ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Transport de Charriage

Hydraulique : Calcul du Transport de Charriage avec la Formule de Meyer-Peter & Müller

Calcul du Transport de Charriage avec la Formule de Meyer-Peter & Müller

Contexte : Le Mouvement des Sédiments sur le Lit d'une Rivière

Le transport solide dans les rivières est un processus géomorphologique fondamental qui façonne les paysages. On distingue deux modes de transport : la suspension (particules fines transportées dans la colonne d'eau) et le charriageMode de transport sédimentaire où les particules (sables, graviers) se déplacent en roulant, glissant ou sautant sur le lit de la rivière. (particules plus grosses se déplaçant sur le lit). Le charriage ne commence que si la force exercée par l'écoulement sur les grains, appelée contrainte de cisaillementForce de frottement par unité de surface exercée par le fluide en mouvement sur le lit de la rivière., dépasse un certain seuil, la contrainte critique d'entraînement. La formule de Meyer-Peter & Müller est une des formules empiriques les plus connues pour quantifier ce débit solide de charriage en fonction de l'excès de contrainte par rapport au seuil critique.

Remarque Pédagogique : Ce problème est à l'intersection de l'hydraulique à surface libre et de la géomorphologie. Il montre comment des concepts hydrauliques (pente, rayon hydraulique) sont utilisés pour calculer une force (\(\tau_0\)), qui est ensuite comparée à un seuil de résistance du matériau (caractérisé par \(\tau_c\)) pour prédire un phénomène naturel (le transport de sédiments). C'est un exemple typique de l'approche "contrainte-résistance" en ingénierie.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la contrainte de cisaillement sur le lit d'un canal.
  • Comprendre et calculer le paramètre de Shields (contrainte adimensionnelle).
  • Déterminer si le transport solide a lieu en comparant le paramètre de Shields à sa valeur critique.
  • Appliquer la formule de Meyer-Peter & Müller pour calculer le taux de transport de charriage.
  • Convertir un taux de transport adimensionnel en un débit solide dimensionnel (m²/s).

Données de l'étude

On étudie un canal alluvial très large, avec un lit composé de graviers de diamètre médian \(d_m = 10 \, \text{mm}\). L'écoulement de l'eau est uniforme, avec une profondeur \(h = 1.2 \, \text{m}\) et une pente du fond \(S = 0.002\).

Schéma de l'Écoulement et du Transport par Charriage
h=1.2m τo

Donnée(s) : Propriétés Physiques

GrandeurSymboleValeur
Masse volumique de l'eau\(\rho_f\)\(1000 \, \text{kg/m}^3\)
Masse volumique des sédiments\(\rho_s\)\(2650 \, \text{kg/m}^3\)
Paramètre de Shields critique\(\theta_c\)\(0.047\)
Accélération de la pesanteur\(g\)\(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte de cisaillement sur le lit \(\tau_0\).
  2. Calculer le paramètre de Shields \(\theta\) et le comparer à \(\theta_c\) pour déterminer si un charriage se produit.
  3. Si le transport a lieu, calculer le débit de charriage adimensionnel \(q_s^*\) et le débit de charriage dimensionnel \(q_s\) (en m²/s).

Correction : Calcul du Transport de Charriage

Question 1 : Calcul de la Contrainte de Cisaillement sur le Lit

Principe :
Pente S Rh τo

La contrainte de cisaillement \(\tau_0\) exercée par l'écoulement sur le lit est la force motrice qui peut déplacer les sédiments. Pour un écoulement uniforme dans un canal large, elle est directement proportionnelle à la masse volumique du fluide, à la gravité, à la profondeur de l'eau (qui est égale au rayon hydraulique \(R_h\) pour un canal large) et à la pente du fond.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La notion de "canal large" est une simplification importante. Elle permet d'ignorer le frottement sur les berges et de considérer que le rayon hydraulique \(R_h\) (Aire / Périmètre mouillé) est simplement égal à la profondeur d'eau \(h\). C'est une approximation valide lorsque la largeur du canal est très grande par rapport à la profondeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_0 = \rho_f g R_h S \]

Pour un canal large, \(R_h \approx h\).

Donnée(s) :
  • \(\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(h = 1.2 \, \text{m}\)
  • \(S = 0.002\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \tau_0 &= 1000 \times 9.81 \times 1.2 \times 0.002 \\ &= 23.54 \, \text{N/m}^2 \text{ ou Pa} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de la pente : La pente \(S\) doit être un nombre sans dimension (m/m). Si elle est donnée en pourcentage (%) ou en pour mille (‰), il faut la convertir en divisant par 100 ou 1000 respectivement.

Le saviez-vous ?

Une contrainte de 23.5 Pa peut sembler faible, mais c'est suffisant pour mettre en mouvement des graviers de 1 cm. C'est cette force, exercée sur des millions d'années, qui permet aux rivières de creuser des canyons et de transporter des milliards de tonnes de sédiments vers les océans.

FAQ en rapport avec la question :
Comment calcule-t-on le rayon hydraulique pour un canal non-large ?

Le rayon hydraulique est toujours \(R_h = A/P_m\), où A est l'aire de la section mouillée et \(P_m\) est le périmètre mouillé (la longueur de la section du lit et des berges en contact avec l'eau). Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et de profondeur \(h\), on a \(A = b \cdot h\) et \(P_m = b + 2h\).

Résultat : La contrainte de cisaillement sur le lit est \(\tau_0 \approx 23.5 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Calcul du Paramètre de Shields

Principe :
Poids déjaugé τo Seuil Critique (θc)

Le paramètre de Shields (\(\theta\)) est un nombre sans dimension qui compare la force d'entraînement du fluide (contrainte de cisaillement \(\tau_0\)) à la force de résistance du grain (son poids déjaugé). Le transport de sédiments ne commence que lorsque ce paramètre dépasse une valeur critique, \(\theta_c\), qui dépend légèrement des caractéristiques du grain mais est souvent prise autour de 0.047 pour un écoulement turbulent.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le concept de seuil est fondamental. Il n'y a pas de transport de charriage tant que l'écoulement n'est pas assez "fort" pour vaincre le poids et l'imbrication des grains. Le paramètre de Shields est un moyen élégant et universel de quantifier cette condition de début de mouvement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta = \frac{\tau_0}{(\rho_s - \rho_f) g d_m} \]
Donnée(s) :
  • \(\tau_0 \approx 23.54 \, \text{Pa}\)
  • \(\rho_s = 2650 \, \text{kg/m}^3\), \(\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(d_m = 10 \, \text{mm} = 0.01 \, \text{m}\)
  • \(\theta_c = 0.047\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{23.54}{(2650 - 1000) \times 9.81 \times 0.01} \\ &= \frac{23.54}{1650 \times 0.0981} \\ &\approx \frac{23.54}{161.865} \\ &\approx 0.145 \end{aligned} \]

Comparaison : \(0.145 > 0.047\), donc \(\theta > \theta_c\). Le transport de charriage a bien lieu.

Points de vigilance :

Poids déjaugé : Il faut utiliser la différence de masse volumique \((\rho_s - \rho_f)\) dans le dénominateur, car la poussée d'Archimède réduit le poids effectif des grains dans l'eau. Utiliser uniquement \(\rho_s\) est une erreur courante.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Shields, qui représente \(\theta_c\) en fonction du nombre de Reynolds particulaire, est l'un des graphiques les plus importants en transport sédimentaire. Il montre que la valeur de \(\theta_c \approx 0.047\) est une bonne approximation pour les écoulements turbulents typiques des rivières de graviers.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si \(\theta < \theta_c\) ?

Si la contrainte de cisaillement est inférieure à la contrainte critique, les forces de l'écoulement ne sont pas suffisantes pour mettre les grains en mouvement. Le lit est stable et il n'y a pas de transport de charriage. Le débit solide \(q_s\) est alors nul.

Résultat : \(\theta \approx 0.145\). Comme \(\theta > \theta_c\), il y a transport de charriage.

Question 3 : Calcul du Débit de Charriage

Principe :
q*s = 8 * (θ - θc)^1.5 q*s qs (m²/s)

La formule de Meyer-Peter & Müller (MPM) est une relation empirique qui relie le débit de charriage adimensionnel \(q_s^*\) à l'excès de contrainte de Shields (\(\theta - \theta_c\)). Une fois \(q_s^*\) calculé, on le convertit en un débit solide dimensionnel par unité de largeur, \(q_s\) (en m²/s), en le multipliant par un facteur dépendant des propriétés du fluide et des sédiments.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La relation est fortement non-linéaire (puissance 1.5). Cela signifie qu'une petite augmentation de la contrainte de cisaillement au-delà du seuil critique peut entraîner une très grande augmentation du transport de sédiments. C'est pourquoi les crues, même brèves, sont responsables de la majeure partie du transport sédimentaire annuel d'une rivière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ q_s^* = 8 (\theta - \theta_c)^{1.5} \]
\[ q_s = q_s^* \sqrt{(\frac{\rho_s}{\rho_f} - 1) g d_m^3} \]
Donnée(s) :
  • \(\theta \approx 0.145\), \(\theta_c = 0.047\)
  • \(\rho_s/\rho_f = 2.65\), \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\), \(d_m = 0.01 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Débit adimensionnel :

\[ \begin{aligned} q_s^* &= 8 \times (0.145 - 0.047)^{1.5} \\ &= 8 \times (0.098)^{1.5} \\ &\approx 8 \times 0.0307 \\ &\approx 0.246 \end{aligned} \]

2. Débit dimensionnel :

\[ \begin{aligned} q_s &= 0.246 \times \sqrt{(2.65 - 1) \times 9.81 \times (0.01)^3} \\ &= 0.246 \times \sqrt{1.65 \times 9.81 \times 10^{-6}} \\ &= 0.246 \times \sqrt{1.618 \times 10^{-5}} \\ &\approx 0.246 \times 0.00402 \\ &\approx 9.9 \times 10^{-4} \, \text{m}^2/\text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités de \(q_s\) : Le débit solide \(q_s\) est un débit volumique de sédiments par unité de largeur de la rivière. Son unité est donc des m³/s par m, soit des m²/s. Pour obtenir le débit solide total de la rivière, il faudrait multiplier \(q_s\) par la largeur de la rivière.

Le saviez-vous ?

La formule de Meyer-Peter & Müller a été développée dans les années 1940 sur la base d'expériences en canal de laboratoire. Bien qu'elle soit l'une des plus anciennes, elle reste une référence et est encore largement utilisée aujourd'hui pour les rivières à graviers, ce qui témoigne de la robustesse de son approche empirique.

FAQ en rapport avec la question :
Cette formule est-elle toujours applicable ?

Non, elle est principalement conçue pour le transport de charriage de sédiments grossiers (sables et graviers) sur des lits relativement plats. Elle ne fonctionne pas bien pour les sédiments très fins (limons, argiles) qui sont principalement transportés en suspension, ni pour les rivières à très forte pente ou avec des formes de lit complexes (dunes, anti-dunes).

Résultat : Le débit de charriage est d'environ \(9.9 \times 10^{-4} \, \text{m}^2/\text{s}\).

Simulation du Transport de Charriage

Explorez comment la pente du canal et la taille des sédiments influencent le début du transport et son intensité.

Paramètres de l'Écoulement
Contrainte de Cisaillement (\(\tau_0\))
Paramètre de Shields (\(\theta\))
Débit de Charriage (q_s)
Débit de Charriage vs. Contrainte de Shields

Le Saviez-Vous ?

Les méandres des rivières ne sont pas statiques. Le transport sédimentaire est un processus continu d'érosion sur la rive extérieure (où la vitesse et la contrainte sont maximales) et de dépôt sur la rive intérieure (où la vitesse est faible). C'est ce qui fait que les méandres migrent lentement à travers les plaines alluviales au fil des siècles.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le "pavage" d'un lit de rivière ?

Le pavage (ou "armoring" en anglais) est un processus naturel où un écoulement enlève les sédiments les plus fins, laissant derrière lui une couche de surface composée uniquement des plus gros galets. Cette couche de "blindage" est très stable et protège les sédiments plus fins en dessous, augmentant considérablement la contrainte critique nécessaire pour initier à nouveau le transport.

Comment mesure-t-on le transport solide en pratique ?

C'est très difficile. Pour le charriage, on utilise des pièges à sédiments, comme des paniers ou des filets (échantillonneurs Helley-Smith), que l'on pose sur le lit de la rivière pendant un temps donné pour collecter les grains qui se déplacent. Pour la suspension, on prélève des échantillons d'eau à différentes profondeurs pour mesurer la concentration en sédiments fins.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la pente d'une rivière double (toutes choses égales par ailleurs), la contrainte de cisaillement sur le lit :

2. Pour un même écoulement, des sédiments plus gros (d_m plus grand) :

Vérifier mes réponses

Glossaire

Transport de Charriage (Bedload)
Transport de sédiments par roulement, glissement ou saltation sur le lit d'un cours d'eau.
Contrainte de Cisaillement (\(\tau_0\))
Force par unité de surface que l'écoulement exerce sur le lit, responsable de l'entraînement des sédiments.
Paramètre de Shields (\(\theta\))
Nombre adimensionnel comparant la force d'entraînement du fluide à la force de résistance (poids déjaugé) d'un grain de sédiment.
Contrainte Critique (\(\theta_c\))
Valeur seuil du paramètre de Shields au-delà de laquelle le transport de sédiments significatif commence.
Hydraulique : Calcul du Transport de Charriage avec la Formule de Meyer-Peter & Müller

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