ÉTUDE HYDRAULIQUE

Comparaison des débits pour un canal

Comparaison des débits pour un canal rectangulaire et un canal semi-circulaire

Comparaison des débits pour un canal rectangulaire et un canal semi-circulaire

Comprendre l'Efficacité Hydraulique

En hydraulique, l'efficacité d'une section de canal est sa capacité à faire transiter un débit maximal pour une surface d'écoulement, une pente et une rugosité données. Cette efficacité est directement liée au périmètre mouillé : pour une même aire, la section qui a le plus petit périmètre mouillé subira le moins de pertes par frottement et sera donc la plus efficace. Le demi-cercle est la forme théorique la plus efficace de toutes. Cet exercice compare la performance d'un canal semi-circulaire à celle d'un canal rectangulaire "optimal" (dont les dimensions sont optimisées pour minimiser le périmètre) de même surface.

Données de l'étude

On compare la capacité de deux canaux, l'un rectangulaire et l'autre semi-circulaire, pour les mêmes conditions hydrauliques.

Données communes :

  • Surface de la section mouillée (\(A\)) : \(2.0 \, \text{m}^2\)
  • Pente du fond (\(S_f\)) : \(0.1 \% = 0.001\)
  • Coefficient de Manning (\(n\)) : \(0.015 \, \text{s/m}^{1/3}\) (béton lisse)
Schéma des Sections de Canal
Cas 1: Rectangulaire Optimal B y Cas 2: Semi-circulaire r

Comparaison d'une section rectangulaire et semi-circulaire de même aire.

Questions à traiter

  1. Cas 1 : Canal rectangulaire. En supposant une section hydrauliquement optimale (\(B=2y\)), calculer la géométrie (largeur \(B\), hauteur \(y\)), le rayon hydraulique (\(R_{h1}\)) et le débit (\(Q_1\)).
  2. Cas 2 : Canal semi-circulaire. Calculer la géométrie (rayon \(r\)), le rayon hydraulique (\(R_{h2}\)) et le débit (\(Q_2\)).
  3. Comparer les débits \(Q_1\) et \(Q_2\) et conclure sur l'efficacité hydraulique des deux sections.

Correction : Comparaison d'Efficacité Hydraulique

Question 1 : Canal Rectangulaire Optimal

Principe :

Pour une section rectangulaire, la condition la plus efficace (périmètre minimal pour une aire donnée) est atteinte lorsque la largeur est égale à deux fois la hauteur d'eau. On utilise cette condition pour trouver les dimensions.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = B \cdot y = (2y) \cdot y = 2y^2\] \[P = B + 2y = 2y + 2y = 4y\] \[R_h = \frac{A}{P} = \frac{y}{2}\] \[Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_f^{1/2}\]
Calcul :

Dimensions :

\[ 2y_1^2 = 2 \, \text{m}^2 \Rightarrow y_1 = 1 \, \text{m} \] \[ B_1 = 2y_1 = 2 \, \text{m} \]

Rayon hydraulique :

\[ R_{h1} = \frac{y_1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \, \text{m} \]

Débit :

\[ \begin{aligned} Q_1 &= \frac{1}{0.015} \times 2.0 \times (0.5)^{2/3} \times (0.001)^{1/2} \\ &= 66.67 \times 2.0 \times 0.630 \times 0.03162 \\ &\approx 2.65 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Pour le canal rectangulaire, le débit est \(Q_1 \approx 2.65 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 2 : Canal Semi-circulaire

Principe :

On calcule les propriétés géométriques et hydrauliques pour une section en forme de demi-cercle de même aire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = \frac{\pi r^2}{2}\] \[P = \pi r\] \[R_h = \frac{A}{P} = \frac{r}{2}\]
Calcul :

Dimension (rayon) :

\[ \frac{\pi r^2}{2} = 2 \, \text{m}^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{4}{\pi}} \approx 1.128 \, \text{m} \]

Rayon hydraulique :

\[ R_{h2} = \frac{r}{2} = \frac{1.128}{2} = 0.564 \, \text{m} \]

Débit :

\[ \begin{aligned} Q_2 &= \frac{1}{0.015} \times 2.0 \times (0.564)^{2/3} \times (0.001)^{1/2} \\ &= 66.67 \times 2.0 \times 0.686 \times 0.03162 \\ &\approx 2.89 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Pour le canal semi-circulaire, le débit est \(Q_2 \approx 2.89 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Question 3 : Comparaison et Conclusion

Principe :

On compare les deux débits calculés pour déterminer quelle section est la plus performante. L'efficacité est directement liée au rayon hydraulique (\(R_h\)), car le débit est proportionnel à \(R_h^{2/3}\).

Analyse :
\[Q_2 (\approx 2.89 \, \text{m}^3/\text{s}) > Q_1 (\approx 2.65 \, \text{m}^3/\text{s})\]

Le débit dans le canal semi-circulaire est supérieur d'environ 9% à celui du canal rectangulaire. Cela s'explique par son périmètre mouillé plus faible pour la même aire (\(P_2 \approx 3.55\) m contre \(P_1 = 4.0\) m), ce qui conduit à un rayon hydraulique plus élevé et donc à moins de pertes par frottement.

Résultat Question 3 : La section semi-circulaire est hydrauliquement plus efficace que la section rectangulaire.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une section de canal est dite "hydrauliquement efficace" si, pour une aire donnée, elle minimise :

2. Pour un même débit, un canal avec un plus grand rayon hydraulique aura :

3. En pratique, pourquoi les canaux ne sont-ils pas toujours semi-circulaires malgré leur efficacité ?

Glossaire

Efficacité Hydraulique
Capacité d'une section de canal à transporter le plus grand débit possible pour une aire, une pente et une rugosité données. Elle est maximale lorsque le périmètre mouillé est minimal.
Périmètre Mouillé (\(P\))
Longueur de la ligne de contact entre l'eau et les parois solides du canal (fond et talus). C'est la source des pertes de charge par frottement.
Rayon Hydraulique (\(R_h\))
Rapport entre la section mouillée (\(A\)) et le périmètre mouillé (\(P\)). Il représente une longueur caractéristique de l'écoulement. Un rayon hydraulique élevé indique une grande efficacité.
Section Optimale
Pour une forme de canal donnée (par exemple, rectangulaire), la géométrie (rapport largeur/profondeur) qui maximise le rayon hydraulique pour une aire donnée, et qui est donc la plus efficace.
Hydraulique à Surface Libre - Exercice d'Application

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