ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul des Contraintes dans une Conduite

Hydraulique : Calcul des Contraintes dans une Conduite en PEHD due à la Pression Interne

Calcul des Contraintes dans une Conduite en PEHD due à la Pression Interne

Contexte : La Lutte de la Paroi contre la Pression

Une conduite transportant un fluide sous pression est soumise à des forces internes qui tendent à la faire éclater. Ces forces génèrent des contraintes dans le matériau de la paroi. Pour une conduite cylindrique, on distingue deux contraintes principales : la contrainte circonférentielleAussi appelée contrainte de cerceau (hoop stress). C'est la contrainte qui agit le long de la circonférence de la conduite et qui l'empêche d'éclater comme un tonneau. (\(\sigma_c\)), qui empêche la conduite de s'ouvrir en deux dans le sens de la longueur, et la contrainte longitudinaleAussi appelée contrainte axiale. C'est la contrainte qui agit le long de l'axe de la conduite et qui l'empêche d'être séparée en deux tronçons. (\(\sigma_l\)), qui empêche la conduite d'être étirée et de se rompre transversalement. Le rôle de l'ingénieur est de s'assurer que l'épaisseur de la conduite est suffisante pour que ces contraintes restent bien en dessous de la résistance du matériau.

Remarque Pédagogique : Ce problème est un cas d'application fondamental de la mécanique des solides (Résistance des Matériaux) au domaine de l'hydraulique. Il montre comment une charge externe (la pression du fluide) se traduit en contraintes internes dans une structure. La formule de Barlow, utilisée ici, est une simplification pour les conduites à paroi mince qui est largement suffisante pour la plupart des applications hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les concepts de contrainte circonférentielle et longitudinale.
  • Appliquer la formule de Barlow pour calculer la contrainte circonférentielle.
  • Calculer la contrainte longitudinale et la comparer à la contrainte circonférentielle.
  • Comprendre la notion de contrainte admissible d'un matériau (MRS, CRS).
  • Vérifier la sécurité d'une conduite en comparant la contrainte maximale à la contrainte admissible.

Données de l'étude

On étudie une conduite en PEHD (Polyéthylène Haute Densité) de type PE100, avec un diamètre extérieur nominal \(D_e = 250 \, \text{mm}\) et une épaisseur de paroi \(e = 15 \, \text{mm}\). Cette conduite doit transporter de l'eau à une pression de service maximale de \(P = 10 \, \text{bar}\).

Schéma des Contraintes dans la Paroi
P σc σl

Donnée(s) : Propriétés du Matériau PE100

GrandeurSymboleValeur
Résistance Minimale RequiseMRS\(10.0 \, \text{MPa}\)
Coefficient de sécurité globalC\(1.25\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte circonférentielle (\(\sigma_c\)) dans la paroi de la conduite.
  2. Calculer la contrainte longitudinale (\(\sigma_l\)) dans la paroi de la conduite.
  3. Calculer la contrainte de calcul admissible (\(\sigma_{adm}\)) pour le matériau et vérifier si l'épaisseur de la conduite est suffisante pour résister à la pression de service.

Correction : Calcul des Contraintes dans une Conduite en PEHD

Question 1 : Calcul de la Contrainte Circonférentielle

Principe :
P σc

La contrainte circonférentielle (ou de cerceau) est la contrainte de traction que subit la paroi de la conduite sous l'effet de la pression interne qui tend à l'écarter. Pour une conduite à paroi mince (où le diamètre est au moins 10 fois supérieur à l'épaisseur), on peut utiliser la formule simplifiée de Barlow, qui relie la contrainte à la pression, au diamètre moyen et à l'épaisseur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la contrainte la plus importante dans une conduite, car elle est deux fois plus élevée que la contrainte longitudinale. C'est donc presque toujours elle qui dimensionne l'épaisseur de la paroi. Une rupture due à un excès de contrainte circonférentielle se manifeste par une fissure dans le sens de la longueur de la conduite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_c = \frac{P \cdot D_m}{2 \cdot e} \quad \text{avec} \quad D_m = D_e - e \]
Donnée(s) :
  • Pression : \(P = 10 \, \text{bar} = 1 \, \text{MPa}\)
  • Diamètre extérieur : \(D_e = 250 \, \text{mm} = 0.25 \, \text{m}\)
  • Épaisseur : \(e = 15 \, \text{mm} = 0.015 \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Diamètre moyen :

\[ \begin{aligned} D_m &= 250 - 15 \\ &= 235 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Contrainte circonférentielle (en utilisant P en MPa, Dm et e en mm pour obtenir \(\sigma\) en MPa) :

\[ \begin{aligned} \sigma_c &= \frac{1 \times 235}{2 \times 15} \\ &= \frac{235}{30} \\ &\approx 7.83 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Cohérence des unités : La pression est souvent donnée en bar, tandis que les contraintes des matériaux sont en Mégapascals (MPa). Heureusement, la conversion est simple : 1 bar = 0.1 MPa. Pour utiliser la formule de Barlow et obtenir un résultat directement en MPa, il est pratique d'utiliser la pression en MPa et les dimensions (diamètre, épaisseur) en mm.

Le saviez-vous ?

La formule de Barlow vient de l'équilibre des forces sur une demi-coquille de conduite. La force due à la pression qui tend à séparer les deux moitiés (\(P \times D_m \times L\)) doit être équilibrée par la force de résistance du matériau sur les deux parois coupées (\(2 \times \sigma_c \times e \times L\)). En simplifiant par L, on retrouve la formule.

FAQ en rapport avec la question :
Quand la formule de Barlow n'est-elle plus valable ?

Elle est considérée comme une bonne approximation pour les "parois minces", c'est-à-dire lorsque le rapport du diamètre à l'épaisseur est supérieur à 10 ou 20. Pour les conduites à paroi épaisse (comme les canons ou les cylindres de haute pression), il faut utiliser les équations plus complexes de Lamé, qui tiennent compte de la variation de la contrainte à travers l'épaisseur.

Résultat : La contrainte circonférentielle est \(\sigma_c \approx 7.83 \, \text{MPa}\).

Question 2 : Calcul de la Contrainte Longitudinale

Principe :
P σl

La contrainte longitudinale est la contrainte de traction qui empêche la conduite d'être séparée en deux par une coupe transversale. Elle est due à la force exercée par la pression sur les "fonds" de la conduite (imaginaires ou réels). Pour une conduite à paroi mince fermée à ses extrémités, cette contrainte vaut environ la moitié de la contrainte circonférentielle.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le fait que \(\sigma_c \approx 2 \sigma_l\) est un résultat fondamental de la mécanique des récipients sous pression. C'est pourquoi un saucisson éclate toujours dans le sens de la longueur lorsqu'on le cuit : la contrainte circonférentielle atteint la première la limite de résistance de la peau !

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_l = \frac{P \cdot D_i^2}{D_e^2 - D_i^2} \approx \frac{P \cdot D_m}{4 \cdot e} \approx \frac{\sigma_c}{2} \]
Donnée(s) :
  • Contrainte circonférentielle : \(\sigma_c \approx 7.83 \, \text{MPa}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \sigma_l &\approx \frac{7.83}{2} \\ &\approx 3.92 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Approximation : La relation \(\sigma_l = \sigma_c / 2\) est une approximation pour les parois minces. La formule exacte utilise les diamètres intérieur et extérieur. Cependant, pour les applications courantes en hydraulique, l'approximation est excellente et largement utilisée.

Le saviez-vous ?

Dans les réservoirs sphériques, la symétrie fait que la contrainte est la même dans toutes les directions de la paroi et est égale à la contrainte longitudinale d'un cylindre (\(PD_m/4e\)). Une sphère est donc la forme la plus efficace pour contenir une pression, car elle utilise le matériau de manière optimale.

FAQ en rapport avec la question :
Y a-t-il d'autres contraintes ?

Oui, il y a aussi une contrainte radiale, qui varie de la pression interne \(P\) sur la paroi intérieure à la pression externe (souvent zéro) sur la paroi extérieure. Cependant, pour les conduites à paroi mince, cette contrainte est beaucoup plus faible que les contraintes circonférentielle et longitudinale et est généralement négligée dans les calculs de dimensionnement.

Résultat : La contrainte longitudinale est \(\sigma_l \approx 3.92 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Vérification de la Sécurité de la Conduite

Principe :
σ_max σ_adm <

Pour qu'une conception soit sûre, la contrainte maximale subie par le matériau en service ne doit jamais dépasser la contrainte admissible. La contrainte maximale est la plus grande des contraintes calculées (ici, \(\sigma_c\)). La contrainte admissible (\(\sigma_{adm}\)) est déterminée à partir de la résistance du matériau (MRS) à laquelle on applique un coefficient de sécurité \(C\) pour tenir compte des incertitudes, du vieillissement et des conditions de service.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le coefficient de sécurité est un concept fondamental en ingénierie. Il représente notre "marge d'ignorance" et notre assurance contre les imprévus. Un coefficient de 1.25 signifie que l'on s'assure que la contrainte de service ne dépasse pas 1/1.25 = 80% de la résistance minimale garantie du matériau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{\text{adm}} = \frac{\text{MRS}}{C} \]
\[ \text{Condition de sécurité : } \sigma_c \le \sigma_{\text{adm}} \]
Donnée(s) :
  • Contrainte maximale calculée : \(\sigma_{max} = \sigma_c \approx 7.83 \, \text{MPa}\)
  • MRS = 10.0 MPa
  • Coefficient de sécurité : C = 1.25
Calcul(s) :

1. Calcul de la contrainte admissible :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{adm}} &= \frac{10.0}{1.25} \\ &= 8.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Vérification de la condition :

\[ 7.83 \, \text{MPa} \le 8.0 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Points de vigilance :

Ne pas comparer à la mauvaise valeur : Il ne faut jamais comparer la contrainte de service directement à la résistance du matériau (MRS). La comparaison doit toujours se faire avec la contrainte admissible, qui intègre le coefficient de sécurité requis par les normes et les codes de calcul.

Le saviez-vous ?

Le PEHD (Polyéthylène Haute Densité) est un matériau viscoélastique. Sa résistance dépend du temps et de la température. Le MRS (Minimum Required Strength) est une valeur de résistance à long terme, généralement déterminée pour une durée de vie de 50 ans à 20°C. C'est pourquoi le dimensionnement est basé sur cette valeur et non sur la résistance à la rupture à court terme, qui est beaucoup plus élevée.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si la condition n'est pas respectée ?

Si \(\sigma_c > \sigma_{adm}\), la conception n'est pas conforme aux normes de sécurité. L'ingénieur doit alors modifier la conception. Les options sont : choisir une conduite avec une épaisseur de paroi plus grande (ce qui réduit \(\sigma_c\)), choisir un matériau avec un MRS plus élevé (ex: PE100-RC), ou réduire la pression de service maximale autorisée dans la conduite.

Résultat : La contrainte admissible est de 8.0 MPa. Comme la contrainte maximale (7.83 MPa) est inférieure à cette valeur, l'épaisseur de la conduite est suffisante et la conception est valide.

Simulation des Contraintes

Explorez comment la pression de service et l'épaisseur de la conduite influencent la contrainte circonférentielle et la marge de sécurité.

Paramètres de Service
Contrainte Circonférentielle (\(\sigma_c\))
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\)) 8.00 MPa
Marge de Sécurité
Vérification de la Sécurité

Le Saviez-Vous ?

Le sigle SDR (Standard Dimension Ratio) d'une conduite en plastique est le rapport entre son diamètre extérieur nominal et son épaisseur de paroi (\(SDR = D_e / e\)). Toutes les conduites d'un même SDR ont la même capacité de résistance à la pression, quel que soit leur diamètre. C'est un moyen très pratique pour les concepteurs de choisir rapidement une classe de tuyau appropriée.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment la température affecte-t-elle ce calcul ?

La résistance des matériaux thermoplastiques comme le PEHD diminue de manière significative lorsque la température augmente. Les normes prévoient des coefficients de déclassement à appliquer au MRS pour des températures de service supérieures à 20°C. Une conduite conçue pour 10 bar à 20°C pourrait n'être autorisée qu'à 6 ou 7 bar à 40°C.

Ce calcul inclut-il les coups de bélier ?

Non, ce calcul est pour la pression de service statique (ou quasi-statique). La pression maximale en service doit inclure une marge pour les surpressions dynamiques comme le coup de bélier. Si un coup de bélier peut ajouter 5 bar à la pression de service de 10 bar, le dimensionnement doit être fait pour une pression totale de 15 bar, ce qui nécessiterait une conduite plus épaisse.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le diamètre de la conduite tout en gardant l'épaisseur et la pression constantes, la contrainte circonférentielle :

2. La contrainte la plus critique pour le dimensionnement d'une conduite cylindrique sous pression est :

Glossaire

Contrainte Circonférentielle (\(\sigma_c\))
Contrainte de traction dans la paroi d'un cylindre qui agit tangentiellement à la circonférence. C'est la contrainte principale qui résiste à l'éclatement.
Contrainte Longitudinale (\(\sigma_l\))
Contrainte de traction dans la paroi d'un cylindre qui agit parallèlement à son axe. Elle résiste à la séparation de la conduite en deux tronçons.
MRS (Minimum Required Strength)
Résistance minimale requise d'un matériau, définie par les normes pour une durée de vie et une température données (ex: 10 MPa pour le PE100 à 50 ans et 20°C).
Contrainte Admissible (\(\sigma_{adm}\))
Contrainte maximale que le matériau est autorisé à subir en service. Elle est calculée en divisant la résistance du matériau (MRS) par un coefficient de sécurité.
Hydraulique : Calcul des Contraintes dans une Conduite en PEHD

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