonte (neuve) Unité
Diamètre intérieur, \(D\) 200 200 mm
Rugosité absolue, \(\varepsilon\) 0.0015 0.26 mm

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'écoulement \(V\) dans les conduites.
  2. Calculer le nombre de Reynolds \(Re\) pour cet écoulement et déterminer le régime.
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda_{\text{PVC}}\) pour la conduite en PVC.
  4. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda_{\text{Fonte}}\) pour la conduite en fonte.
  5. Calculer les pertes de charge linéaires \(\Delta H\) pour chaque conduite et conclure sur le choix le plus judicieux.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux de la mécanique des fluides sont nécessaires : l'équation de Darcy-Weisbach pour le calcul des pertes d'énergie par frottement, et le nombre de Reynolds pour caractériser la nature de l'écoulement.

1. L'équation de Darcy-Weisbach
Cette équation permet de calculer la perte de charge linéaire (due aux frottements sur la longueur de la conduite). Elle s'exprime en mètres de colonne de fluide (mCF) : \[ \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Où :
- \(\Delta H\) : Perte de charge linéaire (\(\text{m}\))
- \(\lambda\) : Coefficient de perte de charge (sans dimension)
- \(L\) : Longueur de la conduite (\(\text{m}\))
- \(D\) : Diamètre intérieur (\(\text{m}\))
- \(V\) : Vitesse moyenne du fluide (\(\text{m/s}\))
- \(g\) : Accélération de la pesanteur (≈ 9.81 \(\text{m/s}^2\))

2. Le Nombre de Reynolds (\(Re\))
C'est un nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement. Il compare les forces d'inertie aux forces de viscosité. \[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \] - Si \(Re < 2000\), l'écoulement est dit laminaire.
- Si \(Re > 4000\), l'écoulement est dit turbulent. En régime turbulent, le coefficient \(\lambda\) dépend de \(Re\) et de la rugosité relative \(\varepsilon/D\).

Correction : Comparaison des Pertes de Charge entre Conduites

Question 1 : Calculer la vitesse de l'écoulement V

Principe

La vitesse est une donnée fondamentale pour les calculs hydrauliques. On la détermine à partir du débit volumique et de la section intérieure de la conduite en utilisant le principe de conservation de la masse (équation de continuité).

Mini-Cours

Le principe de conservation de la masse, pour un fluide incompressible, stipule que le débit volumique \(Q\) (volume de fluide traversant une section par unité de temps) est constant tout au long d'une conduite de section constante. Il est égal au produit de la vitesse moyenne du fluide \(V\) par l'aire de la section transversale \(A\). Cette relation, \(Q = V \times A\), est l'une des plus fondamentales en hydraulique.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique impliquant un débit et une conduite est presque toujours de calculer la vitesse. C'est une valeur intermédiaire essentielle pour la suite des calculs (Reynolds, pertes de charge). Assurez-vous de bien maîtriser cette étape simple mais cruciale.

Normes

Le principe de conservation de la masse est une loi physique universelle. Il ne découle pas d'une norme mais constitue le fondement sur lequel les normes de calcul des réseaux (comme la norme EN 805 pour l'adduction d'eau) sont bâties.

Formule(s)

Section de la conduite

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Vitesse d'écoulement

\[ V = \frac{Q}{A} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, on pose les hypothèses suivantes :

  • L'écoulement se fait en pleine section (la conduite est entièrement remplie d'eau).
  • Le fluide est incompressible (la masse volumique de l'eau est constante).
  • La vitesse \(V\) représente la vitesse moyenne sur l'ensemble de la section.
Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé. Comme le diamètre est identique pour les deux options, la vitesse sera la même.

ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumiqueQ50L/s
Diamètre intérieurD200mm
Astuces

Pour éviter les erreurs, convertissez toujours toutes vos unités dans le Système International (mètres, secondes, m³, etc.) AVANT de commencer le moindre calcul. C'est le réflexe qui sauve !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la section de la conduite et les grandeurs en jeu. Ce schéma représente la section transversale du tuyau à travers laquelle le débit \(Q\) s'écoule.

Section de la conduite et débit
DQ
Calcul(s)

Conversion du diamètre (D)

On convertit les millimètres en mètres pour être cohérent avec le Système International.

\[ D = 200 \text{ mm} = 0.2 \text{ m} \]

Conversion du débit (Q)

On convertit les litres par seconde en mètres cubes par seconde (1 \(\text{m}^3\) = 1000 \(\text{L}\)).

\[ Q = 50 \text{ L/s} = 0.05 \text{ m}^3\text{/s} \]

Calcul de la section (A)

On calcule l'aire de la section transversale de la conduite.

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.2 \text{ m})^2}{4} \\ &\approx 0.031416 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (V)

On déduit la vitesse de la relation de continuité.

\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.05 \text{ m}^3\text{/s}}{0.031416 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.59 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la vitesse moyenne calculée. En réalité, le profil de vitesse n'est pas parfaitement plat, mais pour les calculs de pertes de charge, on utilise cette vitesse moyenne uniforme.

Profil de vitesse moyen
V = 1.59 m/s
Réflexions

Une vitesse de 1.59 m/s est une valeur tout à fait standard pour un réseau de distribution d'eau. Les vitesses sont généralement comprises entre 0.5 et 2.0 m/s pour limiter les pertes de charge (si trop rapides) et éviter la sédimentation (si trop lentes).

Points de vigilance

La principale source d'erreur ici est la conversion d'unités. Confondre L/s et m³/s, ou mm et m, peut entraîner une erreur d'un facteur 1000 ou plus. Soyez méthodique et vérifiez chaque conversion.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez impérativement :

  • La relation de continuité : \(Q = V \times A\).
  • La formule de l'aire d'un disque : \(A = \pi D^2 / 4\).
  • L'importance cruciale de la cohérence des unités.
Le saviez-vous ?

L'équation de continuité est une application directe du principe énoncé par Lavoisier : "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme". Dans notre cas, pour un fluide incompressible, le volume qui entre dans une section de tuyau doit en ressortir, ce qui lie directement le débit et la vitesse.

FAQ

Vous vous posez peut-être des questions :

Pourquoi la vitesse est-elle la même pour le PVC et la fonte ?

Parce que la vitesse ne dépend que du débit (\(Q\)) et du diamètre intérieur (\(D\)). Comme ces deux paramètres sont identiques dans l'énoncé pour les deux options, la vitesse de l'eau sera rigoureusement la même.

Résultat Final
La vitesse de l'écoulement dans les deux conduites est \(V \approx 1.59 \text{ m/s}\).
A vous de jouer

Si le débit passait à 75 L/s dans la même conduite, quelle serait la nouvelle vitesse ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds Re

Principe

Le calcul du nombre de Reynolds nous permet de définir si l'écoulement est laminaire, transitoire ou turbulent. Ce régime conditionne la méthode de calcul du coefficient de perte de charge \(\lambda\).

Mini-Cours

Le nombre de Reynolds, développé par Osborne Reynolds, est un outil puissant qui compare l'intensité des forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et un écoulement chaotique) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir ces perturbations et à maintenir un écoulement régulier). Un \(Re\) élevé signifie que l'inertie domine, menant à la turbulence. Un \(Re\) faible indique que la viscosité domine, favorisant un écoulement laminaire et ordonné.

Remarque Pédagogique

Ne sautez jamais cette étape ! Le calcul de \(\lambda\) est totalement différent en régime laminaire et en régime turbulent. Déterminer le régime d'écoulement via le Reynolds est un passage obligé pour choisir la bonne méthode de calcul et éviter des erreurs majeures.

Normes

Les seuils de transition entre les régimes (généralement \(Re_{\text{critique}} \approx 2000-2300\)) sont des valeurs expérimentales universellement reconnues et utilisées dans toutes les normes et ouvrages de référence en mécanique des fluides.

Formule(s)

Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses

Le calcul suppose que la viscosité cinématique \(\nu\) est constante, ce qui est vrai si la température de l'eau ne varie pas significativement le long du parcours.

Donnée(s)

On rassemble les données nécessaires : la vitesse calculée, le diamètre et la viscosité cinématique de l'eau donnée dans l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
VitesseV1.59m/s
DiamètreD0.2m
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.14 \times 10^{-6}\)m²/s
Astuces

Pour les applications courantes avec de l'eau dans des conduites de taille standard (plus de quelques centimètres), l'écoulement est presque toujours turbulent. Un résultat laminaire serait très surprenant et devrait vous inciter à vérifier vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la différence fondamentale entre un écoulement laminaire, où les filets de fluide sont parallèles et ordonnés, et un écoulement turbulent, caractérisé par des tourbillons et un mouvement chaotique.

Régimes d'écoulement
Écoulement Laminaire (Re faible)Écoulement Turbulent (Re élevé)
Calcul(s)

Calcul du Nombre de Reynolds (Re)

On applique la formule en utilisant les valeurs en unités du Système International.

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.59 \text{ m/s} \times 0.2 \text{ m}}{1.14 \times 10^{-6} \text{ m}^2\text{/s}} \\ &\approx 278,947 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat confirme un régime turbulent. Ce schéma représente l'écoulement chaotique à l'intérieur de la conduite, typique d'un nombre de Reynolds élevé.

Visualisation de l'écoulement turbulent
Re ≈ 2.8e5
Réflexions

La valeur du nombre de Reynolds (\(Re \approx 2.8 \times 10^5\)) est très supérieure à 4000. L'écoulement est donc pleinement turbulent, ce qui est typique des réseaux de distribution d'eau. Cela confirme que nous devrons utiliser des formules pour régime turbulent pour la suite.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les grandeurs (V, D, \(\nu\)) sont bien dans le Système International avant d'appliquer la formule. Une erreur de conversion sur l'une d'elles faussera complètement le résultat du Reynolds et donc tout le reste de l'exercice.

Points à retenir

L'essentiel à retenir :

  • La formule du nombre de Reynolds : \(Re = VD/\nu\).
  • Les seuils critiques : Laminaire < 2000 < Turbulent.
  • Le calcul de \(Re\) est l'étape qui oriente vers la bonne méthode de calcul des pertes de charge.
Le saviez-vous ?

Le nombre de Reynolds n'est pas utilisé qu'en hydraulique ! Il est fondamental en aérodynamique pour qualifier l'écoulement de l'air sur une aile d'avion, en météorologie pour modéliser les courants atmosphériques, et même en biologie pour étudier la nage des micro-organismes.

FAQ

Vous vous posez peut-être des questions :

La viscosité de l'eau change-t-elle beaucoup ?

Oui, la viscosité de l'eau est très sensible à la température. À 5°C, elle est d'environ 1.52 \(\times 10^{-6}\) m²/s, alors qu'à 30°C, elle chute à 0.8 \(\times 10^{-6}\) m²/s. C'est pourquoi il est toujours important de préciser la température du fluide dans un exercice d'hydraulique.

Résultat Final
Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 2.8 \times 10^5\). Le régime d'écoulement est turbulent.
A vous de jouer

Si l'on transportait du miel (\(\nu \approx 1 \times 10^{-3} \text{ m}^2\text{/s}\)) à la même vitesse, quel serait le Reynolds ?

Question 3 : Déterminer \(\lambda_{\text{PVC}}\)

Principe

Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, le coefficient de perte de charge \(\lambda\) dépend à la fois du nombre de Reynolds (\(Re\)) et de la rugosité relative de la conduite (\(\varepsilon/D\)). Nous allons calculer cette dernière puis utiliser une formule empirique pour trouver \(\lambda\).

Mini-Cours

Le coefficient \(\lambda\) n'est pas une constante. En régime turbulent, il est le fruit d'une interaction complexe entre la turbulence de l'écoulement (liée à \(Re\)) et l'état de surface de la paroi (décrit par \(\varepsilon/D\)). Le célèbre diagramme de Moody représente graphiquement cette relation. L'équation de Colebrook-White est la formule implicite qui modélise le plus fidèlement ce diagramme. Comme elle ne peut être résolue directement, on utilise une méthode de calcul par itérations successives pour trouver la valeur de \(\lambda\).

Remarque Pédagogique

La résolution par itérations peut sembler complexe, mais elle est très puissante. Elle consiste à choisir une valeur de départ pour \(\lambda\), à la réinjecter dans l'équation pour trouver une nouvelle valeur, et à répéter le processus jusqu'à ce que le résultat se stabilise. C'est une méthode fondamentale en calcul d'ingénierie.

Normes

Les valeurs de rugosité absolue (\(\varepsilon\)) pour les différents matériaux sont issues de nombreuses campagnes d'essais expérimentaux. Elles sont répertoriées dans les manuels de mécanique des fluides et les normes de conception de réseaux. Les valeurs peuvent légèrement varier d'une source à l'autre.

Formule(s)

Rugosité relative

\[ \frac{\varepsilon}{D} \]

Équation de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses

On suppose que la rugosité \(\varepsilon\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite et correspond bien à la valeur tabulée pour un matériau neuf.

Donnée(s)

Nous utilisons les données spécifiques à la conduite PVC et le Reynolds calculé précédemment.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité du PVC\(\varepsilon_{\text{PVC}}\)0.0015mm
DiamètreD200mm
Nombre de ReynoldsRe278 947-
Astuces

Pour démarrer les itérations, il faut une première valeur d'essai pour \(\lambda\). Une valeur de \(\lambda_0 = 0.02\) est souvent un bon point de départ pour les conduites d'eau courantes. Le calcul convergera rapidement en 2 ou 3 étapes.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre le concept de rugosité relative. Il s'agit du rapport entre la hauteur des aspérités de la paroi (\(\varepsilon\)) et le diamètre total de la conduite (\(D\)). Pour le PVC, ces aspérités sont très petites par rapport au diamètre.

Concept de Rugosité Relative (PVC - lisse)
Dε
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative (\(\varepsilon/D\)) pour le PVC

Les deux grandeurs doivent être dans la même unité (mm ou m) pour que le ratio soit adimensionnel.

\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon_{\text{PVC}}}{D} &= \frac{0.0015 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} \\ &= 7.5 \times 10^{-6} \end{aligned} \]

Calcul itératif du coefficient de perte de charge (\(\lambda_{\text{PVC}}\))

On pose une valeur initiale \(\lambda_0 = 0.02\).

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{2.51}{278947 \sqrt{0.02}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &\approx 8.365 \\ \Rightarrow \lambda_1 &\approx 0.01429 \end{aligned} \]

Itération 2

On réinjecte \(\lambda_1 = 0.01429\) dans l'équation.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{2.51}{278947 \sqrt{0.01429}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &\approx 8.223 \\ \Rightarrow \lambda_2 &\approx 0.01479 \end{aligned} \]

Itération 3

On réinjecte \(\lambda_2 = 0.01479\). La valeur converge.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{7.5 \times 10^{-6}}{3.7} + \frac{2.51}{278947 \sqrt{0.01479}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &\approx 8.238 \\ \Rightarrow \lambda_3 &\approx 0.01473 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce schéma simplifie le diagramme de Moody et montre où se situe notre point de calcul pour le PVC. Il se trouve dans la zone de transition, où \(\lambda\) dépend à la fois de Re et de la rugosité.

Position sur le Diagramme de Moody (PVC)
Régime turbulent lisseTransitionRégime rugueuxNombre de Reynolds (Re)Coefficient λPoint PVC
Réflexions

Une valeur de \(\lambda\) de 0.0147 est typique pour une conduite lisse (comme le PVC) en régime turbulent. On remarque que la rugosité relative est très faible, ce qui signifie que le terme dépendant de \(Re\) dans la formule a encore une influence significative. La conduite n'est pas encore dans le régime "pleinement turbulent rugueux".

Points de vigilance

Ne jamais oublier de calculer la rugosité RELATIVE (\(\varepsilon/D\)) avant d'utiliser les formules ou le diagramme de Moody. Utiliser la rugosité absolue (\(\varepsilon\)) directement est une erreur fréquente et grave.

Points à retenir

Pour réussir cette étape :

  • Comprendre que \(\lambda\) dépend de \(Re\) et \(\varepsilon/D\) en turbulent.
  • Savoir calculer la rugosité relative.
  • Être capable d'appliquer une formule explicite comme Swamee-Jain.
Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944, a révolutionné l'hydraulique en fournissant une solution graphique simple à un problème mathématique complexe (l'équation de Colebrook-White). Même à l'ère du calcul numérique, il reste un outil pédagogique et de vérification rapide extrêmement précieux pour les ingénieurs.

FAQ

Vous vous posez peut-être des questions :

Existe-t-il d'autres formules pour \(\lambda\) ?

Oui, de nombreuses autres formules existent (Blasius pour les conduites lisses, Haaland, etc.). Elles offrent différentes précisions selon les plages de \(Re\) et de rugosité, mais Swamee-Jain est l'une des plus polyvalentes et précises pour les régimes turbulents.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge pour la conduite en PVC est \(\lambda_{\text{PVC}} \approx 0.0147\).
A vous de jouer

Avec les mêmes conditions, quelle serait la valeur de \(\lambda\) pour une conduite en Polyéthylène Haute Densité (PEHD) avec \(\varepsilon = 0.007 \text{ mm}\) ?

Question 4 : Déterminer \(\lambda_{\text{Fonte}}\)

Principe

On utilise la même méthode que pour la conduite en PVC, mais avec la valeur de rugosité absolue de la fonte, qui est nettement plus élevée, ce qui devrait conduire à un coefficient de perte de charge plus important.

Mini-Cours

Lorsque la rugosité relative \(\varepsilon/D\) augmente, l'influence des aspérités de la paroi sur l'écoulement devient prépondérante. Pour des valeurs de \(\varepsilon/D\) et de \(Re\) très élevées (zone dite "pleinement turbulente rugueuse"), le coefficient \(\lambda\) devient quasi indépendant du nombre de Reynolds et ne dépend plus que de la rugosité relative. L'énergie est alors principalement dissipée par les tourbillons créés au contact des aspérités.

Remarque Pédagogique

Cet exemple illustre parfaitement pourquoi le choix du matériau est crucial. Pour un même diamètre et un même débit, une simple différence dans l'état de surface interne de la conduite va modifier le coefficient \(\lambda\) et donc, comme nous le verrons, les pertes d'énergie et les coûts d'exploitation.

Normes

Il est important de noter que la rugosité de la fonte, comme pour beaucoup de matériaux métalliques, augmente avec le temps à cause de la corrosion et de l'entartrage. Les normes et guides techniques fournissent souvent des valeurs pour les conduites neuves et en service.

Formule(s)

Équation de Colebrook-White

On utilise à nouveau l'équation de Colebrook-White, qui est la plus précise pour le régime turbulent.

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Hypothèses

On suppose que la valeur de \(\varepsilon=0.26 \text{ mm}\) est représentative d'une fonte neuve, comme spécifié dans l'énoncé.

Donnée(s)

On reprend les données communes en y associant la rugosité de la fonte.

ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité de la fonte\(\varepsilon_{\text{Fonte}}\)0.26mm
DiamètreD200mm
Nombre de ReynoldsRe278 947-
Schéma (Avant les calculs)

Contrairement au PVC, la fonte a des aspérités (\(\varepsilon\)) beaucoup plus importantes par rapport à son diamètre (\(D\)), ce qui augmente significativement la rugosité relative.

Concept de Rugosité Relative (Fonte - rugueux)
Dε
Calcul(s)

Calcul de la rugosité relative (\(\varepsilon/D\)) pour la fonte

\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon_{\text{Fonte}}}{D} &= \frac{0.26 \text{ mm}}{200 \text{ mm}} \\ &= 0.0013 \end{aligned} \]

Calcul itératif du coefficient de perte de charge (\(\lambda_{\text{Fonte}}\))

On pose une valeur initiale \(\lambda_0 = 0.02\).

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{278947 \sqrt{0.02}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &\approx 6.764 \\ \Rightarrow \lambda_1 &\approx 0.02186 \end{aligned} \]

Itération 2

On réinjecte \(\lambda_1 = 0.02186\). La valeur a déjà presque convergé.

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10}\left( \frac{0.0013}{3.7} + \frac{2.51}{278947 \sqrt{0.02186}} \right) \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &\approx 6.770 \\ \Rightarrow \lambda_2 &\approx 0.02182 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Sur le diagramme de Moody, le point correspondant à la fonte se déplace vers le haut et la droite, dans une zone où la rugosité a une influence beaucoup plus marquée sur le coefficient \(\lambda\).

Position sur le Diagramme de Moody (Fonte)
Régime turbulent lisseTransitionRégime rugueuxNombre de Reynolds (Re)Coefficient λPoint Fonte
Réflexions

Comme attendu, le coefficient \(\lambda\) pour la fonte (0.0218) est significativement plus élevé que pour le PVC (0.0147). La rugosité de la fonte, bien que faible en valeur absolue, a un impact majeur sur le frottement en régime turbulent.

Points de vigilance

Veillez à bien utiliser la rugosité correspondant au bon matériau. Une inversion des valeurs de \(\varepsilon\) entre les deux questions fausserait complètement la comparaison finale.

Points à retenir

Le point clé de cette question est de comprendre l'impact direct de la rugosité \(\varepsilon\) sur le coefficient \(\lambda\). À \(Re\) et \(D\) constants, un \(\varepsilon\) plus grand mène inévitablement à un \(\lambda\) plus grand.

Le saviez-vous ?

Les premières conduites d'eau à grande échelle, comme celles construites par les Romains, n'étaient pas en fonte mais en plomb ou en maçonnerie. Leurs parois étaient très rugueuses, entraînant des pertes de charge énormes qui limitaient la distance de transport de l'eau et nécessitaient des pentes très importantes, d'où la construction de leurs célèbres aqueducs.

Résultat Final
Le coefficient de perte de charge pour la conduite en fonte est \(\lambda_{\text{Fonte}} \approx 0.0218\).

Question 5 : Calculer et comparer les pertes de charge \(\Delta H\)

Principe

Maintenant que nous avons tous les éléments (L, D, V, \(\lambda\)), nous pouvons appliquer l'équation de Darcy-Weisbach pour chaque conduite afin de quantifier la perte d'énergie (exprimée en mètres de colonne de fluide) et comparer les deux options pour faire un choix d'ingénieur.

Mini-Cours

La perte de charge \(\Delta H\) représente une "hauteur" de fluide fictive qui correspond à l'énergie dissipée par frottement. Concrètement, si l'eau s'écoulait sans pompe dans cette conduite horizontale, son niveau de pression diminuerait d'une hauteur équivalente à \(\Delta H\) sur la longueur \(L\). C'est cette énergie que la pompe doit compenser pour maintenir l'écoulement.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale où tous les calculs précédents prennent leur sens. La comparaison des \(\Delta H\) permet de quantifier l'avantage économique et écologique d'un matériau par rapport à un autre. C'est le cœur du métier de l'ingénieur hydraulicien : optimiser les réseaux pour minimiser les pertes d'énergie.

Normes

Les normes de conception des réseaux d'eau potable imposent des vitesses maximales pour limiter les pertes de charge et les phénomènes de coup de bélier, mais aussi des vitesses minimales pour assurer un effet d'auto-curage et éviter les dépôts.

Formule(s)

Équation de Darcy-Weisbach

\[ \Delta H = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que l'accélération de la pesanteur \(g\) est constante et vaut 9.81 m/s².

Donnée(s)

On synthétise toutes les données nécessaires pour le calcul final.

ParamètreSymboleValeurUnité
LongueurL1000m
DiamètreD0.2m
VitesseV1.59m/s
Lambda PVC\(\lambda_{\text{PVC}}\)0.0147-
Lambda Fonte\(\lambda_{\text{Fonte}}\)0.0218-
Astuces

Le terme \(V^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique". Vous pouvez le calculer une seule fois, puis le multiplier par le reste des termes (\(\lambda \cdot L/D\)) pour chaque conduite, ce qui simplifie le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre la Ligne de Charge Piezométrique (LCP). Dans une conduite horizontale de diamètre constant, la LCP est une droite descendante. La différence de hauteur verticale entre le début et la fin de cette ligne représente la perte de charge totale \(\Delta H\) due aux frottements.

Ligne de Charge Piezométrique
LCPΔHLongueur L
Calcul(s)

Calcul de la hauteur dynamique (\(V^2/2g\))

\[ \begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(1.59 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &\approx 0.129 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la perte de charge pour le PVC (\(\Delta H_{\text{PVC}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{PVC}} &= 0.0147 \times \frac{1000 \text{ m}}{0.2 \text{ m}} \times 0.129 \text{ m} \\ &\approx 9.48 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la perte de charge pour la fonte (\(\Delta H_{\text{Fonte}}\))

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{Fonte}} &= 0.0218 \times \frac{1000 \text{ m}}{0.2 \text{ m}} \times 0.129 \text{ m} \\ &\approx 14.06 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme à barres compare visuellement la perte d'énergie (hauteur de charge perdue) entre les deux matériaux. La différence est significative et directement liée à la rugosité de chaque conduite.

Comparaison des Pertes de Charge
15 m10 m5 mΔH (m)9.48 mPVC14.06 mFonte
Réflexions

La conduite en fonte engendre une perte de charge de 14.06 m, soit environ 48% de plus que la conduite en PVC (9.48 m). Cette différence est uniquement due à la rugosité de la paroi interne. En pratique, cela signifie que la pompe devra fournir une pression supplémentaire de près de 0.46 bar pour vaincre les frottements additionnels de la fonte. Sur le long terme, le choix du PVC permettra des économies d'énergie substantielles.

Points de vigilance

Ne vous arrêtez pas au calcul de \(\lambda\) ! La question finale porte sur les pertes de charge \(\Delta H\). C'est la valeur qui a une signification physique et économique directe. L'erreur serait de conclure en comparant les \(\lambda\) sans faire le calcul complet de \(\Delta H\).

Points à retenir

Le message principal est :

  • La formule de Darcy-Weisbach est l'outil final pour quantifier les pertes d'énergie.
  • Une faible rugosité se traduit par des économies d'énergie directes.
  • Le choix d'un matériau pour une conduite n'est pas anodin et a des conséquences techniques et financières importantes.
Le saviez-vous ?

Dans les très longs pipelines, comme ceux transportant du pétrole sur des milliers de kilomètres, les ingénieurs injectent parfois des polymères à longue chaîne dans le fluide. Ces polymères modifient la structure de la turbulence près des parois et peuvent réduire les pertes de charge de plus de 30%, générant des économies d'énergie colossales.

FAQ

Vous vous posez peut-être des questions :

Cette perte de charge est-elle importante ?

Oui. Une perte de 9 à 14 mètres sur 1 km est significative. Elle correspond à une perte de pression d'environ 0.9 à 1.4 bar, ce qui est loin d'être négligeable et doit être compensé par un pompage adéquat, consommateur d'énergie.

Résultat Final
Les pertes de charge sont de \(\Delta H_{\text{PVC}} \approx 9.48 \text{ m}\) et \(\Delta H_{\text{Fonte}} \approx 14.06 \text{ m}\). Le PVC est le choix le plus judicieux pour minimiser les coûts de pompage.
A vous de jouer

Si la conduite en fonte était vieille et corrodée (\(\varepsilon = 1.5 \text{ mm}\)), quelle serait sa nouvelle perte de charge ?

Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge

Utilisez cet outil pour explorer l'impact du débit, du diamètre et du matériau sur les pertes de charge linéaires.

Paramètres d'Entrée
50 L/s
200 mm
Résultats Clés (pour L=1000m)
Vitesse (m/s) -
Nombre de Reynolds -
Coeff. de friction \(\lambda\) -
Perte de Charge (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le débit dans une conduite double, comment les pertes de charge linéaires évoluent-elles (approximativement) ?

2. Le nombre de Reynolds est utilisé pour déterminer :

3. Quel paramètre décrit le mieux l'état de surface interne d'une conduite ?

4. À débit constant, si l'on diminue le diamètre de la conduite, la vitesse de l'écoulement :

5. Une perte de charge de 10 mètres de colonne d'eau (mCE) équivaut à une perte de pression d'environ :

Glossaire

Perte de Charge
Diminution de l'énergie totale d'un fluide lorsqu'il s'écoule dans une conduite. Elle est due principalement aux forces de frottement entre le fluide et la paroi. Elle est souvent exprimée en hauteur de fluide (mètres).
Nombre de Reynolds (Re)
Ratio adimensionnel qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il permet de prédire le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire ou turbulent).
Rugosité Absolue (\(\varepsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure d'une conduite, exprimée en millimètres. Une faible rugosité (ex: PVC) entraîne moins de frottement qu'une rugosité élevée (ex: vieille fonte).
Coefficient de Perte de Charge (\(\lambda\))
Aussi appelé facteur de friction de Darcy, c'est un coefficient sans dimension qui quantifie la résistance à l'écoulement due à la friction dans une conduite. Il dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative.
Comparaison des Pertes de Charge entre Conduites

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