ÉTUDE HYDRAULIQUE

Comparaison des Pertes de Charge

Exercice : Comparaison des Pertes de Charge Hydrauliques

Comparaison des Pertes de Charge Hydrauliques

Contexte : Fondamentaux de l'hydraulique en charge.

Le transport de fluides dans les canalisations est un pilier de l'ingénierie civile et industrielle. Cependant, lorsqu'un fluide s'écoule, il perd inévitablement de l'énergie à cause des frottements contre les parois (pertes de charge linéaires) et des perturbations causées par les accessoires de tuyauterie comme les coudes, vannes ou rétrécissements (pertes de charge singulières). Le calcul précis de ces pertes de chargeDiminution de la pression d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois de la conduite (linéaires) et aux obstacles (singulières). est crucial pour dimensionner correctement les pompes et assurer le débit souhaité. Cet exercice a pour but de quantifier et de comparer ces deux types de pertes dans des configurations de réseau simples.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'hydraulique, à identifier les différentes sources de pertes d'énergie et à appliquer les formules fondamentales pour les évaluer. Vous verrez concrètement l'impact significatif des accessoires sur la perte d'énergie totale d'un réseau.

Objectifs Pédagogiques

  • Différencier et calculer les pertes de charge linéaires et singulières.
  • Calculer le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire ou turbulent). pour déterminer le régime d'écoulement.
  • Déterminer le facteur de frottement à l'aide de l'équation de Colebrook-White.
  • Appliquer l'équation de Darcy-Weisbach pour le calcul des pertes de charge linéaires.
  • Évaluer l'impact des accessoires (coudes, vanne) sur les pertes de charge totales.

Données de l'étude

On souhaite comparer les pertes de charge pour un écoulement d'eau dans deux configurations de tuyauterie en PVC sur une longueur totale de 50 mètres. Le débit est constant.

Schéma des Configurations
Système A : Conduite Droite L = 50 m Système B : Conduite avec Accessoires Coude 90° Vanne Coude 90° L_total = 50 m DN100 (D = 100 mm) DN100 (D = 100 mm)
Caractéristique Symbole Valeur Unité
Fluide - Eau -
Température de l'eau \(T\) 20 °C
Viscosité cinématique de l'eau \(\nu\) \(1.004 \times 10^{-6}\) \(\text{m}^2/\text{s}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 998.2 \(\text{kg}/\text{m}^3\)
Débit volumique \(Q\) 20 \(\text{L/s}\)
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) 100 \(\text{mm}\)
Longueur totale de la conduite \(L\) 50 \(\text{m}\)
Rugosité du PVC \(k\) 0.0015 \(\text{mm}\)
Coefficient de perte (Coude 90°) \(K_{\text{coude}}\) 0.9 -
Coefficient de perte (Vanne ouverte) \(K_{\text{vanne}}\) 0.2 -

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'écoulement et le nombre de Reynolds. Le régime est-il laminaire ou turbulent ?
  2. Déterminer le facteur de frottement (coefficient de perte de charge linéaire) \(\lambda\).
  3. Calculer la perte de charge linéaire \(\Delta H_{\text{lin}}\) pour une longueur de 50 m.
  4. Calculer la perte de charge singulière \(\Delta H_{\text{sing}}\) totale pour le Système B (qui comprend 2 coudes et 1 vanne).
  5. Calculer la perte de charge totale pour chaque système et exprimer en pourcentage l'augmentation due aux accessoires.

Les bases sur les Pertes de Charge

1. Nombre de Reynolds (\(Re\))
Ce nombre sans dimension compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il permet de déterminer le régime d'écoulement :

  • \(Re < 2000\) : Régime laminaire (écoulement ordonné).
  • \(Re > 4000\) : Régime turbulent (écoulement chaotique, le cas le plus courant en ingénierie).
\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \] Où \(V\) est la vitesse, \(D\) le diamètre, et \(\nu\) la viscosité cinématique.

2. Pertes de Charge Linéaires (\(\Delta H_{\text{lin}}\))
Elles sont dues au frottement du fluide sur la longueur de la conduite. On les calcule avec l'équation de Darcy-Weisbach : \[ \Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \] Où \(\lambda\) est le facteur de frottement, \(L\) la longueur, \(D\) le diamètre, \(V\) la vitesse et \(g\) l'accélération de la pesanteur (\(9.81 \text{ m/s}^2\)).

3. Facteur de Frottement (\(\lambda\))
Pour un régime turbulent, ce coefficient dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative (\(k/D\)). Il est déterminé par l'équation implicite de Colebrook-White, souvent résolue de manière itérative ou via des abbaques (diagramme de Moody). \[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}}\right) \]

4. Pertes de Charge Singulières (\(\Delta H_{\text{sing}}\))
Elles sont générées par les obstacles localisés (coudes, vannes, etc.). Chaque accessoire est caractérisé par un coefficient \(K\). \[ \Delta H_{\text{sing}} = K \frac{V^2}{2g} \] Les pertes de charge singulières totales sont la somme des pertes de chaque accessoire : \(\Delta H_{\text{sing, total}} = \left(\sum K_i\right) \frac{V^2}{2g}\).

Correction : Comparaison des Pertes de Charge Hydrauliques

Question 1 : Vitesse d'écoulement et Nombre de Reynolds

Principe

La première étape consiste à déterminer les caractéristiques de base de l'écoulement. La vitesse est directement liée au débit et à la section de la conduite. Le nombre de Reynolds nous indiquera ensuite la nature de l'écoulement (laminaire ou turbulent), ce qui est essentiel pour choisir la bonne méthode de calcul du facteur de frottement.

Mini-Cours

L'équation de continuité (\(Q=V \times A\)) exprime la conservation de la masse pour un fluide incompressible : le débit est le produit de la vitesse par la section. Le nombre de Reynolds compare physiquement les forces d'inertie (qui tendent à créer le chaos, la turbulence) aux forces de viscosité (qui tendent à amortir le mouvement et à le garder ordonné).

Remarque Pédagogique

Pensez à toujours commencer un exercice d'hydraulique par ces deux calculs. Ils posent le décor. Savoir si le régime est laminaire ou turbulent est comme connaître la règle du jeu avant de commencer une partie : cela conditionne toutes les étapes suivantes.

Normes

Les seuils de transition du nombre de Reynolds (typiquement 2000 pour la fin du régime laminaire et 4000 pour le début du régime turbulent) sont des conventions universellement acceptées en mécanique des fluides et sont mentionnées dans la quasi-totalité des manuels et normes techniques du domaine.

Formule(s)

Formule de la Vitesse

\[ V = \frac{Q}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Formule du Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses

Pour ces calculs initiaux, nous posons les hypothèses suivantes :

  • L'écoulement est incompressible (la masse volumique \(\rho\) est constante).
  • Le débit est uniformément réparti sur la section de la conduite (vitesse moyenne).
  • La conduite est pleine.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)20\(\text{L/s}\)
Diamètre intérieur\(D\)100\(\text{mm}\)
Viscosité cinématique\(\nu\)\(1.004 \times 10^{-6}\)\(\text{m}^2/\text{s}\)
Astuces

Pour vérifier rapidement vos calculs, gardez en tête que pour des applications courantes de distribution d'eau, les vitesses dans les canalisations sont généralement comprises entre 1 et 3 m/s. Un résultat très éloigné de cette plage doit vous alerter sur une possible erreur d'unité.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant illustre les variables utilisées pour le calcul de la vitesse et du nombre de Reynolds dans une section de conduite.

Paramètres de l'écoulement
V, QD
Calcul(s)

Conversion du débit

\[ \begin{aligned} Q &= 20 \text{ L/s} \\ &= 20 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{s} \\ &= 0.02 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre

\[ \begin{aligned} D &= 100 \text{ mm} \\ &= 0.1 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la section (A)

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.1 \text{ m})^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (V)

\[ \begin{aligned} V &= \frac{0.02 \text{ m}^3/\text{s}}{0.007854 \text{ m}^2} \\ &\approx 2.546 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul du Nombre de Reynolds (Re)

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{2.546 \text{ m/s} \times 0.1 \text{ m}}{1.004 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \\ &\approx 253585 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat du calcul nous place dans la catégorie du régime turbulent, caractérisé par des lignes de courant chaotiques et des tourbillons.

Visualisation des Régimes d'Écoulement
Régime Laminaire (Re < 2000)Régime Turbulent (Re > 4000)(Notre cas)
Réflexions

Le nombre de Reynolds est \(253,585\), ce qui est très supérieur à 4000. L'écoulement est donc en régime turbulent, ce qui était attendu pour une application d'ingénierie classique. Nous devrons donc utiliser des formules adaptées au régime turbulent pour la suite.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est la gestion des unités. Le débit est en L/s et le diamètre en mm. Il est impératif de tout convertir en unités du Système International (m³/s et m) avant de commencer les calculs.

Points à retenir

Pour maîtriser cette étape, retenez :

  • La relation fondamentale : Débit = Vitesse × Section (\(Q=V \cdot A\)).
  • La formule du nombre de Reynolds : \(Re = VD/\nu\).
  • Le seuil critique : un \(Re > 4000\) implique un régime turbulent.
Le saviez-vous ?

L'expérience qui a permis de visualiser la transition entre les régimes laminaire et turbulent a été menée en 1883 par l'ingénieur britannique Osborne Reynolds. Il a injecté un fin filet de colorant dans un écoulement d'eau dans un tube de verre, montrant de manière spectaculaire le passage d'une ligne droite (laminaire) à des tourbillons chaotiques (turbulent).

FAQ
Pourquoi le régime d'écoulement est-il si important ?

Parce que les lois de frottement sont radicalement différentes. En régime laminaire, les pertes de charge sont proportionnelles à la vitesse, alors qu'en régime turbulent, elles sont proportionnelles environ au carré de la vitesse, ce qui est beaucoup plus pénalisant.

Que se passerait-il si le fluide était de l'huile, beaucoup plus visqueuse ?

La viscosité \(\nu\) serait bien plus grande. Pour le même débit, le nombre de Reynolds serait donc beaucoup plus faible, et l'écoulement pourrait potentiellement devenir laminaire.

Résultat Final
La vitesse de l'écoulement est d'environ 2.55 m/s et le nombre de Reynolds est d'environ 253,600. Le régime est turbulent.
A vous de jouer

Recalculez la vitesse et le nombre de Reynolds si le débit était réduit à 5 L/s. Le régime changerait-il ?

Question 2 : Facteur de frottement \(\lambda\)

Principe

Le facteur de frottement \(\lambda\) (ou coefficient de perte de charge linéaire) quantifie l'intensité des pertes d'énergie par frottement. En régime turbulent, il dépend à la fois de la turbulence de l'écoulement (via le nombre de Reynolds) et de l'état de surface de la conduite (via la rugosité relative).

Mini-Cours

L'équation de Colebrook-White est la relation la plus précise pour trouver \(\lambda\) en régime turbulent. Comme elle est implicite (\(\lambda\) est des deux côtés), on ne peut pas la résoudre directement. On utilise soit des méthodes numériques (itération), soit des diagrammes comme celui de Moody, qui est une représentation graphique de cette équation.

Remarque Pédagogique

Ne vous laissez pas intimider par la complexité de l'équation de Colebrook. Comprenez surtout ce qu'elle représente : un arbitrage entre l'effet de la viscosité (terme en Reynolds) et l'effet de la rugosité (terme en k/D). Pour de très grands Reynolds, l'écoulement est dit "pleinement turbulent" et \(\lambda\) ne dépend quasiment plus que de la rugosité.

Normes

L'équation de Colebrook-White, bien qu'empirique, est la base de la plupart des normes internationales pour le calcul des conduites en charge, notamment dans les normes ISO ou les recommandations de l'American Society of Civil Engineers (ASCE).

Formule(s)

Équation de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10}\left(\frac{k/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}}\right) \]
Hypothèses

Nous supposons que la valeur de la rugosité \(k\) fournie pour le PVC est correcte et constante sur toute la longueur de la conduite. On suppose également que la conduite est neuve.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Rugosité du PVC\(k\)0.0015\(\text{mm}\)
Diamètre intérieur\(D\)100\(\text{mm}\)
Nombre de Reynolds\(Re\)253585-
Astuces

Pour éviter les itérations, on peut utiliser des approximations explicites comme celle de Swamee-Jain, très précise : \(\lambda = 0.25 / [\log_{10}(k/(3.7D) + 5.74/Re^{0.9})]^2\). Elle donne un résultat quasi-identique à Colebrook pour la plupart des applications.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant représente la rugosité \(k\) à la surface interne de la conduite de diamètre \(D\).

Rugosité Relative
DkRugosité relative = k/D
Calcul(s)

Conversion de la rugosité (k)

\[ \begin{aligned} k &= 0.0015 \text{ mm} \\ &= 0.0000015 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de la rugosité relative

\[ \begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0.0000015 \text{ m}}{0.1 \text{ m}} \\ &= 0.000015 \end{aligned} \]

Résolution de Colebrook-White par itérations

On commence avec une estimation initiale de \(\lambda_0 = 0.02\).

Itération 1

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.000015}{3.7} + \frac{2.51}{253585 \sqrt{0.02}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(4.054 \times 10^{-6} + 6.998 \times 10^{-5}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(7.4034 \times 10^{-5}\right) \\ &\approx 8.261 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \left(\frac{1}{8.261}\right)^2 \approx 0.01465 \end{aligned} \]

Itération 2

On réinjecte la nouvelle valeur \(\lambda_1 = 0.01465\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10}\left(\frac{0.000015}{3.7} + \frac{2.51}{253585 \sqrt{0.01465}}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(4.054 \times 10^{-6} + 8.177 \times 10^{-5}\right) \\ &= -2 \log_{10}\left(8.5824 \times 10^{-5}\right) \\ &\approx 8.133 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \left(\frac{1}{8.133}\right)^2 \approx 0.01512 \end{aligned} \]

La valeur a peu changé. On peut s'arrêter et adopter une valeur moyenne ou continuer pour plus de précision. On retiendra \(\lambda \approx 0.015\).

Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de Moody permet de visualiser ce résultat. On se positionne sur l'axe horizontal à notre valeur de Reynolds, on monte jusqu'à la courbe correspondant à notre rugosité relative, puis on lit la valeur de lambda sur l'axe vertical.

Positionnement sur le Diagramme de Moody
Reλk/D = 0.000015253,5850.015
Réflexions

Une valeur de \(\lambda\) de 0.015 est typique pour des conduites en PVC neuves dans ces conditions d'écoulement. C'est une valeur faible, ce qui confirme que le PVC est un matériau hydrauliquement "lisse". Pour des matériaux plus rugueux comme le béton ou l'acier corrodé, \(\lambda\) serait significativement plus élevé.

Points de vigilance

La principale erreur est d'oublier de convertir la rugosité \(k\) en mètres, ce qui fausse complètement le rapport k/D. Une autre erreur serait d'utiliser une formule de \(\lambda\) pour le régime laminaire (\(64/Re\)), qui donnerait un résultat totalement incorrect ici.

Points à retenir

  • En régime turbulent, \(\lambda\) dépend de Re et de k/D.
  • L'équation de Colebrook est la référence pour le calcul de \(\lambda\).
  • Plus la conduite est lisse (k faible) et plus le fluide est turbulent (Re élevé), plus \(\lambda\) est faible.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, publié en 1944, a été une révolution pour les ingénieurs. Avant cela, le calcul de \(\lambda\) était extrêmement fastidieux. Ce diagramme a permis pendant des décennies de résoudre graphiquement l'équation de Colebrook-White, bien avant l'avènement des calculatrices programmables.

FAQ
Que se passe-t-il si la conduite vieillit ?

Avec le temps, des dépôts et de la corrosion peuvent apparaître, ce qui augmente la rugosité effective \(k\). Par conséquent, le facteur de frottement \(\lambda\) augmente, et les pertes de charge aussi pour un même débit.

Pourquoi utilise-t-on encore une formule aussi compliquée ?

Parce qu'elle reste la plus précise sur une très large plage de Reynolds et de rugosités. Sa complexité n'est plus un problème aujourd'hui avec les outils de calcul modernes.

Résultat Final
Le facteur de frottement \(\lambda\) est d'environ 0.015.
A vous de jouer

Calculez le nouveau facteur de frottement \(\lambda\) si la conduite était en fonte neuve (\(k = 0.26 \text{ mm}\)).

Question 3 : Perte de charge linéaire \(\Delta H_{\text{lin}}\)

Principe

Maintenant que nous avons tous les composants (vitesse, diamètre, longueur, facteur de frottement), nous pouvons appliquer directement la formule de Darcy-Weisbach pour quantifier l'énergie perdue uniquement à cause du frottement sur les 50 mètres de conduite.

Mini-Cours

La perte de charge \(\Delta H\) représente une perte d'énergie par unité de poids du fluide. C'est pourquoi elle a la dimension d'une hauteur (mètres). Elle peut être directement convertie en perte de pression (\(\Delta P\)) via la relation \(\Delta P = \rho g \Delta H\). En pratique, une perte de charge de 1 mCE (mètre de colonne d'eau) équivaut à une perte de pression d'environ 0.1 bar.

Remarque Pédagogique

Visualisez la perte de charge linéaire comme une "pente d'énergie". Si vous traciez la ligne d'énergie le long de la conduite, elle descendrait de manière constante et régulière. C'est cette pente que les pompes doivent compenser pour maintenir l'écoulement.

Normes

L'équation de Darcy-Weisbach est l'une des équations les plus fondamentales de l'hydraulique. Elle est universellement reconnue et constitue la base de tous les calculs de pertes de charge dans les normes et les logiciels de conception de réseaux.

Formule(s)

Équation de Darcy-Weisbach

\[ \Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses

Nous supposons que les conditions d'écoulement (vitesse, diamètre) et les propriétés de la conduite (\(\lambda\)) sont constantes sur toute la longueur L.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Facteur de frottement\(\lambda\)0.015-
Longueur\(L\)50\(\text{m}\)
Diamètre\(D\)0.1\(\text{m}\)
Vitesse\(V\)2.546\(\text{m/s}\)
Gravité\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Le terme \(V^2/(2g)\) est appelé "hauteur dynamique". Il représente l'énergie cinétique du fluide. Il est utile de le calculer une fois pour toutes car il intervient aussi bien dans les pertes linéaires que singulières. Cela simplifie les calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant illustre comment la ligne d'énergie (ou ligne de charge) diminue le long d'une conduite droite en raison des pertes de charge linéaires.

Illustration de la Perte de Charge Linéaire
Ligne de Charge (Énergie)H1H2ΔHlin
Calcul(s)

Calcul de la hauteur dynamique

\[\begin{aligned} \frac{V^2}{2g} &= \frac{(2.546 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &\approx 0.330 \text{ m} \end{aligned}\]

Calcul de la perte de charge linéaire

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{lin}} &= 0.015 \times \frac{50 \text{ m}}{0.1 \text{ m}} \times 0.330 \text{ m} \\ &= 7.5 \times 0.330 \text{ m} \\ &\approx 2.478 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma de la ligne de charge est maintenant mis à jour avec la valeur calculée de la perte d'énergie.

Valeur de la Perte de Charge Linéaire
Ligne de Charge (Énergie)H1H22.48 mCE
Réflexions

Une perte de 2.48 mètres signifie que pour faire circuler l'eau sur ces 50 mètres, une pompe devrait fournir une pression supplémentaire équivalente à celle d'une colonne d'eau de 2.48 m de haut (soit environ 0.25 bar), juste pour vaincre le frottement.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes (mètres, secondes). Une erreur courante est d'utiliser le diamètre en mm dans la formule. Vérifiez également que vous utilisez bien la vitesse V et non le débit Q dans le terme d'énergie cinétique.

Points à retenir

  • La formule de Darcy-Weisbach est l'outil central pour les pertes linéaires.
  • Les pertes linéaires sont proportionnelles à la longueur L et au carré de la vitesse V.
  • Le résultat \(\Delta H\) est une hauteur (énergie par unité de poids), pas une pression.

Le saviez-vous ?

Henry Darcy, un ingénieur français du 19ème siècle, a mené des expériences sur l'écoulement de l'eau à travers des colonnes de sable pour l'approvisionnement en eau de la ville de Dijon. Ses travaux ont jeté les bases non seulement du calcul des pertes de charge dans les tuyaux, mais aussi de toute l'hydrogéologie moderne (loi de Darcy).

FAQ
Comment convertir cette perte de charge en perte de pression ?

Utilisez la formule \(\Delta P = \rho g \Delta H\). Ici, ce serait : \(\Delta P = 998.2 \times 9.81 \times 2.48 \approx 24260\) Pascals, soit 0.24 bar.

Est-ce que cette perte est importante ?

Cela dépend de l'application. Pour un système de pompage sur une longue distance, c'est une valeur significative à prendre en compte. Pour une courte section, cela pourrait être négligeable.

Résultat Final
La perte de charge linéaire sur 50 m est d'environ 2.48 mCE.
A vous de jouer

Quelle serait la perte de charge linéaire si la conduite faisait 200 mètres de long au lieu de 50 ?

Question 4 : Perte de charge singulière \(\Delta H_{\text{sing}}\) (Système B)

Principe

Le Système B contient des accessoires qui créent une turbulence locale, générant des pertes d'énergie supplémentaires. Nous devons additionner les coefficients adimensionnels (K) de chaque accessoire pour obtenir un coefficient global, puis utiliser la formule des pertes singulières qui lie cette perte à l'énergie cinétique du fluide.

Mini-Cours

Le coefficient de perte K est une valeur empirique, déterminée en laboratoire. Il représente le multiple de la hauteur dynamique (\(V^2/2g\)) qui est "perdue" sous forme de chaleur et de turbulence lorsque le fluide traverse l'accessoire. Plus un accessoire perturbe l'écoulement (ex: une vanne presque fermée), plus son K est élevé.

Remarque Pédagogique

Pensez aux pertes singulières comme à des "péages énergétiques". Chaque fois que le fluide rencontre un obstacle, il doit "payer" un peu de son énergie pour passer. Une ligne droite est une autoroute ; un circuit avec des coudes et des vannes est une route de ville avec des feux et des carrefours.

Normes

Les valeurs des coefficients K pour les accessoires standards (coudes, tés, vannes, etc.) sont tabulées dans de nombreux ouvrages de référence et normes d'ingénierie, comme celles du "Hydraulic Institute" ou dans des manuels techniques comme le "Crane Technical Paper No. 410".

Formule(s)

Perte de Charge Singulière Totale

\[ \Delta H_{\text{sing}} = \left(\sum K_i\right) \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que les K donnés sont corrects et que les accessoires sont suffisamment éloignés les uns des autres pour que leurs effets de turbulence ne s'influencent pas mutuellement.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient (Coude 90°)\(K_{\text{coude}}\)0.9-
Coefficient (Vanne ouverte)\(K_{\text{vanne}}\)0.2-
Hauteur dynamique\(V^2/2g\)0.330\(\text{m}\)
Astuces

Une méthode alternative pour les pertes singulières est celle des "longueurs équivalentes". Chaque accessoire est assimilé à une certaine longueur de tuyau droit qui produirait la même perte. C'est une autre façon de présenter le même calcul, utile pour certains logiciels.

Schéma (Avant les calculs)

Le passage dans un coude force les lignes de courant à se déformer, créant une zone de décollement et de turbulence qui dissipe l'énergie.

Formation de Turbulence dans un Coude
Zone deturbulence
Calcul(s)

Somme des coefficients K

Le système B a deux coudes à 90° et une vanne.

\[ \begin{aligned} \sum K_i &= K_{\text{coude1}} + K_{\text{coude2}} + K_{\text{vanne}} \\ &= 0.9 + 0.9 + 0.2 \\ &= 2.0 \end{aligned} \]

Calcul de la perte de charge singulière

On utilise le terme de vitesse \(\frac{V^2}{2g}\) déjà calculé, qui vaut environ 0.330 m.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{sing}} &= 2.0 \times \frac{(2.546 \text{ m/s})^2}{2 \times 9.81 \text{ m/s}^2} \\ &\approx 2.0 \times 0.330 \\ &\approx 0.66 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

La ligne d'énergie subit des chutes brutales à chaque passage d'accessoire, correspondant à la perte d'énergie localisée.

Impact sur la Ligne de Charge
KKKChutes dues aux pertes singulières
Réflexions

La perte due aux seuls accessoires (0.66 mCE) représente déjà une part non négligeable de la perte linéaire (2.48 mCE). Cela illustre bien que même dans une conduite relativement longue, ignorer les pertes singulières peut conduire à une sous-estimation significative des pertes totales.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier un accessoire dans la somme des K, ou de prendre un mauvais coefficient dans les tables de référence (par exemple, un coude à 45° au lieu de 90°).

Points à retenir

  • Les pertes singulières sont localisées aux accessoires.
  • On les calcule avec un coefficient K et la hauteur dynamique \(V^2/2g\).
  • La perte totale singulière est la somme des pertes de chaque accessoire.

Le saviez-vous ?

Une vanne papillon ou une vanne à boisseau sphérique (quart de tour), même complètement ouvertes, créent plus de pertes qu'une vanne à opercule de même diamètre, car leur mécanisme d'ouverture obstrue davantage le passage du fluide.

FAQ
D'où viennent ces coefficients K ?

Ils sont déterminés expérimentalement en laboratoire par les fabricants d'accessoires ou des organismes de recherche. Ils mesurent la perte de charge pour un accessoire donné sous différentes conditions de débit.

Et si une vanne est à moitié fermée ?

Son coefficient K augmente de manière spectaculaire ! Une vanne à moitié fermée peut avoir un K de 5, 10, voire plus, devenant ainsi la principale source de perte de charge du système.

Résultat Final
La perte de charge singulière totale pour le Système B est d'environ 0.66 mCE.
A vous de jouer

Quelle serait la perte de charge singulière si la vanne était remplacée par une vanne globe (\(K=10\)) ?

Question 5 : Comparaison des pertes de charge totales

Principe

La perte de charge totale d'un réseau est simplement la somme des pertes linéaires (dues à la longueur) et des pertes singulières (dues aux accessoires). En comparant les totaux des deux systèmes, nous pouvons quantifier l'impact réel de l'ajout de quelques coudes et d'une vanne.

Mini-Cours

L'équation générale de l'énergie (ou Bernoulli généralisée) stipule que l'énergie en un point 1 est égale à l'énergie en un point 2, plus l'énergie ajoutée par une pompe, moins l'énergie perdue par les frottements (pertes de charge totales). Le calcul de \(\Delta H_{\text{total}}\) est donc essentiel pour déterminer la puissance de la pompe nécessaire pour un système.

Remarque Pédagogique

Ce calcul final est la synthèse de tout l'exercice. Il montre que la conception d'un réseau est un compromis. Le Système A est plus efficace énergétiquement, mais le Système B est peut-être nécessaire pour contourner un obstacle. L'ingénieur doit alors chiffrer le "surcoût" énergétique de cette contrainte géométrique.

Normes

Le principe d'additivité des pertes de charge est une approche standardisée dans toutes les méthodologies de conception de réseaux hydrauliques. Les logiciels de simulation professionnels appliquent ce même principe fondamental.

Formule(s)

Perte de Charge Totale

\[ \Delta H_{\text{total}} = \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}} \]
Hypothèses

Nous supposons qu'il n'y a pas de changement d'altitude entre l'entrée et la sortie des systèmes pour que la comparaison porte uniquement sur les pertes par frottement.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Perte linéaire calculée\(\Delta H_{\text{lin}}\)2.48\(\text{mCE}\)
Perte singulière (Syst. B)\(\Delta H_{\text{sing, B}}\)0.66\(\text{mCE}\)
Astuces

Pour rapidement estimer l'importance relative des pertes, on peut comparer la somme des K à la quantité \(\lambda L/D\). Si \(\sum K\) est du même ordre de grandeur que \(\lambda L/D\), les pertes singulières sont significatives. Si \(\lambda L/D\) est beaucoup plus grand, elles sont potentiellement négligeables.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant conceptualise l'addition des pertes linéaires et singulières pour obtenir la perte totale.

Composition de la Perte de Charge Totale
ΔHlin+ΔHsing=ΔHtotal
Calcul(s)

Perte totale du Système A

Le Système A n'a pas d'accessoires, donc \(\Delta H_{\text{sing, A}} = 0\).

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{total, A}} &= \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing, A}} \\ &= 2.48 + 0 \\ &= 2.48 \text{ mCE} \end{aligned} \]

Perte totale du Système B

Le Système B a les mêmes pertes linéaires et les pertes singulières calculées.

\[ \begin{aligned} \Delta H_{\text{total, B}} &= \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing, B}} \\ &= 2.48 + 0.66 \\ &= 3.14 \text{ mCE} \end{aligned} \]

Calcul de l'augmentation en pourcentage

\[ \begin{aligned} \text{Augmentation} (\%) &= \frac{\Delta H_{\text{total, B}} - \Delta H_{\text{total, A}}}{\Delta H_{\text{total, A}}} \times 100 \\ &= \frac{3.14 - 2.48}{2.48} \times 100 \\ &= \frac{0.66}{2.48} \times 100 \\ &\approx 26.6\% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme montre clairement que la perte de charge totale du Système B est supérieure à celle du Système A, l'augmentation étant entièrement due à la barre rouge des pertes singulières.

Comparaison des Pertes de Charge
Réflexions

L'ajout de seulement trois accessoires a augmenté la perte d'énergie totale de plus de 26%. Cela montre que les pertes singulières, bien que localisées, ne doivent jamais être négligées dans le dimensionnement d'un réseau hydraulique, car elles peuvent avoir un impact énergétique considérable, se traduisant par une plus grande consommation de la pompe.

Points de vigilance

Ne comparez pas des choses incomparables. Assurez-vous que la longueur totale et le diamètre sont bien les mêmes pour les deux systèmes afin que la seule variable soit la présence des accessoires.

Points à retenir

  • La perte de charge totale est la somme des pertes linéaires et singulières.
  • Les accessoires peuvent représenter une part très importante de la perte d'énergie totale, surtout dans les réseaux courts et complexes.
  • L'optimisation d'un tracé de tuyauterie pour minimiser les coudes est une stratégie efficace de réduction de la consommation d'énergie.

Le saviez-vous ?

Dans les systèmes de CVC (Chauffage, Ventilation, Climatisation) des grands bâtiments, les réseaux de gaines de ventilation sont si complexes (coudes, tés, registres, filtres) que les pertes de charge singulières représentent souvent plus de 75% des pertes de charge totales du système.

FAQ
Quand peut-on vraiment négliger les pertes singulières ?

Dans les très longues conduites (oléoducs, adductions d'eau sur plusieurs kilomètres). Dans ce cas, le terme \(\lambda L/D\) devient si grand que la somme des K devient négligeable en comparaison. En revanche, dans un local technique de chaufferie, elles sont prépondérantes.

Comment ce calcul influence-t-il le choix d'une pompe ?

La pompe doit fournir une hauteur manométrique totale (HMT) au moins égale à la perte de charge totale du réseau (plus la hauteur géométrique à vaincre). Une augmentation de 26% des pertes de charge peut nécessiter de passer au modèle de pompe supérieur, plus coûteux et plus gourmand en énergie.

Résultat Final
La perte de charge totale est de 2.48 mCE pour le Système A et 3.14 mCE pour le Système B. Les accessoires augmentent la perte de charge de 26.6%.
A vous de jouer

Si la conduite ne faisait que 10 m de long au lieu de 50 m, quel serait le nouveau pourcentage d'augmentation dû aux accessoires ?

Outil Interactif : Simulateur de Pertes de Charge

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et le diamètre de la conduite (Système B) et observez l'impact sur la vitesse, le régime d'écoulement et les pertes de charge.

Paramètres d'Entrée
20 L/s
100 mm
Résultats Clés (Système B)
Vitesse (m/s) -
Nombre de Reynolds -
Perte de Charge Totale (mCE) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le débit dans une conduite, comment évolue approximativement la perte de charge linéaire ?

2. Quelle est la principale caractéristique d'un régime d'écoulement laminaire ?

3. Dans l'équation de Darcy-Weisbach, le facteur de frottement \(\lambda\) dépend de :

4. À quoi correspond une perte de charge "singulière" ?

5. Pour réduire les pertes de charge linéaires dans une installation existante sans changer le débit, la solution la plus efficace est de :

Glossaire

Perte de Charge
Représente la dissipation d'énergie (perte de pression) d'un fluide en mouvement dans une conduite. Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou, plus couramment, en mètres de colonne de fluide (mCE).
Nombre de Reynolds (Re)
Un nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Il aide à prédire si l'écoulement sera laminaire ou turbulent.
Rugosité (k)
Une mesure de la texture de la surface intérieure d'un tuyau. Une rugosité élevée augmente le frottement et donc les pertes de charge linéaires.
Perte de Charge Linéaire
Perte d'énergie due au frottement du fluide contre les parois de la conduite sur toute sa longueur.
Perte de Charge Singulière
Perte d'énergie localisée, causée par la perturbation de l'écoulement au passage d'un accessoire (coude, vanne, té, élargissement, etc.).
Exercice : Comparaison des Pertes de Charge

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