ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Rendement d’une Installation de Pompage

Calcul du Rendement d’une Installation de Pompage

Calcul du Rendement d’une Installation de Pompage

Contexte : L'optimisation énergétique des circuits hydrauliques en chargeSystèmes de canalisations entièrement remplies de liquide, où la pression est supérieure à la pression atmosphérique..

Les installations de pompage sont au cœur de nombreux processus industriels et civils, de l'adduction d'eau potable à l'irrigation agricole. Leur efficacité énergétique est un enjeu majeur. Cet exercice se concentre sur le calcul du rendement globalRapport entre la puissance hydraulique utile fournie au fluide et la puissance électrique totale consommée par le moteur. d'une installation, en tenant compte des performances de la pompe, du moteur, et des pertes de chargePerte d'énergie (exprimée en mètres de colonne de fluide) due aux frottements dans les conduites (pertes linéaires) et aux accidents de parcours comme les coudes ou les vannes (pertes singulières). dans le réseau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un système complexe (l'installation de pompage) en ses éléments constitutifs pour en analyser la performance. Vous appliquerez le théorème de Bernoulli généralisé pour quantifier les besoins énergétiques et comprendrez comment les rendements en cascade influencent l'efficacité finale.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la hauteur manométrique totale (\(H_{\text{mt}}\)) requise.
  • Distinguer et calculer les pertes de charge linéaires et singulières.
  • Calculer la puissance hydraulique, la puissance absorbée par la pompe et la puissance électrique consommée.
  • Déterminer le rendement global d'une installation de pompage.

Données de l'étude

Une station de pompage transfère de l'eau d'un réservoir inférieur (bâche de reprise) vers un réservoir supérieur situé à une altitude plus élevée. L'objectif est de calculer le rendement global de cette installation pour un point de fonctionnement donné.

Schéma de l'Installation
Bassin A (Niveau z_A) Bassin B (Niveau z_B) P z_A z_B Δz = 40 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique \(Q\) 150 \(\text{m}^3/\text{h}\)
Diamètre intérieur de la conduite \(D\) 200 \(\text{mm}\)
Longueur totale de la conduite \(L\) 500 \(\text{m}\)
Dénivelé géométrique (\(z_B - z_A\)) \(\Delta z\) 40 \(\text{m}\)
Coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) 0.02 -
Somme des coefficients de pertes singulières \(\sum K\) 8.0 -
Rendement de la pompe \(\eta_{\text{pompe}}\) 0.75 -
Rendement du moteur électrique \(\eta_{\text{moteur}}\) 0.90 -
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 \(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse d'écoulement de l'eau dans la conduite.
  2. Calculer les pertes de charge linéaires totales (\(J_{\text{lin}}\)).
  3. Calculer les pertes de charge singulières totales (\(J_{\text{sing}}\)).
  4. En déduire la hauteur manométrique totale (\(H_{\text{mt}}\)) que doit fournir la pompe.
  5. Calculer la puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\)) communiquée à l'eau par la pompe.
  6. Calculer la puissance absorbée (\(P_{\text{a, pompe}}\)) par l'arbre de la pompe.
  7. Calculer la puissance électrique (\(P_{\text{a, moteur}}\)) absorbée par le moteur.
  8. Déterminer le rendement global (\(\eta_{\text{global}}\)) de l'installation.

Les bases sur l'Hydraulique en Charge

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques concepts fondamentaux de la mécanique des fluides appliquée aux circuits et réseaux.

1. Théorème de Bernoulli pour un fluide réel
Contrairement à un fluide parfait, un fluide réel subit des pertes d'énergie par frottement. L'équation de Bernoulli généralisée entre deux points A et B d'une ligne de courant s'écrit, avec une pompe entre A et B : \[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{v_A^2}{2g} + z_A + H_{\text{mt}} = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{v_B^2}{2g} + z_B + \Delta H_{A \to B} \] Où \(H_{\text{mt}}\) est la hauteur manométrique totale apportée par la pompe et \(\Delta H_{A \to B}\) représente les pertes de charge totales entre A et B.

2. Puissance et Rendement
La puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\)) est l'énergie par unité de temps transmise au fluide : \(P_{\text{h}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{\text{mt}}\). La puissance est absorbée par la pompe (\(P_{\text{a, pompe}}\)) puis par le moteur (\(P_{\text{a, moteur}}\)). Le rendement (\(\eta\)) est le rapport de la puissance utile sur la puissance absorbée.

  • \(\eta_{\text{pompe}} = P_{\text{h}} / P_{\text{a, pompe}}\)
  • \(\eta_{\text{moteur}} = P_{\text{a, pompe}} / P_{\text{a, moteur}}\)
  • \(\eta_{\text{global}} = P_{\text{h}} / P_{\text{a, moteur}} = \eta_{\text{pompe}} \cdot \eta_{\text{moteur}}\)

Correction : Calcul du Rendement d'une Installation de Pompage

Question 1 : Calculer la vitesse d'écoulement de l'eau dans la conduite.

Principe

La vitesse du fluide est directement liée au débit volumique et à la section de la conduite. Le débit représente le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps. C'est le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible.

Mini-Cours

L'équation de continuité stipule que pour un fluide incompressible, le débit massique (et donc volumique si la masse volumique est constante) est constant tout au long d'un circuit. Ainsi, le débit \(Q\) (en \(\text{m}^3/\text{s}\)) est égal au produit de la vitesse moyenne \(v\) (en \(\text{m/s}\)) par la section \(A\) (en \(\text{m}^2\)) de la conduite : \(Q = v \cdot A\).

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'hydraulique est souvent de calculer les grandeurs de base comme la vitesse. Prenez l'habitude de toujours commencer par là et de vérifier la cohérence des unités. C'est un réflexe qui vous évitera de nombreuses erreurs par la suite.

Normes

Les normes professionnelles (par exemple les DTU en France) recommandent des vitesses d'écoulement pour l'eau dans les canalisations, typiquement entre 0.5 m/s et 2.5 m/s, pour limiter le bruit, l'érosion et les pertes de charge excessives.

Formule(s)

Formule de la vitesse

\[ v = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2} \]
Hypothèses

On formule les hypothèses suivantes :

  • L'écoulement est permanent (le débit est constant dans le temps).
  • Le fluide est incompressible (la masse volumique \(\rho\) est constante).
  • La conduite est entièrement remplie d'eau sur toute sa section.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)150\(\text{m}^3/\text{h}\)
Diamètre intérieur\(D\)200\(\text{mm}\)
Astuces

Pour convertir rapidement un débit de \(\text{m}^3/\text{h}\) en \(\text{m}^3/\text{s}\), il suffit de diviser par 3600. Pour les diamètres, n'oubliez pas de diviser les millimètres par 1000 pour obtenir des mètres.

Schéma (Avant les calculs)
DQ →
Calcul(s)

Conversion du débit (\(Q\))

\[ \begin{aligned} Q = & 150 \ \frac{\text{m}^3}{\text{h}} \\ = & \frac{150}{3600} \ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \\ \approx & 0.04167 \ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre (\(D\))

\[ \begin{aligned} D = & 200 \ \text{mm} \\ = & 0.2 \ \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de la section (\(A\))

\[ \begin{aligned} A = & \frac{\pi \cdot D^2}{4} \\ = & \frac{\pi \cdot (0.2 \ \text{m})^2}{4} \\ \approx & 0.0314 \ \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse (\(v\))

\[ \begin{aligned} v = & \frac{Q}{A} \\ = & \frac{0.04167 \ \text{m}^3/\text{s}}{0.0314 \ \text{m}^2} \\ \approx & 1.33 \ \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
v = 1.33 m/s
Réflexions

Une vitesse de 1.33 m/s est une valeur tout à fait standard pour une conduite de refoulement de ce diamètre. Elle se situe bien dans la plage recommandée par les normes, ce qui conforte la validité de notre résultat initial.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le débit en \(\text{m}^3/\text{s}\) et/ou le diamètre en \(\text{m}\). Une autre erreur fréquente est de se tromper dans la formule de l'aire, en oubliant le carré ou le facteur 4.

Points à retenir

La maîtrise de la relation \(Q=v \cdot A\) et la conversion rigoureuse des unités sont les deux points fondamentaux à retenir de cette question.

Le saviez-vous ?

Le concept de débit et de continuité a été l'une des premières grandes découvertes en hydraulique, formalisée par des savants comme Castelli et Torricelli au XVIIe siècle, bien avant les travaux de Bernoulli.

FAQ
Pourquoi ne pas garder le débit en \(\text{m}^3/\text{h}\) ?

Parce que les autres unités du Système International (comme le Pascal pour la pression ou le Watt pour la puissance) sont définies à partir du mètre, du kilogramme et de la seconde. Utiliser des heures mènerait à des résultats incohérents sans facteurs de conversion complexes.

Résultat Final
La vitesse de l'eau dans la conduite est d'environ 1.33 m/s.
A vous de jouer

Si l'on souhaitait limiter la vitesse à 1.2 m/s pour le même débit, quel devrait être le nouveau diamètre intérieur de la conduite (en mm) ?

Question 2 : Calculer les pertes de charge linéaires totales (\(J_{\text{lin}}\)).

Principe

Les pertes de charge linéaires représentent l'énergie "perdue" par le fluide à cause des frottements contre les parois de la conduite. Cette énergie est transformée en chaleur. Plus la conduite est longue et rugueuse, et plus le fluide va vite, plus ces pertes sont importantes.

Mini-Cours

La formule de Darcy-Weisbach est l'outil principal pour quantifier ces pertes. Elle fait intervenir un coefficient de perte de charge \(\lambda\) (lambda), qui dépend lui-même du régime d'écoulement (décrit par le Nombre de Reynolds) et de la rugosité relative de la conduite. Dans cet exercice, \(\lambda\) est donné pour simplifier, mais en pratique il se détermine souvent à l'aide du diagramme de Moody.

Remarque Pédagogique

Voyez les pertes de charge comme un "péage énergétique" que le fluide doit payer pour parcourir la conduite. La pompe devra fournir une surpression pour compenser ce péage et maintenir l'écoulement.

Normes

Le calcul des pertes de charge est une étape réglementaire dans le dimensionnement des réseaux de fluides (normes ISO, EN, etc.). Des abaques et logiciels professionnels sont basés sur ces formules pour garantir la sécurité et l'efficacité des installations.

Formule(s)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ J_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que le coefficient \(\lambda\) est constant sur toute la longueur, ce qui est une approximation valable pour une conduite de même nature et un régime d'écoulement établi (loin de l'entrée).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Coefficient de perte de charge linéaire\(\lambda\)0.02-
Longueur de la conduite\(L\)500\(\text{m}\)
Diamètre de la conduite\(D\)0.2\(\text{m}\)
Vitesse d'écoulement (calculée)\(v\)1.33\(\text{m/s}\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Le terme \(v^2/(2g)\) est la hauteur cinétique. Vous l'avez peut-être déjà calculé. Conservez sa valeur, car elle sera réutilisée pour le calcul des pertes de charge singulières à la question suivante.

Schéma (Avant les calculs)
Ligne de charge (Énergie)Ligne piézométrique (Pression)v²/2g
Calcul(s)

Calcul des pertes de charge linéaires (\(J_{\text{lin}}\))

\[ \begin{aligned} J_{\text{lin}} = & \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \\ = & 0.02 \cdot \frac{500 \ \text{m}}{0.2 \ \text{m}} \cdot \frac{(1.33 \ \text{m/s})^2}{2 \cdot 9.81 \ \text{m/s}^2} \\ = & 50 \cdot \frac{1.769}{19.62} \\ \approx & 50 \cdot 0.090 \\ \approx & 4.51 \ \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge (Énergie)J_lin = 4.51 m
Réflexions

Une perte de 4.51 mètres signifie que l'énergie perdue par frottement sur 500m de conduite est équivalente à l'énergie qu'il faudrait pour soulever la même quantité d'eau de 4.51 mètres verticalement. C'est une part significative de l'énergie totale à fournir.

Points de vigilance

Assurez-vous que L et D sont dans la même unité (le mètre). Le piège classique est de diviser une longueur en mètres par un diamètre en millimètres. Le coefficient \(\lambda\) est sans dimension.

Points à retenir

La formule de Darcy-Weisbach est incontournable. Retenez que les pertes linéaires sont proportionnelles à la longueur L et au carré de la vitesse v, et inversement proportionnelles au diamètre D.

Le saviez-vous ?

Le diagramme de Moody, qui permet de déterminer \(\lambda\), est l'un des graphiques les plus célèbres de l'ingénierie. Il a été développé par Lewis Ferry Moody en 1944 et reste une référence absolue aujourd'hui.

FAQ
Comment peut-on réduire ces pertes ?

La manière la plus efficace est d'augmenter le diamètre de la conduite. Cela diminue la vitesse (au carré !) et le rapport L/D. Utiliser un matériau plus lisse (qui diminue \(\lambda\)) est aussi une option, mais souvent plus coûteuse.

Résultat Final
Les pertes de charge linéaires s'élèvent à environ 4.51 mètres.
A vous de jouer

Si l'on remplaçait la conduite par une autre de même diamètre mais beaucoup plus rugueuse ($\lambda = 0.03$), quelle serait la nouvelle valeur des pertes de charge linéaires ?

Question 3 : Calculer les pertes de charge singulières totales (\(J_{\text{sing}}\)).

Principe

Les pertes de charge singulières sont causées par les "accidents" sur le parcours de la conduite : coudes, vannes, clapets, élargissements, etc. Chaque accident perturbe l'écoulement, créant des turbulences qui dissipent localement l'énergie.

Mini-Cours

Chaque singularité (coude, vanne, etc.) est caractérisée par un coefficient de perte de charge K, sans dimension. Ce coefficient est déterminé expérimentalement. La perte de charge pour une singularité est le produit de K par l'énergie cinétique du fluide (\(v^2/2g\)). Pour un circuit entier, on somme simplement les coefficients de toutes les singularités.

Remarque Pédagogique

Imaginez une voiture sur une autoroute. Les pertes linéaires sont comme la résistance de l'air sur une longue ligne droite. Les pertes singulières sont comme les coups de frein et les ré-accélérations nécessaires à chaque virage ou péage. Chacun coûte de l'énergie.

Normes

Les fabricants de vannes, coudes, et autres accessoires de tuyauterie fournissent les coefficients K de leurs produits dans leurs catalogues techniques. Ces valeurs sont standardisées pour permettre aux ingénieurs de concevoir des réseaux fiables.

Formule(s)

Formule des pertes de charge singulières

\[ J_{\text{sing}} = (\sum K) \cdot \frac{v^2}{2g} \]
Hypothèses

On suppose que la somme \(\sum K\) fournie dans l'énoncé représente de manière exhaustive tous les accidents du circuit (entrée de réservoir, coudes, vannes, sortie de réservoir).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Somme des coefficients\(\sum K\)8.0-
Vitesse d'écoulement\(v\)1.33\(\text{m/s}\)
Accélération de la pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Astuces

Comme mentionné précédemment, réutilisez la valeur de la hauteur cinétique \(v^2/(2g)\) calculée pour les pertes linéaires. Cela évite de refaire le même calcul et limite les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Coude (K₁)Vanne (K₂)
Calcul(s)

Calcul de la hauteur cinétique

\[ \begin{aligned} \frac{v^2}{2g} = & \frac{(1.33 \ \text{m/s})^2}{2 \cdot 9.81 \ \text{m/s}^2} \\ \approx & 0.090 \ \text{m} \end{aligned} \]

Calcul des pertes de charge singulières (\(J_{\text{sing}}\))

\[ \begin{aligned} J_{\text{sing}} = & 8.0 \cdot 0.090 \ \text{m} \\ = & 0.72 \ \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
ΣKΣK
Réflexions

Les pertes singulières (0.72 m) sont bien plus faibles que les pertes linéaires (4.51 m) dans ce cas. C'est typique des longues conduites avec peu d'accidents. Dans les circuits courts et complexes (ex: salle des machines), la situation peut être inversée.

Points de vigilance

Le principal risque est d'oublier des singularités dans un cas réel. Une crépine à l'aspiration, un clapet anti-retour, chaque coude, chaque vanne, et la sortie dans le réservoir ont leur propre coefficient K qu'il faut additionner.

Points à retenir

Les pertes singulières dépendent de la géométrie des obstacles et du carré de la vitesse. Elles s'ajoutent aux pertes linéaires pour donner la perte de charge totale du réseau.

Le saviez-vous ?

Certains ingénieurs utilisent la méthode des "longueurs équivalentes". Au lieu d'un coefficient K, on dit qu'un coude "équivaut" à la perte de charge d'une certaine longueur de tuyau droit (par exemple, un coude à 90° peut équivaloir à 30 fois le diamètre en longueur de tuyau droit).

FAQ
Est-ce que K dépend de la vitesse ?

Pour des régimes d'écoulement turbulents (ce qui est presque toujours le cas en pratique), le coefficient K est considéré comme quasiment indépendant de la vitesse et du nombre de Reynolds.

Résultat Final
Les pertes de charge singulières s'élèvent à 0.72 mètre.
A vous de jouer

Si l'on rajoute deux vannes supplémentaires et un clapet anti-retour, portant la somme des coefficients \(\sum K\) à 12.5, quelle serait la nouvelle valeur de \(J_{\text{sing}}\) ?

Question 4 : En déduire la hauteur manométrique totale (\(H_{\text{mt}}\)) que doit fournir la pompe.

Principe

La hauteur manométrique totale est l'énergie totale (exprimée en mètres de colonne d'eau) que la pompe doit fournir au fluide pour accomplir deux tâches : 1) vaincre la différence d'altitude (hauteur géométrique) et 2) compenser toutes les pertes d'énergie par frottement (pertes de charge totales).

Mini-Cours

En appliquant le théorème de Bernoulli entre les surfaces libres des deux réservoirs (points A et B), où les pressions sont atmosphériques (\(P_A=P_B=P_{\text{atm}}\)) et les vitesses quasi-nulles (\(v_A \approx v_B \approx 0\)), l'équation se simplifie grandement pour donner directement la HMT : \(z_A + H_{\text{mt}} = z_B + \Delta H_{\text{total}}\). Donc, \(H_{\text{mt}} = (z_B - z_A) + \Delta H_{\text{total}}\).

Remarque Pédagogique

Pensez à la HMT comme au "cahier des charges" énergétique pour la pompe. Le réseau lui impose de fournir cette hauteur. C'est la valeur la plus importante pour pouvoir ensuite sélectionner la bonne pompe dans un catalogue de constructeur.

Normes

La détermination correcte de la HMT est une exigence fondamentale de toutes les normes de conception de systèmes de pompage (ex: Hydraulic Institute Standards, normes EN). Une erreur sur la HMT conduit à choisir une pompe inadaptée, soit sous-dimensionnée (débit insuffisant) soit sur-dimensionnée (gaspillage d'énergie).

Formule(s)

Formule de la Hauteur Manométrique Totale

\[ H_{\text{mt}} = \Delta z + J_{\text{total}} = \Delta z + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \]
Hypothèses

On suppose que les surfaces des réservoirs A et B sont suffisamment grandes pour que la vitesse du niveau d'eau soit négligeable. On suppose également que les deux réservoirs sont à la pression atmosphérique.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé géométrique\(\Delta z\)40\(\text{m}\)
Pertes de charge linéaires\(J_{\text{lin}}\)4.51\(\text{m}\)
Pertes de charge singulières\(J_{\text{sing}}\)0.72\(\text{m}\)
Astuces

Faites toujours cette somme en dernier, après avoir calculé séparément toutes les pertes de charge. Cela structure le raisonnement et facilite la relecture et la détection d'erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
J_singJ_linΔzH_mt
Calcul(s)

Calcul de la Hauteur Manométrique Totale (\(H_{\text{mt}}\))

\[ \begin{aligned} H_{\text{mt}} = & \Delta z + J_{\text{lin}} + J_{\text{sing}} \\ = & 40 \ \text{m} + 4.51 \ \text{m} + 0.72 \ \text{m} \\ = & 45.23 \ \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Réflexions

Le dénivelé géométrique (40 m) représente près de 88% de la HMT totale. Les pertes de charge, bien que non négligeables, sont une fraction plus petite. C'est typique d'une installation avec une grande hauteur de refoulement et une longue conduite. L'effort principal de la pompe est de "monter" l'eau.

Points de vigilance

Ne jamais confondre la hauteur géométrique (\(\Delta z\)) avec la HMT. La HMT est TOUJOURS supérieure à \(\Delta z\) dans un système de pompage (sauf cas théorique sans pertes de charge).

Points à retenir

La Hauteur Manométrique Totale est la somme de tous les obstacles à l'écoulement : l'obstacle gravitationnel (la hauteur) et les obstacles frictionnels (les pertes de charge).

Le saviez-vous ?

Pour une pompe, on parle de Hauteur Manométrique Totale (\(H_{\text{mt}}\)). Pour une turbine, qui récupère l'énergie de l'eau, on parle de "hauteur de chute nette", qui est la hauteur de chute brute MOINS les pertes de charge.

FAQ
La HMT dépend-elle du fluide ?

Oui, indirectement. Si l'on pompait un fluide plus visqueux comme de l'huile, le coefficient de frottement \(\lambda\) serait beaucoup plus grand, augmentant les pertes de charge et donc la HMT nécessaire pour le même débit.

Résultat Final
La pompe doit fournir une hauteur manométrique totale de 45.23 mètres.
A vous de jouer

Si le réservoir supérieur était rehaussé de 10 mètres (\(\Delta z = 50\) m), quelle serait la nouvelle HMT requise, toutes choses égales par ailleurs ?

Question 5 : Calculer la puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\)) communiquée à l'eau.

Principe

La puissance hydraulique (ou puissance utile) est la puissance réellement transférée par la pompe au fluide. Elle représente le travail fourni au fluide par unité de temps pour le déplacer et augmenter sa pression.

Mini-Cours

La puissance d'une force est le produit de cette force par la vitesse. En hydraulique, la force est liée à la pression et à la section, et le travail est lié à la HMT. La formule finale fait intervenir le poids volumique du fluide (\(\rho \cdot g\)), le débit volumique (\(Q\)) et la hauteur manométrique totale (\(H_{\text{mt}}\)).

Remarque Pédagogique

C'est la première fois que l'on passe du domaine des "mètres" (HMT) au domaine des "Watts" (Puissance). La puissance hydraulique est le but final de l'installation : c'est l'énergie utile que l'on a réussi à communiquer à l'eau.

Normes

La puissance est une grandeur fondamentale définie par le Système International d'unités. L'unité est le Watt (W), qui correspond à un Joule par seconde (J/s).

Formule(s)

Formule de la puissance hydraulique

\[ P_{\text{h}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{\text{mt}} \]
Hypothèses

On utilise les valeurs standards pour la masse volumique de l'eau et l'accélération de la pesanteur, en supposant qu'elles sont constantes.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Masse volumique\(\rho\)1000\(\text{kg/m}^3\)
Accélération pesanteur\(g\)9.81\(\text{m/s}^2\)
Débit volumique\(Q\)0.04167\(\text{m}^3/\text{s}\)
Hauteur manométrique totale\(H_{\text{mt}}\)45.23\(\text{m}\)
Astuces

Vérifiez toujours l'homogénéité de votre formule. \([\text{kg/m}^3] \cdot [\text{m/s}^2] \cdot [\text{m}^3/\text{s}] \cdot [\text{m}] = [\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^3]\), ce qui correspond bien à des Watts (Joules/s). C'est une excellente façon de s'assurer que la formule est correcte.

Schéma (Avant les calculs)
PEau (basse énergie)Eau (haute énergie)P_h
Calcul(s)

Calcul de la puissance hydraulique (\(P_{\text{h}}\))

\[ \begin{aligned} P_{\text{h}} = & \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_{\text{mt}} \\ = & 1000 \ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 9.81 \ \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0.04167 \ \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \cdot 45.23 \ \text{m} \\ \approx & 18505 \ \text{W} \\ \approx & 18.5 \ \text{kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
PompeP_h = 18.5 kWPuissance mécanique
Réflexions

Une puissance de 18.5 kW est une puissance déjà conséquente, équivalente à celle d'une petite voiture. Cela donne un ordre de grandeur de l'énergie nécessaire pour déplacer un tel volume d'eau à cette hauteur.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est d'utiliser le débit en \(\text{m}^3/\text{h}\) au lieu de \(\text{m}^3/\text{s}\). Cela donnerait un résultat 3600 fois trop grand !

Points à retenir

La puissance hydraulique est le produit du poids volumique, du débit et de la HMT. C'est la puissance utile du système. Pensez "\(P_{\text{h}} = \rho g Q H_{\text{mt}}\)".

Le saviez-vous ?

Une ancienne unité de puissance encore parfois utilisée est le "cheval-vapeur" (ch ou CV). Un cheval-vapeur équivaut à environ 735.5 Watts. Notre pompe fournirait donc environ 25 CV hydrauliques.

FAQ
Cette puissance est-elle celle que je paie sur ma facture d'électricité ?

Non, pas du tout ! C'est la puissance utile, celle qui sert réellement à déplacer l'eau. La puissance que vous payez est la puissance électrique consommée par le moteur, qui est supérieure à cause des rendements (pertes) de la pompe et du moteur.

Résultat Final
La puissance hydraulique fournie à l'eau est de 18.5 kW.
A vous de jouer

Si le débit était réduit à 100 \(\text{m}^3/\text{h}\) (la HMT serait alors de 41.2 m), quelle serait la nouvelle puissance hydraulique ?

Question 6 : Calculer la puissance absorbée (\(P_{\text{a, pompe}}\)) par l'arbre de la pompe.

Principe

Aucune machine n'est parfaite. La pompe convertit la puissance mécanique de son arbre en puissance hydraulique, mais une partie de cette énergie est inévitablement perdue sous forme de chaleur à cause des frottements mécaniques et des turbulences internes du fluide. La puissance absorbée est donc supérieure à la puissance hydraulique utile.

Mini-Cours

Le rendement d'une machine est toujours le rapport de la puissance de sortie (utile) sur la puissance d'entrée (absorbée). Pour une pompe, la sortie est hydraulique (\(P_{\text{h}}\)) et l'entrée est mécanique (\(P_{\text{a, pompe}}\)). Ainsi, \(\eta_{\text{pompe}} = P_{\text{h}} / P_{\text{a, pompe}}\). On en déduit la puissance d'entrée.

Remarque Pédagogique

Cette puissance absorbée par la pompe est aussi la puissance que le moteur doit être capable de fournir. C'est la puissance "à l'arbre". Comprendre cette distinction entre puissance utile et absorbée est crucial pour le dimensionnement correct des équipements.

Normes

Le rendement des pompes est un critère de performance clé, défini par des normes internationales comme ISO 9906. Les fabricants fournissent des "courbes de pompe" qui montrent l'évolution du rendement en fonction du débit, avec un point de meilleur rendement (BEP - Best Efficiency Point).

Formule(s)

Formule de la puissance absorbée

\[ P_{\text{a, pompe}} = \frac{P_{\text{h}}}{\eta_{\text{pompe}}} \]
Hypothèses

On suppose que la valeur de rendement de 75% donnée dans l'énoncé correspond précisément au point de fonctionnement de la pompe (débit de 150 m³/h et HMT de 45.23 m).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance hydraulique\(P_{\text{h}}\)18505\(\text{W}\)
Rendement de la pompe\(\eta_{\text{pompe}}\)0.75-
Astuces

Le rendement est un nombre inférieur à 1. Pour trouver la puissance absorbée (d'entrée), on doit toujours obtenir un nombre plus grand que la puissance utile (de sortie). Il faut donc diviser par le rendement. Si vous obtenez un nombre plus petit, vous avez multiplié par erreur.

Schéma (Avant les calculs)
P_a,pompe →P→ P_h↓ Pertes (chaleur)
Calcul(s)

Calcul de la puissance absorbée par la pompe (\(P_{\text{a, pompe}}\))

\[ \begin{aligned} P_{\text{a, pompe}} = & \frac{P_{\text{h}}}{\eta_{\text{pompe}}} \\ = & \frac{18505 \ \text{W}}{0.75} \\ \approx & 24673 \ \text{W} \\ \approx & 24.7 \ \text{kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Pompe (η=75%)24.7 kW18.5 kW6.2 kW (Pertes)
Réflexions

La pompe "consomme" 24.7 kW de puissance mécanique pour ne "délivrer" que 18.5 kW de puissance à l'eau. La différence, soit 6.2 kW, est l'équivalent de l'énergie dissipée par une demi-douzaine de radiateurs électriques ! Cela montre l'importance de choisir une pompe avec un bon rendement.

Points de vigilance

Ne pas confondre la puissance à l'arbre de la pompe avec la puissance électrique du moteur. Ce sont deux choses différentes, séparées par le rendement du moteur lui-même.

Points à retenir

La puissance absorbée par une machine est égale à la puissance utile qu'elle fournit, divisée par son rendement : \(P_{\text{absorbée}} = P_{\text{utile}} / \eta\).

Le saviez-vous ?

Le rendement d'une pompe n'est pas constant. Il varie fortement avec le débit. Le choix d'une pompe consiste justement à faire coïncider son point de meilleur rendement (BEP) avec le point de fonctionnement requis par le réseau. Fonctionner loin du BEP gaspille de l'énergie et peut endommager la pompe par cavitation ou vibrations.

FAQ
Où partent les 25% d'énergie "perdue" ?

Principalement sous forme de chaleur, dissipée dans le liquide pompé et dans l'air ambiant autour du corps de pompe. Une petite partie est aussi convertie en bruit et en vibrations.

Résultat Final
La puissance absorbée par l'arbre de la pompe est de 24.7 kW.
A vous de jouer

Si l'on choisissait une pompe de nouvelle génération avec un rendement de 85% pour la même puissance hydraulique (18.5 kW), quelle serait la nouvelle puissance absorbée à l'arbre ?

Question 7 : Calculer la puissance électrique (\(P_{\text{a, moteur}}\)) absorbée par le moteur.

Principe

Le moteur électrique est le maillon précédent dans la chaîne énergétique. Il convertit la puissance électrique (celle qui vient du réseau) en puissance mécanique (celle qui fait tourner l'arbre de la pompe). Lui aussi a des pertes et donc un rendement inférieur à 100%.

Mini-Cours

Le raisonnement est identique à celui de la pompe. Le rendement du moteur est le rapport de sa puissance de sortie (mécanique, \(P_{\text{a, pompe}}\)) sur sa puissance d'entrée (électrique, \(P_{\text{a, moteur}}\)). La puissance électrique est donc la puissance mécanique requise, divisée par le rendement du moteur.

Remarque Pédagogique

Nous arrivons au début de la chaîne : la prise électrique. C'est cette puissance que l'exploitant de l'installation va payer. C'est la consommation "au compteur", qui est forcément la plus élevée de toutes les puissances calculées jusqu'ici.

Normes

L'efficacité des moteurs électriques est réglementée au niveau international. En Europe, la classification va de IE1 (rendement standard) à IE5 (ultra-premium). L'utilisation de moteurs à haut rendement (IE3, IE4) est souvent obligatoire pour réduire la consommation d'énergie globale.

Formule(s)

Formule de la puissance électrique absorbée

\[ P_{\text{a, moteur}} = \frac{P_{\text{a, pompe}}}{\eta_{\text{moteur}}} \]
Hypothèses

On suppose que le rendement de 90% est celui du moteur à son point de fonctionnement nominal, c'est-à-dire au régime et à la charge correspondant à l'entraînement de la pompe.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance absorbée (pompe)\(P_{\text{a, pompe}}\)24673\(\text{W}\)
Rendement du moteur\(\eta_{\text{moteur}}\)0.90-
Astuces

La logique reste la même : la puissance d'entrée est toujours plus grande que la puissance de sortie. Vérifiez que \(P_{\text{a, moteur}}\) est bien supérieur à \(P_{\text{a, pompe}}\).

Schéma (Avant les calculs)
MoteurP_a,moteur →→ P_a,pompe↓ Pertes (chaleur)
Calcul(s)

Calcul de la puissance électrique (\(P_{\text{a, moteur}}\))

\[ \begin{aligned} P_{\text{a, moteur}} = & \frac{P_{\text{a, pompe}}}{\eta_{\text{moteur}}} \\ = & \frac{24673 \ \text{W}}{0.90} \\ \approx & 27414 \ \text{W} \\ \approx & 27.4 \ \text{kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moteur (η=90%)27.4 kW24.7 kW2.7 kW (Pertes)
Réflexions

Le moteur "gaspille" 27.4 - 24.7 = 2.7 kW en chaleur. Ces pertes sont dues à l'effet Joule dans les bobinages, aux pertes magnétiques dans le fer et aux frottements des roulements. C'est pourquoi les gros moteurs ont besoin d'un ventilateur pour se refroidir.

Points de vigilance

Ne pas inverser les puissances. La puissance absorbée par la pompe est la puissance de SORTIE du moteur.

Points à retenir

La puissance électrique consommée est la somme de la puissance utile finale et de toutes les pertes successives dans la chaîne de conversion (pompe, moteur, etc.).

Le saviez-vous ?

Les moteurs électriques sont responsables de près de 70% de la consommation d'électricité dans l'industrie. Améliorer leur rendement, même de quelques points, a un impact considérable à l'échelle mondiale.

FAQ
Pourquoi le rendement n'est-il pas de 100% ?

À cause de la seconde loi de la thermodynamique. Toute conversion d'énergie engendre inévitablement des pertes, le plus souvent sous forme de chaleur. Un moteur parfait (un "mouvement perpétuel") est physiquement impossible.

Résultat Final
La puissance électrique absorbée par le moteur est de 27.4 kW.
A vous de jouer

Si l'on utilisait un moteur plus ancien et moins performant (\(\eta_{\text{moteur}} = 0.82\)), quelle serait la puissance électrique consommée pour la même puissance à l'arbre (24.7 kW) ?

Question 8 : Déterminer le rendement global (\(\eta_{\text{global}}\)) de l'installation.

Principe

Le rendement global est l'indicateur ultime de l'efficacité de l'installation. Il compare l'énergie qui entre dans le système (puissance électrique) à l'énergie qui en sort sous la forme souhaitée (puissance hydraulique). Il quantifie la performance de la chaîne de conversion dans son ensemble.

Mini-Cours

Dans un système où plusieurs composants se suivent (en série), le rendement global est simplement le produit des rendements individuels de chaque composant. C'est une règle fondamentale de l'analyse des systèmes énergétiques. On peut aussi le calculer en faisant le rapport de la puissance utile finale sur la puissance absorbée initiale.

Remarque Pédagogique

Un rendement global faible peut être dû à un seul mauvais composant ou à une accumulation de "petites" pertes. L'analyse montre ici que même avec des composants corrects (75% et 90%), le résultat final est dégradé. Cela souligne l'importance de viser l'excellence à chaque maillon de la chaîne.

Normes

L'approche "système" est de plus en plus présente dans les réglementations sur l'efficacité énergétique. On ne regarde plus seulement le rendement d'un moteur ou d'une pompe isolée, mais celui de l'ensemble "moteur + variateur + pompe + réseau", car c'est le seul qui reflète la performance réelle.

Formule(s)

Méthode 1 : Produit des rendements

\[ \eta_{\text{global}} = \eta_{\text{pompe}} \cdot \eta_{\text{moteur}} \]

Méthode 2 : Rapport des puissances

\[ \eta_{\text{global}} = \frac{P_{\text{h}}}{P_{\text{a, moteur}}} \]
Hypothèses

On suppose qu'il n'y a pas d'autres sources de pertes entre le moteur et la pompe (par exemple, un accouplement ou un réducteur, qui auraient leur propre rendement).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Rendement de la pompe\(\eta_{\text{pompe}}\)0.75-
Rendement du moteur\(\eta_{\text{moteur}}\)0.90-
Puissance hydraulique\(P_{\text{h}}\)18505\(\text{W}\)
Puissance absorbée moteur\(P_{\text{a, moteur}}\)27414\(\text{W}\)
Astuces

Utiliser la multiplication des rendements est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs d'arrondi que de refaire le calcul à partir des puissances. C'est une bonne méthode pour une vérification rapide.

Schéma (Avant les calculs)
Moteur (90%)Pompe (75%)Élec.Hydrau.Rendement Global = 90% × 75% = 67.5%
Calcul(s)

Calcul par multiplication des rendements

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{global}} = & \eta_{\text{pompe}} \cdot \eta_{\text{moteur}} \\ = & 0.75 \cdot 0.90 \\ = & 0.675 \ \Rightarrow 67.5 \ \% \end{aligned} \]

Vérification par le rapport des puissances

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{global}} = & \frac{P_{\text{h}}}{P_{\text{a, moteur}}} \\ = & \frac{18505 \ \text{W}}{27414 \ \text{W}} \\ \approx & 0.675 \ \Rightarrow 67.5 \ \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Énergie Électrique100%Pertes Moteur (9.9%)Pertes Pompe (22.6%)Puissance Hydraulique Utile67.5%
Réflexions

Un rendement global de 67.5% signifie que sur 100 Joules d'énergie électrique facturée, seulement 67.5 Joules sont effectivement utilisés pour élever et déplacer l'eau. Près d'un tiers (32.5%) de l'énergie est perdue en chaleur dans l'équipement. Cela représente un coût financier et environnemental significatif sur la durée de vie de l'installation.

Points de vigilance

Ne jamais additionner ou faire la moyenne des rendements. C'est une erreur conceptuelle grave. Les rendements en série se multiplient toujours.

Points à retenir

Le rendement global d'un système en série est le produit des rendements de ses composants. C'est l'indicateur le plus pertinent pour juger de la performance énergétique d'une installation complète.

Le saviez-vous ?

L'Agence Internationale de l'Énergie estime que les systèmes de pompage représentent près de 20% de la consommation mondiale d'électricité. Un gain de quelques pourcents de rendement à l'échelle planétaire représente des économies d'énergie colossales.

FAQ
Comment améliorer ce rendement global ?

Il faut agir sur tous les fronts : choisir une pompe et un moteur à très haut rendement, mais aussi optimiser le réseau (augmenter le diamètre des tuyaux) pour réduire les pertes de charge, car une HMT plus faible demande moins de puissance pour le même débit.

Résultat Final
Le rendement global de l'installation de pompage est de 67.5%.
A vous de jouer

Si l'on investissait dans des équipements de pointe (pompe à \(\eta=0.85\), moteur à \(\eta=0.95\)), quel serait le nouveau rendement global de l'installation (en %) ?

Outil Interactif : Simulateur de Rendement

Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et le diamètre de la conduite influencent la hauteur manométrique requise et la puissance électrique consommée. Les autres paramètres de l'exercice restent fixes.

Paramètres d'Entrée
150 m³/h
200 mm
Résultats Clés
Hauteur Manométrique Totale (\(H_{\text{mt}}\)) - m
Puissance Électrique Absorbée - kW

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente le débit dans une conduite (diamètre constant), comment évoluent les pertes de charge linéaires ?

2. La Hauteur Manométrique Totale (HMT) représente :

3. Une pompe a un rendement de 80% (\(\eta=0.8\)) et fournit une puissance hydraulique de 8 kW. Quelle puissance mécanique consomme-t-elle ?

4. À quoi servent les pertes de charge singulières ?

5. Si le rendement de la pompe est de 70% et celui du moteur est de 90%, quel est le rendement global ?

Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie effective, exprimée en hauteur de colonne de fluide (mètres), que la pompe doit fournir pour assurer le débit désiré en compensant la dénivellation et les pertes de charge totales du circuit.
Pertes de Charge
Dissipation d'énergie mécanique du fluide due aux frottements sur les parois (linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (singulières). Elles sont exprimées en mètres.
Puissance Hydraulique (\(P_{\text{h}}\))
Puissance nette transmise par la pompe au fluide. C'est la puissance utile de l'opération de pompage, généralement exprimée en Watts (W) ou kilowatts (kW).
Rendement (\(\eta\))
Rapport sans dimension (ou en %) entre la puissance utile (sortie) et la puissance absorbée (entrée) d'un système. Un rendement de 1 (ou 100%) serait un système parfait sans aucune perte.
Exercice d'Hydraulique en Charge

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