Calcul du Débit sous une Vanne de Fond

Contexte : L'écoulement sous une vanne de fondOuvrage hydraulique permettant de contrôler le niveau de l'eau ou le débit dans un canal, en se levant ou s'abaissant verticalement..

Les vannes de fond sont des ouvrages essentiels dans la gestion des ressources en eau. On les retrouve dans les canaux d'irrigation, les barrages, et les stations de traitement pour réguler le débit. Comprendre comment calculer ce débit est fondamental pour tout ingénieur ou technicien en hydraulique. Cet exercice se concentre sur un cas classique : l'écoulement à surface libre dans un canal rectangulaire passant sous une vanne verticale. Nous utiliserons les principes de conservation de l'énergie et de la masse pour résoudre ce problème.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer l'équation de Bernoulli à un écoulement à surface libre et à utiliser le nombre de FroudeNombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Il permet de caractériser le régime d'un écoulement. pour caractériser la nature de l'écoulement (fluvial ou torrentiel).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la transition d'un régime fluvial à un régime torrentiel.
Appliquer l'équation de conservation de l'énergie (Bernoulli) à un cas pratique.
Calculer le débit sous une vanne à partir des hauteurs d'eau.
Caractériser un écoulement à l'aide du nombre de Froude.

Données de l'étude

On considère un canal rectangulaire en béton de grande longueur. Une vanne de fond verticale est placée en travers du canal pour réguler le débit. L'écoulement est considéré comme permanent et uniforme loin en amont de la vanne.

Schéma de l'écoulement sous la vanne

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du canal	\(L\)	2.0	m
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	1.5	m
Ouverture de la vanne	\(a\)	0.25	m
Coefficient de contraction	\(C_c\)	0.61	-
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Déterminer la hauteur contractéeHauteur minimale du jet liquide juste après le passage sous la vanne. \(y_2\) à la sortie de la vanne.
Écrire l'équation de l'énergie spécifique entre la section amont (1) et la section contractée (2), en posant les hypothèses adéquates.
En vous basant sur la conservation de l'énergie, calculer le débit \(Q\) passant sous la vanne.
Calculer les vitesses moyennes d'écoulement \(V_1\) (en amont) et \(V_2\) (au niveau de la section contractée).
Calculer les nombres de Froude \(Fr_1\) et \(Fr_2\) et conclure sur la nature des écoulements en amont et en aval de la vanne.

Les bases de l'hydraulique à surface libre

L'étude des écoulements sous les vannes repose sur deux principes fondamentaux : la conservation de la masse (équation de continuité) et la conservation de l'énergie (équation de Bernoulli appliquée aux écoulements à surface libre).

1. Énergie Spécifique
Pour un canal horizontal, l'énergie spécifiqueÉnergie par unité de poids de fluide, par rapport au fond du canal. Elle est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur dynamique. \(E\) est la somme de la hauteur d'eau \(y\) et de la hauteur dynamique (liée à la vitesse \(V\)). En supposant une répartition uniforme des vitesses, elle s'écrit : \[ E = y + \frac{V^2}{2g} \] En l'absence de pertes d'énergie (frottement), l'énergie spécifique se conserve entre deux points de l'écoulement.

2. Nombre de Froude et Régimes d'Écoulement
Le nombre de Froude \(Fr\) est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (liées à la vitesse) aux forces de gravité. Il est crucial pour déterminer le comportement de l'écoulement. \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{gy}} \]

Si \(Fr < 1\), l'écoulement est dit fluvial (ou subcritique)Régime d'écoulement lent et profond, où les ondes de surface peuvent se propager vers l'amont..
Si \(Fr > 1\), l'écoulement est dit torrentiel (ou supercritique)Régime d'écoulement rapide et peu profond, où les ondes de surface sont emportées vers l'aval..
Si \(Fr = 1\), l'écoulement est dit critique.

Correction : Calcul du Débit sous une Vanne de Fond

Question 1 : Déterminer la hauteur contractée \(y_2\)

Principe (le concept physique)

Juste après le passage de la vanne, les lignes de courant du fluide, qui ne peuvent pas effectuer un virage à angle droit, convergent. Ce phénomène physique provoque une contraction du jet liquide jusqu'à ce qu'il atteigne une section minimale. La hauteur d'eau dans cette section est la hauteur contractée, \(y_2\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce phénomène est connu sous le nom de "vena contracta". Le degré de contraction dépend de la géométrie de l'orifice. Pour une vanne verticale à arêtes vives, la contraction est très prononcée. On la quantifie à l'aide d'un coefficient de contraction empirique, \(C_c\), qui est le rapport entre la hauteur du jet contracté et l'ouverture de la vanne (\(C_c = y_2 / a\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Gardez toujours à l'esprit que la hauteur contractée \(y_2\) sera nécessairement plus petite que l'ouverture de la vanne \(a\). Par conséquent, le coefficient de contraction \(C_c\) est toujours inférieur à 1. Si vous obtenez une valeur supérieure, c'est un signe d'erreur.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'existe pas de "norme" au sens d'un Eurocode pour cette formule de base. Cependant, les valeurs du coefficient de contraction sont standardisées et proviennent de décennies d'études expérimentales. Des ouvrages de référence en hydraulique, comme ceux de Chow ("Open-Channel Hydraulics") ou Henderson, fournissent des tables et des abaques pour \(C_c\) en fonction de différentes géométries de vannes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation de la hauteur contractée

y_2 = C_c \cdot a

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le coefficient de contraction \(C_c\) est connu et supposé constant pour la géométrie et les conditions d'écoulement données.
L'écoulement est considéré comme bidimensionnel (on néglige les effets de bords le long de la largeur du canal).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de contraction	\(C_c\)	0.61	-
Ouverture de la vanne	\(a\)	0.25	m

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour ce calcul simple, il n'y a pas de raccourci. L'astuce consiste à bien identifier les deux paramètres \(C_c\) et \(a\) et à s'assurer qu'ils sont dans les bonnes unités (même si \(C_c\) est sans dimension, \(a\) doit être en mètres pour obtenir un \(y_2\) en mètres).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons la zone de contraction juste à la sortie de la vanne, avec les lignes de courant qui convergent.

Zoom sur la Vena Contracta

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur contractée \(y_2\)

\begin{aligned} y_2 &= 0.61 \times 0.25 \\ &= 0.1525 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma illustre les dimensions réelles après calcul.

Dimensions de la contraction

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \(y_2 \approx 0.153 \text{ m}\) montre que la hauteur du jet d'eau n'est que de 61% de l'ouverture de la vanne. Cela signifie que près de 39% de l'ouverture est "perdue" à cause du phénomène hydrodynamique de contraction. C'est une réduction significative qu'il est crucial de prendre en compte.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de confondre l'ouverture de la vanne \(a\) avec la hauteur d'eau \(y_2\). N'oubliez jamais d'appliquer le coefficient de contraction. Dans les calculs d'énergie (question suivante), c'est bien \(y_2\) et non \(a\) qu'il faut utiliser.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette étape, retenez trois points : 1) La contraction du jet est un phénomène physique réel. 2) Elle est quantifiée par \(C_c\). 3) La formule clé est \(y_2 = C_c \cdot a\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "Vena Contracta" a été étudié et nommé pour la première fois par Isaac Newton au 17ème siècle. Bien que simple, ce principe est fondamental non seulement pour les vannes mais aussi pour le calcul de débit à travers n'importe quel orifice ou déversoir.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La hauteur d'eau contractée à la sortie de la vanne est \(y_2 \approx 0.153 \text{ m}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si le même canal avait une vanne avec une ouverture \(a\) de 0.40 m (et le même \(C_c\)), quelle serait la nouvelle hauteur contractée \(y_2\) ?

Question 2 : Écrire l'équation de l'énergie

Principe

Le principe de conservation de l'énergie, formulé par Bernoulli, stipule qu'en l'absence de frottement, l'énergie totale d'une particule de fluide reste constante le long de sa trajectoire. Nous appliquons ce principe entre la section amont (1), où l'énergie est principalement potentielle (hauteur d'eau élevée, vitesse faible), et la section contractée (2), où une partie de cette énergie potentielle a été convertie en énergie cinétique (hauteur d'eau faible, vitesse élevée).

Hypothèses

L'écoulement est permanent (les propriétés ne changent pas dans le temps).
Le fluide est considéré comme parfait (pas de viscosité, donc pas de pertes de charge par frottement entre (1) et (2)).
Le fond du canal est horizontal (\(z_1 = z_2\)), ce qui permet de travailler avec l'énergie spécifique.
Les vitesses \(V_1\) et \(V_2\) sont des vitesses moyennes, considérées comme uniformes sur leurs sections respectives.

Équations Fondamentales

Pour dériver la relation, nous partons de deux équations fondamentales :

1. Conservation de l'Énergie (Équation de Bernoulli)

L'égalité des énergies spécifiques entre les points (1) et (2) s'écrit :

E_1 = E_2 \Rightarrow y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = y_2 + \frac{V_2^2}{2g}

2. Conservation de la Masse (Équation de Continuité)

Le débit \(Q\) est constant. Pour un canal rectangulaire, l'aire \(A = L \cdot y\). Donc :

Q = A_1 V_1 = A_2 V_2 \Rightarrow V_1 = \frac{Q}{L y_1} \text{ et } V_2 = \frac{Q}{L y_2}

Démonstration et Manipulation de l'Équation

L'objectif est d'obtenir une seule équation qui relie les hauteurs d'eau au débit \(Q\). Pour cela, nous allons substituer les expressions des vitesses (\(V_1\) et \(V_2\)) de l'équation de continuité dans l'équation de l'énergie.

Étape 1 : Substitution des vitesses dans l'équation de Bernoulli

y_1 + \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{L y_1}\right)^2 = y_2 + \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{L y_2}\right)^2

Étape 2 : Regroupement des termes

On regroupe les termes de hauteur d'un côté et les termes de débit de l'autre.

\begin{aligned} y_1 - y_2 &= \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{L y_2}\right)^2 - \frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{L y_1}\right)^2 \\ &= \frac{Q^2}{2gL^2y_2^2} - \frac{Q^2}{2gL^2y_1^2} \end{aligned}

Étape 3 : Factorisation

On met en facteur le terme commun \(\frac{Q^2}{2gL^2}\).

y_1 - y_2 = \frac{Q^2}{2gL^2} \left( \frac{1}{y_2^2} - \frac{1}{y_1^2} \right)

Cette équation est la relation d'énergie demandée, liant les hauteurs au débit. C'est la base de calcul pour la question suivante.

Question 3 : Calculer le débit \(Q\)

Principe (le concept physique)

Le débit est calculé en utilisant le principe de conservation de l'énergie entre les sections amont (1) et aval (2). L'énergie potentielle (liée à la hauteur \(y_1\)) est convertie en énergie cinétique (liée à la vitesse \(V_2\)) lors du passage sous la vanne. En reliant cette conversion d'énergie à la conservation de la masse (\(Q=AV\)), on peut déterminer \(Q\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule utilisée est une application directe de l'équation de Bernoulli. La forme finale \( Q = L \cdot y_1 \cdot y_2 \sqrt{\frac{2g}{y_1 + y_2}} \) est parfois appelée formule de l'orifice noyé, adaptée pour un canal. Elle intègre l'effet de la vitesse amont \(V_1\), qui n'est pas nulle, contrairement au cas d'un réservoir de grande taille (formule de Torricelli).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La clé ici est de comprendre que deux équations sont utilisées simultanément : Énergie (\(E_1=E_2\)) et Continuité (\(Q=A_1V_1=A_2V_2\)). C'est en substituant l'expression de \(V\) tirée de la continuité dans l'équation d'énergie que l'on parvient à isoler \(Q\), notre seule inconnue.

Normes (la référence réglementaire)

Cette formule est un résultat standard de l'hydraulique à surface libre et se trouve dans tous les manuels et documents techniques traitant de la conception d'ouvrages hydrauliques. Elle sert de base à des formules plus complexes qui incluent des coefficients de débit (\(C_d\)) pour tenir compte des pertes d'énergie réelles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de base de l'énergie

y_1 - y_2 = \frac{Q^2}{2gL^2} \left( \frac{1}{y_2^2} - \frac{1}{y_1^2} \right)

Formule du débit réarrangée

Q = L \cdot y_1 \cdot y_2 \sqrt{\frac{2g}{y_1 + y_2}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses de la question 2 s'appliquent ici : écoulement permanent, fluide parfait (pas de pertes de charge), fond horizontal.
Les sections (1) et (2) sont des sections où les filets d'eau sont supposés parallèles et la pression hydrostatique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur du canal	\(L\)	2.0	m
Hauteur d'eau amont	\(y_1\)	1.5	m
Hauteur contractée	\(y_2\)	0.1525	m
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Approximation : Si \(y_1\) est beaucoup plus grand que \(y_2\) (par ex. \(y_1 > 10y_2\)), la vitesse amont \(V_1\) devient négligeable. L'équation de l'énergie se simplifie en \(y_1 \approx V_2^2/2g\). On obtient alors \(Q \approx (L \cdot y_2) \cdot \sqrt{2g y_1}\). C'est une bonne méthode pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma général de l'énoncé est le plus pertinent, car il montre les deux sections (1) et (2) entre lesquelles nous appliquons la conservation de l'énergie.

Schéma de l'écoulement sous la vanne

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du terme sous la racine

\begin{aligned} \sqrt{\frac{2g}{y_1 + y_2}} &= \sqrt{\frac{2 \cdot 9.81}{1.5 + 0.1525}} \\ &= \sqrt{\frac{19.62}{1.6525}} \\ &\approx 3.4457 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul final du débit

\begin{aligned} Q &= (L \cdot y_1 \cdot y_2) \times 3.4457 \\ &= (2.0 \cdot 1.5 \cdot 0.1525) \times 3.4457 \\ &= 0.4575 \times 3.4457 \\ &\Rightarrow Q \approx 1.577 \text{ m}^3/\text{s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma représente le volume d'eau (le débit) qui traverse la section contractée en une seconde.

Visualisation du débit Q

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un débit de 1.58 m³/s signifie que chaque seconde, 1580 litres d'eau passent sous la vanne. C'est une quantité d'eau considérable, qui met en évidence l'importance de ces ouvrages pour convoyer de grands volumes d'eau pour l'irrigation, l'alimentation en eau potable ou la production d'hydroélectricité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est la manipulation de la formule. Assurez-vous d'additionner \(y_1\) et \(y_2\) au dénominateur sous la racine carrée. Une erreur fréquente est de les soustraire, ce qui est incorrect. Vérifiez également que toutes vos unités sont cohérentes (mètres, m/s²).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'essentiel est de retenir que le débit sous une vanne est le résultat d'un équilibre énergétique. La formule finale est un outil puissant, mais comprendre sa provenance (Énergie + Continuité) est encore plus important pour pouvoir l'adapter à d'autres situations.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le même principe physique est utilisé pour mesurer le débit dans les tuyaux avec un appareil appelé "tube de Venturi". Il s'agit d'un rétrécissement du tuyau qui, comme la vanne, accélère le fluide et crée une chute de pression mesurable, directement liée au débit.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le débit passant sous la vanne est \(Q \approx 1.58 \text{ m}^3/\text{s}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

En gardant \(y_1=1.5\text{ m}\) et \(a=0.25\text{ m}\), recalculez le débit \(Q\) si la largeur du canal \(L\) était de 3.0 m au lieu de 2.0 m.

Question 4 : Calculer les vitesses \(V_1\) et \(V_2\)

Principe (le concept physique)

Le principe de conservation de la masse, ou équation de continuité, stipule que pour un fluide incompressible, le débit \(Q\) est constant le long de l'écoulement. Comme \(Q\) est le produit de l'aire de la section \(A\) par la vitesse moyenne \(V\), si l'aire diminue, la vitesse doit nécessairement augmenter pour maintenir \(Q\) constant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vitesse calculée \(V = Q/A\) est une vitesse moyenne sur toute la section. En réalité, le profil de vitesse n'est pas uniforme : la vitesse est nulle au fond et sur les parois (à cause du frottement) et maximale près de la surface libre. Pour les calculs 1D en canal, cette simplification est cependant universellement acceptée et fournit des résultats très précis pour l'analyse globale de l'écoulement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question illustre parfaitement l'effet de "goulot d'étranglement". Imaginez des voitures sur une autoroute à trois voies qui se réduit à une seule voie : pour que le même nombre de voitures passe par seconde, elles doivent accélérer. C'est exactement ce qui arrive à l'eau ici.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de continuité \(Q=AV\) est l'une des équations les plus fondamentales de la mécanique des fluides et de l'hydraulique, enseignée dans tous les cursus et utilisée dans toutes les normes de conception.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de continuité pour un canal rectangulaire

V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{Q}{L \cdot y_1} \quad \text{et} \quad V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{Q}{L \cdot y_2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le débit \(Q\) est constant entre les sections (1) et (2).
La vitesse est uniformément répartie sur chaque section transversale.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	1.577	m³/s
Largeur	\(L\)	2.0	m
Hauteur amont	\(y_1\)	1.5	m
Hauteur contractée	\(y_2\)	0.1525	m

Astuces (Pour aller plus vite)

Une fois les calculs faits, vous pouvez rapidement vérifier leur cohérence. Le rapport des vitesses doit être l'inverse du rapport des hauteurs : \(V_2/V_1\) doit être égal à \(y_1/y_2\). Dans notre cas : \(5.17 / 0.526 \approx 9.8\) et \(1.5 / 0.1525 \approx 9.8\). La correspondance est excellente !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre les deux sections où les vitesses vont être déterminées, en surlignant les aires correspondantes.

Sections de calcul des vitesses

Calcul(s) (l'application numérique)

Vitesse en amont (\(V_1\))

\begin{aligned} V_1 &= \frac{1.577 \text{ m}^3/\text{s}}{2.0 \text{ m} \times 1.5 \text{ m}} \\ &= \frac{1.577}{3.0} \text{ m/s} \\ &\approx 0.526 \text{ m/s} \end{aligned}

Vitesse à la section contractée (\(V_2\))

\begin{aligned} V_2 &= \frac{1.577 \text{ m}^3/\text{s}}{2.0 \text{ m} \times 0.1525 \text{ m}} \\ &= \frac{1.577}{0.305} \text{ m/s} \\ &\approx 5.17 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme compare visuellement l'ampleur des vecteurs vitesse avant et après la vanne.

Comparaison des vecteurs vitesse

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse est multipliée par presque 10 (\(5.17 / 0.526 \approx 9.8\)) en passant sous la vanne. L'écoulement passe d'une vitesse lente en amont (environ 1.9 km/h) à une vitesse très rapide en aval (environ 18.6 km/h). Cette forte accélération est la manifestation de la conversion de l'énergie potentielle en énergie cinétique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas inverser les hauteurs \(y_1\) et \(y_2\) lors du calcul des aires \(A_1\) et \(A_2\). Une erreur simple mais fréquente. Utilisez toujours l'aire de la section correspondante à la vitesse que vous calculez.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Retenez que la vitesse et la section sont inversement proportionnelles pour un débit donné (\(V = Q/A\)). C'est un principe de base qui s'applique partout en mécanique des fluides, des rivières aux tuyauteries en passant par la circulation sanguine.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La puissance érosive d'un écoulement est souvent proportionnelle au carré ou au cube de la vitesse. La forte augmentation de la vitesse à la sortie d'une vanne explique pourquoi on doit souvent protéger le fond du canal juste à l'aval avec des enrochements ou des dalles en béton (un "radier") pour éviter que le fond ne soit affouillé et que l'ouvrage ne soit déstabilisé.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les vitesses d'écoulement sont \(V_1 \approx 0.53 \text{ m/s}\) et \(V_2 \approx 5.17 \text{ m/s}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Si le débit était de 2.5 m³/s, quelles seraient les nouvelles vitesses \(V_1\) et \(V_2\) (en gardant les mêmes hauteurs) ?

Question 5 : Calculer les nombres de Froude \(Fr_1\) et \(Fr_2\)

Principe (le concept physique)

Le nombre de Froude \(Fr\) est un ratio qui compare l'énergie cinétique de l'écoulement (liée à l'inertie) à son énergie potentielle (liée à la gravité). Il nous dit si l'écoulement est "rapide" et "superficiel" (torrentiel, \(Fr > 1\)) ou "lent" et "profond" (fluvial, \(Fr < 1\)) par rapport à la vitesse à laquelle les vagues se propagent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La racine \(\sqrt{gy}\) au dénominateur du nombre de Froude représente la célérité \(c\) des petites ondes de surface. Ainsi, \(Fr = V/c\). Si \(Fr < 1\), la vitesse \(V\) est inférieure à la célérité \(c\), donc une onde (une perturbation) peut remonter le courant. Si \(Fr > 1\), la vitesse \(V\) est supérieure à \(c\), et toute onde est inévitablement emportée vers l'aval. C'est la différence fondamentale entre les deux régimes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un bateau qui crée des vagues. En rivière calme (\(Fr < 1\)), les vagues se propagent en amont et en aval. Dans un rapide (\(Fr > 1\)), toutes les vagues, même celles allant vers l'amont, sont emportées par le courant. Le passage sous une vanne force l'écoulement à passer de l'état "calme" à l'état "rapide".

Normes (la référence réglementaire)

La classification des écoulements en subcritique, critique et supercritique basée sur le nombre de Froude est une convention universelle en hydraulique à surface libre, établie par William Froude au 19ème siècle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition du Nombre de Froude

Fr_1 = \frac{V_1}{\sqrt{gy_1}} \quad \text{et} \quad Fr_2 = \frac{V_2}{\sqrt{gy_2}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le canal est rectangulaire, ce qui permet d'utiliser la profondeur d'eau \(y\) comme profondeur hydraulique.
La gravité \(g\) est constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse et hauteur amont	\(V_1, y_1\)	0.526, 1.5	m/s, m
Vitesse et hauteur aval	\(V_2, y_2\)	5.17, 0.1525	m/s, m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces (Pour aller plus vite)

Une vérification rapide : pour un écoulement sous une vanne libre (non noyée), vous devez impérativement trouver \(Fr_1 < 1\) et \(Fr_2 > 1\). Si ce n'est pas le cas, vous avez très probablement fait une erreur dans les calculs de \(Q\) ou de \(V\) en amont.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma suivant montre les zones où nous allons déterminer la nature de l'écoulement.

Zones d'étude des régimes d'écoulement

Calcul(s) (l'application numérique)

Nombre de Froude en amont (\(Fr_1\))

\begin{aligned} Fr_1 &= \frac{0.526 \text{ m/s}}{\sqrt{9.81 \text{ m/s}^2 \times 1.5 \text{ m}}} \\ &= \frac{0.526}{\sqrt{14.715}} \\ &= \frac{0.526}{3.836} \\ &\approx 0.137 \end{aligned}

Nombre de Froude à la section contractée (\(Fr_2\))

\begin{aligned} Fr_2 &= \frac{5.17 \text{ m/s}}{\sqrt{9.81 \text{ m/s}^2 \times 0.1525 \text{ m}}} \\ &= \frac{5.17}{\sqrt{1.496}} \\ &= \frac{5.17}{1.223} \\ &\approx 4.23 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Caractérisation des Régimes d'Écoulement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu, l'écoulement en amont est fluvial (\(Fr_1 < 1\)), caractérisé par une grande hauteur et une faible vitesse. Le passage sous la vanne force l'écoulement à s'accélérer et sa hauteur à diminuer, le faisant passer en régime torrentiel (\(Fr_2 > 1\)). La vanne agit comme un "contrôle" qui force la transition entre les deux états stables de l'écoulement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la bonne paire de valeurs (\(V_1\) avec \(y_1\), \(V_2\) avec \(y_2\)). Une erreur courante est de mélanger les variables, par exemple en calculant \(V_1 / \sqrt{gy_2}\), ce qui n'a aucun sens physique. Faites aussi attention à bien prendre la racine carrée du produit \(g \cdot y\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La maîtrise de cette question passe par la compréhension de : 1) La définition du nombre de Froude. 2) La signification physique du seuil \(Fr = 1\). 3) La capacité à diagnostiquer un régime d'écoulement à partir de \(V\) et \(y\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le passage d'un régime torrentiel à fluvial se fait de manière très brutale et dissipative via un "ressaut hydraulique", un front de vague quasi stationnaire où le niveau de l'eau remonte brusquement. Ces ressauts sont souvent provoqués intentionnellement à l'aval des barrages pour dissiper l'énergie de l'eau et éviter l'érosion.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'écoulement passe d'un régime fluvial (\(Fr_1 \approx 0.14\)) à un régime torrentiel (\(Fr_2 \approx 4.23\)).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension)

Pour un débit de 2 m³/s dans le même canal, quelle est la hauteur \(y_c\) qui correspond à un écoulement critique (\(Fr=1\)) ? Indice : \(Fr = 1 \Rightarrow V = \sqrt{gy} \Rightarrow Q/A = \sqrt{gy} \Rightarrow Q^2/(L^2y^2) = gy\).

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez les curseurs pour faire varier la hauteur d'eau en amont (\(y_1\)) et l'ouverture de la vanne (\(a\)) et observez leur impact sur le débit et la vitesse de sortie. Le coefficient de contraction \(C_c\) est fixé à 0.61.

Paramètres d'Entrée

Hauteur amont y₁ (m) 1.5 m

Ouverture vanne a (m) 0.25 m

Résultats Clés

Débit total (m³/s) -

Vitesse de sortie V₂ (m/s) -

Glossaire

Vanne de Fond: Ouvrage hydraulique mobile, coulissant verticalement, utilisé pour contrôler le niveau d'eau ou le débit dans un canal à surface libre.
Régime Fluvial (Subcritique): Régime d'écoulement où les forces de gravité sont prépondérantes sur les forces d'inertie (Fr < 1). L'écoulement est lent, profond, et les perturbations peuvent remonter vers l'amont.
Régime Torrentiel (Supercritique): Régime d'écoulement où les forces d'inertie dominent les forces de gravité (Fr > 1). L'écoulement est rapide, peu profond, et les perturbations ne peuvent pas remonter le courant.
Nombre de Froude (Fr): Nombre sans dimension qui compare le rapport de la vitesse d'écoulement à la vitesse de propagation des ondes de surface (célérité).
Énergie Spécifique (E): Énergie par unité de poids du fluide, mesurée par rapport au fond du canal. C'est la somme de la hauteur d'eau et de la hauteur due à la vitesse cinétique.
Hauteur Contractée (Vena Contracta): Section la plus rétrécie d'un jet de fluide après son passage par un orifice ou sous une vanne. C'est là que la vitesse est maximale.