ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Contexte : L'hydraulique en chargeBranche de l'hydraulique qui étudie les écoulements de liquides dans des conduites complètement remplies, où la pression est généralement supérieure à la pression atmosphérique..

Cet exercice a pour but de vous guider à travers les étapes de calcul du débit d'eau s'écoulant par gravité entre deux réservoirs à travers une conduite longue. Ce type de problème est fondamental en ingénierie hydraulique, que ce soit pour l'adduction d'eau potable, l'irrigation ou la gestion des eaux pluviales. Nous utiliserons l'équation de l'énergie (Bernoulli généralisée) et la formule de Darcy-Weisbach pour quantifier les pertes d'énergieDiminution de l'énergie totale d'un fluide en mouvement, principalement due aux frottements contre les parois de la conduite (pertes de charge linéaires) et aux accidents de parcours (coudes, vannes, etc.). dues au frottement, un phénomène incontournable dans les écoulements réels.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous montrera comment aborder un problème où la solution n'est pas directe mais nécessite une méthode itérative, une compétence essentielle pour un ingénieur.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer l'équation de Bernoulli généralisée à un cas concret.
  • Calculer les pertes de charge régulières à l'aide de la formule de Darcy-Weisbach.
  • Comprendre et utiliser la notion de rugosité relative et le nombre de Reynolds.
  • Mettre en œuvre une méthode de calcul itérative pour trouver le point de fonctionnement d'un circuit hydraulique.

Données de l'étude

Deux grands réservoirs sont connectés par une conduite en fonte. La surface libre du premier réservoir (A) est à une altitude de 100 m, et celle du second (B) à 92 m. On souhaite déterminer le débit d'eau qui s'écoule de A vers B.

Schéma de l'installation hydraulique
Réservoir A zₐ = 100 m Réservoir B zₑ = 92 m L = 1200 m, D = 300 mm ΔH = 8 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la conduite \( L \) 1200 \( \text{m} \)
Diamètre intérieur \( D \) 300 \( \text{mm} \)
Rugosité absolue (fonte neuve) \( \varepsilon \) 0.26 \( \text{mm} \)
Viscosité cinématique de l'eau \( \nu \) \( 1.30 \times 10^{-6} \) \( \text{m}^2/\text{s} \)
Accélération de la pesanteur \( g \) 9.81 \( \text{m}/\text{s}^2 \)

Questions à traiter

  1. En appliquant l'équation de Bernoulli généralisée entre les surfaces libres des points A et B, déterminez la relation entre le dénivelé et les pertes de charge totales.
  2. Exprimez les pertes de charge linéaires (régulières) \( \Delta h_f \) en fonction du facteur de frottement \( \lambda \) et de la vitesse moyenne \( V \). (On négligera les pertes de charge singulières à l'entrée et à la sortie).
  3. Établissez la relation finale liant la vitesse \( V \) au facteur de frottement \( \lambda \).
  4. En partant d'une estimation initiale de \( \lambda_0 = 0.02 \), calculez la vitesse d'écoulement \( V \) et le facteur de frottement \( \lambda \) par itérations successives jusqu'à convergence.
  5. Déduisez le débit volumique \( Q \) dans la conduite en \( \text{m}^3/\text{s} \) puis en L/s.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, nous devons nous appuyer sur des principes fondamentaux qui décrivent l'énergie d'un fluide en mouvement et comment cette énergie est "perdue" à cause des frottements.

1. Équation de Bernoulli généralisée
C'est le principe de conservation de l'énergie appliqué aux fluides. Elle stipule que l'énergie totale en un point A (composée de l'énergie de pression, de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle) est égale à celle en un point B, à laquelle s'ajoutent les pertes d'énergie (pertes de charge) entre A et B.

\[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B + \sum \Delta h \]

2. Pertes de Charge (Darcy-Weisbach)
Les frottements du fluide contre les parois internes de la conduite dissipent de l'énergie. Ces pertes, dites "linéaires" ou "régulières", sont calculées avec la formule de Darcy-Weisbach, qui dépend de la longueur et du diamètre de la conduite, de la vitesse du fluide, et d'un "facteur de frottement" noté \( \lambda \).

\[ \Delta h_f = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]

3. Facteur de Frottement (Colebrook-White)
Le facteur de frottement \( \lambda \) n'est pas une constante. Il dépend de l'état de surface de la conduite (la rugosité \( \varepsilon \)) et du régime d'écoulement, caractérisé par le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire, transitoire ou turbulent). (\( Re \)). L'équation de Colebrook-White permet de le calculer pour les régimes turbulents. C'est une équation implicite qui nécessite des itérations pour être résolue.

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2.0 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.71} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]

Correction : Calcul du Débit dans une Conduite par Gravité

Question 1 : Application de l'équation de Bernoulli

Principe (le concept physique)

Nous appliquons le principe de conservation de l'énergie entre les deux points les plus simples du système : les surfaces libres des réservoirs. À ces endroits, l'énergie potentielle (due à l'altitude) est maximale, tandis que l'énergie de pression et l'énergie cinétique sont connues et constantes. La différence d'énergie potentielle est ce qui met le fluide en mouvement et compense les pertes par frottement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de Bernoulli représente l'énergie totale d'un fluide par unité de poids, appelée "charge hydraulique", exprimée en mètres. Elle se compose de trois termes : la charge de pression (\(P/\rho g\)), la charge de vitesse (\(V^2/2g\)) et la charge d'altitude (\(z\)). Dans un fluide réel, de l'énergie est dissipée (perdue), principalement par frottement. La version "généralisée" de l'équation inclut un terme pour ces pertes de charge (\( \sum \Delta h \)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La clé pour bien appliquer Bernoulli est de choisir judicieusement les points A et B. Prenez toujours des points où vous connaissez un maximum d'informations. Les surfaces libres de grands réservoirs sont idéales car la pression y est atmosphérique (\(P=P_{\text{atm}}\)) et la vitesse y est quasiment nulle (\(V \approx 0\)).

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Bernoulli n'est pas une norme mais un principe physique fondamental de la mécanique des fluides, universellement accepté et enseigné. Toutes les normes et codes de calcul en hydraulique (comme les normes NF EN pour les réseaux d'eau) s'appuient sur ce principe de base.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Bernoulli généralisée

\[ \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A = \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B + \sum \Delta h \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour simplifier l'équation, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Les réservoirs sont à la pression atmosphérique, donc \( P_A = P_B \).
  • Les réservoirs sont suffisamment grands pour que la vitesse de la surface libre soit négligeable, donc \( V_A \approx 0 \) et \( V_B \approx 0 \).
  • L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
  • Le fluide (eau) est incompressible.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du réservoir A\( z_A \)100\( \text{m} \)
Altitude du réservoir B\( z_B \)92\( \text{m} \)
Astuces (Pour aller plus vite)

Dans un problème de transfert entre deux réservoirs ouverts à l'air libre, le premier réflexe est de retenir que l'énergie "moteur" disponible pour vaincre les frottements est simplement le dénivelé géométrique \( \Delta H = z_A - z_B \).

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de l'installation hydraulique
Réservoir Azₐ = 100 mRéservoir Bzₑ = 92 mL = 1200 m, D = 300 mmΔH = 8 m
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Simplification de l'équation de Bernoulli

On part de l'équation complète. En utilisant les pressions relatives, les termes de pression sont nuls car les surfaces sont à l'air libre. Les termes de vitesse sont également nuls car les réservoirs sont très grands.

\[ \begin{aligned} \frac{P_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A &= \frac{P_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B + \Delta h_f \\ \text{Avec } P_{A, rel} = 0, P_{B, rel} = 0, V_A &\approx 0, V_B \approx 0\text{ :} \\ 0 + 0 + z_A &= 0 + 0 + z_B + \Delta h_f \\ \Rightarrow z_A &= z_B + \Delta h_f \end{aligned} \]

2. Calcul de la perte de charge totale

On isole le terme de perte de charge et on procède à l'application numérique.

\[ \begin{aligned} \Delta h_f &= z_A - z_B \\ &= 100 \, \text{m} - 92 \, \text{m} \\ &= 8 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Ligne de charge et ligne piézométrique
z_A = 100mz_B = 92mLigne de chargeΔh_f = 8m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \( \Delta h_f = 8 \text{ m} \) signifie que l'intégralité de l'énergie potentielle disponible due à la différence de hauteur est convertie en chaleur par les forces de frottement dans la conduite. S'il n'y avait pas de frottement (fluide parfait), la vitesse à la sortie serait infinie, ce qui est physiquement impossible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal simplifier l'équation de Bernoulli. Il ne faut jamais oublier de vérifier que les hypothèses (\(V \approx 0\), \(P=P_{\text{atm}}\)) sont bien valables pour les points choisis. Une autre erreur est de se tromper dans le sens du dénivelé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Dans un écoulement gravitaire entre deux réservoirs, le dénivelé est le "moteur" de l'écoulement.
  • L'énergie potentielle perdue par le fluide est entièrement dissipée par les pertes de charge.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Daniel Bernoulli, un physicien et mathématicien suisse du 18ème siècle, a formulé ce principe fondamental en étudiant la relation entre la pression, la vitesse et l'altitude des fluides. Son travail a jeté les bases de l'hydrodynamique moderne.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la pression est-elle la même aux points A et B ?

Parce que les deux surfaces sont en contact avec l'atmosphère. Elles sont donc toutes les deux soumises à la pression atmosphérique ambiante. La pression relative (par rapport à l'atmosphère) est donc nulle aux deux points.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge totale le long de la conduite doit être égale à la différence d'altitude : \( \Delta h_f = 8 \text{ m} \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le réservoir B était situé à une altitude de 89 m, quelle serait la perte de charge totale à vaincre ?

Question 2 : Expression des pertes de charge

Principe (le concept physique)

Les pertes de charge "linéaires" (ou régulières) sont causées par le frottement du fluide contre les parois intérieures de la conduite. Cette friction s'oppose à l'écoulement sur toute la longueur du tuyau et dépend de la nature de la paroi (rugosité), des caractéristiques du fluide et de sa vitesse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Darcy-Weisbach est la plus précise pour modéliser ce phénomène. Elle montre que les pertes de charge sont proportionnelles à la longueur de la conduite (\(L\)) et au carré de la vitesse (\(V^2\)), et inversement proportionnelles au diamètre (\(D\)). Le facteur de frottement \( \lambda \) (lambda) encapsule toute la complexité liée à la turbulence et à l'interaction fluide-paroi.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette formule est votre principal outil pour quantifier les frottements. Notez bien la dépendance en \(V^2\) : si vous doublez la vitesse dans une conduite, vous multipliez les pertes de charge par quatre ! C'est un point crucial pour le dimensionnement des pompes et des tuyaux.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de Darcy-Weisbach est universellement reconnue et figure dans toutes les normes et manuels d'hydraulique appliquée. Elle est considérée comme la méthode de référence pour le calcul des pertes de charge régulières.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Darcy-Weisbach

\[ \Delta h_f = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour appliquer cette formule, nous supposons que le débit et le diamètre sont constants sur toute la longueur \(L\), et que l'écoulement est établi (non en phase de démarrage).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Longueur\( L \)1200\( \text{m} \)
Diamètre\( D \)0.300\( \text{m} \)
Gravité\( g \)9.81\( \text{m}/\text{s}^2 \)
Astuces (Pour aller plus vite)

Le ratio \(L/D\) (1200/0.3 = 4000 dans notre cas) est un indicateur de l'importance des pertes par frottement. Un ratio très élevé ( > 1000) signifie que les pertes régulières domineront largement les pertes singulières (coudes, vannes), qui peuvent alors souvent être négligées dans un premier temps.

Schéma (Avant les calculs)
Forces de frottement dans une conduite
V, Qττ
Calcul(s) (l'application numérique)

Expression littérale des pertes de charge

\[ \begin{aligned} \Delta h_f &= \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \\ &= \lambda \frac{1200}{0.300} \frac{V^2}{2 \times 9.81} \\ &= \lambda \times 4000 \times \frac{V^2}{19.62} \\ &\approx 203.87 \, \lambda \, V^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Forces de frottement dans une conduite
V, Qττ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat \( \Delta h_f \approx 203.87 \, \lambda \, V^2 \) regroupe toutes les caractéristiques fixes du système (longueur, diamètre, gravité) en un seul coefficient. Il montre clairement que pour une conduite donnée, la perte d'énergie ne dépend plus que du régime d'écoulement (via \( \lambda \)) et de la vitesse (\( V \)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est une erreur d'unités. Le diamètre doit impérativement être converti en mètres (300 mm = 0.3 m) avant d'être utilisé dans la formule pour être cohérent avec la longueur en mètres.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule de Darcy-Weisbach est l'outil fondamental pour les pertes de charge régulières.
  • Les pertes sont proportionnelles à \(L\) et \(V^2\), et inversement proportionnelles à \(D\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Henry Darcy était un ingénieur français du 19ème siècle qui a mené des expériences pionnières sur l'écoulement de l'eau à travers des sables pour le réseau d'eau potable de la ville de Dijon. Ses travaux sont à l'origine de cette formule et de la loi de Darcy pour les écoulements en milieu poreux.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi néglige-t-on les pertes de charge singulières ?

Dans les conduites très longues, l'énergie perdue par frottement sur des kilomètres est bien plus importante que celle perdue au passage d'un coude ou d'une vanne. C'est une simplification courante et justifiée lorsque le ratio L/D est grand.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'expression des pertes de charge en fonction des variables du problème est : \( \Delta h_f \approx 203.87 \, \lambda \, V^2 \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite avait un diamètre de 200 mm, quel serait le nouveau coefficient multiplicateur devant \( \lambda V^2 \) ?

Question 3 : Relation entre Vitesse et Facteur de Frottement

Principe (le concept physique)

Cette étape cruciale consiste à relier la physique globale du système (l'énergie disponible, calculée en Q1) à la physique locale de l'écoulement (l'énergie dissipée, calculée en Q2). En égalant ces deux termes, on établit une équation d'équilibre qui définit le point de fonctionnement stable du système.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un système hydraulique gravitaire s'auto-régule. Si la vitesse était trop faible, les pertes par frottement seraient inférieures au dénivelé, et le fluide accélérerait. Si la vitesse était trop élevée, les pertes dépasseraient l'énergie disponible, et le fluide ralentirait. Il existe donc une unique vitesse d'équilibre où l'énergie "moteur" (dénivelé) compense exactement l'énergie "frein" (frottement).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que l'on passe d'équations séparées à une équation de système. Pensez-y comme la recherche d'un point d'intersection entre la "courbe du réseau" (les pertes en fonction de V) et la "courbe d'énergie disponible" (une droite horizontale à H = 8m).

Normes (la référence réglementaire)

Cette démarche de recherche de point de fonctionnement par égalisation de l'énergie disponible et des pertes est la méthode standard pour l'analyse de tous les circuits et réseaux hydrauliques en charge.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation d'équilibre du système

\[ \Delta H = \Delta h_f \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Cette étape hérite de toutes les hypothèses formulées dans les questions précédentes (écoulement permanent, pertes singulières négligées, etc.).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreDescriptionValeur
\( \Delta H \)Dénivelé total (énergie disponible)\( 8 \, \text{m} \)
\( \Delta h_f \)Expression des pertes de charge\( \approx 203.87 \, \lambda \, V^2 \)
Astuces (Pour aller plus vite)

Avant même de calculer, on peut voir que \(V\) sera inversement proportionnel à \(\sqrt{\lambda}\). Cela signifie qu'une augmentation du frottement (par exemple, due au vieillissement de la conduite) entraînera une diminution de la vitesse, ce qui est intuitivement logique.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Énergies
ΔHΔh_fÉquilibre
Calcul(s) (l'application numérique)

Égalisation et isolation de la vitesse V

\[ \begin{aligned} 8 &= 203.87 \, \lambda \, V^2 \\ \Rightarrow V^2 &= \frac{8}{203.87 \, \lambda} \\ \Rightarrow V &= \sqrt{\frac{8}{203.87 \, \lambda}} \\ V &\approx \frac{0.198}{\sqrt{\lambda}} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Relation Vitesse vs. Facteur de Frottement
Vitesse V (m/s)Facteur de frottement λ0.0151.60.0251.25
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette équation est fondamentale car elle lie la variable que l'on cherche (V) à une autre inconnue (\( \lambda \)) qui dépend elle-même de V. C'est ce qui rend le problème non-linéaire et justifie l'utilisation d'une méthode de résolution itérative dans la question suivante.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Faites attention aux manipulations algébriques, notamment lors du passage de \(V^2\) à \(V\) avec la racine carrée. Assurez-vous d'appliquer la racine carrée à la fois au numérateur et au dénominateur du coefficient numérique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le point de fonctionnement d'un système gravitaire est atteint quand l'énergie potentielle disponible est égale aux pertes par frottement.
  • Cette égalité mène à une équation implicite liant la vitesse \(V\) et le facteur de frottement \(\lambda\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme de Moody est une abaque célèbre qui représente graphiquement l'équation de Colebrook-White. Avant l'ère des calculatrices, les ingénieurs utilisaient ce diagramme pour trouver \(\lambda\) en fonction de Re et ε/D, évitant ainsi de résoudre l'équation à la main.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette relation est-elle toujours valable ?

Oui, pour tout écoulement dans une conduite simple entre deux réservoirs où les pertes singulières sont négligées. Le coefficient numérique (0.198) changera bien sûr en fonction de L, D et \(\Delta H\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La relation liant la vitesse au facteur de frottement est : \( V \approx \frac{0.198}{\sqrt{\lambda}} \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le dénivelé était de 12 m au lieu de 8 m, quelle serait la nouvelle constante au numérateur de l'expression de V ?

Question 4 : Calcul Itératif de la Vitesse

Principe (le concept physique)

Puisque V dépend de \(\lambda\) et que \(\lambda\) dépend de V, nous ne pouvons pas résoudre le système directement. Nous utilisons une boucle de calcul : on devine une valeur de départ pour \(\lambda\), on en déduit une première estimation de V, puis on utilise cette vitesse pour calculer une meilleure estimation de \(\lambda\). On répète ce processus jusqu'à ce que les valeurs se stabilisent.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette méthode est une application de la "méthode du point fixe". On cherche la valeur \(\lambda\) telle que \(\lambda = f(\lambda)\), où \(f\) est la fonction complexe qui combine l'équation de Colebrook et la relation V-\(\lambda\). En réinjectant à chaque fois la sortie dans l'entrée (\( \lambda_{n+1} = f(\lambda_n) \)), on espère converger vers la solution. Heureusement, dans ce type de problème hydraulique, la convergence est généralement rapide et garantie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix de la valeur initiale de \(\lambda\) n'est pas très critique. Une valeur de 0.02 est une excellente estimation de départ pour la plupart des conduites en régime turbulent. Même avec un mauvais choix, la méthode convergera, cela prendra juste une ou deux itérations de plus.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Colebrook-White est la formule de référence pour le calcul du facteur de frottement en régime turbulent dans de nombreuses normes internationales, notamment celles concernant les réseaux d'eau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

(1) Relation Vitesse-Lambda

\[ V = \frac{0.198}{\sqrt{\lambda}} \]

(2) Nombre de Reynolds

\[ Re = \frac{VD}{\nu} \]

(3) Équation de Colebrook-White

\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda_{\text{new}}}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.71} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda_{\text{old}}}} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse principale ici est que l'écoulement est turbulent, ce qui justifie l'emploi de la formule de Colebrook-White. Nous devrons vérifier a posteriori que le nombre de Reynolds final est bien supérieur à 4000.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreDescriptionValeur
\( \varepsilon \)Rugosité absolue\( 0.00026 \, \text{m} \)
\( D \)Diamètre\( 0.300 \, \text{m} \)
\( \nu \)Viscosité cinématique\( 1.30 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s} \)
\( V(\lambda) \)Relation Vitesse-Lambda\( V \approx 0.198 / \sqrt{\lambda} \)
Astuces (Pour aller plus vite)

Dans la formule de Colebrook, le terme \(2.51 / (Re \sqrt{\lambda})\) devient très petit en régime très turbulent (Re élevé). Pour une première estimation rapide, on peut parfois le négliger (régime turbulent rugueux), ce qui donne une formule simplifiée : \( \lambda \approx (1 / (-2 \log_{10}((\varepsilon/D)/3.71)))^2 \).

Schéma (Avant les calculs)
Logigramme du Calcul Itératif
1. Supposer λ_n (ex: 0.02)2. Calculer V et Re3. Calculer λ_{n+1} (Colebrook)Convergence?NonOui
Calcul(s) (l'application numérique)

Itération 1 (avec \( \lambda_0 = 0.02 \))

Calcul de la vitesse \(V_1\)

\[ V_1 = \frac{0.198}{\sqrt{0.02}} \approx 1.400 \, \text{m/s} \]

Calcul du Reynolds \(Re_1\)

\[ Re_1 = \frac{1.400 \times 0.3}{1.30 \times 10^{-6}} \approx 3.23 \times 10^5 \]

Calcul du nouveau facteur \(\lambda_1\)

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.000867}{3.71} + \frac{2.51}{3.23 \times 10^5 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} (0.0002337 + 0.0000549) \\ &= -2 \log_{10} (0.0002886) \\ &\approx 7.08 \end{aligned} \]
\[ \lambda_1 = \frac{1}{7.08^2} \approx 0.0199 \]

Itération 2 (avec \( \lambda_1 = 0.0199 \))

Calcul de la vitesse \(V_2\)

\[ V_2 = \frac{0.198}{\sqrt{0.0199}} \approx 1.404 \, \text{m/s} \]

Calcul du Reynolds \(Re_2\)

\[ Re_2 = \frac{1.404 \times 0.3}{1.30 \times 10^{-6}} \approx 3.24 \times 10^5 \]

Calcul du nouveau facteur \(\lambda_2\)

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.000867}{3.71} + \frac{2.51}{3.24 \times 10^5 \sqrt{0.0199}} \right) \\ &= -2 \log_{10} (0.0002337 + 0.0000548) \\ &= -2 \log_{10} (0.0002885) \\ &\approx 7.08 \end{aligned} \]
\[ \lambda_2 = \frac{1}{7.08^2} \approx 0.0199 \]
Schéma (Après les calculs)
Logigramme du Calcul Itératif
1. Supposer λ_n (ex: 0.02)2. Calculer V et Re3. Calculer λ_{n+1} (Colebrook)Convergence!Oui
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de \(\lambda\) a convergé dès la deuxième itération (\(0.0199 \approx 0.0199\)). Cela signifie que nous avons trouvé le point d'équilibre du système. La vitesse finale est donc bien de 1.40 m/s. Nous vérifions que le Reynolds de \(3.24 \times 10^5\) est bien supérieur à 4000, ce qui valide l'utilisation de la formule de Colebrook pour régime turbulent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la base du logarithme dans la formule de Colebrook : il s'agit d'un logarithme en base 10 (\( \log_{10} \)), et non d'un logarithme népérien (\( \ln \)). C'est une source d'erreur fréquente si l'on n'est pas attentif sur sa calculatrice.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résolution d'un problème d'hydraulique en charge passe souvent par une boucle itérative.
  • Le processus est : deviner \( \lambda \rightarrow \) calculer V et Re \( \rightarrow \) recalculer \( \lambda \rightarrow \) répéter.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour éviter les itérations, des chercheurs ont développé des formules explicites qui approximent très bien la solution de Colebrook. La plus connue est celle de Swamee-Jain. Ces formules sont très pratiques pour les calculs rapides ou pour initialiser des solveurs numériques.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la valeur ne convergeait pas ?

Dans ce type de problème, la fonction est "contractante", ce qui garantit la convergence. Un problème de non-convergence indiquerait presque certainement une erreur dans la retranscription des formules ou dans les calculs.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les valeurs qui satisfont l'équilibre du système sont \( \lambda \approx 0.0199 \) et une vitesse d'écoulement \( V \approx 1.40 \text{ m/s} \).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant la vitesse convergée de 1.40 m/s, quel serait le nombre de Reynolds si le fluide était de l'eau plus froide à \( \nu = 1.0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s} \) ?

Question 5 : Calcul du Débit Volumique

Principe (le concept physique)

Le débit volumique, noté Q, représente le volume de fluide qui traverse une section de la conduite par unité de temps. C'est la donnée la plus importante en pratique, car elle quantifie la capacité de transport de la conduite. Il se calcule simplement en multipliant la vitesse moyenne du fluide par l'aire de la section qu'il traverse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(Q=V \times A\) est l'équation de continuité pour un fluide incompressible. Elle exprime la conservation de la masse : le volume qui entre dans une section de tuyau doit en ressortir. Pour un tuyau de diamètre constant, la vitesse est donc constante sur toute la longueur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Félicitations, vous êtes à la dernière étape ! C'est le résultat final que l'on vous demandera le plus souvent en tant qu'ingénieur. Pensez toujours à donner le résultat dans les unités les plus parlantes : les \(\text{m}^3/\text{s}\) sont l'unité SI, mais les Litres/seconde (L/s) ou les mètres cubes/heure (\(\text{m}^3/\text{h}\)) sont souvent plus pratiques.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, c'est une définition de base. Cependant, les normes de conception de réseaux fixent souvent des débits minimaux ou maximaux à respecter pour certaines applications.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Débit

\[ Q = A \times V \]

Formule de l'Aire d'une Section Circulaire

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la vitesse moyenne calculée précédemment. On suppose donc que cette vitesse est représentative de l'ensemble de la section, même si en réalité le profil de vitesse dans un tuyau turbulent n'est pas parfaitement plat.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
ParamètreSymboleValeurUnité
Vitesse convergée\( V \)1.40\( \text{m/s} \)
Diamètre\( D \)0.300\( \text{m} \)
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une conversion rapide, retenez qu'un débit de 1 L/s correspond à 3.6 \(\text{m}^3/\text{h}\). C'est très utile pour avoir un ordre de grandeur rapide lors de discussions ou de réunions de projet.

Schéma (Avant les calculs)
Volume de fluide traversant une section
Section ALongueur = VDébit Q
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'aire de la section \(A\)

\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi D^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.300 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.0707 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul du débit \(Q\) en \(\text{m}^3/\text{s}\)

\[ \begin{aligned} Q &= A \times V \\ &\approx 0.0707 \, \text{m}^2 \times 1.40 \, \text{m/s} \\ &\approx 0.099 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

3. Conversion du débit en L/s

\[ \begin{aligned} Q &= 0.099 \, \text{m}^3/\text{s} \times 1000 \, \frac{\text{L}}{\text{m}^3} \\ &= 99 \, \text{L/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Volume de fluide traversant une section
Section AL = 1.40 mQ = 99 L/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un débit de 99 L/s est considérable. Cela représente près de 360 \(\text{m}^3\) par heure. C'est suffisant pour alimenter une petite communauté en eau potable. Ce résultat montre la capacité de transport importante d'une conduite de 300 mm, même avec un dénivelé modeste de 8 m.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est encore une fois liée aux unités. Si vous utilisez le diamètre en millimètres pour calculer l'aire, vous obtiendrez un résultat complètement faux. Assurez-vous que toutes vos grandeurs sont en unités SI (m, s) avant le calcul final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le débit est le produit de la vitesse par la section : \(Q = V \times A\).
  • L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi D^2 / 4\).
  • Soyez attentif aux unités et aux conversions (\(1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ L}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les Romains, grands bâtisseurs d'aqueducs, n'avaient pas ces formules. Ils dimensionnaient leurs ouvrages de manière empirique, en se basant sur l'expérience et en utilisant des pentes très faibles et constantes pour maîtriser la vitesse de l'eau et limiter l'érosion des canaux.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment le débit changerait-il si la conduite vieillissait ?

Avec le temps, des dépôts et de la corrosion peuvent se former (on parle d'entartrage), ce qui augmente la rugosité \(\varepsilon\). Une rugosité plus élevée augmente le facteur de frottement \(\lambda\), ce qui diminue la vitesse et donc le débit pour un même dénivelé.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le débit d'eau dans la conduite est de \( Q \approx 0.099 \text{ m}^3/\text{s} \), ce qui correspond à 99 L/s.
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec le même diamètre, si la vitesse était de 2.0 m/s, quel serait le débit en L/s ?

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez cet outil pour voir comment le débit est influencé par les caractéristiques de la conduite et le dénivelé. Le graphique montre l'impact du diamètre, un paramètre clé dans le dimensionnement des réseaux.

Paramètres d'Entrée
1200 m
300 mm
8 m
Résultats Calculés
Vitesse d'écoulement (m/s) -
Débit (L/s) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'équation de Colebrook-White est principalement utilisée pour déterminer :

2. Si l'on double le diamètre d'une conduite tout en maintenant le même DÉBIT, les pertes de charge linéaires seront approximativement divisées par :

3. Un nombre de Reynolds très supérieur à 4000 indique un régime d'écoulement :

4. Parmi ces matériaux, lequel est le plus "lisse" et occasionnera le moins de pertes de charge ?

5. Dans l'équation de Bernoulli appliquée entre les deux réservoirs, les termes de pression et de vitesse sont négligés car :

Perte de Charge
Représente la perte d'énergie (exprimée en mètres de colonne de fluide) subie par un fluide en écoulement, due aux frottements sur les parois (pertes linéaires) ou aux obstacles (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui permet de caractériser le régime d'un écoulement. Un Re faible (< 2300) indique un écoulement laminaire (ordonné), tandis qu'un Re élevé (> 4000) indique un écoulement turbulent (chaotique).
Rugosité (ε)
Hauteur moyenne des aspérités à la surface intérieure d'une conduite. Une rugosité élevée augmente le frottement et donc les pertes de charge.
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