ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul des Pertes de Charge avec Darcy-Weisbach

Calcul des Pertes de Charge Régulières

Calcul des Pertes de Charge avec Darcy-Weisbach

Comprendre les Pertes de Charge Régulières

En hydraulique, un fluide en mouvement dans une conduite perd de l'énergie à cause des frottements contre les parois. Cette perte d'énergie, appelée "perte de charge", se traduit par une diminution de la pression. Les pertes de charge sont dites "régulières" ou "linéiques" lorsqu'elles se produisent dans une conduite droite de section constante. La formule de Darcy-Weisbach est l'équation fondamentale pour les calculer. Elle est valable pour tous les régimes d'écoulement (laminaire et turbulent) et tous les fluides.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement d'eau dans une conduite horizontale en fonte.

Caractéristiques du fluide et de la conduite :

  • Fluide : Eau à 20°C
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
  • Viscosité cinématique de l'eau (\(\nu\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Conduite en fonte neuve, rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.26 \, \text{mm}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(150 \, \text{mm}\)
  • Longueur de la conduite (\(L\)) : \(200 \, \text{m}\)

Conditions de l'écoulement :

  • Vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)

Hypothèse : On utilisera la formule de Colebrook-White (souvent présentée sous forme de diagramme de Moody) pour déterminer le coefficient de perte de charge \(f\). Pour cet exercice, une valeur de \(f = 0.0235\) sera admise après itération.

Schéma : Écoulement dans une conduite
V Longueur L = 200 m D=150mm Pression P₁ Pression P₂ (P₂ < P₁)

Écoulement d'eau dans une conduite droite, entraînant des pertes de charge régulières.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
  2. Déterminer le régime d'écoulement (laminaire, transitoire ou turbulent).
  3. Calculer la rugosité relative (\(\epsilon/D\)) de la conduite.
  4. En utilisant le coefficient de perte de charge donné (\(f = 0.0235\)), calculer la perte de charge régulière (\(h_\text{f}\)) en mètres de colonne de fluide.
  5. Calculer la chute de pression (\(\Delta P\)) correspondante en Pascals (Pa) et en bars.

Correction : Calcul des Pertes de Charge avec Darcy-Weisbach

Question 1 : Nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe :

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui caractérise un écoulement. Il représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Il permet de prédire le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Re = \frac{V \cdot D}{\nu}\]
Données spécifiques (unités SI) :
  • Vitesse (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(150 \, \text{mm} = 0.15 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique (\(\nu\)) : \(1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.5 \, \text{m/s} \times 0.15 \, \text{m}}{1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\text{/s}} \\ &= \frac{0.225}{1.004 \times 10^{-6}} \\ &\approx 224103 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le nombre de Reynolds est \(Re \approx 2.24 \times 10^5\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la viscosité du fluide augmente, le nombre de Reynolds :

Question 2 : Régime d'Écoulement

Principe :

Le régime d'écoulement est déterminé par la valeur du nombre de Reynolds. Pour un écoulement en conduite :
- Si \(Re < 2000\), l'écoulement est laminaire.
- Si \(2000 < Re < 4000\), l'écoulement est dans une zone de transition.
- Si \(Re > 4000\), l'écoulement est turbulent.

Comparaison :

La valeur calculée du nombre de Reynolds est \(Re \approx 224103\).

\[224103 > 4000\]
Résultat Question 2 : Puisque \(Re > 4000\), l'écoulement est turbulent.

Quiz Intermédiaire 2 : Un écoulement laminaire se caractérise par des trajectoires de fluide :

Question 3 : Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))

Principe :

La rugosité relative est un nombre sans dimension qui compare la hauteur moyenne des aspérités de la paroi interne de la conduite (\(\epsilon\)) au diamètre de la conduite (\(D\)). Ce paramètre est crucial pour déterminer le coefficient de frottement dans les écoulements turbulents.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Rugosité relative} = \frac{\epsilon}{D}\]
Données spécifiques (unités homogènes) :
  • Rugosité absolue (\(\epsilon\)) : \(0.26 \, \text{mm}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(150 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.26 \, \text{mm}}{150 \, \text{mm}} \\ &\approx 0.00173 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La rugosité relative est d'environ 0.00173.

Quiz Intermédiaire 3 : Pour une même rugosité absolue, une conduite de plus grand diamètre aura une rugosité relative :

Question 4 : Perte de Charge Régulière (\(h_\text{f}\))

Principe :

La perte de charge régulière (\(h_\text{f}\)), exprimée en mètres de colonne de fluide (mCF), est calculée à l'aide de la formule de Darcy-Weisbach. Elle est proportionnelle à la longueur de la conduite, au carré de la vitesse, et inversement proportionnelle au diamètre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[h_\text{f} = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}\]
Données spécifiques (unités SI) :
  • Coefficient de perte de charge (\(f\)) : \(0.0235\) (donné)
  • Longueur (\(L\)) : \(200 \, \text{m}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(0.15 \, \text{m}\)
  • Vitesse (\(V\)) : \(1.5 \, \text{m/s}\)
  • Pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_\text{f} &= 0.0235 \times \frac{200 \, \text{m}}{0.15 \, \text{m}} \times \frac{(1.5 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 0.0235 \times 1333.33 \times \frac{2.25}{19.62} \\ &= 31.333 \times 0.11468 \\ &\approx 3.593 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La perte de charge régulière est \(h_\text{f} \approx 3.59 \, \text{m}\).

Question 5 : Chute de Pression (\(\Delta P\))

Principe :

La perte de charge (\(h_\text{f}\)) représente une hauteur de colonne de fluide. Pour la convertir en une différence de pression (\(\Delta P\)), on utilise la relation fondamentale de l'hydrostatique. La pression est égale à la hauteur multipliée par la masse volumique du fluide et l'accélération de la pesanteur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta P = \rho g h_\text{f}\]
Données spécifiques :
  • Masse volumique (\(\rho\)) : \(998.2 \, \text{kg/m}^3\)
  • Pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Perte de charge (\(h_\text{f}\)) : \(3.593 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta P &= 998.2 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 3.593 \, \text{m} \\ &\approx 35158 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Conversion en bars (sachant que \(1 \, \text{bar} = 100 000 \, \text{Pa}\)) :

\[ \Delta P = \frac{35158}{100000} \approx 0.352 \, \text{bar} \]
Résultat Question 5 : La chute de pression est \(\Delta P \approx 35158 \, \text{Pa} \approx 0.352 \, \text{bar}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. La formule de Darcy-Weisbach est utilisée pour calculer les pertes de charge :

7. En régime turbulent, le coefficient de perte de charge \(f\) dépend :

8. Si on double la vitesse d'écoulement (en supposant \(f\) constant), la perte de charge \(h_\text{f}\) est :

Glossaire

Perte de Charge (\(h_\text{f}\))
Perte d'énergie d'un fluide en mouvement, exprimée en hauteur équivalente de ce fluide (ex: en mètres). Elle est due aux frottements.
Perte de Charge Régulière (ou Linéique)
Perte de charge se produisant le long d'une conduite rectiligne de section et de rugosité constantes.
Formule de Darcy-Weisbach
Équation fondamentale utilisée pour calculer les pertes de charge régulières dans une conduite.
Nombre de Reynolds (\(Re\))
Nombre sans dimension qui détermine le régime d'écoulement d'un fluide (laminaire ou turbulent) en comparant les forces d'inertie aux forces de viscosité.
Régime Laminaire
Écoulement à faible vitesse où les particules de fluide se déplacent en couches parallèles, sans se mélanger. Typiquement pour \(Re < 2000\).
Régime Turbulent
Écoulement à plus haute vitesse, caractérisé par des mouvements chaotiques, des tourbillons et un mélange intense du fluide. Typiquement pour \(Re > 4000\).
Rugosité Absolue (\(\epsilon\))
Hauteur moyenne des aspérités de la surface intérieure d'une conduite, exprimée en unités de longueur (ex: mm).
Rugosité Relative (\(\epsilon/D\))
Rapport sans dimension entre la rugosité absolue et le diamètre de la conduite. Influence majeure sur le frottement en régime turbulent.
Coefficient de Perte de Charge (\(f\))
Aussi appelé facteur de friction de Darcy. Coefficient sans dimension qui dépend du nombre de Reynolds et de la rugosité relative. Il est déterminé via le diagramme de Moody ou des formules comme celle de Colebrook-White.
Calcul des Pertes de Charge - Exercice d'Application

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