Calcul du Tracé d'un Réseau de Courant (Flow Net)
Contexte : Visualiser l'invisible, la puissance des réseaux de courant en hydraulique.
En mécanique des fluides, et plus particulièrement en hydraulique, un réseau de courantAussi appelé "flow net", c'est un graphique composé de lignes de courant et de lignes équipotentielles qui s'entrecroisent à angle droit. Il permet de visualiser un champ d'écoulement et de calculer des grandeurs comme la vitesse ou la pression. est un outil graphique et analytique puissant pour étudier les écoulements bidimensionnels, incompressibles et non visqueux (dits "potentiels"). Comprendre comment tracer et interpréter un tel réseau autour d'un obstacle, comme une pile de pont cylindrique, est fondamental pour les ingénieurs. Cela permet de prédire les zones de haute et basse vitesse, de calculer les pressions exercées par le fluide et d'éviter des phénomènes indésirables comme l'érosion. Cet exercice vous guidera dans le calcul des fonctions qui définissent ce réseau.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la théorie des écoulements potentiels. Nous allons superposer des écoulements élémentaires (un écoulement uniforme et un "doublet") pour modéliser une situation physique complexe. C'est une démarche classique en hydraulique : utiliser des outils mathématiques élégants pour décrire et quantifier le comportement d'un fluide.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la superposition d'écoulements potentiels.
- Définir et calculer la fonction de courant (ψ)Une fonction scalaire dont les lignes de niveau représentent les trajectoires des particules de fluide (lignes de courant). Le débit entre deux lignes de courant est égal à la différence de leurs valeurs de ψ. pour un écoulement autour d'un cylindre.
- Définir et calculer la fonction de potentiel (φ)Une fonction scalaire dont les lignes de niveau (lignes équipotentielles) sont perpendiculaires aux lignes de courant. La dérivée de φ dans une direction donne la composante de la vitesse dans cette direction..
- Calculer les composantes de la vitesse (radiale et tangentielle) à partir de la fonction de courant.
- Identifier les points singuliers de l'écoulement (points d'arrêt).
- Se familiariser avec les coordonnées polaires (r, θ) en mécanique des fluides.
Données de l'étude
Schéma de l'écoulement autour d'un cylindre
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse de l'écoulement amont | \(U\) | 2 | \(\text{m/s}\) |
| Rayon du cylindre | \(a\) | 1 | \(\text{m}\) |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho\) | 1000 | \(\text{kg/m}^3\) |
| Coordonnée radiale du point P | \(r\) | 2 | \(\text{m}\) |
| Coordonnée angulaire du point P | \(\theta\) | \(\pi/4\) | \(\text{rad}\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur de la fonction de courant \(\psi\) au point P.
- Calculer la valeur de la fonction de potentiel \(\phi\) au point P.
- Déterminer les expressions littérales des composantes radiale \(v_r\) et tangentielle \(v_\theta\) de la vitesse.
- Calculer les valeurs numériques de \(v_r\), \(v_\theta\) et du module de la vitesse \(V\) au point P.
Les bases des Écoulements Potentiels
Avant de plonger dans la correction, revoyons les outils mathématiques qui décrivent cet écoulement.
1. La Fonction de Courant (\(\psi\)) :
Pour un écoulement 2D incompressible, la fonction de courant \(\psi(r, \theta)\) est telle que ses lignes de niveau (\(\psi = \text{constante}\)) sont les lignes de courant. Pour l'écoulement autour d'un cylindre, elle est obtenue en superposant un écoulement uniforme et un doublet :
\[ \psi(r, \theta) = U r \sin\theta \left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right) \]
Le débit volumique entre deux lignes de courant \(\psi_1\) et \(\psi_2\) est simplement \(Q = \psi_2 - \psi_1\).
2. La Fonction de Potentiel (\(\phi\)) :
Pour un écoulement irrotationnel, il existe une fonction de potentiel \(\phi(r, \theta)\) dont le gradient donne le vecteur vitesse. Ses lignes de niveau (\(\phi = \text{constante}\)) sont les lignes équipotentielles, toujours perpendiculaires aux lignes de courant.
\[ \phi(r, \theta) = U r \cos\theta \left(1 + \frac{a^2}{r^2}\right) \]
3. Les Composantes de la Vitesse :
En coordonnées polaires, les composantes radiale (\(v_r\)) et tangentielle (\(v_\theta\)) de la vitesse se déduisent de la fonction de courant \(\psi\) par les relations :
\[ v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta} \quad \text{et} \quad v_\theta = -\frac{\partial\psi}{\partial r} \]
Le module de la vitesse est alors \(V = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2}\).
Correction : Calcul du Tracé d'un Réseau de Courant (Flow Net)
Question 1 : Calculer la fonction de courant ψ au point P
Principe (le concept physique)
La fonction de courant \(\psi\) en un point P nous donne une valeur scalaire. Toutes les particules de fluide se trouvant sur la même ligne de courant que P auront cette même valeur de \(\psi\). La valeur elle-même représente le débit volumique par unité de profondeur qui passe entre cette ligne de courant et une ligne de référence (généralement l'axe de symétrie où \(\psi=0\)). Calculer \(\psi\) au point P revient donc à identifier sur quelle "route" du fluide ce point se situe.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La fonction de courant est un outil mathématique qui découle directement de l'équation de conservation de la masse (équation de continuité) pour un fluide incompressible. En 2D, cette équation s'écrit \(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0\). La fonction \(\psi\) est construite de telle sorte que cette équation soit toujours satisfaite en posant \(u = \frac{\partial\psi}{\partial y}\) et \(v = -\frac{\partial\psi}{\partial x}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez les lignes de courant comme les courbes de niveau sur une carte topographique. La fonction \(\psi\) serait l'altitude. Là où les courbes sont resserrées, la "pente" (la vitesse) est forte. Le débit entre deux courbes est constant, tout comme la différence d'altitude entre deux courbes de niveau.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de "norme" pour le calcul d'un écoulement potentiel théorique. Cependant, les résultats de ces calculs servent de base de validation pour les logiciels de simulation numérique (CFD). Les normes comme celles de l'ITTC (International Towing Tank Conference) définissent des cas-tests, dont l'écoulement autour d'un cylindre, que les codes de calcul doivent pouvoir reproduire avec précision.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'expression de la fonction de courant pour un écoulement uniforme autour d'un cylindre est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que l'écoulement est : 1. Bidimensionnel (pas de variation selon l'axe du cylindre), 2. Stationnaire (ne varie pas dans le temps), 3. Incompressible (\(\rho=\text{cte}\)), 4. Non-visqueux (fluide parfait), et donc 5. Irrotationnel (pas de tourbillons).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse amont, \(U = 2 \, \text{m/s}\)
- Rayon du cylindre, \(a = 1 \, \text{m}\)
- Coordonnée radiale, \(r = 2 \, \text{m}\)
- Coordonnée angulaire, \(\theta = \pi/4 \, \text{rad}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "radians" pour le calcul du sinus, car les angles en mécanique des fluides sont presque toujours exprimés en radians. Notez que \(\sin(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \approx 0.707\).
Schéma (Avant les calculs)
Objectif : Trouver ψ au point P
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace les valeurs numériques dans l'expression de \(\psi\).
Schéma (Après les calculs)
Ligne de courant passant par P
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur \(\psi \approx 2.12 \, \text{m}^2/\text{s}\) signifie que le point P se trouve sur une ligne de courant entre laquelle et l'axe de symétrie s'écoule un débit de 2.12 m³/s pour chaque mètre de profondeur du cylindre. C'est une information quantitative sur la position du point dans le champ d'écoulement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est de se tromper d'unité pour l'angle \(\theta\). Les fonctions trigonométriques en physique attendent des radians. Une autre erreur est d'oublier que la ligne \(\psi=0\) n'est pas seulement l'axe de symétrie, mais aussi toute la surface du cylindre !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La fonction de courant \(\psi\) décrit les trajectoires des particules.
- \(\psi = \text{constante}\) sur une ligne de courant.
- La surface d'un obstacle solide est toujours une ligne de courant (ici, \(\psi=0\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En météorologie, les cartes isobares (lignes d'égale pression) que vous voyez à la météo jouent un rôle très similaire à celui des lignes de courant pour les vents à grande échelle (écoulement géostrophique). Le vent s'écoule approximativement le long des isobares.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez \(\psi\) pour un point situé juste au-dessus du cylindre, à \(r=1\) m et \(\theta=\pi/2\) rad. (Le résultat devrait être simple !)
Simulateur 3D : Exploration de la Fonction de Courant ψ
Fonction de Courant (ψ) : 2.12 m²/s
Question 2 : Calculer la fonction de potentiel φ au point P
Principe (le concept physique)
La fonction de potentiel \(\phi\) est complémentaire à la fonction de courant. Ses lignes de niveau, les équipotentielles, sont partout perpendiculaires aux lignes de courant. Elles n'ont pas une interprétation physique aussi directe que \(\psi\), mais elles sont cruciales car leur gradient donne directement le vecteur vitesse. Calculer \(\phi\) au point P revient à situer ce point sur la "carte" des potentiels de vitesse de l'écoulement.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'existence d'une fonction de potentiel \(\phi\) est conditionnée au fait que l'écoulement soit irrotationnel, c'est-à-dire que le rotationnel du vecteur vitesse soit nul : \(\vec{\nabla} \times \vec{V} = \vec{0}\). Si cette condition est respectée, on peut toujours définir un champ scalaire \(\phi\) tel que \(\vec{V} = \vec{\nabla}\phi\). Pour un fluide parfait, loin des sources de turbulence, cette hypothèse est souvent valide.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Si les lignes de courant sont les routes, les lignes équipotentielles sont les rues transversales qui les croisent à angle droit. Le réseau qu'elles forment (le "flow net") ressemble à un maillage déformé. La vitesse est la plus élevée là où les "carreaux" de ce maillage sont les plus petits.
Normes (la référence réglementaire)
En hydrogéologie, les écoulements d'eau dans les sols poreux sont souvent modélisés par la loi de Darcy, qui est une équation de potentiel. Les normes et guides de construction de barrages ou de fondations s'appuient sur le tracé de réseaux de courant pour calculer les débits de fuite et les sous-pressions, qui sont directement liés à la fonction de potentiel.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'expression de la fonction de potentiel pour cet écoulement est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1, avec un accent particulier sur le caractère irrotationnel de l'écoulement, qui garantit l'existence de \(\phi\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Vitesse amont, \(U = 2 \, \text{m/s}\)
- Rayon du cylindre, \(a = 1 \, \text{m}\)
- Coordonnée radiale, \(r = 2 \, \text{m}\)
- Coordonnée angulaire, \(\theta = \pi/4 \, \text{rad}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
De même que pour \(\psi\), vérifiez que votre calculatrice est en radians. Notez que \(\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2 \approx 0.707\).
Schéma (Avant les calculs)
Objectif : Trouver φ au point P
Calcul(s) (l'application numérique)
On remplace les valeurs numériques dans l'expression de \(\phi\).
Schéma (Après les calculs)
Ligne Équipotentielle passant par P
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur \(\phi \approx 3.54 \, \text{m}^2/\text{s}\) situe le point P sur une ligne équipotentielle spécifique. La variation de \(\phi\) dans l'espace est directement liée à la vitesse du fluide, ce que nous allons exploiter dans les questions suivantes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas les formules de \(\psi\) et \(\phi\). Elles sont très similaires, mais \(\psi\) utilise \(\sin\theta\) et un signe "moins" dans la parenthèse, tandis que \(\phi\) utilise \(\cos\theta\) et un signe "plus". Une inversion conduit à des résultats complètement faux.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La fonction de potentiel \(\phi\) n'existe que pour un écoulement irrotationnel.
- Le gradient de \(\phi\) donne le vecteur vitesse (\(\vec{V} = \vec{\nabla}\phi\)).
- Les lignes \(\phi=\text{cte}\) sont toujours perpendiculaires aux lignes de courant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La méthode des éléments de frontière (Boundary Element Method), une technique de simulation numérique avancée, est basée sur la résolution d'équations de potentiel sur les surfaces des objets, plutôt que sur la discrétisation de tout le volume de fluide. C'est une méthode très efficace pour les problèmes d'aérodynamique externe.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez \(\phi\) pour un point situé loin en amont, par exemple à \(r=100\) m et \(\theta=\pi\) rad (soit \(x=-100\)).
Simulateur 3D : Exploration de la Fonction de Potentiel φ
Fonction de Potentiel (φ) : 3.54 m²/s
Question 3 : Déterminer les expressions de la vitesse
Principe (le concept physique)
La fonction de courant \(\psi\) contient toute l'information sur le champ de vitesse. En la dérivant par rapport aux coordonnées spatiales, on peut extraire les composantes du vecteur vitesse en tout point. C'est l'étape clé qui fait le lien entre la description scalaire de l'écoulement (via \(\psi\)) et sa description vectorielle (le champ de vitesse \(\vec{V}\)).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La dérivation de fonctions en coordonnées polaires demande de l'attention. Le vecteur gradient, par exemple, s'écrit \(\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial r}\vec{e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\vec{e_\theta}\). C'est de cette définition que découlent les relations entre \(\phi\) et la vitesse (\(v_r = \frac{\partial\phi}{\partial r}\), \(v_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\)) et, par une transformation, les relations avec \(\psi\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul différentiel est la "machine" qui permet de passer d'une description globale (le champ \(\psi\)) à une information locale (la vitesse \(\vec{V}\) en un point). Inversement, l'intégration permet de remonter de la vitesse à la fonction de courant. C'est un concept central dans de nombreux domaines de la physique.
Normes (la référence réglementaire)
Les expressions de la vitesse autour de formes canoniques (cylindre, sphère, profil de Joukowski) sont des solutions de référence dans tous les manuels d'aérodynamique et d'hydraulique. Elles servent de fondement à des modèles plus complexes utilisés dans les normes, par exemple pour estimer les efforts du vent sur les structures cylindriques (cheminées, tours).
Formule(s) (l'outil mathématique)
On part des relations de base en coordonnées polaires et de l'expression de \(\psi\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la fonction \(\psi\) est continue et dérivable partout dans le domaine d'écoulement (\(r \ge a\)), ce qui est le cas ici.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Cette question est purement analytique, nous n'utilisons que l'expression de \(\psi\).
Astuces(Pour aller plus vite)
Lors de la dérivation par rapport à une variable (ex: \(r\)), traitez toutes les autres variables (ex: \(\theta\)) comme des constantes. Pour \(\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{a^2}{r}\right)\), souvenez-vous que c'est \(a^2 \cdot \frac{\partial}{\partial r}(r^{-1}) = a^2(-1 \cdot r^{-2}) = -a^2/r^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition du Vecteur Vitesse
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la dérivée partielle par rapport à \(\theta\) :
Donc, la composante radiale \(v_r\) est :
2. Calcul de la dérivée partielle par rapport à \(r\) :
Donc, la composante tangentielle \(v_\theta\) est :
Schéma (Après les calculs)
Champ de Vitesse Théorique
Les formules permettent de tracer le champ de vecteurs vitesse.
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant des expressions analytiques pour les deux composantes de la vitesse en n'importe quel point \((r, \theta)\) de l'écoulement. On peut déjà analyser ces formules : par exemple, sur la surface du cylindre (\(r=a\)), on voit que \(v_r = U\cos\theta(1-1) = 0\). C'est la condition d'imperméabilité : le fluide ne traverse pas la paroi, il la contourne. La vitesse est purement tangentielle à la surface.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention au signe "moins" dans la définition de \(v_\theta = -\frac{\partial\psi}{\partial r}\). L'oublier est une erreur très fréquente qui inverse la direction de la composante tangentielle de la vitesse.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vitesse se déduit de \(\psi\) par dérivation.
- \(v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\) et \(v_\theta = -\frac{\partial\psi}{\partial r}\).
- Sur un obstacle (\(r=a\)), la vitesse radiale \(v_r\) est toujours nulle.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En ajoutant un troisième terme à la fonction de courant, un "tourbillon" ou "vortex" (\(\psi_{vortex} = -\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r\)), on peut modéliser un écoulement autour d'un cylindre en rotation. Ce modèle est la base de l'explication de l'effet Magnus, qui fait dévier les balles de tennis ou de football liftées.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\(v_r(r,\theta) = U \cos\theta \left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right)\)
\(v_\theta(r,\theta) = -U \sin\theta \left(1 + \frac{a^2}{r^2}\right)\)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant la formule de \(v_r\), trouvez la vitesse radiale au point d'arrêt amont (\(r=a, \theta=\pi\)).
Simulateur 3D : Composantes de la Vitesse
Question 4 : Calculer la vitesse au point P
Principe (le concept physique)
Maintenant que nous disposons des formules générales pour la vitesse, nous pouvons les appliquer au point P spécifique de l'énoncé. Cela nous donnera un "instantané" du vecteur vitesse à cet endroit précis : sa direction et sa magnitude. C'est le résultat le plus concret de notre analyse, qui pourrait être comparé à une mesure expérimentale (par anémométrie laser, par exemple).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le module de la vitesse \(V\) est une quantité scalaire cruciale. D'après l'équation de Bernoulli pour un écoulement stationnaire sans gravité (\(P + \frac{1}{2}\rho V^2 = \text{cte}\)), la pression \(P\) en un point est directement liée à la vitesse en ce point. Connaître le champ de vitesse \(V(r,\theta)\) permet donc de cartographier entièrement le champ de pression sur l'obstacle, ce qui est essentiel pour calculer les forces aérodynamiques ou hydrodynamiques.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul final du module de la vitesse est l'aboutissement de notre démarche. On est parti de concepts abstraits (fonctions \(\psi\) et \(\phi\)), on les a manipulés avec des outils mathématiques (dérivation) pour arriver à une grandeur physique mesurable et intuitive : la vitesse du fluide en un point donné.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes de construction (ex: Eurocode 1) spécifient des pressions de vent de calcul sur les bâtiments. Ces pressions sont données par des coefficients de pression (\(C_p\)). Le \(C_p\) en un point est défini par \(C_p = (P-P_\infty)/(0.5\rho U^2)\). En utilisant Bernoulli, on peut montrer que \(C_p = 1 - (V/U)^2\). Le calcul de la vitesse locale est donc une étape directe vers l'application de ces normes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment. Nous utilisons les expressions de \(v_r\) et \(v_\theta\) qui en découlent.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Expressions de \(v_r\) et \(v_\theta\) (de la Q3)
- Vitesse amont, \(U = 2 \, \text{m/s}\)
- Rayon du cylindre, \(a = 1 \, \text{m}\)
- Coordonnées du point P : \(r = 2 \, \text{m}\), \(\theta = \pi/4 \, \text{rad}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Une fois que vous avez calculé \(v_r\) et \(v_\theta\), utilisez la fonction "Pol" de votre calculatrice si elle en dispose. En entrant les coordonnées rectangulaires (\(v_r, v_\theta\)), elle vous donnera directement les coordonnées polaires (le module \(V\) et l'angle du vecteur vitesse).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Module de Vitesse V
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la composante radiale \(v_r\) au point P :
2. Calcul de la composante tangentielle \(v_\theta\) au point P :
Le signe négatif de \(v_\theta\) indique que la vitesse tangentielle est dans le sens des aiguilles d'une montre.
3. Calcul du module de la vitesse \(V\) au point P :
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Vitesse au Point P
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Au point P, le fluide a une vitesse de 2.06 m/s. C'est légèrement supérieur à la vitesse de l'écoulement non perturbé (2 m/s). Cela est cohérent avec le fait que le fluide doit accélérer pour contourner l'obstacle. Le vecteur vitesse a une composante qui s'éloigne du centre du cylindre (\(v_r > 0\)) et une composante qui tourne autour (\(v_\theta < 0\)).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas de mettre les composantes au carré lors du calcul du module de la vitesse. Une erreur fréquente est d'additionner simplement \(v_r\) et \(v_\theta\). Le module est la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle formé par les composantes, d'où l'utilisation du théorème de Pythagore.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La vitesse est un vecteur avec une magnitude (module) et une direction.
- Le module se calcule avec \(V = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2}\).
- La vitesse varie en chaque point de l'écoulement ; elle est nulle aux points d'arrêt et maximale au sommet du cylindre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les anémomètres à fil chaud sont des instruments qui mesurent la vitesse d'un fluide en mesurant le refroidissement d'un fil électrique très fin chauffé. La quantité de chaleur perdue par le fil est directement liée à la vitesse du fluide qui s'écoule autour de lui, permettant des mesures très précises et rapides des fluctuations de vitesse.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez le module de la vitesse \(V\) au sommet du cylindre (\(r=1, \theta=\pi/2\)).
Simulateur 3D : Vecteur Vitesse au Point P
Vitesse (V) : 2.06 m/s
Outil Interactif : Paramètres de l'Écoulement
Modifiez la vitesse amont et le rayon du cylindre pour voir leur influence sur le champ de vitesse.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ? Le Paradoxe de d'Alembert
La théorie des écoulements potentiels, utilisée dans cet exercice, prédit que la traînée (la force de résistance) exercée par le fluide sur le cylindre est nulle ! C'est le fameux "paradoxe de d'Alembert". En réalité, la viscosité du fluide, négligée ici, crée une fine "couche limite" sur l'objet et un sillage turbulent, qui sont la véritable source de la traînée. Ce modèle reste cependant excellent pour décrire la vitesse et la pression loin de l'objet.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi le réseau de courant est-il orthogonal ?
Le fait que les lignes de courant (\(\psi=\text{cte}\)) et les lignes équipotentielles (\(\phi=\text{cte}\)) soient perpendiculaires est une propriété mathématique fondamentale des fonctions complexes (analyse complexe) qui sous-tendent la théorie des écoulements potentiels. Cela vient des conditions de Cauchy-Riemann.
Ce modèle est-il applicable à l'air (aérodynamique) ?
Oui, absolument. Tant que la vitesse de l'écoulement est faible par rapport à la vitesse du son (généralement Mach < 0.3), l'air peut être considéré comme incompressible. Ce modèle est donc la base de l'aérodynamique subsonique pour calculer la portance sur un profil d'aile, par exemple.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Sur la surface du cylindre, où la vitesse du fluide est-elle maximale ?
2. Selon le principe de Bernoulli, si la vitesse du fluide augmente, sa pression...
- Réseau de Courant (Flow Net)
- Représentation graphique d'un écoulement 2D potentiel, formée par l'intersection orthogonale des lignes de courant (trajectoires) et des lignes équipotentielles (lignes d'égal potentiel de vitesse).
- Fonction de Courant (ψ)
- Fonction scalaire dont les lignes de niveau (\(\psi=\text{cte}\)) décrivent les lignes de courant. La différence de \(\psi\) entre deux lignes est égale au débit volumique qui s'écoule entre elles.
- Fonction de Potentiel (φ)
- Fonction scalaire dont le gradient est égal au vecteur vitesse. Ses lignes de niveau (\(\phi=\text{cte}\)) sont perpendiculaires aux lignes de courant.
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