ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul des Pertes de Charge avec Colebrook-White

Résolution de l'équation de Colebrook-White en Hydraulique

Calcul des Pertes de Charge avec Colebrook-White

Contexte : L'énergie de l'eau, un enjeu majeur en hydraulique.

En mécanique des fluides, le calcul des pertes de charge est essentiel pour dimensionner correctement les réseaux de canalisations (distribution d'eau potable, chauffage, irrigation...). Ces pertes, dues au frottement du fluide sur les parois de la conduite, représentent une perte d'énergie qui doit souvent être compensée par une pompe. L'équation de Colebrook-WhiteÉquation empirique qui relie le coefficient de perte de charge f, le nombre de Reynolds Re et la rugosité relative ε/D pour les écoulements turbulents. Elle est implicite et nécessite une résolution numérique ou itérative. est la référence pour déterminer précisément le coefficient de frottement dans les écoulements turbulents, mais sa nature implicite requiert une résolution par itérations. Cet exercice vous guidera dans cette démarche de calcul, fondamentale pour tout ingénieur hydraulicien.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le passage d'un problème physique (l'écoulement d'un fluide dans un tuyau) à une résolution numérique. Nous allons utiliser des paramètres physiques (débit, diamètre, viscosité) pour calculer des nombres adimensionnels (Reynolds), puis résoudre une équation implicite pour trouver un coefficient de frottement, et enfin revenir à une grandeur physique : la perte d'énergie. C'est le quotidien du dimensionnement en hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse d'écoulement et le nombre de Reynolds.
  • Comprendre l'influence de la rugosité relative de la conduite.
  • Appliquer une méthode itérative (point fixe) pour résoudre l'équation de Colebrook-White.
  • Utiliser l'équation de Darcy-Weisbach pour calculer la perte de charge linéaire.
  • Estimer la puissance hydraulique nécessaire pour compenser les frottements.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement d'eau dans une conduite en fonte neuve, horizontale et de section circulaire constante. On souhaite déterminer la perte de charge linéaire sur une section de cette conduite pour ensuite dimensionner une pompe de circulation.

Schéma de la conduite étudiée
Q L = 500 m D
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique \(Q\) 80 \(\text{L/s}\)
Diamètre intérieur \(D\) 250 \(\text{mm}\)
Longueur de la conduite \(L\) 500 \(\text{m}\)
Rugosité absolue (fonte neuve) \(\varepsilon\) 0.26 \(\text{mm}\)
Viscosité cinématique de l'eau (à 10°C) \(\nu\) 1.30 \(\times\) 10⁻⁶ \(\text{m²/s}\)
Accélération de la pesanteur \(g\) 9.81 \(\text{m/s²}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement \(V\) en m/s.
  2. Calculer le nombre de Reynolds \(Re\) et déterminer le régime d'écoulement.
  3. Déterminer le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) en utilisant l'équation de Colebrook-White. Effectuer 3 itérations à partir d'une valeur initiale \(f_0 = 0.02\).
  4. Calculer la perte de charge linéaire \(J\) (en mCE/m) puis la perte de charge totale \(\Delta H_f\) (en mCE).

Les bases de l'Hydraulique en Charge

Avant de commencer la résolution, voici un rappel des équations fondamentales.

1. Le Nombre de Reynolds (\(Re\)) :
Ce nombre adimensionnel compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il permet de déterminer le régime d'écoulement :

  • \(Re < 2000\) : Régime laminaire (écoulement "ordonné")
  • \(Re > 4000\) : Régime turbulent (écoulement "chaotique")
\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]

2. L'équation de Colebrook-White :
Valable pour le régime turbulent, cette équation relie le coefficient de perte de charge \(f\) au nombre de Reynolds et à la rugosité relative \(\varepsilon/D\). Elle est dite **implicite** car \(f\) apparaît des deux côtés de l'équation, ce qui impose une résolution par itérations. \[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}}\right) \]

3. L'équation de Darcy-Weisbach :
Une fois \(f\) déterminé, cette équation permet de calculer la perte de charge linéaire \(\Delta H_f\) (l'énergie perdue par frottement, exprimée en mètres de colonne d'eau - mCE) sur une longueur \(L\). \[ \Delta H_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \]

Correction : Calcul des Pertes de Charge avec Colebrook-White

Question 1 : Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (V)

Principe (le concept physique)

La vitesse moyenne est déduite du principe de conservation de la masse (ou du volume pour un fluide incompressible). Le débit volumique \(Q\) est le produit de la vitesse moyenne \(V\) par l'aire de la section transversale de l'écoulement \(A\). Pour trouver la vitesse, il suffit donc de diviser le débit par l'aire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de continuité pour un fluide incompressible (\(Q = V \cdot A\)) stipule que pour un débit constant, si la section \(A\) diminue, la vitesse \(V\) doit augmenter, et vice-versa. C'est ce principe qui explique l'accélération de l'eau dans un rétrécissement de tuyau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout problème d'hydraulique est souvent la plus simple, mais elle est cruciale : l'homogénéisation des unités. Les débits sont souvent donnés en L/s ou m³/h, les diamètres en mm. Il est impératif de tout convertir dans le système international (m³/s et m) avant de commencer les calculs pour éviter des erreurs d'un facteur 1000 ou plus.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de plomberie et de génie civil (comme les DTU en France) préconisent des plages de vitesses dans les canalisations. Typiquement, entre 0.5 m/s pour éviter la sédimentation des particules et 2.5 m/s pour limiter l'érosion, le bruit (coups de bélier) et les pertes de charge excessives.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La relation entre le débit, la vitesse et l'aire d'une section circulaire est :

\[ Q = V \cdot A \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \Rightarrow V = \frac{4Q}{\pi D^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'écoulement se fait en pleine section (la conduite est pleine d'eau) et que le fluide (eau) est incompressible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Débit volumique, \(Q = 80 \, \text{L/s}\)
  • Diamètre intérieur, \(D = 250 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour convertir des L/s en m³/s, il suffit de diviser par 1000. Pour convertir des mm en m, il faut également diviser par 1000. Retenez bien ces deux conversions, elles sont omniprésentes.

Schéma (Avant les calculs)
Relation Débit-Vitesse
Q = 80 L/s→V = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités en SI :

\[ \begin{aligned} Q &= 80 \, \text{L/s} \\ &= 80 \times 10^{-3} \, \text{m³/s} \\ &= 0.08 \, \text{m³/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D &= 250 \, \text{mm} \\ &= 0.250 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la vitesse :

\[ \begin{aligned} V &= \frac{4 \times 0.08 \, \text{m³/s}}{\pi \times (0.250 \, \text{m})^2} \\ &= \frac{0.32}{\pi \times 0.0625} \, \text{m/s} \\ &\approx 1.63 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vitesse Calculée
Q = 80 L/s→V ≈ 1.63 m/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 1.63 m/s est une valeur tout à fait classique pour des réseaux de distribution d'eau. Elle se situe bien dans la plage recommandée par les normes pour assurer un bon compromis entre efficacité et durabilité de l'installation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente ici est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de l'aire (\(A = \pi D^2 / 4\)). Une autre erreur classique est une mauvaise conversion des unités, qui peut fausser le résultat d'un facteur 1000 ou même 1 000 000 si on oublie le carré.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vitesse est le débit divisé par la section : \(V = Q/A\).
  • L'aire d'un cercle est \(\pi D^2 / 4\).
  • La cohérence des unités (tout en m, s, m³, etc.) est la clé pour éviter les erreurs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En réalité, la vitesse n'est pas uniforme dans la section du tuyau. Elle est nulle sur les parois (à cause de la viscosité) et maximale au centre. La vitesse \(V\) que nous calculons est une vitesse moyenne, qui donne le même débit que si la vitesse était uniforme.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi est-il important de limiter la vitesse dans les tuyaux ?

Une vitesse trop élevée (> 3 m/s) peut causer une érosion des parois, surtout dans les coudes, et augmenter le risque de "coups de bélier" (ondes de surpression) lors de la fermeture rapide d'une vanne. Une vitesse trop faible (< 0.5 m/s) peut entraîner le dépôt de sédiments dans la conduite.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse moyenne de l'écoulement est d'environ 1.63 m/s.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si pour le même débit (80 L/s), on utilisait une conduite de 300 mm de diamètre, quelle serait la nouvelle vitesse en m/s ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds (Re)

Principe (le concept physique)

Le nombre de Reynolds est le critère qui nous permet de savoir si l'écoulement est laminaire (les particules de fluide se déplacent en couches parallèles, frottements faibles) ou turbulent (mouvements chaotiques et tourbillonnaires, frottements élevés). La quasi-totalité des écoulements en ingénierie hydraulique sont turbulents. Le calcul de Re est indispensable pour choisir la bonne formule de perte de charge (ici, Colebrook-White).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le nombre de Reynolds représente physiquement le rapport entre les forces d'inertie (qui tendent à créer des tourbillons et le chaos) et les forces de viscosité (qui tendent à amortir ces mouvements et à maintenir l'écoulement en couches lisses). Quand Re est grand, l'inertie domine et l'écoulement devient turbulent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la fumée d'une cigarette ou d'une bougie : juste au-dessus de la source, le filet de fumée est droit et lisse (laminaire, Re faible). Puis, en s'élevant, il devient soudainement chaotique et tourbillonnaire (turbulent, Re plus élevé). C'est une visualisation parfaite de la transition de régime d'écoulement.

Normes (la référence réglementaire)

Les seuils de transition (Re ≈ 2000 pour la fin du laminaire, Re ≈ 4000 pour le début du turbulent) sont des valeurs expérimentales établies par Osborne Reynolds à la fin du 19ème siècle. Elles sont universellement acceptées et constituent la base de toutes les normes et formulaires de mécanique des fluides.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule du nombre de Reynolds est :

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le fluide est Newtonien (sa viscosité ne dépend pas des contraintes qu'il subit) et que sa viscosité cinématique \(\nu\) est constante, ce qui est vrai pour une température donnée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Vitesse moyenne, \(V \approx 1.63 \, \text{m/s}\)
  • Diamètre intérieur, \(D = 0.250 \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique, \(\nu = 1.30 \times 10^{-6} \, \text{m²/s}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour l'eau dans des conduites de taille courante, l'écoulement est presque toujours turbulent. Si vous obtenez un nombre de Reynolds inférieur à 2000, il est très probable qu'il y ait une erreur dans vos unités ou vos calculs. C'est un bon réflexe de vérification.

Schéma (Avant les calculs)
Régimes d'Écoulement
Laminaire (Re < 2000)Turbulent (Re > 4000)Notre cas ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec les valeurs en unités SI.

\[ \begin{aligned} Re &= \frac{1.63 \, \text{m/s} \times 0.250 \, \text{m}}{1.30 \times 10^{-6} \, \text{m²/s}} \\ &\approx 313462 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Régime Confirmé
Turbulent (Re > 4000)Re ≈ 313 000
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Reynolds est de 313 462. Cette valeur est très supérieure à 4000, ce qui confirme sans ambiguïté que l'écoulement est en régime turbulent. L'utilisation de l'équation de Colebrook-White est donc justifiée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que toutes les grandeurs (V, D, \(\nu\)) sont bien dans le même système d'unités (de préférence le SI) avant le calcul. Une erreur commune est de mélanger des mm et des m. Le nombre de Reynolds est adimensionnel, donc si votre calcul aboutit à une unité, c'est qu'il y a une erreur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le nombre de Reynolds \(Re = VD/\nu\) est adimensionnel.
  • Il détermine le régime d'écoulement : laminaire, transitoire ou turbulent.
  • Un \(Re > 4000\) signifie que l'écoulement est turbulent et que les pertes de charge seront importantes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nombre de Reynolds est l'un des nombres adimensionnels les plus importants en ingénierie. Il est utilisé non seulement en hydraulique, mais aussi en aérodynamique (pour les ailes d'avion), en génie chimique (pour les réacteurs) et même en biologie (pour l'étude du flux sanguin).

FAQ (pour lever les doutes)
La température de l'eau change-t-elle beaucoup le nombre de Reynolds ?

Oui, de manière significative. La viscosité cinématique de l'eau \(\nu\) passe de 1.78x10⁻⁶ m²/s à 0°C à 0.29x10⁻⁶ m²/s à 100°C. Pour un même débit, le nombre de Reynolds peut donc être 6 fois plus élevé pour de l'eau chaude que pour de l'eau glacée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nombre de Reynolds est d'environ 313 462. L'écoulement est turbulent.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on pompait une huile 10 fois plus visqueuse (\(\nu = 1.30 \times 10^{-5}\) m²/s) avec la même vitesse, quel serait le nouveau nombre de Reynolds ?

Question 3 : Déterminer le coefficient de perte de charge (f)

Principe (le concept physique)

Le coefficient \(f\) représente l'intensité du frottement. Il dépend de la vitesse (via Re) et de l'état de surface de la conduite (via \(\varepsilon/D\)). Comme l'équation de Colebrook est implicite, on ne peut pas isoler \(f\) directement. On utilise donc une méthode itérative : on part d'une supposition (\(f_0\)), on injecte cette valeur dans la partie droite de l'équation pour calculer une nouvelle valeur (\(f_1\)), et on répète le processus jusqu'à ce que la valeur de \(f\) se stabilise.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode utilisée ici est celle du "point fixe". On réécrit l'équation sous la forme \(f = g(f)\) et on applique la suite récurrente \(f_{\text{i+1}} = g(f_i)\). Si la fonction \(g\) est "contractante", la suite converge vers la solution unique de l'équation. C'est le cas pour l'équation de Colebrook-White, qui a la particularité de converger très rapidement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne soyez pas effrayé par le terme "itératif". C'est simplement une façon de dire qu'on affine notre résultat pas à pas. Imaginez que vous cherchez à deviner un nombre : vous faites une première proposition, on vous dit si vous êtes trop haut ou trop bas, vous ajustez votre proposition, et ainsi de suite jusqu'à trouver la bonne valeur. C'est exactement ce que nous faisons ici avec le coefficient \(f\).

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Colebrook-White est la base de la plupart des normes internationales pour le calcul des pertes de charge en régime turbulent, notamment celles de l'ISO. Des abaques comme le diagramme de Moody, qui est une représentation graphique de cette équation, sont aussi souvent fournis en annexe des normes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de Colebrook-White :

\[ \frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10}\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f}}\right) \]

Formule itérative (méthode du point fixe) :

\[ f_{i+1} = \left[ -2 \log_{10}\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{f_i}}\right) \right]^{-2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le régime est pleinement turbulent (ce que le calcul de Re a confirmé) et que la rugosité \(\varepsilon\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Nombre de Reynolds, \(Re \approx 313462\)
  • Rugosité absolue, \(\varepsilon = 0.26 \, \text{mm}\)
  • Diamètre intérieur, \(D = 250 \, \text{mm}\)
  • Valeur initiale, \(f_0 = 0.02\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une bonne valeur de départ pour \(f\) est cruciale pour une convergence rapide. \(f_0 = 0.02\) est un excellent choix de départ pour la plupart des problèmes d'hydraulique courants. Si vous n'avez aucune idée, vous pouvez utiliser une formule approchée (comme celle de Haaland) pour obtenir une première estimation très proche de la solution finale.

Schéma (Avant les calculs)
Processus Itératif
Départ: f₀=0.02Calculer f₁Calculer f₂f₁ ≈ f₀ ?NONFINOUI
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités et calcul de la rugosité relative :

\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon}{D} &= \frac{0.26 \, \text{mm}}{250 \, \text{mm}} \\ &= 0.00104 \end{aligned} \]

2. **Itération 1 :** On part de \(f_0 = 0.02\)

\[ \begin{aligned} f_1 &= \left[ -2 \log_{10}\left(\frac{0.00104}{3.7} + \frac{2.51}{313462 \sqrt{0.02}}\right) \right]^{-2} \\ &= \left[ -2 \log_{10}\left(0.000281 + 0.0000567\right) \right]^{-2} \\ &= \left[ -2 \log_{10}(0.0003377) \right]^{-2} \\ &\approx 0.02086 \end{aligned} \]

3. **Itération 2 :** On repart avec \(f_1 = 0.02086\)

\[ \begin{aligned} f_2 &= \left[ -2 \log_{10}\left(\frac{0.00104}{3.7} + \frac{2.51}{313462 \sqrt{0.02086}}\right) \right]^{-2} \\ &= \left[ -2 \log_{10}\left(0.000281 + 0.0000556\right) \right]^{-2} \\ &= \left[ -2 \log_{10}(0.0003366) \right]^{-2} \\ &\approx 0.02084 \end{aligned} \]

4. **Itération 3 :** On repart avec \(f_2 = 0.02084\)

\[ \begin{aligned} f_3 &= \left[ -2 \log_{10}\left(\frac{0.00104}{3.7} + \frac{2.51}{313462 \sqrt{0.02084}}\right) \right]^{-2} \\ &\approx 0.02084 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Convergence du Coefficient f
ItérationValeur de f
f₀ (initial)0.02000
f₁0.02086
f₂0.02084
f₃0.02084
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On observe que la valeur de \(f\) converge très rapidement. Dès la deuxième itération, les troisièmes et quatrièmes décimales sont stabilisées. La valeur \(f_2 = 0.02084\) est déjà une excellente approximation. On peut donc arrêter le processus et retenir cette valeur.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'utiliser le mauvais logarithme sur sa calculatrice. L'équation de Colebrook-White utilise le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\) ou "log"), et non le logarithme népérien ("ln"). Utiliser "ln" donnera un résultat complètement faux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation de Colebrook-White est implicite et se résout par itérations.
  • La méthode du point fixe est simple et converge rapidement pour ce problème.
  • Le coefficient \(f\) dépend à la fois du régime d'écoulement (Re) et de l'état de surface de la conduite (\(\varepsilon/D\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

C. F. Colebrook et C. M. White étaient des ingénieurs britanniques qui ont publié leur célèbre équation en 1939. C'était une interpolation brillante entre les formules existantes pour les conduites parfaitement lisses (où le frottement ne dépend que de Re) et les conduites très rugueuses (où le frottement ne dépend que de \(\varepsilon/D\)).

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le calcul ne converge pas ?

Pour cette équation, la convergence est presque toujours garantie si la valeur initiale n'est pas aberrante. Si le calcul diverge, cela indique presque certainement une erreur dans la saisie de la formule sur la calculatrice (une parenthèse oubliée, le mauvais logarithme, etc.).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de perte de charge linéaire est f ≈ 0.0208.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En partant de la valeur très précise \(f_2 = 0.02084\), effectuez une quatrième itération. Quelle est la nouvelle valeur de f (avec 5 décimales) ?

Question 4 : Calculer la perte de charge (\(\Delta H_f\))

Principe (le concept physique)

La perte de charge représente l'énergie "perdue" par le fluide à cause des frottements sur la longueur de la conduite. Elle est exprimée en mètres de colonne d'eau (mCE), ce qui correspond à la hauteur d'une colonne d'eau équivalente à l'énergie dissipée. L'équation de Darcy-Weisbach relie cette perte au coefficient de frottement, aux caractéristiques de la conduite (L, D) et à l'énergie cinétique du fluide (V²/2g).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le terme \(V^2/2g\) est appelé "hauteur dynamique". Il représente l'énergie cinétique du fluide par unité de poids. L'équation de Darcy-Weisbach montre que la perte de charge est proportionnelle à cette énergie cinétique. Le terme \(f \cdot L/D\) est un facteur adimensionnel qui représente l'importance relative des frottements sur la géométrie de la conduite.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de souffler dans une paille. Une paille longue et fine (\(L/D\) grand) offrira beaucoup de résistance. Une paille rugueuse à l'intérieur (\(f\) grand) aussi. Et plus vous soufflez fort (\(V\) grand), plus la résistance augmente. L'équation de Darcy-Weisbach combine tous ces effets de manière logique.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de conception des réseaux d'adduction d'eau ou de chauffage fixent des limites pour le gradient de perte de charge (J, en m/km ou mm/m) afin de garantir une pression suffisante en tout point du réseau sans avoir à surdimensionner excessivement les pompes, ce qui entraînerait un gaspillage d'énergie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La perte de charge linéaire unitaire (ou gradient d'énergie) \(J\) est :

\[ J = f \frac{1}{D} \frac{V^2}{2g} \quad (\text{en mCE/m}) \]

La perte de charge totale sur la longueur L est :

\[ \Delta H_f = J \cdot L = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \quad (\text{en mCE}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la conduite est horizontale, donc il n'y a pas de variation d'énergie potentielle due à l'altitude. Le calcul ne concerne que les pertes de charge "linéaires" (dues au frottement sur la longueur) et ignore les pertes "singulières" (coudes, vannes...).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Coefficient de perte de charge, \(f \approx 0.0208\)
  • Longueur, \(L = 500 \, \text{m}\)
  • Diamètre, \(D = 0.250 \, \text{m}\)
  • Vitesse, \(V \approx 1.63 \, \text{m/s}\)
  • Pesanteur, \(g = 9.81 \, \text{m/s²}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le gradient de perte de charge \(J\) (en m/m ou %) est un excellent indicateur pour comparer rapidement l'efficacité de différentes options de diamètre de tuyau pour un même débit. Un \(J\) plus faible signifie une conduite plus efficace énergétiquement.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Perte de Charge
Ligne de charge initialeLigne de charge finaleΔH_f = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la perte de charge unitaire \(J\) :

\[ \begin{aligned} J &= f \frac{1}{D} \frac{V^2}{2g} \\ &= 0.0208 \times \frac{1}{0.250 \, \text{m}} \times \frac{(1.63 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s²}} \\ &\approx 0.01125 \, \text{mCE/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la perte de charge totale \(\Delta H_f\) :

\[ \begin{aligned} \Delta H_f &= J \times L \\ &= 0.01125 \, \text{mCE/m} \times 500 \, \text{m} \\ &\approx 5.63 \, \text{mCE} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Perte de Charge Calculée
ΔH_f ≈ 5.63 m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sur 500 mètres de conduite, l'eau perd une énergie équivalente à une chute de 5.63 mètres. Cela signifie qu'une pompe devra fournir au minimum cette pression (exprimée en hauteur d'eau) pour simplement vaincre les frottements sur cette section, sans compter les éventuelles dénivelés ou pertes singulières (coudes, vannes...).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la perte de charge unitaire \(J\) (en m/m) avec la perte de charge totale \(\Delta H_f\) (en m). Il faut toujours penser à multiplier le gradient \(J\) par la longueur totale de la conduite concernée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'équation de Darcy-Weisbach est fondamentale pour calculer la perte d'énergie par frottement.
  • La perte de charge est proportionnelle au carré de la vitesse (\(V^2\)).
  • Le résultat \(\Delta H_f\) en mCE représente une hauteur de pression à compenser.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La puissance (en Watts) dissipée par les frottements dans la conduite est donnée par la formule \(P = \rho \cdot g \cdot Q \cdot \Delta H_f\). Pour notre cas, cela représente une puissance perdue d'environ 4.4 kilowatts, qui doit être fournie en continu par une pompe et qui sera transformée en chaleur.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment convertir la perte de charge en pression (bars) ?

La relation est \( \Delta P = \rho \cdot g \cdot \Delta H_f \). Pour l'eau (\(\rho \approx 1000\) kg/m³), une perte de charge de 10 mCE correspond à une perte de pression d'environ 98100 Pa, soit quasiment 1 bar. Dans notre cas, 5.63 mCE équivalent à environ 0.56 bar de perte de pression.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La perte de charge totale sur 500 m est d'environ 5.63 mCE.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite faisait 1 kilomètre (1000 m) de long au lieu de 500 m, quelle serait la perte de charge totale en mCE ?

Outil Interactif : Calculateur de Pertes de Charge

Modifiez les paramètres de l'écoulement pour voir leur influence sur les pertes de charge.

Paramètres d'Entrée
80 L/s
250 mm
Résultats Clés (pour L=500m)
Nombre de Reynolds (Re) -
Coeff. de frottement (f) -
Perte de Charge (\(\Delta H_f\)) (mCE) -

Le Saviez-Vous ?

Avant l'avènement des calculatrices et ordinateurs, la résolution de l'équation de Colebrook-White était fastidieuse. Les ingénieurs utilisaient principalement un abaque graphique appelé le **Diagramme de Moody**, qui représente \(f\) en fonction de \(Re\) pour différentes valeurs de \(\varepsilon/D\). Bien que moins précis que le calcul itératif, ce diagramme est toujours un outil pédagogique et d'estimation rapide très utilisé.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas utiliser une formule plus simple que Colebrook-White ?

Il existe des approximations explicites de l'équation de Colebrook, comme l'équation de Swamee-Jain ou de Haaland. Elles donnent des résultats très proches (souvent moins de 1-2% d'erreur) et évitent les itérations. Cependant, Colebrook-White reste la référence pour sa grande précision sur toute la plage du régime turbulent. Avec les outils de calcul modernes, la résolution itérative n'est plus un obstacle.

Qu'est-ce qu'une "perte de charge singulière" ?

En plus des pertes linéaires dues au frottement sur la longueur, le fluide perd de l'énergie à chaque fois qu'il rencontre un obstacle ou un changement de géométrie : un coude, une vanne, un élargissement, un rétrécissement... Ce sont les pertes de charge singulières. La perte de charge totale d'un réseau est la somme des pertes linéaires et de toutes les pertes singulières.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le débit dans une conduite double (en régime turbulent), la perte de charge linéaire est approximativement...

2. Pour un même débit, si on utilise une conduite en PVC (\(\varepsilon\) très faible) au lieu d'une conduite en béton (\(\varepsilon\) élevé), le coefficient de frottement \(f\) sera...

Nombre de Reynolds (Re)
Nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'un écoulement. Un Re élevé (> 4000) indique un régime turbulent, où les pertes de charge par frottement sont significatives.
Coefficient de Perte de Charge (f)
Aussi appelé facteur de friction de Darcy. C'est un nombre adimensionnel qui quantifie la résistance à l'écoulement due au frottement dans une conduite.
Perte de Charge (\(\Delta H_f\))
Énergie dissipée par le fluide par unité de poids, due aux frottements. Elle est homogène à une hauteur et s'exprime généralement en mètres de colonne d'eau (mCE).
Résolution de l'équation de Colebrook-White

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