ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du centre de poussée sur une vanne inclinée

Exercice: Centre de Poussée sur Vanne Inclinée

Calcul du Centre de Poussée sur une Vanne Inclinée

Contexte : L'hydrostatiqueBranche de la mécanique des fluides qui étudie les fluides au repos et les forces qu'ils exercent. est fondamentale en génie civil pour la conception d'ouvrages retenant de l'eau, comme les barrages ou les écluses.

Cet exercice se concentre sur un cas pratique : une vanne rectangulaire inclinée retenant une masse d'eau. Nous allons déterminer non seulement la force totale que l'eau exerce sur cette vanne, mais aussi le point d'application exact de cette force, appelé le centre de pousséeLe point sur une surface immergée où la force hydrostatique résultante peut être considérée comme agissant.. Comprendre sa position est crucial pour dimensionner correctement les mécanismes d'ouverture et assurer la stabilité de la structure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de forces réparties (la pression de l'eau) en une force unique équivalente et à trouver son point d'application, une compétence essentielle en mécanique et en hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la force hydrostatique résultante sur une surface plane inclinée.
  • Déterminer la position du centre de gravité (centroid) d'une surface immergée.
  • Calculer la position exacte du centre de poussée en utilisant le théorème des axes parallèles.
  • Comprendre la différence entre le centre de gravité et le centre de poussée.

Données de l'étude

Une vanne rectangulaire est utilisée pour retenir de l'eau douce. Elle est articulée en son sommet. La vanne est inclinée d'un angle de 60° par rapport à l'horizontale. Le sommet de la vanne se trouve à 1,5 m sous la surface libre de l'eau.

Schéma de la vanne inclinée
Surface Libre G P H = 1.5 m θ = 60° h = 3 m
Nom du Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur de la vanne \(b\) 2 \(\text{m}\)
Hauteur de la vanne \(h\) 3 \(\text{m}\)
Angle d'inclinaison / horizontale \(\theta\) 60 \(\text{°}\)
Profondeur du sommet de la vanne \(H\) 1.5 \(\text{m}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 \(\text{kg/m}^3\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la force hydrostatique résultante (\(F\)) qui s'exerce sur la vanne.
  2. Déterminer la position du centre de poussée (\(y_p\)) le long de l'axe de la vanne, mesurée depuis la surface libre.
  3. Calculer la distance (\(y'_p\)) entre le pivot (sommet de la vanne) et le centre de poussée.
  4. Calculer le moment (\(M_O\)) créé par la force hydrostatique par rapport au pivot.
  5. Déterminer la force horizontale (\(F_H\)) et la force verticale (\(F_V\)) exercées par l'eau sur la vanne.
  6. Si une force \(T\) est appliquée perpendiculairement à la vanne à son extrémité inférieure pour l'ouvrir, quelle est sa valeur minimale ?

Les bases sur la Poussée Hydrostatique

Pour résoudre cet exercice, nous devons maîtriser trois concepts clés de l'hydrostatique appliquée aux surfaces planes immergées.

1. Pression Hydrostatique
La pression dans un fluide au repos augmente linéairement avec la profondeur verticale \(z\). Elle est donnée par la relation \( p = \rho g z \), où \(z\) est la distance verticale depuis la surface libre.

2. Force Résultante (\(F\))
La force résultante sur une surface plane est égale à la pression au centre de gravité (ou centroïde) de la surface, \(P_G\), multipliée par l'aire totale de la surface, \(A\). \[ F = P_G \cdot A = (\rho \cdot g \cdot z_G) \cdot A \] Où \(z_G\) est la profondeur verticale du centre de gravité de la surface.

3. Centre de Poussée (\(y_p\))
Le centre de poussée est le point d'application de la force résultante. En raison de la distribution non uniforme de la pression (plus forte en bas), il est toujours situé plus bas que le centre de gravité. Sa position \(y_p\), mesurée le long du plan incliné depuis la surface libre, est donnée par : \[ y_p = y_G + \frac{I_G}{A \cdot y_G} \] Où \(y_G\) est la position du centre de gravité le long du plan incliné, et \(I_G\) est le moment d'inertie de la surface par rapport à son axe centroïdal horizontal.

Correction : Calcul du Centre de Poussée sur une Vanne Inclinée

Question 1 : Calculer la force hydrostatique résultante (\(F\))

Principe

La force totale est le produit de l'aire de la vanne par la pression qui s'exerce en son centre de gravité. La première étape est donc de localiser ce centre de gravité et de calculer la pression à cette profondeur.

Mini-Cours

La pression hydrostatique \(p = \rho g z\) crée un champ de forces perpendiculaire à la surface de la vanne. Pour trouver la force résultante, on intègre cette pression sur toute la surface. Heureusement, pour une surface plane, ce calcul complexe se simplifie : la force résultante est simplement la pression au centre de gravité de la surface, \(P_G\), multipliée par l'aire totale \(A\). C'est un raccourci puissant qui évite une intégration directe.

Remarque Pédagogique

La clé ici est de ne pas se tromper dans le calcul de la profondeur du centre de gravité, \(z_G\). C'est une profondeur verticale, mesurée droit vers le bas depuis la surface libre, et non une distance le long de la vanne. Visualisez toujours un axe vertical \(z\) partant de la surface de l'eau.

Normes

Cet exercice applique les principes fondamentaux de la mécanique des fluides. Dans un projet réel (barrage, écluse), des normes comme l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) ou l'Eurocode 2 (Calcul des structures en béton) seraient utilisées pour appliquer des coefficients de sécurité et considérer des combinaisons de charges (poids propre, pression de l'eau, etc.).

Formule(s)

Position verticale du centre de gravité (\(z_G\))

\[ z_G = H + \frac{h}{2} \sin(\theta) \]

Force hydrostatique résultante (\(F\))

\[ F = \rho \cdot g \cdot z_G \cdot A \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Le fluide (eau) est incompressible et statique (au repos).
  • La pression atmosphérique est négligée car elle s'applique des deux côtés de la vanne et ses effets s'annulent.
  • La vanne est une plaque parfaitement rigide et plane.
  • La masse volumique de l'eau est constante.
Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé pour cette question :

  • Masse volumique, \(\rho = 1000\) kg/m³
  • Pesanteur, \(g = 9.81\) m/s²
  • Aire de la vanne, \(A = b \times h = 6\) m²
  • Profondeur du sommet, \(H = 1.5\) m
  • Hauteur de la vanne, \(h = 3\) m
  • Angle, \(\theta = 60^\circ\)
Astuces

Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, imaginez que toute la vanne est à la profondeur \(z_G\). La force est alors simplement le poids de la colonne d'eau ayant pour base l'aire de la vanne et pour hauteur \(z_G\). Cela aide à éviter les erreurs de facteur 10 ou 100.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation du Centre de Gravité
Surface LibreGzG
Calcul(s)

Nous allons procéder par étapes : calculer l'aire, déterminer la profondeur du centre de gravité, puis calculer la force.

Étape 1 : Calcul de l'aire de la vanne (\(A\))

\[ \begin{aligned} A &= b \times h \\ &= 2 \text{ m} \times 3 \text{ m} \\ &= 6 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la profondeur verticale du centre de gravité (\(z_G\))

\[ \begin{aligned} z_G &= H + \frac{h}{2} \sin(\theta) \\ &= 1.5 \text{ m} + \frac{3 \text{ m}}{2} \sin(60^\circ) \\ &= 1.5 + 1.5 \times 0.866 \\ &= 2.799 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de la force résultante (\(F\))

\[ \begin{aligned} F &= \rho \cdot g \cdot z_G \cdot A \\ &= 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9.81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 2.799 \text{ m} \times 6 \text{ m}^2 \\ &= 164746 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force Résultante sur la Vanne
Surface LibrePF
Réflexions

Une force de 164,746 N équivaut au poids d'une masse d'environ 16.8 tonnes (164746 / 9.81). C'est une force considérable, de l'ordre du poids de trois éléphants d'Afrique ! Cela souligne l'importance d'un dimensionnement correct des vannes et de leurs supports.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre la hauteur de la vanne (\(h\)) avec la profondeur verticale. Pour \(z_G\), il faut bien utiliser la composante verticale de la distance du centre de la vanne à son sommet, soit \((h/2) \sin(\theta)\).

Points à retenir

Pour calculer la force hydrostatique sur une surface plane :

  • Calculez l'aire \(A\) de la surface.
  • Déterminez la profondeur verticale \(z_G\) du centre de gravité de la surface.
  • Appliquez la formule \(F = \rho \cdot g \cdot z_G \cdot A\).
Le saviez-vous ?

Le principe de cette force a été formalisé par Blaise Pascal au 17ème siècle. Son principe stipule que la pression exercée sur un fluide incompressible est transmise intégralement dans toutes les directions. C'est ce qui explique que seule la profondeur verticale compte, et non la forme du réservoir.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi utilise-t-on \(\sin(\theta)\) et non \(\cos(\theta)\) ?

Nous cherchons la profondeur verticale. Dans le triangle rectangle formé par la vanne, l'horizontale et la verticale, la hauteur verticale est le côté opposé à l'angle \(\theta\). La fonction trigonométrique qui relie le côté opposé à l'hypoténuse est le sinus.

Et si le fluide n'était pas de l'eau ?

La méthode reste exactement la même. Il suffirait de remplacer la masse volumique de l'eau (\(\rho = 1000\) kg/m³) par celle du nouveau fluide (par exemple, environ 800 kg/m³ pour de l'huile).

Résultat Final

La force totale exercée par l'eau sur la vanne est d'environ 165 kN.

\[ F \approx 164.7 \text{ kN} \]
A vous de jouer

Si la vanne retenait de l'eau de mer (\(\rho = 1025\) kg/m³), quelle serait la nouvelle force résultante ?

Question 2 : Déterminer la position du centre de poussée (\(y_p\))

Principe

Le centre de poussée (P) n'est pas au même endroit que le centre de gravité (G) car la pression n'est pas uniforme. Elle est plus forte en bas. P est donc toujours plus bas que G. Pour le trouver, on utilise une formule qui ajoute un terme correctif à la position de G, basé sur le moment d'inertie de la surface.

Mini-Cours

Le terme correctif \(\frac{I_G}{A \cdot y_G}\) provient du théorème des axes parallèles (ou théorème de Huygens). Il représente le décalage entre le centroïde et le centre de pression. Le moment d'inertie \(I_G\) quantifie la "résistance géométrique" de la forme de la vanne à la variation de pression. Une vanne plus haute que large aura un \(I_G\) plus grand et donc un décalage plus important entre G et P.

Remarque Pédagogique

La plus grande source de confusion est la gestion des distances. \(z_G\) est une distance verticale, tandis que \(y_G\) et \(y_p\) sont des distances mesurées le long du plan incliné de la vanne, à partir de l'intersection de ce plan avec la surface libre. Faites toujours un schéma pour bien les différencier.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul fondamental. Cependant, la connaissance précise du centre de poussée est une donnée d'entrée essentielle pour les calculs de stabilité et de résistance des mécanismes (vérins, charnières) qui sont, eux, régis par des normes de conception mécanique comme l'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier).

Formule(s)

Position du centre de gravité le long de l'axe incliné (\(y_G\))

\[ y_G = \frac{H}{\sin(\theta)} + \frac{h}{2} \]

Moment d'inertie d'un rectangle (\(I_G\))

\[ I_G = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

Position du centre de poussée le long de l'axe incliné (\(y_p\))

\[ y_p = y_G + \frac{I_G}{A \cdot y_G} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. Nous considérons un fluide parfait au repos et une structure rigide.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et les résultats intermédiaires :

  • Aire, \(A = 6\) m²
  • Position inclinée du G, \(y_G = 3.232\) m (à calculer)
  • Moment d'inertie, \(I_G = 4.5\) m⁴ (à calculer)
Astuces

Le terme correctif \(\frac{I_G}{A \cdot y_G}\) diminue lorsque la profondeur d'immersion augmente (car \(y_G\) augmente). Cela signifie que pour des vannes très profondes, le centre de poussée se rapproche du centre de gravité. C'est une bonne vérification de cohérence à avoir en tête.

Schéma (Avant les calculs)
Repère pour le calcul de \(y_p\)
Surface LibreyyGyp
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(y_G\)

\[ \begin{aligned} y_G &= \frac{1.5 \text{ m}}{\sin(60^\circ)} + \frac{3 \text{ m}}{2} \\ &= \frac{1.5}{0.866} + 1.5 \\ &= 1.732 + 1.5 \\ &= 3.232 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de \(I_G\)

\[ \begin{aligned} I_G &= \frac{2 \text{ m} \times (3 \text{ m})^3}{12} \\ &= \frac{2 \times 27}{12} \\ &= 4.5 \text{ m}^4 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de \(y_p\)

\[ \begin{aligned} y_p &= y_G + \frac{I_G}{A \cdot y_G} \\ &= 3.232 \text{ m} + \frac{4.5 \text{ m}^4}{6 \text{ m}^2 \times 3.232 \text{ m}} \\ &= 3.232 + \frac{4.5}{19.392} \\ &= 3.232 + 0.232 \\ &= 3.464 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Repère pour le calcul de \(y_p\)
Surface LibreyyGyp
Réflexions

On observe que \(y_p\) (3.464 m) est bien supérieur à \(y_G\) (3.232 m). Le décalage est de 23.2 cm. Ce n'est pas négligeable. Appliquer la force de 165 kN au mauvais endroit (en G au lieu de P) créerait un moment (un couple) non prévu qui pourrait endommager le mécanisme ou la structure.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes. Le moment d'inertie est en m⁴, l'aire en m², et \(y_G\) en m. Le terme correctif \(\frac{I_G}{A \cdot y_G}\) est donc bien en \(\frac{\text{m}^4}{\text{m}^2 \cdot \text{m}} = \text{m}\), ce qui est cohérent.

Points à retenir

La position du centre de poussée \(y_p\) est toujours plus grande que celle du centre de gravité \(y_G\).

  • Calculez d'abord \(y_G\), la distance inclinée au centroïde.
  • Calculez le moment d'inertie \(I_G\) de la surface.
  • Appliquez la formule \(y_p = y_G + \frac{I_G}{A \cdot y_G}\).
Le saviez-vous ?

En aérodynamique, le concept est similaire mais inversé ! Pour une aile d'avion subsonique, le centre de poussée se déplace vers l'avant lorsque l'angle d'attaque augmente, alors qu'en hydrostatique, il se rapproche du centroïde lorsque la "profondeur d'attaque" augmente.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.

Que représente physiquement le moment d'inertie \(I_G\)?

Il représente la répartition de la surface par rapport à son axe centroïdal. Une surface avec plus de matière loin de l'axe (comme une poutre en I) a un grand moment d'inertie et résiste mieux à la flexion. Ici, il mesure comment la forme de la vanne influence le décalage du centre de poussée.

Résultat Final

Le centre de poussée est situé à 3.464 m de la surface libre, le long de l'axe de la vanne.

\[ y_p = 3.464 \text{ m} \]
A vous de jouer

Si la vanne était un disque de 3 m de diamètre (\(I_G = \frac{\pi R^4}{4}\)), quelle serait la nouvelle position \(y_p\) ? (Toutes les autres données sont identiques).

Question 3 : Calculer la distance (\(y'_p\)) entre le pivot et le centre de poussée

Principe

Cette question est une simple soustraction géométrique. Nous connaissons la position du centre de poussée (\(y_p\)) et la position du sommet de la vanne, toutes deux mesurées le long de l'axe incliné depuis la surface libre. La différence nous donnera la distance recherchée, qui est cruciale pour calculer le moment au niveau de l'articulation.

Mini-Cours

Le calcul de moments (ou couples) est central en statique. Un moment est une force multipliée par un bras de levier (\(M = F \times d\)). Dans notre cas, la force est \(F\), et le bras de levier par rapport au pivot est la distance \(y'_p\) que nous calculons. Ce moment devra être équilibré par une force externe (un vérin, un contrepoids) pour maintenir la vanne en position.

Remarque Pédagogique

Le succès de cette question dépend de la bonne définition de votre repère à la question précédente. Si vous avez bien calculé \(y_p\) et que vous calculez correctement la position du pivot (\(y_{\text{sommet}}\)) dans le même repère, le reste est une simple soustraction. La rigueur dans la définition des repères est une habitude fondamentale en mécanique.

Normes

Le calcul du moment à l'articulation est une étape préliminaire au dimensionnement de cette articulation. Les ingénieurs utiliseraient ensuite des normes de construction métallique ou mécanique pour choisir un axe, des roulements ou des paliers capables de résister à ce moment et aux efforts tranchants associés, en appliquant les facteurs de sécurité réglementaires.

Formule(s)

Position du sommet de la vanne le long de l'axe incliné (\(y_{\text{sommet}}\))

\[ y_{\text{sommet}} = \frac{H}{\sin(\theta)} \]

Distance entre le pivot et le centre de poussée (\(y'_p\))

\[ y'_p = y_p - y_{\text{sommet}} \]
Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire. Nous continuons à travailler dans le cadre défini précédemment.

Donnée(s)

Nous utilisons les données et résultats précédents :

  • Position du centre de poussée, \(y_p = 3.464\) m
  • Profondeur du sommet, \(H = 1.5\) m
  • Angle, \(\theta = 60^\circ\)
Astuces

Un résultat intéressant est que la distance du centre de gravité au pivot est toujours \(h/2 = 1.5\) m. La distance que nous calculons, \(y'_p\), sera toujours un peu plus grande que \(h/2\). Dans notre cas, \(1.732\) m est bien un peu plus grand que \(1.5\) m. C'est une vérification rapide et utile.

Schéma (Avant les calculs)
Calcul de la distance au pivot
Surface Librey'pypy_sommet
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(y_{\text{sommet}}\)

\[ \begin{aligned} y_{\text{sommet}} &= \frac{1.5 \text{ m}}{\sin(60^\circ)} \\ &= 1.732 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de \(y'_p\)

\[ \begin{aligned} y'_p &= y_p - y_{\text{sommet}} \\ &= 3.464 \text{ m} - 1.732 \text{ m} \\ &= 1.732 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Calcul de la distance au pivot
Surface Librey'pypy_sommet
Réflexions

Le fait que \(y'_p = 1.732\) m soit supérieur à la moitié de la hauteur de la vanne (1.5 m) est la raison pour laquelle une vanne articulée en son sommet aura tendance à s'ouvrir sous l'effet de l'eau si elle n'est pas verrouillée. La force de l'eau crée un moment qui tend à la faire pivoter vers l'extérieur.

Points de vigilance

Attention à ne pas calculer le moment avec une distance verticale. Le moment de la force \(F\) par rapport au pivot est \(M_{\text{pivot}} = F \times y'_p\), car la force \(F\) est perpendiculaire au bras de levier \(y'_p\).

Points à retenir

Pour trouver la distance d'un point sur la vanne à un pivot, il faut toujours :

  • Définir un repère commun (ici, l'axe \(y\) partant de la surface libre).
  • Calculer la coordonnée de chaque point dans ce repère.
  • Soustraire les coordonnées pour obtenir la distance relative.
Le saviez-vous ?

Les grandes vannes de barrage, comme les vannes Tainter (ou vannes secteur), ont une forme courbe et des pivots déportés. Cette conception ingénieuse permet de réduire considérablement les forces de frottement et le moment nécessaire pour les manœuvrer, car la résultante des forces de pression passe très près de l'axe de rotation.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur ce calcul.

Que se passerait-il si la vanne était articulée en bas ?

Le principe serait le même, mais le bras de levier pour le calcul du moment serait différent. Il faudrait calculer la distance entre le bas de la vanne et le centre de poussée. Dans ce cas, la force de l'eau tendrait à maintenir la vanne fermée.

Résultat Final

Le centre de poussée, point d'application de la force hydrostatique, se trouve à 1.732 m du pivot le long de la vanne.

\[ y'_p = 1.732 \text{ m} \]
A vous de jouer

Quelle serait la distance \(y'_p\) si la vanne était verticale (\(\theta = 90^\circ\)) ?

Question 4 : Calculer le moment (\(M_O\)) créé par la force hydrostatique par rapport au pivot

Principe

Le moment (ou couple) est l'effet de rotation qu'une force produit autour d'un point (le pivot). Il se calcule en multipliant l'intensité de la force par la distance perpendiculaire entre le pivot et la ligne d'action de la force (le bras de levier).

Mini-Cours

En statique, un moment \(M\) est défini par \(M = F \times d\), où \(d\) est le bras de levier. Un moment est une grandeur vectorielle, mais dans ce problème plan, on peut le traiter comme un scalaire avec un signe (par exemple, positif pour le sens anti-horaire). Le moment est crucial car il détermine si un objet va tourner. Pour qu'un objet articulé soit en équilibre, la somme de tous les moments par rapport à l'articulation doit être nulle.

Remarque Pédagogique

Cette question est l'aboutissement des trois précédentes. Elle donne un sens physique à la position du centre de poussée. Si nous avions utilisé le centre de gravité, nous aurions sous-estimé le moment et donc mal dimensionné le système de fermeture. C'est pourquoi le calcul précis de \(y'_p\) est si important.

Normes

Le moment \(M_O\) est une "action" au sens des Eurocodes. C'est cette valeur (affectée de coefficients de sécurité) qui serait utilisée par les ingénieurs pour vérifier la résistance de l'axe du pivot, des soudures, ou pour dimensionner le moteur ou le vérin nécessaire à la manœuvre de la vanne.

Formule(s)

Calcul du moment au pivot (\(M_O\))

\[ M_O = F \times y'_p \]
Hypothèses

Nous supposons que le pivot est une articulation parfaite, c'est-à-dire qu'elle n'oppose aucune résistance à la rotation (pas de frottement).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

  • Force résultante, \(F = 164746\) N
  • Bras de levier, \(y'_p = 1.732\) m
Astuces

Gardez les valeurs précises des calculs intermédiaires dans votre calculatrice pour éviter les erreurs d'arrondi. Le résultat final peut ensuite être arrondi à un nombre raisonnable de chiffres significatifs (par exemple, en kN.m avec une décimale).

Schéma (Avant les calculs)
Moment de la force F par rapport au pivot O
OFMO
Calcul(s)

Étape 1 : Application numérique

\[ \begin{aligned} M_O &= 164746 \text{ N} \times 1.732 \text{ m} \\ &= 285241 \text{ N.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment de la force F par rapport au pivot O
OFMO
Réflexions

Un moment de 285 kN.m est très important. Pour se le représenter, c'est l'équivalent d'une force de 28.5 tonnes (le poids d'un camion semi-remorque) appliquée au bout d'un bras de levier de 1 mètre. On comprend pourquoi les mécanismes de vannes de barrage sont si massifs.

Points de vigilance

L'unité du moment est le Newton-mètre (N.m), à ne pas confondre avec le Newton par mètre (N/m) qui est une unité de charge linéique. Vérifiez toujours la cohérence de vos unités.

Points à retenir

Le moment d'une force par rapport à un pivot est le produit de la force par le bras de levier perpendiculaire. C'est cette grandeur qui mesure la capacité d'une force à provoquer une rotation.

Le saviez-vous ?

Le célèbre "Eurêka !" d'Archimède n'était pas lié à la poussée dans l'eau (qui porte son nom), mais à la découverte du principe du levier et des moments, lorsqu'il aurait dit : "Donnez-moi un point d'appui, et je soulèverai le monde."

FAQ

Voici une question fréquente sur ce calcul.

Dans quel sens ce moment agit-il ?

En regardant le schéma, la force de l'eau pousse la vanne vers le bas et la droite. Par rapport au pivot O en haut, cette force tend à faire tourner la vanne dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire).

Résultat Final

Le moment créé par la force de l'eau par rapport au pivot est de 285.2 kN.m.

\[ M_O \approx 285.2 \text{ kN.m} \]
A vous de jouer

Quel serait le moment si la force de 164.7 kN était (incorrectement) appliquée au centre de gravité (à 1.5 m du pivot) ?

Question 5 : Déterminer les forces horizontale (\(F_H\)) et verticale (\(F_V\))

Principe

La force résultante \(F\) est un vecteur perpendiculaire à la vanne. Pour les besoins du dimensionnement des appuis, il est souvent nécessaire de connaître ses composantes selon les axes globaux de la structure, c'est-à-dire horizontalement et verticalement. Il s'agit d'une simple projection trigonométrique.

Mini-Cours

Tout vecteur dans un plan peut être décomposé en deux composantes orthogonales. Si un vecteur \(\vec{F}\) fait un angle \(\alpha\) avec l'axe des abscisses, ses composantes sont \(F_x = F \cos(\alpha)\) et \(F_y = F \sin(\alpha)\). La clé est de bien identifier l'angle pertinent entre le vecteur force et les axes horizontal/vertical.

Remarque Pédagogique

Dessinez un petit schéma pour trouver le bon angle. La vanne fait un angle \(\theta\) avec l'horizontale. La force \(F\) est perpendiculaire à la vanne. Par conséquent, l'angle entre la force \(F\) et la verticale est aussi \(\theta\). Donc, \(F_H = F \sin(\theta)\) et \(F_V = F \cos(\theta)\).

Normes

Les composantes de force sont fondamentales dans les calculs de structure. Par exemple, \(F_H\) serait utilisée pour vérifier la stabilité au glissement d'un barrage-poids, tandis que \(F_V\) s'ajouterait (ou se soustrairait) au poids de l'ouvrage pour vérifier les contraintes sur la fondation.

Formule(s)

Composante horizontale

\[ F_H = F \cdot \sin(\theta) \]

Composante verticale

\[ F_V = F \cdot \cos(\theta) \]
Hypothèses

Nous utilisons un repère cartésien standard avec un axe X horizontal et un axe Z vertical.

Donnée(s)

Nous utilisons les données et résultats précédents :

  • Force résultante, \(F = 164746\) N
  • Angle, \(\theta = 60^\circ\)
Astuces

Il existe une méthode alternative très utile : la force horizontale \(F_H\) est égale à la force qui s'exercerait sur la projection verticale de la vanne. La force verticale \(F_V\) est égale au poids du volume d'eau situé au-dessus de la vanne. C'est un excellent moyen de vérifier vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Force F
FFHFV
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(F_H\)

\[ \begin{aligned} F_H &= 164746 \text{ N} \times \sin(60^\circ) \\ &= 164746 \times 0.866 \\ &= 142640 \text{ N} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de \(F_V\)

\[ \begin{aligned} F_V &= 164746 \text{ N} \times \cos(60^\circ) \\ &= 164746 \times 0.5 \\ &= 82373 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Décomposition de la Force F
FFHFV
Réflexions

La composante horizontale (142.6 kN) est nettement plus grande que la composante verticale (82.4 kN). C'est logique car la vanne est plus proche de la verticale (\(60^\circ\)) que de l'horizontale. La majeure partie de la poussée de l'eau est donc dirigée horizontalement.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'inverser le sinus et le cosinus. Prenez toujours une minute pour dessiner le triangle des forces et identifier quel côté est opposé et quel côté est adjacent à l'angle \(\theta\).

Points à retenir

La force hydrostatique peut être décomposée en ses composantes horizontale et verticale pour l'analyse structurelle. Ces composantes sont calculées par simple projection trigonométrique de la force résultante \(F\).

Le saviez-vous ?

La composante verticale de la force, \(F_V\), est exactement égale au poids du prisme d'eau (réel ou imaginaire) qui se trouve directement au-dessus de la surface de la vanne. Vous pouvez vérifier : Volume = \( (H + z_G)/2 \times (h/\sin\theta) \times b \)... le calcul est plus complexe mais donne le même résultat !

FAQ

Voici une question fréquente sur ce calcul.

Où s'appliquent ces composantes ?

Elles s'appliquent toutes deux au centre de poussée P. On peut remplacer le vecteur \(F\) par ses deux composantes \(F_H\) et \(F_V\) agissant au même point P.

Résultat Final

Les composantes de la force sont :

\[ F_H \approx 142.6 \text{ kN} \quad \text{et} \quad F_V \approx 82.4 \text{ kN} \]
A vous de jouer

Que deviennent \(F_H\) et \(F_V\) si la vanne est complètement horizontale (\(\theta = 0^\circ\), posée au fond) ?

Question 6 : Calculer la force minimale \(T\) pour ouvrir la vanne

Principe

Pour que la vanne commence à s'ouvrir, le moment créé par la force d'ouverture \(T\) doit être, au minimum, égal et opposé au moment créé par la force de l'eau \(F\). C'est le principe de l'équilibre des moments (ou équilibre rotationnel).

Mini-Cours

Le principe fondamental de la statique pour un corps rigide stipule que pour l'équilibre, la somme des forces et la somme des moments doivent être nulles. Pour un problème de rotation autour d'un pivot fixe, seule la condition sur les moments nous intéresse : \(\sum M_{\text{pivot}} = 0\). Nous écrivons que le moment "ouvrant" de \(T\) compense le moment "fermant" de \(F\).

Remarque Pédagogique

C'est une application très concrète du concept de levier. La force \(T\) est appliquée avec le plus grand bras de levier possible (la hauteur totale de la vanne, \(h\)), ce qui permet de minimiser son intensité. C'est pour cela qu'on pousse une porte le plus loin possible de ses gonds.

Normes

Dans un cas réel, un ingénieur ne se contenterait pas de calculer la force \(T\) à l'équilibre. Il appliquerait un coefficient de sécurité (par exemple 1.5 ou 2) pour s'assurer que le mécanisme (vérin, moteur) a assez de puissance pour vaincre les frottements dans l'articulation, les éventuels blocages et pour assurer une manœuvre fluide et sécurisée.

Formule(s)

Équilibre des moments

\[ \sum M_O = 0 \Rightarrow M_T - M_O = 0 \]

Calcul de la force T

\[ T \times h = F \times y'_p \Rightarrow T = \frac{M_O}{h} \]
Hypothèses

En plus des hypothèses précédentes, nous ajoutons :

  • Le poids propre de la vanne est négligé.
  • Les forces de frottement au niveau du pivot sont nulles.
  • La force \(T\) est appliquée perpendiculairement à la surface de la vanne.
Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données précédents :

  • Moment résistant, \(M_O = 285241\) N.m
  • Hauteur de la vanne (bras de levier de T), \(h = 3\) m
Astuces

Avant de calculer, comparez les bras de levier. Le bras de levier de \(T\) (3 m) est plus grand que celui de \(F\) (1.732 m). On s'attend donc à ce que la force \(T\) soit plus petite que la force \(F\). C'est une bonne vérification de l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des moments pour l'ouverture
OFT
Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule d'équilibre

\[ \begin{aligned} T &= \frac{M_O}{h} \\ &= \frac{285241 \text{ N.m}}{3 \text{ m}} \\ &= 95080 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Équilibre des moments pour l'ouverture
OFT
Réflexions

La force nécessaire pour ouvrir la vanne (95.1 kN) est significativement plus faible que la force totale de l'eau (164.7 kN). C'est l'effet du bras de levier. Nous avons un "avantage mécanique" d'environ \(164.7 / 95.1 \approx 1.73\), ce qui correspond au rapport des bras de levier (\(h / y'_p = 3 / 1.732 \approx 1.73\)).

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les forces et distances sont bien perpendiculaires pour le calcul du moment. Ici, \(F\) et \(T\) sont perpendiculaires à la vanne, donc leurs bras de levier sont les distances mesurées le long de la vanne. Si \(T\) était appliquée horizontalement, son bras de levier serait différent !

Points à retenir

L'équilibre d'un objet autour d'un pivot est régi par la somme des moments. Pour initier un mouvement, le moment moteur doit être supérieur au moment résistant.

Le saviez-vous ?

Dans de nombreuses vannes de canal, on utilise un système de contrepoids. La masse du contrepoids est calculée pour créer un moment qui équilibre presque entièrement le moment de l'eau, de sorte qu'une très faible force suffit à manœuvrer la vanne dans un sens ou dans l'autre.

FAQ

Voici une question fréquente sur ce calcul.

Et si on prenait en compte le poids de la vanne ?

Le poids de la vanne, appliqué en son centre de gravité G, créerait son propre moment. Si la vanne est homogène, ce moment aiderait à la maintenir fermée (il serait dans le même sens que le moment de l'eau). Il faudrait l'ajouter à \(M_O\) dans l'équation d'équilibre, ce qui augmenterait la force \(T\) nécessaire.

Résultat Final

La force minimale à appliquer au bas de la vanne pour l'ouvrir est de 95.1 kN.

\[ T \approx 95.1 \text{ kN} \]
A vous de jouer

Quelle serait la force \(T\) si elle était appliquée au milieu de la vanne (à 1.5 m du pivot) ?

Outil Interactif : Influence des Paramètres

Utilisez les curseurs pour voir comment la profondeur d'immersion (\(H\)) et l'angle d'inclinaison (\(\theta\)) influencent la force résultante et la position du centre de poussée.

Paramètres d'Entrée
1.5 m
60 °
Résultats Clés
Force Résultante F (kN) -
Position Poussée / Pivot y'_p (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Comment la pression hydrostatique varie-t-elle dans un fluide au repos ?

2. Sur une surface plane immergée, où se situe le centre de poussée par rapport au centre de gravité ?

3. Si on augmente la profondeur d'immersion (H) d'une vanne, comment évolue la force hydrostatique ?

4. Quelle est la formule du moment d'inertie \(I_G\) pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à son centre ?

5. Si l'angle d'inclinaison \(\theta\) diminue (la vanne devient plus "verticale"), la force hydrostatique, pour une même profondeur H :

Centre de Poussée
Le point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface immergée. C'est le barycentre des forces de pression.
Centre de Gravité (Centroïde)
Le centre géométrique d'un objet ou d'une surface. Pour une plaque homogène, c'est aussi son centre de masse.
Moment d'Inertie
Une propriété géométrique qui décrit comment les points d'une surface sont répartis par rapport à un axe. Il quantifie la résistance à la flexion.
Pression Hydrostatique
La pression exercée par un fluide au repos en un point donné, due au poids de la colonne de fluide au-dessus de ce point.
Exercice d'Hydraulique Fondamentale

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