ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul du centre de poussée sur une vanne inclinée

Calcul du Centre de Poussée sur une Vanne Inclinée

Calcul du Centre de Poussée sur une Vanne Inclinée

Comprendre le Centre de Poussée sur une Surface Inclinée

Contrairement à une surface verticale, le calcul de la poussée sur une surface inclinée requiert une attention particulière. La pression varie toujours avec la profondeur verticale, mais la force résultante agit perpendiculairement à la surface de la vanne. Le point d'application de cette force, le centre de poussée, est systématiquement situé plus bas que le centre géométrique (centroïde) de la surface. Comprendre cette distinction est essentiel pour concevoir des vannes, des écoutilles ou toute structure inclinée capable de résister aux forces hydrostatiques sans défaillance.

Données de l'étude

On étudie une vanne rectangulaire inclinée retenant de l'eau, articulée à son sommet.

Caractéristiques géométriques et physiques :

  • Hauteur de la vanne : \(h_v = 2.0 \, \text{m}\)
  • Largeur de la vanne : \(L = 3.0 \, \text{m}\)
  • Angle d'inclinaison avec l'horizontale : \(\theta = 60^\circ\)
  • Profondeur du sommet de la vanne : \(H_0 = 4.0 \, \text{m}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Vanne rectangulaire inclinée
Surface libre A (sommet) C (Centroïde) P (Centre de Poussée) H₀=4m Sol θ=60° F

La force hydrostatique (F) s'applique au centre de poussée (P), qui est plus bas que le centroïde (C).

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la vanne (\(A\)) et la distance inclinée depuis la surface libre jusqu'au centroïde de la vanne (\(s_c\)).
  2. Déterminer la profondeur verticale du centroïde (\(y_c\)).
  3. Calculer l'intensité de la force hydrostatique résultante (\(F\)) qui s'exerce sur la vanne.
  4. Calculer le moment d'inertie de l'aire de la vanne (\(I_{xc}\)) par rapport à son axe horizontal passant par son centroïde.
  5. Déterminer la position du centre de poussée le long de l'axe incliné (\(s_p\)) et en déduire sa profondeur verticale (\(y_p\)).

Correction : Calcul du Centre de Poussée sur une Vanne Inclinée

Question 1 : Aire de la vanne (\(A\)) et distance inclinée au centroïde (\(s_c\))

Principe :

L'aire d'une vanne rectangulaire est simplement le produit de sa hauteur par sa largeur. La distance inclinée au centroïde (\(s_c\)) est la distance mesurée le long de la pente de la vanne, depuis la surface libre de l'eau jusqu'au centre géométrique de la vanne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = h_v \cdot L\] \[s_c = \frac{H_0}{\sin(\theta)} + \frac{h_v}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(h_v = 2.0 \, \text{m}\)
  • \(L = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(H_0 = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(\theta = 60^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 2.0 \, \text{m} \times 3.0 \, \text{m} = 6.0 \, \text{m}^2 \\ s_c &= \frac{4.0 \, \text{m}}{\sin(60^\circ)} + \frac{2.0 \, \text{m}}{2} \\ &= \frac{4.0}{0.866} + 1.0 \\ &\approx 4.619 \, \text{m} + 1.0 \, \text{m} \\ &= 5.619 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire est \(A = 6.0 \, \text{m}^2\) et la distance inclinée au centroïde est \(s_c \approx 5.62 \, \text{m}\).

Question 2 : Profondeur verticale du centroïde (\(y_c\))

Principe :

La profondeur verticale du centroïde (\(y_c\)) est la distance verticale entre la surface libre de l'eau et le centre géométrique de la vanne. Elle est cruciale car la pression hydrostatique au centroïde dépend de cette profondeur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[y_c = s_c \cdot \sin(\theta)\]
Données spécifiques :
  • \(s_c \approx 5.619 \, \text{m}\)
  • \(\theta = 60^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_c &= 5.619 \, \text{m} \times \sin(60^\circ) \\ &= 5.619 \times 0.866 \\ &\approx 4.866 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La profondeur verticale du centroïde est \(y_c \approx 4.87 \, \text{m}\).

Question 3 : Force hydrostatique résultante (\(F\))

Principe :

La force hydrostatique résultante sur une surface plane est égale à la pression au centroïde de la surface, multipliée par l'aire totale de cette surface. Cette force est toujours perpendiculaire à la surface.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = P_c \cdot A = (\rho \cdot g \cdot y_c) \cdot A\]
Données spécifiques :
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(y_c \approx 4.866 \, \text{m}\)
  • \(A = 6.0 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= (1000 \times 9.81 \times 4.866) \times 6.0 \\ &\approx 47735 \, \text{Pa} \times 6.0 \, \text{m}^2 \\ &= 286410 \, \text{N} \\ &\approx 286.4 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La force hydrostatique résultante est \(F \approx 286.4 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle d'inclinaison \(\theta\) diminue (la vanne devient plus "couchée"), la force hydrostatique \(F\) :

Question 4 : Moment d'inertie de la vanne (\(I_{xc}\))

Principe :

Le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe est une mesure de sa résistance à la rotation autour de cet axe. Pour le calcul du centre de poussée, on a besoin du moment d'inertie de l'aire de la vanne par rapport à l'axe horizontal passant par son centroïde (\(I_{xc}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{xc} = \frac{L \cdot h_v^3}{12}\]
Données spécifiques :
  • \(L = 3.0 \, \text{m}\)
  • \(h_v = 2.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{xc} &= \frac{3.0 \, \text{m} \times (2.0 \, \text{m})^3}{12} \\ &= \frac{3.0 \times 8.0}{12} \\ &= 2.0 \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le moment d'inertie de la vanne est \(I_{xc} = 2.0 \, \text{m}^4\).

Question 5 : Position du centre de poussée (\(s_p\) et \(y_p\))

Principe :

Le centre de poussée (P) n'est pas confondu avec le centroïde (C). Il est décalé vers le bas en raison de la distribution non uniforme de la pression. Sa position le long de l'axe incliné (\(s_p\)) est calculée en ajoutant un terme correctif à la position inclinée du centroïde (\(s_c\)). La profondeur verticale (\(y_p\)) est ensuite déduite par trigonométrie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[s_p = s_c + \frac{I_{xc}}{s_c \cdot A}\] \[y_p = s_p \cdot \sin(\theta)\]
Données spécifiques :
  • \(s_c \approx 5.619 \, \text{m}\)
  • \(I_{xc} = 2.0 \, \text{m}^4\)
  • \(A = 6.0 \, \text{m}^2\)
  • \(\theta = 60^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} s_p &= 5.619 \, \text{m} + \frac{2.0 \, \text{m}^4}{5.619 \, \text{m} \times 6.0 \, \text{m}^2} \\ &= 5.619 + \frac{2.0}{33.714} \\ &\approx 5.619 + 0.059 \\ &= 5.678 \, \text{m} \\ \\ y_p &= 5.678 \, \text{m} \times \sin(60^\circ) \\ &\approx 4.917 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le centre de poussée est à \(s_p \approx 5.68 \, \text{m}\) le long de la vanne, soit une profondeur verticale de \(y_p \approx 4.92 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le centre de poussée est toujours...

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La force hydrostatique sur une surface plane immergée dépend de :

2. L'écart entre le centre de poussée et le centroïde diminue si :

Glossaire

Centroïde (\(C\))
Centre géométrique d'une surface. Pour une surface homogène, c'est aussi son centre de gravité.
Centre de Poussée (\(P\))
Point d'application de la force hydrostatique résultante sur une surface. Pour une surface non horizontale, il est toujours situé plus bas que le centroïde.
Moment d'Inertie (\(I_{xc}\))
Propriété géométrique d'une aire qui quantifie sa distribution par rapport à un axe. Un moment d'inertie plus grand indique que l'aire est plus "étalée" loin de l'axe, ce qui influence l'écart entre le centroïde et le centre de poussée.
Distance inclinée (\(s_c, s_p\))
Distance mesurée le long de l'axe de la surface inclinée, depuis la surface libre du fluide.
Fondamentaux de l'Hydraulique - Exercice d'Application

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