ÉTUDE HYDRAULIQUE

Charge Hydraulique sur un Radier

Hydraulique : Calcul de la Charge Hydraulique sur le Radier d'un Ouvrage

Calcul de la charge hydraulique sur le radier d'un ouvrage

Contexte : La Stabilité des Ouvrages Face à l'Eau

Tout ouvrage hydraulique (seuil, barrage, pile de pont) placé dans un écoulement modifie profondément ce dernier. L'eau accélère pour passer l'obstacle, créant une chute du niveau d'eau et une conversion d'énergie potentielle en énergie cinétique. Cette modification de l'écoulement engendre des variations de pression qui s'exercent sur la structure. En particulier, la pression de l'eau sur la fondation de l'ouvrage, appelée radierDalle de fondation, généralement en béton, qui sert d'assise à un ouvrage hydraulique et répartit les charges sur le sol., génère une force de sous-pressionForce résultante de la pression de l'eau qui s'exerce sous la fondation d'un ouvrage. Elle tend à soulever la structure. qui tend à soulever la structure. Le calcul précis de cette force est une étape non négociable dans le dimensionnement d'un ouvrage pour garantir sa stabilité et prévenir tout risque de rupture par soulèvement ou glissement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'application directe de l'équation de Bernoulli et du concept d'énergie spécifiqueÉnergie de l'écoulement par unité de poids, par rapport au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau (énergie potentielle) et de la hauteur de vitesse (énergie cinétique). pour résoudre un problème d'ingénierie civile concret. Il s'agit de traduire des concepts d'hydrodynamique en forces mécaniques pour le calcul de structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'énergie spécifique d'un écoulement à surface libre.
  • Déterminer le régime d'écoulement (fluvial ou torrentiel) à l'aide du nombre de Froude.
  • Comprendre la notion de perte de charge au passage d'un ouvrage.
  • Calculer la distribution de pression hydrostatique sur une surface.
  • Déterminer la force de sous-pression résultante sur un radier.

Données de l'étude

Un canal rectangulaire de grande largeur charrie un débit par unité de largeur \(q = 2 \, \text{m}^2/\text{s}\). On y construit un seuil de fondation (radier) de longueur \(L = 10 \, \text{m}\). La hauteur d'eau mesurée juste à l'amont de l'ouvrage est \(h_1 = 2.5 \, \text{m}\), et juste à l'aval, elle est de \(h_2 = 0.6 \, \text{m}\). On suppose que la pression sous le radier varie linéairement entre la pression hydrostatique amont et la pression hydrostatique aval.

Schéma de l'Écoulement sur un Seuil
Radier h1 h2 L

Données :

  • Masse volumique de l'eau : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer les vitesses \(v_1\) et \(v_2\), puis les nombres de Froude \(Fr_1\) et \(Fr_2\). Qualifier les régimes d'écoulement à l'amont et à l'aval.
  2. Calculer l'énergie spécifique \(E_{s1}\) et \(E_{s2}\). Quelle est la perte d'énergie \(\Delta E\) au passage de l'ouvrage ?
  3. Calculer les pressions hydrostatiques \(P_1\) et \(P_2\) au niveau du radier à l'amont et à l'aval.
  4. En déduire la force de sous-pression totale par unité de largeur \(F_{sp}\) s'exerçant sur le radier.

Correction : Charge Hydraulique sur un Radier

Question 1 : Vitesses et Régimes d'Écoulement

Principe :
Régime Fluvial (Fr < 1) Régime Torrentiel (Fr > 1)

La vitesse de l'écoulement est inversement proportionnelle à la hauteur d'eau pour un débit donné. Le nombre de Froude (\(Fr\)) compare les forces d'inertie (liées à la vitesse) aux forces de gravité. Si \(Fr < 1\), l'écoulement est dit "fluvial" ou "subcritique" : il est lent et profond, les ondes peuvent remonter le courant. Si \(Fr > 1\), il est "torrentiel" ou "supercritique" : rapide et peu profond, les ondes sont emportées vers l'aval.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La transition d'un régime fluvial à un régime torrentiel est typique du passage sur un seuil. L'énergie est conservée ou dissipée, mais le régime change. Reconnaître le type de régime est essentiel pour comprendre le comportement de l'eau et anticiper les phénomènes comme le ressaut hydraulique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{q}{h} \]
\[ Fr = \frac{v}{\sqrt{gh}} \]
Donnée(s) :
  • Débit par unité de largeur : \(q = 2 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Hauteur amont : \(h_1 = 2.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur aval : \(h_2 = 0.6 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} v_1 &= \frac{2}{2.5} = 0.8 \, \text{m/s} \\ Fr_1 &= \frac{0.8}{\sqrt{9.81 \times 2.5}} \approx \frac{0.8}{4.95} \approx 0.16 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} v_2 &= \frac{2}{0.6} \approx 3.33 \, \text{m/s} \\ Fr_2 &= \frac{3.33}{\sqrt{9.81 \times 0.6}} \approx \frac{3.33}{2.43} \approx 1.37 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas intervertir les hauteurs et les vitesses : Toujours associer \(v_1\) avec \(h_1\) et \(v_2\) avec \(h_2\). Une erreur d'inattention est vite arrivée et fausse toute l'analyse du régime.

Le saviez-vous ?

Le régime torrentiel est celui que l'on observe dans les rapides des rivières de montagne. Le régime fluvial est typique des fleuves de plaine. Le passage de l'un à l'autre se fait souvent par un "ressaut hydraulique", une vague stationnaire très turbulente qui dissipe beaucoup d'énergie.

FAQ en rapport avec la question :
Que signifie physiquement \(Fr=1\) ?

Le régime critique (\(Fr=1\)) correspond à l'état où la vitesse de l'écoulement est exactement égale à la vitesse de propagation des ondes de surface (la célérité). C'est un état d'énergie spécifique minimale pour un débit donné, souvent atteint au sommet d'un seuil.

Résultat : À l'amont, l'écoulement est fluvial (\(Fr_1 \approx 0.16 < 1\)). À l'aval, il est torrentiel (\(Fr_2 \approx 1.37 > 1\)).

Question 2 : Énergie Spécifique et Perte de Charge

Principe :
Es1 Es2 ΔE (Perte) h1 v1²/2g h2 v2²/2g

L'énergie spécifique \(E_s\) est la somme de l'énergie potentielle (la hauteur d'eau \(h\)) et de l'énergie cinétique (\(v^2/2g\)) par unité de poids de fluide. Dans un écoulement réel, le passage d'un obstacle engendre des turbulences et des frottements qui dissipent de l'énergie. L'énergie spécifique à l'aval est donc inférieure à celle de l'amont. La différence représente la perte de charge de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La perte d'énergie est un concept fondamental. Elle ne disparaît pas, elle est transformée (principalement en chaleur par les turbulences), et n'est plus disponible pour l'écoulement principal. Cette perte est la raison pour laquelle un ressaut hydraulique se forme souvent à l'aval d'un seuil pour s'adapter à la nouvelle condition d'énergie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_s = h + \frac{v^2}{2g} \]
\[ \Delta E = E_{s1} - E_{s2} \]
Donnée(s) :
  • Amont : \(h_1 = 2.5 \, \text{m}\), \(v_1 = 0.8 \, \text{m/s}\)
  • Aval : \(h_2 = 0.6 \, \text{m}\), \(v_2 \approx 3.33 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} E_{s1} &= 2.5 + \frac{(0.8)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 2.5 + 0.033 \\ &\approx 2.533 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} E_{s2} &= 0.6 + \frac{(3.33)^2}{2 \times 9.81} \\ &= 0.6 + 0.566 \\ &\approx 1.166 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta E &= 2.533 - 1.166 \\ &= 1.367 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier le terme d'énergie cinétique : Une erreur fréquente est de considérer que la perte d'énergie est simplement la différence de hauteur \(h_1 - h_2\). Il est impératif d'inclure les termes de vitesse, qui peuvent être très significatifs, surtout en régime torrentiel.

Le saviez-vous ?

La dissipation d'énergie dans un ressaut hydraulique est intentionnellement utilisée dans la conception des évacuateurs de crue des grands barrages. On force la formation d'un ressaut dans un bassin d'amortissement en béton pour "casser" l'énergie de l'eau et éviter qu'elle n'érode les fondations du barrage.

FAQ en rapport avec la question :
L'énergie peut-elle augmenter ?

Dans un écoulement à surface libre, l'énergie spécifique ne peut qu'être conservée (cas idéal sans frottement) ou dissipée. Elle ne peut pas augmenter spontanément. Le seul moyen d'augmenter l'énergie est d'utiliser un appareil externe, comme une pompe.

Résultat : La perte d'énergie au passage de l'ouvrage est de \(\Delta E \approx 1.37 \, \text{m}\).

Question 3 : Pressions Hydrostatiques sur le Radier

Principe :
Radier h1 P1 h2 P2

Dans un écoulement où les lignes de courant sont quasi-horizontales (ce qu'on suppose à l'amont et à l'aval immédiat de l'ouvrage), la distribution des pressions est hydrostatique. La pression en un point ne dépend que de la profondeur de ce point par rapport à la surface libre. La pression au niveau du radier est donc directement proportionnelle à la hauteur d'eau juste au-dessus.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'hypothèse de distribution hydrostatique est une simplification puissante. Elle n'est rigoureusement vraie que pour un fluide au repos ou en mouvement rectiligne uniforme. Cependant, pour des écoulements peu courbés, elle reste une excellente approximation et la base de la plupart des calculs de forces sur les ouvrages.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = \rho g h \]
Donnée(s) :
  • Hauteur amont : \(h_1 = 2.5 \, \text{m}\)
  • Hauteur aval : \(h_2 = 0.6 \, \text{m}\)
  • Masse volumique : \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} P_1 &= 1000 \times 9.81 \times 2.5 \\ &= 24525 \, \text{Pa} \text{ (ou N/m}^2\text{)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_2 &= 1000 \times 9.81 \times 0.6 \\ &= 5886 \, \text{Pa} \text{ (ou N/m}^2\text{)} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Pression au bon endroit : Il faut bien calculer la pression au niveau du radier, c'est-à-dire à une profondeur \(h_1\) ou \(h_2\) de la surface libre, et non la pression moyenne sur la hauteur d'eau.

Le saviez-vous ?

Blaise Pascal, au 17ème siècle, a été l'un des premiers à formuler clairement les principes de la pression hydrostatique. Son fameux "paradoxe hydrostatique" montre que la force exercée par un fluide sur le fond d'un récipient ne dépend que de la hauteur du fluide et de l'aire du fond, et non de la forme du récipient ni du volume total de liquide.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la pression est-elle plus faible à l'aval ?

La pression est directement proportionnelle à la hauteur d'eau. Comme le niveau de l'eau chute brutalement au passage de l'ouvrage (de \(h_1\) à \(h_2\)), la pression au niveau du radier à l'aval est mécaniquement plus faible qu'à l'amont.

Résultat : La pression amont est \(P_1 = 24525 \, \text{Pa}\) et la pression aval est \(P_2 = 5886 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Force de Sous-Pression sur le Radier

Principe :
Radier P1 P2 Fsp

La force de sous-pression est la résultante de toutes les forces de pression qui s'exercent sur la surface inférieure du radier. En supposant une variation linéaire de la pression entre le point amont et le point aval, le diagramme des pressions sous le radier a une forme de trapèze. La force totale est égale à l'aire de ce trapèze, multipliée par la largeur de l'ouvrage (ici, 1 mètre, car on raisonne par unité de largeur).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est le calcul final qui intéresse l'ingénieur en structure. Cette force \(F_{sp}\) doit être comparée au poids de l'ouvrage pour vérifier la stabilité au soulèvement. Si la force de sous-pression est supérieure au poids de l'ouvrage, celui-ci risque de "flotter" et d'être emporté.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{sp} = \text{Aire du trapèze de pression} = \frac{(P_1 + P_2)}{2} \times L \]
Donnée(s) :
  • Pression amont : \(P_1 = 24525 \, \text{Pa}\)
  • Pression aval : \(P_2 = 5886 \, \text{Pa}\)
  • Longueur du radier : \(L = 10 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} F_{sp} &= \frac{(24525 + 5886)}{2} \times 10 \\ &= \frac{30411}{2} \times 10 \\ &= 15205.5 \times 10 \\ &= 152055 \, \text{N/m} \end{aligned} \]

Cette force est exprimée en Newtons par mètre de largeur de l'ouvrage. On peut la convertir en kilonewtons pour une lecture plus aisée : \(F_{sp} \approx 152.1 \, \text{kN/m}\).

Points de vigilance :

Force par unité de largeur : Ne pas oublier que ce calcul est fait pour une "tranche" de 1 mètre de l'ouvrage. Pour obtenir la force totale sur un ouvrage de largeur \(b\), il faudrait multiplier ce résultat par \(b\).

Le saviez-vous ?

Pour contrer la sous-pression, les ingénieurs peuvent augmenter le poids propre de l'ouvrage, l'ancrer profondément dans le sol avec des pieux, ou installer un système de drainage sous le radier pour évacuer l'eau et réduire la pression.

FAQ en rapport avec la question :
L'hypothèse de pression linéaire est-elle réaliste ?

C'est une première approximation. En réalité, si le sol sous le radier est perméable, l'eau s'infiltre et la pression ne varie pas linéairement. La répartition réelle dépend du cheminement de l'eau dans le sol. Des théories plus complexes (comme celle des "lignes de courant" de Lane) sont utilisées pour des calculs plus précis, mais l'approche linéaire donne un bon ordre de grandeur.

Résultat : La force de sous-pression totale est d'environ \(152.1 \, \text{kN}\) par mètre de largeur.

Simulation Interactive de la Sous-Pression

Faites varier les hauteurs d'eau amont et aval pour voir leur impact direct sur la force de soulèvement. Que se passe-t-il lors d'une crue (h1 augmente) ?

Paramètres de l'Écoulement
Force de Sous-Pression
Diagramme de Pression sous le Radier

Pour Aller Plus Loin : Stabilité Globale de l'Ouvrage

Une image plus complète : Le calcul de la sous-pression n'est qu'une partie de l'analyse de stabilité. L'ingénieur doit aussi calculer la force de poussée horizontale de l'eau sur la partie verticale de l'ouvrage. Ensuite, il effectue un bilan complet des forces (poids, sous-pression, poussée) pour vérifier plusieurs critères : la stabilité au glissement (la poussée ne doit pas dépasser les forces de frottement), la stabilité au renversement (le moment des forces de poussée ne doit pas dépasser le moment stabilisateur du poids), et la vérification des contraintes dans le sol de fondation.

Le Saviez-Vous ?

La rupture du barrage de St. Francis en Californie en 1928, qui a causé la mort de plus de 400 personnes, est en partie attribuée à une sous-estimation des forces de sous-pression. L'eau s'est infiltrée sous une partie des fondations, les soulevant et déstabilisant toute la structure. Cette catastrophe a conduit à des avancées majeures dans la sécurité des barrages et la prise en compte de la géologie des sites.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la pression est-elle hydrostatique alors que l'eau bouge ?

L'hypothèse hydrostatique (\(P = \rho g h\)) est valable lorsque les lignes de courant sont droites et parallèles. Dans ce cas, l'accélération verticale des particules d'eau est nulle, et la pression ne varie qu'avec la profondeur. Juste à l'amont et juste à l'aval de l'ouvrage, cette condition est considérée comme remplie. En revanche, au-dessus du seuil où l'écoulement est très courbé, la pression n'est plus hydrostatique.

Cette force de sous-pression est-elle toujours un problème ?

Oui, c'est toujours une force déstabilisatrice qui doit être prise en compte. Elle réduit l'efficacité du poids de l'ouvrage pour résister aux autres forces (poussée, etc.). Dans certains cas, comme pour les radiers de bassins ou de piscines sous le niveau de la nappe phréatique, la sous-pression peut être la force la plus importante et peut littéralement faire "flotter" la structure si elle n'est pas correctement dimensionnée ou ancrée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la hauteur d'eau amont \(h_1\) augmente (crue) et que la hauteur aval \(h_2\) reste la même, la force de sous-pression sur le radier :

2. L'énergie spécifique d'un écoulement représente :

Glossaire

Radier
Dalle de fondation, généralement en béton, qui sert d'assise à un ouvrage hydraulique et répartit les charges sur le sol.
Sous-Pression
Force résultante de la pression de l'eau qui s'exerce sous la fondation d'un ouvrage. Elle tend à soulever la structure.
Énergie Spécifique (\(E_s\))
Énergie de l'écoulement par unité de poids, par rapport au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau (énergie potentielle) et de la hauteur de vitesse (\(v^2/2g\)).
Nombre de Froude (\(Fr\))
Nombre sans dimension comparant les forces d'inertie aux forces de gravité. Il caractérise le régime de l'écoulement (fluvial si \(Fr<1\), critique si \(Fr=1\), torrentiel si \(Fr>1\)).
Régime Fluvial / Torrentiel
Un régime fluvial est lent et profond (\(Fr<1\)), tandis qu'un régime torrentiel est rapide et peu profond (\(Fr>1\)).
Hydraulique à Surface Libre : Charge Hydraulique sur un Radier

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