ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul des Pertes de Charge d’un Té

Calcul du Coefficient de Perte de Charge pour un Té de Dérivation en Hydraulique

Calcul du Coefficient de Perte de Charge pour un Té de Dérivation

Contexte : L'efficacité énergétique des réseaux hydrauliques.

En mécanique des fluides, chaque fois qu'un fluide change de direction ou passe à travers un raccord, comme un coude ou un té, il perd de l'énergie. Cette perte, appelée perte de charge singulièrePerte d'énergie (pression) due à un obstacle localisé dans une conduite (coude, vanne, té, etc.), par opposition aux pertes de charge linéaires dues à la friction sur la longueur du tuyau., est cruciale à quantifier. Pour les ingénieurs, un calcul précis de ces pertes est essentiel pour dimensionner correctement les pompes, optimiser la consommation d'énergie et garantir que le débit souhaité atteint chaque point d'un réseau de tuyauterie (chauffage, distribution d'eau, procédés industriels). Cet exercice vous guidera dans le calcul des coefficients de perte de charge pour un té, un des raccords les plus courants.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de deux principes fondamentaux de la mécanique des fluides : la conservation de la masse (équation de continuité) et la conservation de l'énergie (équation de BernoulliPrincipe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement. Il établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide.). Nous allons utiliser des mesures de débit et de pression pour déterminer un coefficient adimensionnel (K) qui caractérise la "gourmandise" énergétique d'un raccord. C'est une démarche fondamentale pour tout concepteur de réseaux hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer l'équation de continuité pour un écoulement se divisant.
  • Utiliser l'équation de Bernoulli généralisée pour calculer une perte de charge entre deux points.
  • Isoler et calculer un coefficient de perte de chargeNombre sans dimension (K) qui caractérise la perte de charge d'un raccord. Il permet de calculer la perte d'énergie pour n'importe quel débit. Plus K est élevé, plus le raccord dissipe d'énergie. singulière (K).
  • Comprendre comment la répartition du débit influence les pertes de charge dans les différentes branches.
  • Se familiariser avec les unités de l'hydraulique (m/s, m³/s, Pascals, mètres de colonne d'eau).

Données de l'étude

Un flux d'eau (considéré comme un fluide parfait incompressible) s'écoule dans une conduite horizontale avant de se diviser dans un té à 90°. Des capteurs nous fournissent les vitesses moyennes et les pressions dans les trois sections. On néglige les pertes de charge par frottement (linéaires).

Schéma du Té de Dérivation
1 2 3 V₁, Q₁ V₂, Q₂ V₃, Q₃
Paramètre Symbole Valeur Unité
Diamètre d'entrée \(D_1\) 100 \(\text{mm}\)
Diamètre sortie directe \(D_2\) 100 \(\text{mm}\)
Diamètre sortie dérivée \(D_3\) 50 \(\text{mm}\)
Vitesse en entrée \(V_1\) 2.0 \(\text{m/s}\)
Vitesse en sortie directe \(V_2\) 1.2 \(\text{m/s}\)
Pression en entrée \(P_1\) 150 000 \(\text{Pa}\)
Pression en sortie directe \(P_2\) 146 000 \(\text{Pa}\)
Pression en sortie dérivée \(P_3\) 138 000 \(\text{Pa}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 \(\text{kg/m³}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s²}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse dans la branche dérivée \(V_3\).
  2. Calculer la perte de charge \( \Delta H_{1-2} \) entre l'entrée (1) et la sortie directe (2), exprimée en mètres de colonne d'eau (mCE).
  3. Calculer la perte de charge \( \Delta H_{1-3} \) entre l'entrée (1) et la sortie dérivée (3), en mCE.
  4. Déterminer les coefficients de perte de charge singulière \(K_{1-2}\) et \(K_{1-3}\), rapportés à l'énergie cinétique d'entrée.

Les bases de l'Hydraulique en charge

Avant de commencer la résolution, rappelons les principes physiques qui gouvernent cet écoulement.

1. Équation de Continuité (Conservation de la Masse) :
Pour un fluide incompressible, ce qui entre doit sortir. Le débit volumique \(Q\) (en \(\text{m}^3/\text{s}\)) est conservé. Pour notre té, le débit entrant \(Q_1\) est égal à la somme des débits sortants (\(Q_2 + Q_3\)). Comme \(Q = V \cdot A\) (Vitesse × Aire de la section), on a : \[ V_1 \cdot A_1 = V_2 \cdot A_2 + V_3 \cdot A_3 \]

2. Équation de Bernoulli Généralisée (Conservation de l'Énergie) :
Cette équation stipule que l'énergie totale d'un fluide le long d'une ligne de courant se conserve, à l'exception des pertes. L'énergie, exprimée en hauteur (\(\text{m}\)), a trois composantes : la pression (\(P/\rho g\)), la vitesse (\(V^2/2g\)) et l'altitude (\(z\)). Entre deux points, on écrit : \[ \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + \Delta H_{1-2} \] Où \(\Delta H_{1-2}\) est la perte de charge totale (l'énergie perdue) entre 1 et 2.

3. Coefficient de Perte de Charge (K) :
La perte de charge singulière est proportionnelle à l'énergie cinétique du fluide. On la modélise avec un coefficient adimensionnel K, qui ne dépend que de la géométrie du raccord : \[ \Delta H = K \cdot \frac{V^2}{2g} \] La vitesse de référence \(V\) doit être clairement définie (souvent la vitesse en amont). En trouvant K, on peut prédire la perte de charge pour n'importe quelle vitesse.

Correction : Calcul des Pertes de Charge d'un Té

Question 1 : Calculer la vitesse dans la branche dérivée (V₃)

Principe (le concept physique)

Le principe de conservation de la masse, pour un fluide incompressible comme l'eau, se traduit par la conservation du débit volumique. Le débit qui entre dans le té doit être égal à la somme des débits qui en sortent. En connaissant les débits des deux autres branches (calculables à partir de leurs vitesses et diamètres), on peut en déduire le débit de la troisième, et donc sa vitesse.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de continuité est la forme intégrale de la conservation de la masse pour un volume de contrôle fixe. Elle stipule que le flux net de masse à travers la surface du volume de contrôle est nul pour un écoulement permanent. Pour un fluide de masse volumique constante, cela se simplifie en conservation du volume, d'où \(Q_{\text{entrant}} = Q_{\text{sortant}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une autoroute à deux voies (débit Q₁) qui se sépare en une route à deux voies (Q₂) et une bretelle de sortie à une voie (Q₃). Le nombre total de voitures par heure qui entrent sur l'autoroute doit être égal au nombre de voitures qui continuent tout droit plus celles qui prennent la sortie. C'est exactement la même logique pour les molécules d'eau.

Normes (la référence réglementaire)

Le principe de conservation de la masse est une loi fondamentale de la physique, pas une norme en soi. Cependant, toutes les normes de calcul de réseaux (comme la norme EN 12056 pour les réseaux d'évacuation) reposent sur cette loi pour équilibrer les débits dans les systèmes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'équation de continuité s'écrit : \( Q_1 = Q_2 + Q_3 \). En remplaçant les débits par \(V \cdot A\) et l'aire \(A\) par \(\pi D^2 / 4\), on obtient :

\[ V_1 \frac{\pi D_1^2}{4} = V_2 \frac{\pi D_2^2}{4} + V_3 \frac{\pi D_3^2}{4} \]

En simplifiant par \(\pi/4\), on peut isoler \(V_3\) :

\[ V_1 D_1^2 = V_2 D_2^2 + V_3 D_3^2 \Rightarrow V_3 = \frac{V_1 D_1^2 - V_2 D_2^2}{D_3^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le fluide est incompressible (\(\rho = \text{constante}\)) et que l'écoulement est permanent (les vitesses ne varient pas dans le temps).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(V_1 = 2.0 \, \text{m/s}\)
  • \(D_1 = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(V_2 = 1.2 \, \text{m/s}\)
  • \(D_2 = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • \(D_3 = 50 \, \text{mm} = 0.05 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La conversion des unités est la source d'erreur n°1. Convertissez tous les diamètres en mètres dès le début pour être cohérent avec les vitesses en \(\text{m/s}\) et les pressions en Pascals (le système international SI). Un diamètre de 100 mm est 0.1 m, pas 100 m !

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de Masse sur le Té
Q₁ = Q₂ + Q₃Q₁Q₂Q₃=?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en utilisant les unités du système international (mètres).

\[ \begin{aligned} V_3 &= \frac{(2.0 \, \text{m/s}) \cdot (0.1 \, \text{m})^2 - (1.2 \, \text{m/s}) \cdot (0.1 \, \text{m})^2}{(0.05 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{2.0 \cdot 0.01 - 1.2 \cdot 0.01}{0.0025} \, \text{m/s} \\ &= \frac{0.02 - 0.012}{0.0025} \, \text{m/s} \\ &= \frac{0.008}{0.0025} \, \text{m/s} \\ &= 3.2 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vitesses dans le Té
V₁=2.0, V₂=1.2, V₃=3.2 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse dans la branche dérivée (3.2 m/s) est la plus élevée des trois. C'est logique : bien que le débit y soit plus faible que dans la branche principale, la section est quatre fois plus petite (le diamètre est deux fois plus petit), ce qui accélère considérablement le fluide.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre les diamètres au carré dans la formule de continuité. L'aire est proportionnelle à D², pas à D. Une telle erreur fausserait complètement le calcul de V₃.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La conservation de la masse pour un fluide incompressible implique la conservation du débit volumique : \(Q_{\text{entrant}} = Q_{\text{sortant}}\).
  • Le débit est le produit de la vitesse par l'aire de la section : \(Q = V \cdot A\).
  • L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi D^2 / 4\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fluides compressibles comme l'air, on doit utiliser la conservation du débit massique (\(\dot{m}\) en \(\text{kg/s}\)) et non volumique. L'équation devient \(\rho_1 V_1 A_1 = \rho_2 V_2 A_2 + \rho_3 V_3 A_3\), car la masse volumique \(\rho\) peut changer avec la pression.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si les conduites ne sont pas pleines ?

Si les conduites ne sont pas pleines, on parle d'écoulement à surface libre (comme dans une rivière ou un égout). Les principes de conservation sont toujours valables, mais on utilise des formules différentes (comme l'équation de Manning-Strickler) qui font intervenir la pente, le périmètre mouillé et la forme de la section d'écoulement, rendant les calculs plus complexes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse dans la branche dérivée est \(V_3 = 3.2 \, \text{m/s}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la vitesse en sortie directe \(V_2\) était de 1.5 m/s, quelle serait la nouvelle vitesse \(V_3\) en m/s ?

Question 2 : Calculer la perte de charge dans la branche directe (ΔH₁₋₂)

Principe (le concept physique)

Le théorème de Bernoulli nous dit que l'énergie totale d'un fluide se conserve, sauf si elle est dissipée. La perte de charge est précisément cette énergie "perdue" (transformée en chaleur par la turbulence) entre deux points. En mesurant la pression et la vitesse en 1 et 2, on peut calculer l'énergie totale à ces deux points. La différence entre les deux est la perte de charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie totale d'un fluide, ou "charge hydraulique", se compose de trois termes : l'énergie de pression (\(P/\rho g\)), l'énergie cinétique (\(V^2/2g\)) et l'énergie potentielle (\(z\)). Chacun de ces termes a la dimension d'une hauteur (mètres). La perte de charge \(\Delta H\) représente la diminution de cette charge totale due aux frottements et aux turbulences.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez l'énergie d'un fluide comme le solde d'un compte en banque. La pression est l'argent disponible, la vitesse est un investissement risqué (peut se transformer en pression et vice-versa). La perte de charge, c'est comme les frais de gestion du compte : une perte nette et irrécupérable à chaque transaction (chaque raccord).

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes de test pour déterminer expérimentalement les pertes de charge dans les composants de tuyauterie sont standardisées (par exemple, par l'ASME Performance Test Codes ou des normes ISO) pour garantir que les données fournies par les fabricants sont fiables et comparables.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On réarrange l'équation de Bernoulli pour isoler la perte de charge \( \Delta H_{1-2} \). Comme la conduite est horizontale, \(z_1 = z_2\).

\[ \Delta H_{1-2} = \left( \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} \right) - \left( \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les points de mesure 1 et 2 sont situés sur une même ligne de courant moyenne et que les valeurs mesurées sont représentatives de la section entière. On néglige les pertes par frottement sur la courte distance entre les points.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(P_1 = 150000 \, \text{Pa}\), \(V_1 = 2.0 \, \text{m/s}\)
  • \(P_2 = 146000 \, \text{Pa}\), \(V_2 = 1.2 \, \text{m/s}\)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m³}\), \(g = 9.81 \, \text{m/s²}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez la "charge totale" (ou énergie totale) à chaque point séparément avant de faire la soustraction. Cela évite les erreurs de signe et clarifie le calcul : \(H_{\text{total}} = H_{\text{pression}} + H_{\text{vitesse}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique 1 → 2
H₁H₂ΔH₁₋₂ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule d'abord la charge totale au point 1 :

\[ \begin{aligned} H_1 &= \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} \\ &= \frac{150000}{1000 \cdot 9.81} + \frac{2.0^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 15.29 + 0.20 \\ &= 15.49 \, \text{mCE} \end{aligned} \]

Puis la charge totale au point 2 :

\[ \begin{aligned} H_2 &= \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} \\ &= \frac{146000}{1000 \cdot 9.81} + \frac{1.2^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 14.88 + 0.07 \\ &= 14.95 \, \text{mCE} \end{aligned} \]

Enfin, la perte de charge est la différence :

\[ \begin{aligned} \Delta H_{1-2} &= H_1 - H_2 \\ &= 15.49 - 14.95 \\ &= 0.54 \, \text{mCE} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Perte de Charge Calculée 1 → 2
15.49 m14.95 mΔH = 0.54 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le fluide a perdu 0.54 mètre de "hauteur d'énergie" en passant tout droit dans le té. Notez que la pression a chuté (\(P_2 < P_1\)), mais une partie de cette chute est due à la décélération du fluide (\(V_2 < V_1\)), qui "redonne" de la pression (effet Venturi inversé). La perte de charge est la chute d'énergie nette, irréversible.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas la chute de pression (\(P_1 - P_2\)) avec la perte de charge (\(\Delta H\)). La perte de charge prend en compte le changement d'énergie cinétique. Si le fluide accélère, la pression peut chuter même sans perte d'énergie. Seul le bilan énergétique complet donne la vraie perte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation de Bernoulli relie l'énergie entre deux points.
  • La perte de charge \(\Delta H\) est la perte d'énergie totale (en mètres).
  • La charge totale est la somme des charges de pression, de vitesse et d'altitude.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le tube de Pitot, utilisé sur les avions pour mesurer la vitesse, est une application directe de Bernoulli. Il mesure la différence entre la pression totale (stagnation) et la pression statique, cette différence étant directement liée à l'énergie cinétique (\(\rho V^2/2\)), ce qui permet de calculer la vitesse V.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi exprime-t-on l'énergie en mètres ?

C'est une convention très pratique en hydraulique. Un "mètre de colonne d'eau" (mCE) est une unité de pression (équivalente à 9810 Pa) mais aussi d'énergie par unité de poids. Cela permet de comparer directement les trois formes d'énergie (pression, vitesse, altitude) sur un même graphique et de visualiser les pertes comme une "chute" de hauteur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge dans la branche directe est \(\Delta H_{1-2} \approx 0.54 \, \text{mCE}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pression en sortie directe \(P_2\) était de 148 000 Pa, quelle serait la nouvelle perte de charge \(\Delta H_{1-2}\) en mCE ?

Question 3 : Calculer la perte de charge dans la branche dérivée (ΔH₁₋₃)

Principe (le concept physique)

Le principe est identique à la question précédente. On applique la conservation de l'énergie entre l'entrée (1) et la sortie dérivée (3). On s'attend à une perte de charge plus importante, car forcer une partie du fluide à tourner à 90° est un processus qui génère beaucoup plus de turbulence et de dissipation d'énergie que de le laisser aller tout droit.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La perte d'énergie dans une dérivation est principalement due au phénomène de "décollement de la veine fluide". En tournant brusquement, le fluide ne peut pas suivre la paroi interne du coude, créant une zone de basse pression et de recirculation (tourbillons) qui dissipe une grande quantité d'énergie mécanique en chaleur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une foule se déplaçant dans un couloir. Il est beaucoup plus facile et moins chaotique pour tout le monde de continuer tout droit que de prendre une porte latérale à 90°. Le virage crée des bousculades et une perte d'élan (énergie) pour ceux qui le prennent. C'est pareil pour les molécules d'eau.

Normes (la référence réglementaire)

Les données sur les pertes de charge des tés sont cruciales pour les logiciels de simulation de réseaux. Ces logiciels intègrent des bases de données issues de normes ou de catalogues de fabricants (comme Idelcik ou Miller) pour modéliser précisément le comportement des systèmes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'équation est la même, mais appliquée entre les points 1 et 3. La conduite est toujours horizontale, donc \(z_1 = z_3\).

\[ \Delta H_{1-3} = \left( \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} \right) - \left( \frac{P_3}{\rho g} + \frac{V_3^2}{2g} \right) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 2 : écoulement permanent, fluide incompressible, mesures représentatives et pertes par frottement négligeables.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge totale en 1 (calculée en Q2) = \(15.49 \, \text{mCE}\)
  • \(P_3 = 138000 \, \text{Pa}\)
  • \(V_3 = 3.2 \, \text{m/s}\) (calculée en Q1)
  • \(\rho = 1000 \, \text{kg/m³}\), \(g = 9.81 \, \text{m/s²}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisque la charge totale en entrée \(H_1\) a déjà été calculée à la question précédente, il n'est pas nécessaire de la recalculer. Réutilisez directement la valeur de 15.49 mCE pour gagner du temps et éviter les erreurs.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan Énergétique 1 → 3
H₁H₃ΔH₁₋₃ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule la charge totale au point 3 :

\[ \begin{aligned} H_3 &= \frac{P_3}{\rho g} + \frac{V_3^2}{2g} \\ &= \frac{138000}{1000 \cdot 9.81} + \frac{3.2^2}{2 \cdot 9.81} \\ &= 14.07 + 0.52 \\ &= 14.59 \, \text{mCE} \end{aligned} \]

Puis on calcule la perte de charge :

\[ \begin{aligned} \Delta H_{1-3} &= H_1 - H_3 \\ &= 15.49 - 14.59 \\ &= 0.90 \, \text{mCE} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Perte de Charge Calculée 1 → 3
15.49 m14.59 mΔH = 0.90 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, la perte de charge dans la branche dérivée (0.90 mCE) est significativement plus élevée que dans la branche directe (0.54 mCE). Le changement brusque de direction a un coût énergétique élevé. C'est une règle générale en hydraulique : les chemins tortueux sont toujours plus dissipatifs.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente ici est de se tromper de valeurs. Assurez-vous d'utiliser la pression \(P_3\) et la vitesse \(V_3\) pour calculer la charge au point 3. Une simple inversion avec les données du point 2 mènerait à un résultat incorrect.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les changements de direction brusques (dérivation à 90°) causent des pertes de charge élevées.
  • Le principe de calcul (équation de Bernoulli) reste le même pour n'importe quel trajet du fluide.
  • Comparer les pertes de charge permet d'identifier les points les plus "coûteux" en énergie dans un réseau.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour minimiser les pertes dans les dérivations critiques, les ingénieurs utilisent des tés "à culotte" ou des raccords avec des angles plus doux (45°). La forme plus hydrodynamique guide le fluide et réduit le décollement de la veine, diminuant ainsi le coefficient de perte de charge.

FAQ (pour lever les doutes)
La pression peut-elle augmenter après un raccord ?

Oui, c'est possible ! Si un raccord provoque une forte décélération du fluide (comme un élargissement brusque), la conversion de l'énergie cinétique en énergie de pression peut être supérieure à la perte de charge. La pression \(P_2\) peut alors être supérieure à \(P_1\), même si l'énergie totale \(H_2\) est bien inférieure à \(H_1\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge dans la branche dérivée est \(\Delta H_{1-3} \approx 0.90 \, \text{mCE}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pression en sortie dérivée \(P_3\) était de 140 000 Pa, quelle serait la nouvelle perte de charge \(\Delta H_{1-3}\) en mCE ?

Question 4 : Déterminer les coefficients de perte de charge (K)

Principe (le concept physique)

Le coefficient K est un nombre adimensionnel qui représente la "difficulté" pour le fluide de passer à travers le raccord. Il met en relation la perte d'énergie (\(\Delta H\)) avec l'énergie cinétique de référence (\(V_1^2/2g\)). En calculant K, on obtient une caractéristique intrinsèque du té pour cette répartition de débit, indépendante de la vitesse ou de la pression absolue de l'écoulement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La non-dimensionnalisation est un outil puissant en ingénierie. En rapportant la perte de charge à l'énergie cinétique, on crée un paramètre (K) qui est théoriquement constant pour des conditions d'écoulement géométriquement et dynamiquement similaires (même forme de raccord et même régime d'écoulement, caractérisé par le nombre de Reynolds).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au coefficient K comme à un "handicap" pour un golfeur. Il ne dit pas quel sera son score (la perte de charge), mais il quantifie son niveau de difficulté intrinsèque. Pour connaître le score final, il faut jouer le parcours (faire passer un débit). La formule \(\Delta H = K \cdot V^2/2g\) est l'équivalent de "Score = Handicap × Difficulté du parcours".

Normes (la référence réglementaire)

Les manuels de référence en ingénierie, comme le "Crane Technical Paper No. 410" ou le "Idelcik - Mémento des pertes de charge", sont des compilations exhaustives de coefficients K pour des centaines de types de vannes et raccords, basées sur des décennies de données expérimentales.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la définition de la perte de charge singulière et on isole K. La vitesse de référence est celle en entrée (\(V_1\)).

\[ \Delta H = K \cdot \frac{V_1^2}{2g} \quad \Rightarrow \quad K = \frac{\Delta H}{V_1^2 / (2g)} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le régime d'écoulement est pleinement turbulent, ce qui est généralement le cas dans les applications industrielles. Dans ce régime, le coefficient K est quasiment indépendant du nombre de Reynolds (et donc de la viscosité du fluide).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\Delta H_{1-2} = 0.54 \, \text{mCE}\) (de Q2)
  • \(\Delta H_{1-3} = 0.90 \, \text{mCE}\) (de Q3)
  • Énergie cinétique d'entrée : \( \frac{V_1^2}{2g} = \frac{2.0^2}{2 \cdot 9.81} = 0.204 \, \text{mCE} \)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez l'énergie cinétique de référence (\(V_1^2/2g\)) une seule fois. C'est le dénominateur commun pour tous les calculs de K rapportés à l'entrée. Le garder en mémoire évite de le retaper et réduit les risques d'erreur.

Schéma (Avant les calculs)
Normalisation de la Perte de Charge
K = ΔH / H_vitesseΔHV₁²/2g÷
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule K pour la branche directe :

\[ \begin{aligned} K_{1-2} &= \frac{\Delta H_{1-2}}{V_1^2 / (2g)} \\ &= \frac{0.54}{0.204} \\ &\approx 2.65 \end{aligned} \]

Puis pour la branche dérivée :

\[ \begin{aligned} K_{1-3} &= \frac{\Delta H_{1-3}}{V_1^2 / (2g)} \\ &= \frac{0.90}{0.204} \\ &\approx 4.41 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Coefficients K du Té
K₁₋₂ ≈ 2.65K₁₋₃ ≈ 4.41
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces coefficients sont élevés. Un K de 2.65 signifie que le fluide perd 2.65 fois son énergie cinétique initiale juste en passant tout droit dans le té. Un K de 4.41 pour la dérivation est encore plus important. Ces valeurs dépendent fortement du ratio des débits. Si tout le débit passait tout droit (\(Q_3=0\)), K₁₋₂ serait très faible. Si tout le débit était dévié (\(Q_2=0\)), le té se comporterait comme un coude et K₁₋₃ aurait une autre valeur. Les abaques des fabricants donnent ces coefficients en fonction du ratio des débits.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il est crucial de toujours préciser à quelle vitesse le coefficient K est rapporté. Un K rapporté à la vitesse d'entrée (\(V_1\)) aura une valeur très différente d'un K rapporté à la vitesse de sortie (\(V_2\) ou \(V_3\)). La vitesse en amont est la référence la plus courante pour les tés de dérivation.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le coefficient K est une mesure adimensionnelle de la perte de charge.
  • Il relie la perte de charge (\(\Delta H\)) à l'énergie cinétique de référence (\(V^2/2g\)).
  • K dépend de la géométrie du raccord et de la répartition des débits.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les simulations par CFD (Mécanique des Fluides Numérique), les ingénieurs ne rentrent pas de coefficients K. Le logiciel résout les équations de Navier-Stokes sur un maillage fin de la géométrie du té, et la perte d'énergie due à la turbulence est un résultat direct du calcul, sans avoir besoin de coefficients empiriques.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment les fabricants mesurent-ils ces coefficients K ?

Ils utilisent des bancs d'essai hydrauliques très précis. Ils installent le raccord à tester, font circuler de l'eau à différents débits, et mesurent très précisément les pressions en amont et en aval avec des capteurs de pression différentielle. En utilisant les équations que nous venons de voir, ils calculent ensuite les valeurs de K pour toute une gamme de conditions.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les coefficients de perte de charge sont \(K_{1-2} \approx 2.65\) et \(K_{1-3} \approx 4.41\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la perte de charge dans la branche directe \(\Delta H_{1-2}\) était de 0.40 mCE, quel serait le nouveau coefficient \(K_{1-2}\) ?

Outil Interactif : Influence de la Répartition du Débit

Modifiez le pourcentage de débit passant dans la branche dérivée pour voir son impact sur les coefficients de perte de charge (basé sur des modèles empiriques).

Paramètres d'Entrée
40 %
Coefficients Résultants
K₁₋₂ (Branche directe) -
K₁₋₃ (Branche dérivée) -

Le Saviez-Vous ?

L'étude des pertes de charge dans les raccords a été largement empirique pendant des siècles. Ce sont les travaux de chercheurs comme Julius Weisbach et Henry Darcy au 19ème siècle qui ont permis de systématiser ces calculs avec des coefficients adimensionnels, ouvrant la voie à l'ingénierie hydraulique moderne et à la conception de vastes réseaux d'adduction d'eau comme ceux de Paris.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la pression chute-t-elle dans un raccord ?

La chute de pression est la manifestation de la perte d'énergie. Le fluide, en changeant de direction ou de section, crée des tourbillons et des zones de recirculation. Cette turbulence dissipe l'énergie mécanique de l'écoulement en chaleur, ce qui se traduit par une baisse de pression irréversible en aval du raccord.

Est-ce que le coefficient K est une constante ?

Non. Pour un raccord donné (comme un té), le coefficient K dépend fortement de la manière dont l'écoulement se comporte. Pour un té, K varie énormément en fonction du ratio des débits entre la branche directe et la branche dérivée. Les catalogues de fabricants fournissent des graphiques (abaques) pour trouver la valeur de K correspondant à la situation d'utilisation.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un té, si on augmente le débit dans la branche dérivée (Q₃), la perte de charge dans la branche directe (ΔH₁₋₂) va généralement...

2. L'équation de Bernoulli est une expression de la conservation de...

Perte de Charge
Perte d'énergie mécanique, généralement exprimée en hauteur de fluide (mCE) ou en pression (Pa), subie par un fluide en mouvement. On distingue les pertes linéaires (frottement) et singulières (raccords).
Équation de Bernoulli
Principe fondamental de la dynamique des fluides qui relie la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en écoulement, traduisant la conservation de l'énergie.
Coefficient K
Nombre adimensionnel qui caractérise la perte de charge d'un raccord hydraulique. Il permet de calculer la perte d'énergie pour un débit donné.
Calcul du Coefficient de Perte de Charge pour un Té de Dérivation

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