ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Temps de Vidange d’un Réservoir

Exercice : Temps de Vidange d'un Réservoir

Calcul du Temps de Vidange d’un Réservoir Cylindrique

Contexte : L'étude de la vidange des réservoirs est un problème classique en hydraulique en chargeBranche de l'hydraulique qui étudie les écoulements de liquides dans des conduites complètement remplies, où le fluide est sous pression..

Cette situation se rencontre fréquemment dans de nombreux domaines industriels et de génie civil : vidange de cuves de stockage, de châteaux d'eau, de bassins de rétention ou encore dans les systèmes de régulation de débit. Savoir estimer le temps nécessaire pour vider un réservoir est crucial pour la planification des opérations, la sécurité des installations et le dimensionnement des réseaux. Cet exercice vous guidera à travers la mise en équation et la résolution de ce problème en utilisant les principes fondamentaux de la mécanique des fluides.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre parfaitement comment l'application d'un principe fondamental (le théorème de Bernoulli) et un bilan de matière mènent à une équation différentielle dont la résolution décrit l'évolution temporelle d'un système physique.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de BernoulliPrincipe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement, reliant la pression, la vitesse et l'altitude. pour un fluide réel en mouvement.
  • Établir l'équation différentielle qui régit la hauteur de fluide dans le réservoir.
  • Intégrer une équation différentielle simple pour déterminer le temps de vidange.
  • Comprendre l'impact du coefficient de déchargeCoefficient sans dimension, inférieur à 1, qui corrige la vitesse et le débit théoriques d'un fluide s'écoulant par un orifice pour tenir compte des effets de la viscosité et de la contraction de la veine liquide. sur l'écoulement.

Données de l'étude

On considère un réservoir cylindrique à axe vertical, de grand diamètre, rempli d'eau. Il se vide par un orifice circulaire de faible diamètre situé à sa base. L'écoulement se fait à l'air libre.

Schéma du réservoir cylindrique
H D d Point A (Surface libre) Point B (Orifice) z = 0 z = H
Paramètre Symbole Valeur Unité
Diamètre du réservoir \( D \) 2 \(\text{m}\)
Diamètre de l'orifice \( d \) 50 \(\text{mm}\)
Hauteur d'eau initiale \( H \) 3 \(\text{m}\)
Coefficient de décharge de l'orifice \( C_d \) 0,62 -
Accélération de la pesanteur \( g \) 9,81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Exprimer la vitesse théorique d'écoulement \( v_{\text{th}}(t) \) à l'orifice en fonction de la hauteur d'eau instantanée \( h(t) \).
  2. En déduire l'expression du débit volumique réel \( Q_v(t) \) sortant de l'orifice.
  3. Établir l'équation différentielle liant la variation de la hauteur d'eau \( \frac{dh}{dt} \) à la hauteur \( h(t) \).
  4. Intégrer cette équation pour trouver l'expression littérale du temps \( t_{\text{vidange}} \) nécessaire pour vider complètement le réservoir.
  5. Calculer la valeur numérique de ce temps de vidange en secondes, puis en minutes.

Les bases sur l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur deux principes fondamentaux de la mécanique des fluides pour un écoulement en charge.

1. Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits
Il exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. Pour un fluide incompressible et non visquex, la charge totale (somme de l'énergie de pression, cinétique et potentielle) reste constante : \[ \frac{v^2}{2g} + z + \frac{P}{\rho g} = \text{constante} \]

2. Conservation de la masse (ou du volume)
Pour un fluide incompressible, le volume est conservé. Cela signifie que la variation du volume de fluide dans un système (notre réservoir) sur une période \( dt \) est égale à la différence entre le volume qui y entre et le volume qui en sort. Dans notre cas, seul un volume sort, ce qui cause une diminution du volume stocké.

Correction : Calcul du Temps de Vidange d’un Réservoir Cylindrique

Question 1 : Vitesse théorique d'écoulement

Principe

On applique le théorème de Bernoulli, qui est une loi de conservation de l'énergie pour les fluides, entre un point A situé à la surface libre du liquide et un point B à la sortie de l'orifice. Cela nous permet de relier la hauteur d'eau (énergie potentielle) à la vitesse d'écoulement (énergie cinétique).

Mini-Cours

Le théorème de Bernoulli stipule que pour un fluide parfait (sans frottement) et incompressible, l'énergie totale par unité de poids reste constante le long d'une ligne de courant. Cette énergie se compose de trois termes : l'énergie potentielle de pesanteur (\(z\)), l'énergie de pression (\(P/\rho g\)) et l'énergie cinétique (\(v^2/2g\)).

Remarque Pédagogique

L'astuce pour bien appliquer Bernoulli est de choisir judicieusement les deux points d'application. On choisit des points où l'on connaît le maximum d'informations. Ici, la surface libre et la sortie à l'air libre sont idéales car la pression y est atmosphérique et une des vitesses est considérée comme nulle.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme spécifique (comme un Eurocode) mais repose sur des principes physiques fondamentaux de la mécanique des fluides, universellement reconnus et enseignés.

Formule(s)

Théorème de Bernoulli entre A et B

\[ \frac{v_A^2}{2g} + z_A + \frac{P_A}{\rho g} = \frac{v_B^2}{2g} + z_B + \frac{P_B}{\rho g} \]
Hypothèses

Pour simplifier le problème, on pose les hypothèses suivantes, qui sont classiques pour ce type d'étude :

  • Le fluide (eau) est considéré comme incompressible.
  • Le réservoir est suffisamment grand pour que la vitesse d'abaissement de la surface libre soit négligeable devant la vitesse d'éjection à l'orifice (\(v_A \approx 0\)).
  • La pression à la surface libre (point A) et à la sortie de l'orifice (point B) est la pression atmosphérique (\(P_A = P_B = P_{\text{atm}}\)).
Donnée(s)
  • Accélération de la pesanteur : \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \)
  • Hauteur d'eau instantanée : \( h(t) \)
Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, on peut se souvenir que la formule de Torricelli est la même que celle de la vitesse d'un objet en chute libre depuis une hauteur \(h\). C'est un bon moyen mnémotechnique.

Schéma (Avant les calculs)
Points d'application du Théorème de Bernoulli
P = Patm, v ≈ 0Point AP = Patm, v = vthPoint Bz = h(t)z = 0
Calcul(s)

En appliquant les hypothèses à l'équation de Bernoulli et en choisissant l'origine des altitudes au niveau de l'orifice (\(z_B = 0\)), on obtient \(z_A = h(t)\).

Simplification de Bernoulli

\begin{aligned} \frac{v_{\text{th}}^2}{2g} &= \left( \frac{v_A^2}{2g} + z_A + \frac{P_A}{\rho g} \right) - \left( z_B + \frac{P_B}{\rho g} \right) \\ &= \left( \frac{0^2}{2g} + h(t) + \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} \right) - \left( 0 + \frac{P_{\text{atm}}}{\rho g} \right) \\ &= h(t) \end{aligned}

Isolation de la vitesse (Formule de Torricelli)

\[ v_{\text{th}}(t) = \sqrt{2 g h(t)} \]
Schéma (Après les calculs)
Réflexions

Ce résultat est remarquable : la vitesse de sortie théorique ne dépend que de la hauteur du fluide au-dessus, pas de la densité du fluide, ni de la forme du réservoir (uniquement de la hauteur instantanée). C'est une conversion directe de l'énergie potentielle en énergie cinétique.

Points de vigilance

Attention, il s'agit bien d'une vitesse théorique. Dans la réalité, les frottements du fluide sur les parois de l'orifice et la viscosité du fluide diminuent cette vitesse.

Points à retenir

Synthèse : Pour trouver la vitesse de sortie d'un réservoir, on applique Bernoulli entre la surface libre et la sortie. La formule clé à retenir est celle de Torricelli : \( v = \sqrt{2gh} \).

Le saviez-vous ?

Evangelista Torricelli, un élève de Galilée, a énoncé cette loi en 1643, avant même que Newton ne formalise les lois du mouvement. Il a découvert que l'eau sort d'un trou à la base d'un récipient avec la même vitesse qu'elle aurait si elle était tombée en chute libre depuis la surface.

FAQ
Pourquoi peut-on vraiment négliger la vitesse à la surface libre ?

Par conservation du débit (\(S \cdot v_A = s \cdot v_B\)). Comme la section du réservoir \(S\) est très grande devant celle de l'orifice \(s\), la vitesse \(v_A\) est très petite devant \(v_B\). Le terme d'énergie cinétique \(v_A^2/2g\) devient alors négligeable.

Résultat Final
La vitesse théorique d'écoulement à l'orifice est donnée par la formule de Torricelli : \( v_{\text{th}}(t) = \sqrt{2 g h(t)} \).
A vous de jouer

Si la hauteur d'eau est de 5 m, quelle est la vitesse théorique de sortie ? (prendre g = 9,81 m/s²)

Question 2 : Débit volumique réel

Principe

Le débit est le volume de fluide qui s'écoule par unité de temps. Le débit réel est inférieur au débit théorique à cause de phénomènes physiques (frottements, contraction de la veine liquide) que l'on modélise globalement avec un coefficient de décharge.

Mini-Cours

À la sortie d'un orifice à bords vifs, les lignes de courant convergent et la section du jet d'eau continue de se réduire sur une courte distance après l'orifice. La section minimale est appelée "vena contracta" ou section contractée. Le coefficient de décharge \(C_d\) combine l'effet de cette contraction (\(C_c\)) et un coefficient de vitesse (\(C_v\)) qui tient compte des frottements. \(C_d = C_c \times C_v\).

Remarque Pédagogique

En ingénierie, on travaille presque toujours avec des débits réels. Le passage du théorique au réel via un coefficient est une démarche omniprésente. Ne l'oubliez jamais dans une application pratique !

Normes

Les valeurs du coefficient de décharge \(C_d\) sont issues de nombreuses études expérimentales. Elles sont tabulées dans des manuels d'hydraulique de référence (comme le "Idel'cik - Memento des pertes de charge") en fonction de la géométrie de l'orifice (à bords vifs, arrondi, ajutage, etc.) et du nombre de Reynolds.

Formule(s)

Définition du débit réel

\[ Q_{v, \text{réel}} = C_d \cdot s_{\text{orifice}} \cdot v_{\text{th}} \]
Hypothèses

On suppose que le coefficient de décharge \(C_d\) reste constant pendant toute la durée de la vidange. C'est une bonne approximation tant que le régime d'écoulement (défini par le nombre de Reynolds) ne change pas drastiquement.

Donnée(s)
  • Diamètre de l'orifice : \(d = 50 \text{ mm} = 0,05 \text{ m}\)
  • Coefficient de décharge : \(C_d = 0,62\)
  • Vitesse théorique (de Q1) : \( v_{\text{th}}(t) = \sqrt{2 g h(t)} \)
Astuces

Retenez que pour un orifice simple à bords vifs dans une paroi mince, la valeur de \(C_d\) est très souvent proche de 0,6. Si vous trouvez une valeur très différente dans un exercice, vérifiez vos sources ou vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Vena Contracta à la sortie de l'orifice
ddcParoi du réservoirVena Contracta(Section contractée)
Calcul(s)

Section de l'orifice

\[ s = \frac{\pi d^2}{4} \]

Substitution dans la formule du débit

\begin{aligned} Q_v(t) &= C_d \cdot s \cdot v_{\text{th}}(t) \\ &= C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2 g h(t)} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Réflexions

Ce résultat montre que le débit de vidange n'est pas constant. Il est maximal au début (quand \(h\) est grand) et diminue au fur et à mesure que le réservoir se vide. C'est cette dépendance temporelle qui rend le problème dynamique.

Points de vigilance

Ne pas confondre la section de l'orifice \(s\) avec la section du réservoir \(S\). Le débit dépend de la section par laquelle l'eau s'écoule, c'est-à-dire l'orifice.

Points à retenir

Synthèse : Le débit réel est toujours le produit de trois termes : le coefficient de décharge, la section de l'écoulement, et la vitesse théorique. \(Q_{\text{réel}} = C_d \cdot s \cdot v_{\text{th}}\).

Le saviez-vous ?

La forme de l'orifice a un impact majeur sur le coefficient de décharge. Un orifice à bord arrondi et convergent (un ajutage) peut avoir un \(C_d\) proche de 0,98, car il guide le fluide et minimise la contraction de la veine, optimisant ainsi l'écoulement.

FAQ
Le coefficient de décharge dépend-il du fluide ?

Oui, légèrement. Le \(C_d\) dépend du nombre de Reynolds, qui lui-même dépend de la viscosité du fluide. Cependant, pour des fluides peu visqueux comme l'eau en régime turbulent, cette dépendance est très faible et on utilise souvent une valeur constante.

Résultat Final
L'expression du débit volumique réel sortant de l'orifice est : \( Q_v(t) = C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2 g h(t)} \).
A vous de jouer

Avec les données de l'énoncé, quel est le débit initial (à t=0, H=3m) en litres par seconde ?

Question 3 : Équation différentielle

Principe

On effectue un bilan de matière (ou de volume, puisque le fluide est incompressible) sur le réservoir pendant un très court instant \(dt\). La variation de volume stocké est due uniquement au volume qui s'échappe. C'est le principe de conservation de la masse.

Mini-Cours

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction à ses dérivées. Ici, nous cherchons une relation entre la fonction "hauteur" \(h(t)\) et sa dérivée par rapport au temps \(\frac{dh}{dt}\) (qui représente la vitesse de descente du niveau d'eau). La résolution de cette équation nous donnera la fonction \(h(t)\) explicite.

Remarque Pédagogique

Cette étape est la plus conceptuelle. Il faut bien traduire la phrase physique "la diminution de volume dans le réservoir est égale au volume qui sort" en une équation mathématique. L'apparition d'un signe 'moins' est critique et traduit physiquement cette "diminution".

Normes

Ce bilan de matière est un principe premier de la physique, fondamental dans toutes les disciplines de l'ingénierie (thermodynamique, génie chimique, etc.) et ne dépend pas d'une norme.

Formule(s)

Variation de volume dans le réservoir

\[ dV_{\text{réservoir}} = S \cdot dh \quad (S = \text{section du réservoir}) \]

Volume sorti par l'orifice

\[ dV_{\text{sortie}} = Q_v(t) \cdot dt \]
Hypothèses

On suppose que le réservoir est un cylindre parfait, donc sa section horizontale \(S\) est constante quelle que soit la hauteur \(h\).

Donnée(s)
  • Débit de sortie (de Q2) : \( Q_v(t) = C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2 g h(t)} \)
  • Section du réservoir : \( S = \frac{\pi D^2}{4} \)
Astuces

Le signe 'moins' est souvent source d'erreur. Rappelez-vous que \(dh\) est une variation : \(h_{\text{final}} - h_{\text{initial}}\). Comme le niveau baisse, \(dh\) est négatif. Le volume diminué est donc \(-dV_{\text{réservoir}}\), qui est une quantité positive, égale au volume sorti \(dV_{\text{sortie}}\) qui est aussi positif.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de volume sur un temps dt
Niveau h(t)Niveau h(t+dt)dhdV = S ⋅ dhdVsortie = Qv ⋅ dt
Calcul(s)

Égalité des volumes (conservation de la masse)

\[ Q_v(t) \cdot dt = -S \cdot dh \]

Dérivation de l'équation différentielle

\begin{aligned} \frac{dh}{dt} &= -\frac{Q_v(t)}{S} \\ &= - \frac{C_d \frac{\pi d^2}{4} \sqrt{2 g h(t)}}{\frac{\pi D^2}{4}} \\ &= -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \sqrt{h(t)} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Réflexions

Cette équation confirme notre intuition : la vitesse de descente du niveau d'eau (\(dh/dt\)) n'est pas constante. Elle est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur restante. Le niveau baisse donc très vite au début, puis de plus en plus lentement.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré sur le rapport des diamètres \((d/D)^2\). C'est bien un rapport de sections (donc de diamètres au carré) qui intervient dans la simplification.

Points à retenir

Synthèse : La dynamique de la vidange est décrite par une équation différentielle obtenue par un bilan de volume. Sa forme générale est \(\frac{dh}{dt} = -K \sqrt{h}\), où K est une constante qui regroupe toutes les caractéristiques géométriques du système.

Le saviez-vous ?

Si le réservoir n'était pas cylindrique mais conique (avec la pointe en bas), sa section \(S\) dépendrait de la hauteur \(h\). L'équation différentielle serait plus complexe mais toujours résolvable, menant à un temps de vidange différent.

FAQ
Cette équation est-elle toujours valable ?

Elle est valable pour un réservoir de section constante se vidant par un petit orifice sous l'effet de la gravité. Si on ajoutait une pompe pour remplir le réservoir en même temps, un terme positif \(+Q_{\text{pompe}}/S\) apparaîtrait dans l'équation.

Résultat Final
L'équation différentielle régissant la hauteur d'eau est : \( \frac{dh}{dt} = -K \sqrt{h(t)} \), avec \( K = C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \).
A vous de jouer

Comment l'équation changerait-elle si de l'eau était ajoutée au réservoir avec un débit constant \(Q_{\text{in}}\)? Écrivez la nouvelle expression de \(dh/dt\).

Question 4 : Intégration et temps de vidange

Principe

Pour trouver le temps total, il faut "sommer" tous les petits instants \(dt\) nécessaires pour faire baisser le niveau de \(dh\). C'est le rôle de l'intégration. On résout l'équation différentielle par la méthode de séparation des variables.

Mini-Cours

L'intégration est l'opération inverse de la dérivation. Une intégrale définie, avec des bornes, permet de calculer la somme continue d'une quantité sur un intervalle. Ici, on intègre la fonction liant \(dt\) et \(dh\) entre l'état initial (t=0, h=H) et l'état final (t=\(t_{\text{vidange}}\), h=0) pour trouver le temps total.

Remarque Pédagogique

Soyez très méticuleux avec les bornes d'intégration. Le temps va de 0 à \(t_{\text{vidange}}\), tandis que la hauteur "descend" de H à 0. Respecter ce sens dans les bornes est crucial pour que les signes se compensent correctement.

Normes

La résolution d'équations différentielles est une technique mathématique standard et ne relève pas d'une norme d'ingénierie.

Formule(s)

Primitive d'une fonction puissance

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (\text{pour } n \neq -1) \]

Ici, on intègre \(h^{-1/2}\), donc \(n=-1/2\).

Hypothèses

On suppose que le processus de vidange va jusqu'à son terme, c'est-à-dire une hauteur finale de zéro.

Donnée(s)

Équation différentielle de départ (de Q3)

\[ \frac{dh}{dt} = -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \sqrt{h(t)} \]
  • Condition initiale : à \(t=0\), la hauteur est \(h=H\).
  • Condition finale : à \(t=t_{\text{vidange}}\), la hauteur est \(h=0\).
Astuces

Avant d'intégrer, regroupez tous les termes constants en un seul (\(K\)). Cela allège l'écriture et limite les risques d'erreur de recopie. Ne remplacez par les valeurs numériques qu'à la toute fin !

Schéma (Avant les calculs)
Illustration des bornes d'intégration
h = H (état initial)t = 0h = 0 (état final)t = tvidangeIntégration
Calcul(s)

Séparation des variables

\[ \frac{dh}{\sqrt{h}} = -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \cdot dt \]

Mise en place de l'intégrale définie

\[ \int_{H}^{0} h^{-1/2} dh = \int_{0}^{t_{v}} -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \cdot dt \]

Calcul de la primitive et application des bornes

\begin{aligned} \left[ 2h^{1/2} \right]_{H}^{0} &= -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \left[ t \right]_{0}^{t_{v}} \\ (2\sqrt{0} - 2\sqrt{H}) &= -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \cdot (t_v - 0) \\ -2\sqrt{H} &= -C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g} \cdot t_{v} \end{aligned}

Isolation et réarrangement de la formule du temps de vidange

\begin{aligned} t_{\text{vidange}} &= \frac{2\sqrt{H}}{C_d \left(\frac{d}{D}\right)^2 \sqrt{2g}} \\ &= \frac{1}{C_d} \left(\frac{D}{d}\right)^2 \frac{2\sqrt{H}}{\sqrt{2g}} \\ &= \frac{1}{C_d} \left(\frac{D}{d}\right)^2 \sqrt{\frac{4H}{2g}} \\ &= \frac{1}{C_d} \left(\frac{D}{d}\right)^2 \sqrt{\frac{2H}{g}} \end{aligned}
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Temps de Vidange
Début (t=0)Fin (h=0)tvidange
Réflexions

La formule finale est très riche d'enseignements. Le temps de vidange est proportionnel au carré du rapport des diamètres (\((D/d)^2\)), ce qui montre l'énorme influence de la taille de l'orifice. Il est aussi proportionnel à la racine carrée de la hauteur initiale (\(\sqrt{H}\)), ce qui est moins intuitif : doubler la hauteur d'eau ne double pas le temps de vidange, il ne le multiplie que par \(\sqrt{2} \approx 1.41\).

Points de vigilance

Une erreur fréquente est de mal gérer les bornes de l'intégrale (inverser 0 et H) ce qui mène à un temps négatif. Un temps doit toujours être positif, c'est un bon indicateur d'une possible erreur de signe dans le calcul.

Points à retenir

Synthèse : Le temps de vidange s'obtient par intégration de l'équation différentielle. La formule finale pour un réservoir cylindrique est un résultat classique à connaître ou à savoir retrouver rapidement.

Le saviez-vous ?

Le même type de raisonnement (équation différentielle puis intégration) est utilisé pour calculer le temps de refroidissement d'un objet (loi de Newton), la décharge d'un condensateur en électricité ou la décroissance radioactive en physique nucléaire.

FAQ
Que se passe-t-il si je veux connaître le temps pour vider la moitié du réservoir ?

Il suffit de changer la borne supérieure de l'intégrale de la hauteur. Au lieu d'intégrer de H à 0, vous intégrez de H à H/2. Le résultat ne sera pas la moitié du temps total !

Résultat Final
L'expression littérale du temps de vidange total est : \( t_{\text{vidange}} = \frac{1}{C_d} \left(\frac{D}{d}\right)^2 \sqrt{\frac{2H}{g}} \).
A vous de jouer

Sans faire le calcul complet, si on divise le diamètre de l'orifice par 2, par combien sera multiplié le temps de vidange ?

Question 5 : Application numérique

Principe

C'est l'étape finale où l'on confronte la formule littérale à la réalité des chiffres. On remplace chaque variable par sa valeur numérique pour obtenir un résultat concret et quantifiable.

Mini-Cours

L'analyse dimensionnelle est une étape implicite mais cruciale. Il faut s'assurer que les unités des grandeurs utilisées sont cohérentes. Le Système International (mètres, kilogrammes, secondes) est le standard en sciences et en ingénierie pour garantir cette cohérence et éviter des erreurs de conversion.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours lister vos données avec leurs unités avant de commencer le calcul. Faites les conversions nécessaires (ex: mm en m) avant de les injecter dans la formule. Cela évite 90% des erreurs d'application numérique.

Normes

Pas de norme applicable, il s'agit d'une application directe de la formule.

Formule(s)

Formule du temps de vidange

\[ t_{\text{vidange}} = \frac{1}{C_d} \left(\frac{D}{d}\right)^2 \sqrt{\frac{2H}{g}} \]
Hypothèses

On suppose que les valeurs numériques fournies dans l'énoncé sont exactes et mesurées dans des conditions qui respectent les hypothèses du modèle.

Donnée(s)
  • \( D = 2 \text{ m} \)
  • \( d = 50 \text{ mm} = 0,05 \text{ m} \)
  • \( H = 3 \text{ m} \)
  • \( C_d = 0,62 \)
  • \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \)
Astuces

Calculez les termes séparément avant de les multiplier. Par exemple, calculez d'abord \((D/d)^2\), puis \(\sqrt{2H/g}\). Cela rend le calcul plus clair sur votre brouillon et plus facile à vérifier.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma avec valeurs numériques
3 m2 m50 mmCd=0.62
Calcul(s)

Substitution des valeurs numériques

\[ t_{\text{vidange}} = \frac{1}{0,62} \left(\frac{2}{0,05}\right)^2 \sqrt{\frac{2 \times 3}{9,81}} \]

Calcul des termes intermédiaires

\begin{aligned} t_{\text{vidange}} &= \frac{1}{0,62} \times (40)^2 \times \sqrt{0,6116} \\ &= \frac{1}{0,62} \times 1600 \times 0,782 \end{aligned}

Calcul final en secondes

\[ t_{\text{vidange}} \approx 2018 \text{ s} \]

Conversion en minutes

\[ t_{\text{minutes}} = \frac{2018 \text{ s}}{60 \text{ s/min}} \approx 33,6 \text{ minutes} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Résultat Final
33.6Minutes
Réflexions

Un temps d'environ une demi-heure semble physiquement plausible pour un réservoir de 2m de diamètre se vidant par un orifice de 5cm. Ce jugement critique sur l'ordre de grandeur du résultat est une compétence essentielle pour un ingénieur. Un résultat de quelques secondes ou de plusieurs jours aurait dû alerter sur une erreur de calcul.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente et la plus grave est l'oubli de conversion du diamètre de l'orifice de millimètres en mètres. Comme ce terme est au carré, l'erreur est amplifiée d'un facteur un million ! Vérifiez toujours, toujours, toujours vos unités.

Points à retenir

Synthèse : L'application numérique est la concrétisation du modèle théorique. Sa réussite dépend de deux choses : une formule correcte et une rigueur absolue dans la gestion des unités.

Le saviez-vous ?

La Clepsydre, ou horloge à eau, est une des plus anciennes inventions pour mesurer le temps. Les plus perfectionnées, inventées par les Grecs comme Ctésibios, utilisaient des principes similaires de régulation d'écoulement pour assurer une descente du niveau d'eau la plus constante possible, souvent grâce à des réservoirs de forme non-cylindrique.

FAQ
Quelle est la précision de ce calcul ?

La précision dépend directement de la précision de la valeur du coefficient de décharge \(C_d\). Ce coefficient est expérimental et peut varier légèrement avec l'usure de l'orifice ou la température de l'eau. La précision du calcul est donc de l'ordre de quelques pourcents, ce qui est généralement suffisant pour les applications d'ingénierie.

Résultat Final
Le temps de vidange total du réservoir est d'environ 2018 secondes, soit 33,6 minutes.
A vous de jouer

Recalculez le temps de vidange (en s) si le coefficient de décharge était celui d'un orifice parfaitement profilé, \(C_d=0,98\).

Outil Interactif : Simulateur de Vidange

Utilisez les curseurs pour modifier la hauteur d'eau initiale et le diamètre du réservoir. Observez comment le temps de vidange et le débit initial sont affectés. Le graphique montre la diminution de la hauteur d'eau au cours du temps.

Paramètres d'Entrée
3 m
2 m
Résultats Clés
Temps de vidange (s) -
Débit initial (L/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Selon la formule de Torricelli, la vitesse d'éjection théorique d'un fluide par un orifice dépend principalement de :

2. Un coefficient de décharge \(C_d\) de 0,6 signifie que :

3. Si l'on double la hauteur d'eau initiale (H), le temps de vidange total sera multiplié par :

4. Si l'on double le diamètre du réservoir (D), le temps de vidange total sera multiplié par :

5. Le processus de vidange d'un réservoir est un phénomène :

Théorème de Bernoulli
Principe fondamental de la dynamique des fluides qui établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement, traduisant la conservation de son énergie.
Coefficient de décharge (Cd)
Rapport sans dimension entre le débit réel s'écoulant à travers un orifice et le débit théorique. Il est toujours inférieur à 1 et combine les effets de la contraction de la veine liquide et des pertes par frottement.
Régime variable (ou transitoire)
Se dit d'un écoulement dont les caractéristiques (vitesse, pression, hauteur) en un point donné varient au cours du temps. La vidange d'un réservoir est un exemple typique de régime variable.
Calcul du Temps de Vidange d’un Réservoir

D’autres exercices d’hydraulique en charge:

Calcul du NPSH Disponible
Calcul du NPSH Disponible

Exercice : Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Contexte : L'importance du NPSHAcronyme de "Net Positive Suction Head", il représente la marge de pression à l'aspiration d'une pompe au-dessus de la pression de vaporisation du liquide...

Calcul du NPSH Disponible
Calcul du NPSH Disponible

Exercice : Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Calcul du NPSH Disponible (NPSHa) Contexte : L'importance du NPSHAcronyme de "Net Positive Suction Head", il représente la marge de pression à l'aspiration d'une pompe au-dessus de la pression de vaporisation du liquide...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *