Calcul du Débit pour une Vitesse de Vérin

Contexte : Le dimensionnement hydrauliqueProcessus de calcul des composants (pompe, vérin, tuyauterie) pour atteindre des performances (vitesse, force) souhaitées..

En oléohydraulique (hydraulique de puissance), l'un des calculs les plus fondamentaux est de déterminer le débit d'huile nécessaire pour déplacer un actuateur, comme un vérinUn composant qui transforme l'énergie hydraulique (pression, débit) en un mouvement mécanique linéaire (translation)., à une vitesse spécifique. Ce calcul est essentiel pour sélectionner la bonne pompe hydraulique pour une application donnée.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la relation fondamentale entre le débit (Q), la vitesse (v) et la section (S). La maîtrise de la conversion des unités (mm, cm/s, L/min) est un point crucial de cet exercice.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation de base : \(Q = S \times v\).
Calculer la section (surface) d'un piston et une section annulaire.
Convertir correctement les unités usuelles de l'hydraulique (cm³/s en L/min).
Distinguer la vitesse de sortie et la vitesse de rentrée d'un vérin double-effet.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner le débit d'une pompe pour alimenter un vérin hydraulique double-effet. Le cahier des charges impose une vitesse de sortie (extension) spécifique.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de vérin	Vérin hydraulique double-effet

Schéma du vérin double-effet (en phase de sortie)

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Diamètre du Piston	D	80	mm
Diamètre de la Tige	d	40	mm
Vitesse de sortie (extension)	\(v_{\text{sortie}}\)	10	cm/s

Questions à traiter

Calculer la section (surface) du piston (\(S_{\text{piston}}\)) en \(\text{cm}^2\).
Calculer le débit d'huile nécessaire pour la sortie (\(Q_{\text{sortie}}\)) en \(\text{cm}^3\text{/s}\).
Convertir ce débit en Litres par minute (L/min).
En supposant que la pompe fournit ce même débit en continu, calculer la vitesse de rentrée du vérin (\(v_{\text{rentree}}\)) en \(\text{cm/s}\).
Calculer le rapport de vitesse (\(\text{Rapport} = v_{\text{rentree}} / v_{\text{sortie}}\)).

Les bases de l'hydraulique de puissance

Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux de l'hydraulique sont nécessaires :

1. Le Débit (Q)
Le débit est le volume de fluide (l'huile) qui traverse une section par unité de temps. \[ Q = \frac{\text{Volume}}{\text{Temps}} \] Les unités courantes sont les \(\text{m}^3\text{/s}\) (S.I.), les \(\text{L/min}\) (Litres par minute) ou les \(\text{cm}^3\text{/s}\).

2. Relation Débit-Vitesse-Section
Pour un fluide incompressible (comme l'huile), le volume de fluide qui entre dans le vérin est égal au volume "balayé" par le piston. Le volume balayé est la section (surface) du piston multipliée par sa distance de déplacement (la course). En divisant par le temps, on obtient : \[ Q = S \times v \] Où :

\(Q\) = Débit (ex: \(\text{cm}^3\text{/s}\))
\(S\) = Section (surface) sur laquelle le fluide pousse (ex: \(\text{cm}^2\))
\(v\) = Vitesse de déplacement du piston (ex: \(\text{cm/s}\))

Correction : Calcul du Débit pour une Vitesse de Vérin

Question 1 : Calculer la section (surface) du piston (\(S_{\text{piston}}\)) en \(\text{cm}^2\).

Principe

Cette section a pour but de vous introduire à l'idée fondamentale qui sous-tend la résolution de cette question. Pour trouver le débit, nous avons besoin de la vitesse (connue) et de la section (inconnue). La première étape est donc de calculer la surface sur laquelle l'huile va pousser. Pour la sortie du vérin, l'huile pousse sur la surface totale du piston, qui est un disque.

Mini-Cours

En géométrie, la surface (ou l'aire) d'un disque se calcule à partir de son diamètre (\(D\)) ou de son rayon (\(R\)). Les deux formules sont équivalentes :

Avec le Rayon (\(R = D/2\)) : \(S = \pi \times R^2\)
Avec le Diamètre (\(D\)) : \(S = \pi \times (D/2)^2 = \pi \times D^2 / 4\)

En ingénierie, on utilise plus souvent le diamètre car il est plus facile à mesurer (avec un pied à coulisse par exemple).

Remarque Pédagogique

La plus grande source d'erreur dans les calculs hydrauliques provient des unités. L'énoncé donne un diamètre en \(\text{mm}\) mais demande un résultat en \(\text{cm}^2\). La stratégie la plus sûre est de convertir *toutes* vos données dans des unités cohérentes *avant* de faire le moindre calcul.

Normes

Ce calcul relève des principes de base de la géométrie et de la physique, et n'est pas directement régi par une norme spécifique (comme un Eurocode), si ce n'est l'utilisation du Système International d'unités (ou ses dérivés cohérents comme le cm).

Formule(s)

La seule formule nécessaire est celle de l'aire (ou section) d'un disque :

S_{\text{piston}} = \frac{\pi \times D^2}{4}

Hypothèses

On considère le piston comme un disque parfait. On néglige les chanfreins, les joints, ou toute autre imperfection géométrique mineure.

Donnée(s)

La seule donnée de l'énoncé nécessaire pour cette question est le diamètre du piston.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre Piston	D	80	mm

Astuces

Attention aux unités ! La question demande un résultat en \(\text{cm}^2\). Il est plus simple de convertir le diamètre en \(\text{cm}\) *avant* de commencer le calcul.
Rappel : \(1 \text{ cm} = 10 \text{ mm}\).

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la surface pleine du piston, représentée par le diamètre \(D\).

Section du Piston (Vue de face)

Calcul(s)

Nous allons d'abord convertir le diamètre en centimètres pour être cohérent avec les unités de vitesse (cm/s) et la demande de résultat (cm²).

Étape 1 : Conversion du diamètre

D = 80 \text{ mm} = 8 \text{ cm}

Maintenant, nous insérons cette valeur (D = 8 cm) dans la formule de la section (aire) d'un disque : \(S = \pi D^2 / 4\).

Étape 2 : Calcul de la section

\begin{aligned} S_{\text{piston}} &= \frac{\pi \times (8 \text{ cm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 64 \text{ cm}^2}{4} \\ &= 16\pi \text{ cm}^2 \\ \Rightarrow S_{\text{piston}} &\approx 50,265 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma supplémentaire nécessaire pour cette étape.

Réflexions

Une surface de \(\approx 50 \text{ cm}^2\) est une surface de taille moyenne pour un vérin hydraulique. Cela correspond à un carré d'environ 7 cm de côté (\(7 \times 7 = 49\)). Visualiser cet ordre de grandeur peut aider à détecter des erreurs grossières (par exemple, si on avait trouvé 5000 ou 0.5).

Points de vigilance

Ne pas confondre Diamètre \(D\) et Rayon \(R\). Si vous utilisez la formule \(S = \pi \times R^2\), vous devez d'abord calculer \(R = D/2 = 4 \text{ cm}\). Le résultat est identique : \(S = \pi \times 4^2 = 16\pi \text{ cm}^2\). Ne *jamais* calculer \(\pi \times D^2\) !

Points à retenir

La formule de la section d'un cercle est \(\frac{\pi D^2}{4}\) (ou \(\pi R^2\)).
La conversion des unités (mm en cm) est une étape critique. \(1 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2\).

Le saviez-vous ?

Le nombre Pi (\(\pi\)) est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu'il a une infinité de décimales non périodiques. Pour la plupart des calculs d'ingénierie, une approximation à 3 ou 4 chiffres significatifs (comme 3,14 ou 3,1416) est largement suffisante.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La section du piston est \(S_{\text{piston}} \approx 50,27 \text{ cm}^2\).

A vous de jouer

Quelle serait la section du piston si son diamètre (\(D\)) était de \(100 \text{ mm}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Concept Clé : Surface d'un disque.
Formule : \(S = \pi D^2 / 4\).
Vigilance : Convertir \(D = 80 \text{ mm}\) en \(8 \text{ cm}\).

Question 2 : Calculer le débit d'huile nécessaire (\(Q_{\text{sortie}}\)) en \(\text{cm}^3\text{/s}\).

Principe

Maintenant que nous avons la surface (\(S\)) et la vitesse (\(v\)) souhaitée, nous pouvons calculer le volume d'huile à fournir chaque seconde (le débit \(Q\)) en utilisant la relation de base de l'hydraulique.

Mini-Cours

La relation \(Q = S \times v\) vient de la définition du débit.

Imaginez le piston avançant de 10 cm en 1 seconde (\(v = 10 \text{ cm/s}\)).
Le volume "balayé" par ce mouvement est \(V = S \times \text{distance}\).
Le débit \(Q\) est le volume par unité de temps : \(Q = V / t = (S \times \text{distance}) / t\).
Puisque \(v = \text{distance} / t\), on a bien \(Q = S \times v\).

Remarque Pédagogique

Cette formule est l'une des plus importantes en hydraulique. Elle fonctionne dans les deux sens : si vous connaissez le débit de votre pompe (Q) et la section de votre vérin (S), vous pouvez calculer la vitesse (v = Q/S). Si vous imposez une vitesse (v) et que vous connaissez la section (S), vous pouvez en déduire le débit de pompe nécessaire (Q = S x v).

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une loi physique fondamentale (principe de conservation du volume pour un fluide incompressible).

Formule(s)

Relation Débit-Vitesse-Section

Q_{\text{sortie}} = S_{\text{piston}} \times v_{\text{sortie}}

Hypothèses

On suppose que le fluide (l'huile) est parfaitement incompressible. En réalité, l'huile est très légèrement compressible, mais cette compressibilité est négligeable pour les calculs de vitesse (elle joue un rôle en régulation et en dynamique).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et la vitesse donnée dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Section Piston	\(S_{\text{piston}}\)	50,265	\(\text{cm}^2\)
Vitesse de sortie	\(v_{\text{sortie}}\)	10	\(\text{cm/s}\)

Astuces

Vérifiez la cohérence des unités avant de calculer :
\(\text{cm}^2 \times \text{cm/s} \rightarrow \text{cm}^3\text{/s}\).
Les unités sont cohérentes, le calcul est direct. La question demande un résultat en \(\text{cm}^3\text{/s}\), donc aucune conversion n'est nécessaire à ce stade.

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma supplémentaire nécessaire. Le schéma de l'énoncé montre bien le débit \(Q\) entrant dans la chambre A, poussant le piston à la vitesse \(v\).

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(Q = S \times v\). Nous utilisons la section \(S_{\text{piston}}\) calculée à la question 1 (\(50,265 \text{ cm}^2\)) et la vitesse \(v_{\text{sortie}}\) donnée dans l'énoncé (\(10 \text{ cm/s}\)).

Application de la formule

\begin{aligned} Q_{\text{sortie}} &= S_{\text{piston}} \times v_{\text{sortie}} \\ &= 50,265 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm/s} \\ &= 502,65 \text{ cm}^3\text{/s} \end{aligned}

Note sur les unités : \(\text{cm}^2 \times \text{cm/s} = \text{cm}^3\text{/s}\), ce qui est bien une unité de débit (volume par temps).

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma supplémentaire nécessaire.

Réflexions

Cela signifie que pour faire avancer le piston de 10 cm, la pompe doit fournir un volume de 502,65 \(\text{cm}^3\) d'huile (environ un demi-litre), et ce, en une seule seconde. C'est un débit déjà conséquent.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la bonne section. Pour la *sortie* du vérin, c'est la section *pleine* du piston (\(S_{\text{piston}}\)) qui est utilisée.

Points à retenir

La formule fondamentale est \(Q = S \times v\).
La cohérence des unités est la clé : \([\text{cm}^3\text{/s}] = [\text{cm}^2] \times [\text{cm/s}]\).

Le saviez-vous ?

Le principe de \(Q = S \times v\) est une simplification de l'équation de continuité, l'un des piliers de la mécanique des fluides, énoncée par des savants comme Euler et Bernoulli. Elle exprime simplement que "ce qui entre doit sortir" (conservation de la masse).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le débit nécessaire pour la sortie est \(Q_{\text{sortie}} = 502,65 \text{ cm}^3\text{/s}\).

A vous de jouer

Quel serait le débit (en \(\text{cm}^3\text{/s}\)) si la vitesse de sortie souhaitée était de \(15 \text{ cm/s}\) (avec le même vérin) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Concept Clé : Relation Débit-Vitesse.
Formule : \(Q = S \times v\).
Calcul : \(50,27 \times 10 = 502,7\).

Question 3 : Convertir ce débit en Litres par minute (L/min).

Principe

Le \(\text{cm}^3\text{/s}\) est une unité peu pratique pour le dimensionnement de pompes, qui sont presque toujours cataloguées en \(\text{L/min}\) (ou \(\text{gpm}\) - gallons per minute - dans les pays anglo-saxons). Nous devons donc effectuer une conversion d'unités.

Mini-Cours

Rappels de conversion de volume et de temps :

Volume : \(1 \text{ Litre} = 1 \text{ dm}^3\) (un cube de 10cm x 10cm x 10cm). Donc : \(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\). Par conséquent : \(1 \text{ cm}^3 = 0,001 \text{ L}\).
Temps : \(1 \text{ minute} = 60 \text{ secondes}\). Par conséquent : \(1 \text{ s} = (1/60) \text{ min}\).

Remarque Pédagogique

C'est une conversion que vous ferez constamment en hydraulique. Il est utile de mémoriser le facteur de conversion final, mais il est encore plus utile de savoir le retrouver à partir des deux rappels de base (1L = 1000cm³ et 1min = 60s).

Normes

Le Litre (L) n'est pas une unité S.I. officielle (c'est le \(\text{m}^3\)), mais son usage est universellement accepté et standardisé pour les volumes de fluides courants.

Formule(s)

Pour passer de \(\text{cm}^3\text{/s}\) à \(\text{L/min}\), on décompose la conversion :

Q = 502,65 \frac{\text{cm}^3}{\text{s}} = 502,65 \times \left( \frac{1 \text{ L}}{1000} \right) \times \left( \frac{1}{(1/60) \text{ min}} \right)

Q = 502,65 \times \frac{60}{1000} \frac{\text{L}}{\text{min}} = Q_{\text{(cm}^3\text{/s)}} \times 0,06

Hypothèses

Pas d'hypothèse, c'est un calcul mathématique pur.

Donnée(s)

On utilise le résultat de la Q2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit (calculé)	Q	502,65	\(\text{cm}^3\text{/s}\)

Astuces

Retenez ce "nombre magique" : multiplier les \(\text{cm}^3\text{/s}\) par 0,06 pour obtenir des \(\text{L/min}\). (Et inversement, diviser les \(\text{L/min}\) par 0,06, ou multiplier par \(\approx 16,67\), pour obtenir des \(\text{cm}^3\text{/s}\)).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Calcul(s)

Nous partons de notre débit en \(\text{cm}^3\text{/s}\) et nous allons appliquer les deux conversions :
1. Pour passer de \(\text{cm}^3\) à \(\text{L}\), on divise par 1000 (car \(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\)).
2. Pour passer de \(\text{/s}\) à \(\text{/min}\), on multiplie par 60 (car il y a 60 secondes dans 1 minute).

Application de la conversion

\begin{aligned} Q &= 502,65 \frac{\text{cm}^3}{\text{s}} \\ &= 502,65 \times \frac{60 \text{ secondes/minute}}{1000 \text{ cm}^3/\text{Litre}} \frac{\text{L}}{\text{min}} \\ &= 502,65 \times 0,06 \text{ L/min} \\ &= 30,159 \text{ L/min} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Réflexions

La pompe hydraulique nécessaire pour cette application devra donc avoir un débit nominal d'au moins 30,16 L/min. En pratique, on choisirait une pompe standardisée dans le catalogue d'un fournisseur, par exemple une pompe de 32 L/min.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser le facteur : diviser par 0,06 au lieu de multiplier, ou multiplier par 60 000... Prenez toujours une seconde pour valider l'ordre de grandeur. 500 cm³ c'est 0.5 L. Si cela se produit en 1 seconde, cela se produira 60 fois en une minute (soit \(0.5 \times 60 = 30 \text{ L/min}\)). Le calcul est cohérent.

Points à retenir

\(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\)
\(1 \text{ min} = 60 \text{ s}\)
Le facteur de conversion est \(\times 0,06\) pour passer de \(\text{cm}^3\text{/s}\) à \(\text{L/min}\).

Le saviez-vous ?

Le Litre a été introduit en France en 1795 comme l'une des "mesures républicaines". Il était à l'origine défini comme la capacité d'un cube d'un décimètre de côté (1 dm³), définition qui est toujours utilisée aujourd'hui.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le débit nécessaire est \(Q \approx 30,16 \text{ L/min}\).

A vous de jouer

Si une pompe fournit un débit de 800 \(\text{cm}^3\text{/s}\), quel est son débit en \(\text{L/min}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Concept Clé : Conversion d'unités.
Formule : \(\text{L/min} = \text{cm}^3\text{/s} \times 0,06\).
Vigilance : \(1 \text{ L} = 1000 \text{ cm}^3\).

Question 4 : Calculer la vitesse de rentrée (\(v_{\text{rentree}}\)) en \(\text{cm/s}\).

Principe

Lors de la rentrée du vérin, la pompe envoie toujours le même débit \(Q\), mais l'huile entre par l'orifice B (voir schéma de l'énoncé). L'huile pousse sur l'autre face du piston. Or, sur cette face, la tige occupe une partie de la surface. L'huile ne peut pousser que sur la surface restante, en forme d'anneau. C'est la section annulaireSurface en forme d'anneau, calculée comme la surface du piston moins la surface de la tige.. Puisque le débit \(Q\) est constant et que la surface \(S\) est plus petite, la vitesse \(v = Q/S\) sera mécaniquement plus grande.

Mini-Cours

La section annulaire (\(S_{\text{ann}}\)) est la surface du piston (\(S_{\text{piston}}\)) moins la surface de la tige (\(S_{\text{tige}}\)).

\(S_{\text{piston}} = \frac{\pi \times D^2}{4}\)
\(S_{\text{tige}} = \frac{\pi \times d^2}{4}\)
\(S_{\text{ann}} = S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}} = \frac{\pi}{4} (D^2 - d^2)\)

Une fois cette section calculée, on réutilise la formule de base, réarrangée : \(v = Q / S\).

Remarque Pédagogique

C'est un point fondamental des vérins double-effet : pour un même débit d'entrée, la vitesse n'est pas la même dans les deux sens (sauf cas particulier d'un vérin à tige traversante). Le vérin rentre (presque) toujours plus vite qu'il ne sort.

Normes

Pas de norme spécifique, ce sont des principes physiques.

Formule(s)

Il faut d'abord calculer la section annulaire, puis la vitesse.

1. Section annulaire (\(S_{\text{ann}}\))

S_{\text{ann}} = \frac{\pi \times (D^2 - d^2)}{4}

2. Vitesse de rentrée

v_{\text{rentree}} = \frac{Q}{S_{\text{annulaire}}}

Hypothèses

On suppose que la pompe fournit le même débit (\(Q = 502,65 \text{ cm}^3\text{/s}\)) pour la rentrée que pour la sortie. C'est le cas le plus courant avec une pompe simple.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le débit calculé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre Piston	D	80 mm (ou 8 cm)
Diamètre Tige	d	40 mm (ou 4 cm)
Débit	Q	502,65	\(\text{cm}^3\text{/s}\)

Astuces

Toutes les unités sont déjà cohérentes si on utilise les \(\text{cm}\) et les \(\text{secondes}\).
\(D = 8 \text{ cm}\)
\(d = 4 \text{ cm}\)
\(Q = 502,65 \text{ cm}^3\text{/s}\)
Le résultat sera directement en \(\text{cm/s}\).

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la surface annulaire (en bleu) sur laquelle l'huile pousse lors de la rentrée.

Section Annulaire (Vue de face)

Calcul(s)

Ce calcul se fait en deux étapes. D'abord, trouver la nouvelle surface de poussée (la section annulaire), puis utiliser \(v = Q / S\).

Étape 1 : Calcul de la section annulaire (\(S_{\text{ann}}\))

On utilise les diamètres convertis : \(D = 8 \text{ cm}\) et \(d = 4 \text{ cm}\).

\begin{aligned} S_{\text{ann}} &= \frac{\pi \times (D^2 - d^2)}{4} \\ &= \frac{\pi \times (8^2 - 4^2)}{4} \\ &= \frac{\pi \times (64 - 16)}{4} \\ &= \frac{\pi \times 48}{4} \\ &= 12\pi \text{ cm}^2 \\ \Rightarrow S_{\text{ann}} &\approx 37,699 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Nous avons maintenant le débit \(Q\) (de la Q2) et la section annulaire \(S_{\text{ann}}\). On ré-arrange la formule de base \(Q = S \times v\) pour trouver la vitesse : \(v = Q / S\).

Étape 2 : Calcul de la vitesse de rentrée

\begin{aligned} v_{\text{rentree}} &= \frac{Q}{S_{\text{ann}}} \\ &= \frac{502,65 \text{ cm}^3\text{/s}}{37,699 \text{ cm}^2} \\ &= 13,333... \text{ cm/s} \end{aligned}

Note : On aurait pu utiliser les valeurs exactes (avec \(\pi\)) pour un calcul plus précis :

Q_{\text{sortie}} = S_{\text{piston}} \times v \] \[ = (16\pi) \times 10 \] \[ = 160\pi \text{ cm}^3\text{/s}

\(S_{\text{ann}} = 12\pi \text{ cm}^2\).

v_{\text{rentree}} = Q / S_{\text{ann}} = (160\pi) / (12\pi) \] \[ = 160 / 12 \] \[ = 40 / 3 = 13,333... \text{ cm/s}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma supplémentaire nécessaire.

Réflexions

Comme attendu, la vitesse de rentrée (\(13,33 \text{ cm/s}\)) est supérieure à la vitesse de sortie (\(10 \text{ cm/s}\)). Le même volume d'huile, poussant sur une surface plus petite, crée un déplacement plus rapide. C'est un comportement non-intuitif au début, mais essentiel à comprendre.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier de mettre les diamètres au carré, ou de faire \((D-d)^2\) au lieu de \((D^2 - d^2)\). Ce sont deux résultats très différents !
\((8-4)^2 = 4^2 = 16\)
\((8^2 - 4^2) = 64 - 16 = 48\)
La bonne formule utilise la différence des carrés.

Points à retenir

La vitesse de rentrée dépend de la section annulaire, pas de la section pleine.
\(S_{\text{ann}} = S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}}\).
Puisque \(S_{\text{ann}} < S_{\text{piston}}\), alors \(v_{\text{rentree}} > v_{\text{sortie}}\) pour un même débit.

Le saviez-vous ?

Dans certaines applications (comme les presses), la tige est si grosse que la vitesse de rentrée est beaucoup plus rapide que la sortie. À l'extrême, si la tige est "traversante" (elle sort des deux côtés), le vérin a la même section annulaire des deux côtés, et les vitesses de sortie et de rentrée sont... identiques !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La vitesse de rentrée est \(v_{\text{rentree}} \approx 13,33 \text{ cm/s}\).

A vous de jouer

Quelle serait la vitesse de rentrée (en \(\text{cm/s}\)) si la tige avait un diamètre \(d = 50 \text{ mm}\) (ou 5 cm) ? (Toujours avec \(D=80\text{ mm}\) et \(Q=502,65 \text{ cm}^3\text{/s}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Concept Clé : Section annulaire.
Formule : \(S_{\text{ann}} = \pi(D^2 - d^2) / 4\).
Formule : \(v = Q / S_{\text{ann}}\).

Question 5 : Calculer le rapport de vitesse (\(\text{Rapport} = v_{\text{rentree}} / v_{\text{sortie}}\)).

Principe

Le rapport de vitesse, parfois appelé "rapport de vérin" (\(\Phi\)), est une caractéristique géométrique importante. Il indique de combien la vitesse de rentrée est plus rapide que la vitesse de sortie. Il peut être calculé de deux manières : avec les vitesses (si on les a) ou, plus directement, avec les sections (puisque \(v=Q/S\)).

Mini-Cours

Le rapport est un nombre sans unité qui compare deux grandeurs. \[ \text{Rapport} = \frac{v_{\text{rentree}}}{v_{\text{sortie}}} \] En remplaçant chaque vitesse par sa formule (\(v=Q/S\)) : \[ \text{Rapport} = \frac{(Q / S_{\text{ann}})}{(Q / S_{\text{piston}})} = \frac{Q}{S_{\text{ann}}} \times \frac{S_{\text{piston}}}{Q} \] En simplifiant par \(Q\), on voit que le rapport ne dépend que de la géométrie du vérin : \[ \text{Rapport} = \frac{S_{\text{piston}}}{S_{\text{annulaire}}} \]

Remarque Pédagogique

Calculer le rapport via les sections est souvent plus élégant et plus précis, car cela évite les erreurs d'arrondi des calculs intermédiaires. Cela montre aussi que ce rapport est une constante intrinsèque du vérin, peu importe le débit qu'on lui envoie.

Normes

Pas de norme, c'est une définition.

Formule(s)

Méthode 1 : Avec les vitesses

\text{Rapport} = \frac{v_{\text{rentree}}}{v_{\text{sortie}}}

Méthode 2 : Avec les sections

\text{Rapport} = \frac{S_{\text{piston}}}{S_{\text{annulaire}}} = \frac{D^2}{D^2 - d^2}

Hypothèses

Pas d'hypothèse, c'est un calcul mathématique.

Donnée(s)

On utilise les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
\(v_{\text{rentree}}\)	v_r	\(\approx 13,333\)	cm/s
\(v_{\text{sortie}}\)	v_s	10	cm/s
\(S_{\text{piston}}\)	S_p	\(16\pi \approx 50,265\)	cm²
\(S_{\text{annulaire}}\)	S_a	\(12\pi \approx 37,699\)	cm²

Astuces

Utiliser le rapport des sections avec les valeurs exactes (en gardant \(\pi\)) est le plus simple :
\(S_{\text{piston}} = 16\pi\)
\(S_{\text{ann}} = 12\pi\)
Le rapport est \((16\pi) / (12\pi)\). Les \(\pi\) s'annulent ! Le rapport est juste \(16/12\).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Calcul(s)

On peut le calculer de deux façons. D'abord, en utilisant les résultats des vitesses des Q2 et Q4.

Méthode 1 : Calcul avec les vitesses

\text{Rapport} = \frac{v_{\text{rentree}}}{v_{\text{sortie}}} = \frac{13,333... \text{ cm/s}}{10 \text{ cm/s}} \approx 1,333...

Ou, de manière plus directe et exacte, en utilisant les sections calculées (Q1 et Q4). C'est la méthode à privilégier car elle évite les arrondis et montre que le rapport ne dépend que de la géométrie.

Méthode 2 : Calcul avec les sections (exact)

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{S_{\text{piston}}}{S_{\text{ann}}} \\ &= \frac{16\pi \text{ cm}^2}{12\pi \text{ cm}^2} \\ &= \frac{16}{12} \\ &= \frac{4}{3} \approx 1,333... \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma nécessaire.

Réflexions

Le rapport de vitesse est de 4/3 (ou 1,33...). Cela signifie que le vérin rentre 33% plus vite qu'il ne sort. C'est une conséquence directe du fait que \(D=8 \text{ cm}\) et \(d=4 \text{ cm}\). Le rapport des sections est \(D^2 / (D^2 - d^2) = 8^2 / (8^2 - 4^2) = 64 / (64 - 16) = 64 / 48 = 4/3\). Ce rapport "2:1" sur les diamètres ne donne PAS un rapport "2:1" sur les vitesses (erreur courante).

Points de vigilance

Ne pas inverser le rapport. On compare généralement la vitesse de rentrée (la plus rapide) à la vitesse de sortie (la plus lente), on s'attend donc à un nombre > 1. Si vous trouvez 0,75, vous avez probablement calculé \(S_{\text{ann}} / S_{\text{piston}}\).

Points à retenir

Le rapport de vitesse ne dépend que de la géométrie du vérin : \(\text{Rapport} = S_{\text{piston}} / S_{\text{ann}}\).
Pour un débit constant, \(v_{\text{rentree}}\) est (presque) toujours > \(v_{\text{sortie}}\).

Le saviez-vous ?

Il existe un montage hydraulique dit "différentiel" où, lors de la *sortie*, l'huile qui est chassée de la chambre annulaire (côté tige) n'est pas renvoyée au réservoir, mais est ré-injectée avec le débit de la pompe dans la chambre principale. Cela augmente la vitesse de sortie (mais réduit la force). Ce montage est très utilisé sur les presses plieuses pour accélérer les phases d'approche.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le rapport de vitesse est \(\frac{4}{3}\) (ou environ 1,333).

A vous de jouer

Quel serait le rapport de vitesse si \(D = 80 \text{ mm}\) et \(d = 60 \text{ mm}\) ? (Indice: \(S_p = 16\pi\), \(S_{ann} = \pi/4 \times (8^2 - 6^2) = 7\pi\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept Clé : Rapport de vitesse.
Formule : \(\text{Rapport} = S_{\text{piston}} / S_{\text{ann}}\).
Calcul : \(16\pi / 12\pi = 16/12 = 4/3\).

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez cet outil pour voir comment le débit requis (en L/min) change en fonction de la vitesse de sortie et du diamètre du piston. Le graphique montre la relation linéaire entre la vitesse et le débit pour le diamètre sélectionné.

Paramètres d'Entrée

Vitesse de sortie (cm/s) 10 cm/s

Diamètre piston (mm) 80 mm

Résultats Clés

Débit (L/min) -

Section Piston (cm²) -

Glossaire

Débit (Q): Volume de fluide (huile) qui s'écoule par unité de temps. Essentiel pour déterminer la vitesse.
Oléohydraulique: Branche de l'ingénierie qui utilise l'huile sous pression (hydraulique de puissance) pour transmettre de l'énergie et générer des forces ou des mouvements.
Section (S): Terme technique pour "surface" ou "aire". En hydraulique, on parle de la section du piston ou de la section d'une tuyauterie.
Section Annulaire: La surface en forme d'anneau du piston, côté tige. Calculée comme \(S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}}\).
Vérin: Un actuateur (moteur) linéaire qui convertit l'énergie hydraulique (pression et débit) en un mouvement de translation (force et vitesse).