Calcul du Débit sur un Déversoir à Paroi Mince

Comprendre le Déversoir à Paroi Mince

Les déversoirs à paroi mince sont des structures hydrauliques simples et largement utilisées pour mesurer le débit dans les canaux à surface libre. Ils consistent en une plaque verticale, généralement métallique, avec une ouverture de forme géométrique précise (rectangulaire, triangulaire, etc.) à travers laquelle l'eau s'écoule. En mesurant la hauteur de la lame d'eau au-dessus de la crête du déversoir, on peut déterminer le débit avec une bonne précision grâce à des formules empiriques établies. Cet exercice se concentre sur le cas d'un déversoir rectangulaire sans contraction latérale.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule dans un canal rectangulaire sur un déversoir à paroi mince, sans contraction latérale (la largeur du déversoir est égale à la largeur du canal).

Caractéristiques géométriques :

Largeur du canal et du déversoir (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Hauteur du seuil du déversoir (pelle) (\(P\)) : \(0.8 \, \text{m}\)
Charge hydraulique mesurée en amont sur le seuil (\(h\)) : \(0.4 \, \text{m}\)
Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Schéma : Écoulement sur un Déversoir Rectangulaire

Questions à traiter

Calculer le coefficient de débit (\(C_d\)) en utilisant la formule de Bazin.
Calculer le débit (\(Q\)) passant sur le déversoir.

Correction : Calcul du Débit sur un Déversoir

Question 1 : Coefficient de Débit (\(C_d\)) par la Formule de Bazin

Principe :

Le débit sur un déversoir n'est pas seulement fonction de la géométrie mais aussi des phénomènes de contraction de la veine liquide et des pertes de charge. Le coefficient de débit (\(C_d\)) est un facteur correctif empirique qui englobe ces effets. La formule de Bazin est l'une des plus anciennes et simples pour estimer ce coefficient pour les déversoirs rectangulaires sans contraction latérale.

Formule(s) utilisée(s) :

C_d = \left( 0.405 + \frac{0.003}{h} \right) \left[ 1 + 0.55 \left( \frac{h}{P+h} \right)^2 \right]

Données spécifiques :

Charge hydraulique (\(h\)) : \(0.4 \, \text{m}\)
Hauteur du seuil (\(P\)) : \(0.8 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} C_d &= \left( 0.405 + \frac{0.003}{0.4} \right) \left[ 1 + 0.55 \left( \frac{0.4}{0.8+0.4} \right)^2 \right] \\ &= \left( 0.405 + 0.0075 \right) \left[ 1 + 0.55 \left( \frac{0.4}{1.2} \right)^2 \right] \\ &= (0.4125) \left[ 1 + 0.55 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \right] \\ &= (0.4125) \left[ 1 + 0.55 \times \frac{1}{9} \right] \\ &= (0.4125) \left[ 1 + 0.0611 \right] \\ &= 0.4125 \times 1.0611 \\ &\approx 0.4377 \end{aligned}

Résultat Question 1 : Le coefficient de débit selon Bazin est \(C_d \approx 0.438\).

Question 2 : Calcul du Débit (\(Q\))

Principe :

La formule générale du débit pour un déversoir rectangulaire est dérivée de l'intégration de la vitesse sur la section de passage de la lame d'eau. Elle relie le débit à la largeur du déversoir, à la charge hydraulique et au coefficient de débit, en incluant l'effet de la gravité.

Formule(s) utilisée(s) :

Q = C_d \cdot \frac{2}{3} \cdot B \cdot \sqrt{2g} \cdot h^{3/2}

Données spécifiques :

Coefficient de débit (\(C_d\)) : \(\approx 0.438\)
Largeur (\(B\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
Charge (\(h\)) : \(0.4 \, \text{m}\)
Gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} Q &= 0.438 \times \frac{2}{3} \times 2.0 \times \sqrt{2 \times 9.81} \times (0.4)^{3/2} \\ &= 0.438 \times 0.6667 \times 2.0 \times \sqrt{19.62} \times (0.4)^{1.5} \\ &= 0.584 \times 4.429 \times 0.253 \\ &\approx 0.654 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

Résultat Question 2 : Le débit sur le déversoir est \(Q \approx 0.654 \, \text{m}^3/\text{s}\).

Quiz : Si la charge hydraulique (h) double, le débit va...

Plus que doubler.
Doubler exactement.
Moins que doubler.

Glossaire

Déversoir à Paroi Mince: Plaque verticale à crête vive (arête amont aigue) installée dans un canal pour forcer l'écoulement à passer par-dessus, permettant ainsi la mesure du débit.
Charge Hydraulique (\(h\)): Hauteur verticale entre la surface libre de l'eau en amont (dans une section non influencée par la courbure de l'écoulement) et la crête du déversoir.
Coefficient de Débit (\(C_d\)): Facteur adimensionnel empirique qui corrige la formule théorique du débit pour prendre en compte les effets des pertes d'énergie et de la contraction de la lame d'eau.
Pelle ou Seuil (\(P\)): Hauteur verticale du seuil du déversoir par rapport au fond du canal.
Lame Déversante: La nappe d'eau qui s'écoule par-dessus la crête du déversoir.
Contraction Latérale: Phénomène de rétrécissement de la lame déversante qui se produit lorsque la largeur du déversoir est inférieure à celle du canal. Dans cet exercice, il n'y a pas de contraction latérale.

Calcul du Débit sur un Déversoir à Paroi Mince