ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de l’épaisseur requise pour une conduite

Calcul de l'épaisseur requise pour une conduite sous pression

Calcul de l'épaisseur requise pour une conduite sous pression

Contexte : Résistance des Matériaux et Hydraulique

Le dimensionnement des conduites en charge ne se limite pas à des considérations hydrauliques (pertes de charge, débit). Il faut également s'assurer que la conduite puisse résister mécaniquement à la pression du fluide qu'elle transporte. Une pression interne trop élevée peut engendrer des contraintes dans la paroi du matériau qui dépassent sa limite de résistance, menant à une rupture. Cet exercice se concentre sur le calcul de l'épaisseur minimale requise pour une conduite cylindrique soumise à une pression interne, en utilisant la formule de BarlowÉquation qui relie la pression interne, le diamètre, l'épaisseur de la paroi et la contrainte admissible pour les réservoirs ou conduites à paroi mince., une approche fondamentale en conception de réseaux.

Remarque Pédagogique : Ce problème est à l'intersection de l'hydraulique et de la résistance des matériaux. Il montre que la pression, souvent exprimée en bars ou en mètres de colonne d'eau, doit être convertie en une unité de contrainte (Pascals ou N/m²) pour être comparée à la résistance du matériau. La sécurité est primordiale, d'où l'utilisation d'un coefficient de sécurité.

Objectifs Pédagogiques

  • Convertir une pression de service en Pascals.
  • Déterminer la contrainte admissible d'un matériau en appliquant un coefficient de sécurité.
  • Appliquer la formule de Barlow pour calculer l'épaisseur minimale d'une conduite.
  • Comprendre l'influence de la pression et du diamètre sur l'épaisseur requise.

Données de l'étude

On doit dimensionner l'épaisseur d'une conduite en acier destinée au transport d'eau sous pression.

Données disponibles :

  • Pression de service maximale : \(P = 16 \, \text{bars}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite : \(D_i = 500 \, \text{mm}\)
  • Matériau : Acier avec une limite d'élasticité : \(\sigma_e = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité : \(s = 1.5\)
Schéma d'une Conduite sous Pression
Di e Pression P

Questions à traiter

  1. Convertir la pression de service \(P\) en Pascals (Pa).
  2. Calculer la contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)) pour l'acier utilisé.
  3. En utilisant la formule de Barlow, calculer l'épaisseur minimale requise (\(e\)) pour la conduite.

Correction : Calcul de l'épaisseur requise pour une conduite sous pression

Question 1 : Conversion de la pression de service

Principe :

Les calculs de résistance des matériaux requièrent des unités du Système International. La pression, donnée en bars, doit être convertie en Pascals (Pa), sachant que 1 bar équivaut à 100 000 Pa.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une erreur fréquente est de confondre bar et Pascal. Un bar est une unité pratique mais non-standard, proche de la pression atmosphérique. Le Pascal (\(1 \, \text{N/m}^2\)) est l'unité de référence pour tous les calculs de contrainte.

Calcul
\[ \begin{aligned} P &= 16 \, \text{bars} \times 100\,000 \, \frac{\text{Pa}}{\text{bar}} \\ &= 1\,600\,000 \, \text{Pa} \\ &= 1.6 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pression de service est de 1 600 000 Pa ou 1.6 MPa.

Question 2 : Contrainte admissible du matériau (\(\sigma_{\text{adm}}\))

Principe :
σ_e (235) σ_adm / s

On ne dimensionne jamais une structure pour qu'elle travaille à sa limite de résistance. On applique un coefficient de sécurité (\(s\)) à la limite d'élasticité (\(\sigma_e\)) pour obtenir la contrainte maximale que le matériau peut supporter en service normal.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le coefficient de sécurité est toujours supérieur à 1. Il permet de prendre en compte les incertitudes sur les matériaux, les charges, les défauts de fabrication et les surpressions accidentelles (coups de bélier).

Formule utilisée
\[ \sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_e}{s} \]
Calcul
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{adm}} &= \frac{235 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= 156.67 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte admissible pour l'acier est de 156.67 MPa.

Question 3 : Calcul de l'épaisseur minimale (\(e\))

Principe :
P σ

La formule de Barlow, applicable aux conduites à paroi mince (où le rapport \(D/e > 20\)), relie la contrainte circonférentielle (la plus grande contrainte dans la paroi) à la pression, au diamètre et à l'épaisseur. Pour le dimensionnement, on s'assure que cette contrainte ne dépasse pas la contrainte admissible.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule montre que pour une même pression, une conduite de plus grand diamètre nécessite une paroi plus épaisse pour résister à la même contrainte. C'est pourquoi les conduites de grand diamètre deviennent rapidement très lourdes et coûteuses.

Formule utilisée
\[ \sigma = \frac{P \cdot D_i}{2 \cdot e} \Rightarrow e = \frac{P \cdot D_i}{2 \cdot \sigma_{\text{adm}}} \]
Calcul
\[ \begin{aligned} D_i &= 500 \, \text{mm} = 0.5 \, \text{m} \\ P &= 1.6 \times 10^6 \, \text{Pa} \\ \sigma_{\text{adm}} &= 156.67 \times 10^6 \, \text{Pa} \\ e &= \frac{(1.6 \times 10^6) \times 0.5}{2 \times (156.67 \times 10^6)} \\ &= \frac{800\,000}{313\,340\,000} \\ &= 0.00255 \, \text{m} = 2.55 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'épaisseur minimale requise pour la conduite est de 2.55 mm.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Pression de Service en Pascals Cliquez pour révéler
Contrainte Admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)) Cliquez pour révéler
Épaisseur Minimale Requise (\(e\)) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Pour des raisons de standardisation, vous ne disposez que de tuyaux d'une épaisseur de \(e = 4.0 \, \text{mm}\). En conservant le même matériau (\(\sigma_e = 235 \, \text{MPa}\)) et le même coefficient de sécurité (\(s=1.5\)), quelle est la pression de service maximale (\(P_{\text{max}}\)) que cette conduite peut supporter pour un diamètre de \(D_i = 600 \, \text{mm}\) ?

Pièges à Éviter

Incohérence des unités de pression/contrainte : L'erreur la plus grave est de mélanger les bars, les Pascals (Pa) et les Mégapascals (MPa). Convertissez tout en Pascals pour les calculs, puis reconvertissez en bars si nécessaire pour le résultat final.

Oublier le coefficient de sécurité : Utiliser la limite d'élasticité brute (\(\sigma_e\)) au lieu de la contrainte admissible (\(\sigma_{\text{adm}}\)) mènerait à un dimensionnement dangereux et non conforme aux normes.

Simulation Interactive de l'Épaisseur Requise

Variez la pression et le diamètre pour voir l'impact sur l'épaisseur minimale requise.

Paramètres de Simulation
Épaisseur requise (e)
Visualisation de l'Épaisseur (en mm)

Le Saviez-Vous ?

La formule de Barlow est conçue pour les "parois minces". Pour les conduites à paroi épaisse (où l'épaisseur est supérieure à environ 1/20ème du diamètre), des formules plus complexes, comme celles de Lamé, doivent être utilisées. Ces formules prennent en compte la variation de la contrainte à travers l'épaisseur de la paroi, qui n'est plus considérée comme uniforme.

Foire Aux Questions (FAQ)

La formule de Barlow inclut-elle les coups de bélier ?

Non directement. La pression de service \(P\) utilisée dans la formule est la pression maximale en régime permanent. Les surpressions dynamiques, comme les coups de bélier, doivent être prises en compte soit en augmentant la pression de service d'une marge de sécurité, soit en choisissant un coefficient de sécurité \(s\) plus élevé.

Quelle est la différence entre la contrainte circonférentielle et longitudinale ?

La pression interne crée des contraintes dans deux directions principales : la contrainte circonférentielle (ou "hoop stress"), qui tend à faire "éclater" le tuyau, et la contrainte longitudinale, qui tend à l'étirer. Pour un cylindre fermé, la contrainte circonférentielle est deux fois plus élevée que la contrainte longitudinale. C'est pourquoi le dimensionnement se base sur elle, car c'est elle qui provoquera la rupture en premier.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la pression de service (\(P\)), l'épaisseur requise (\(e\)) est :

2. Pour une même pression, une conduite en aluminium (\(\sigma_e \approx 110 \, \text{MPa}\)) par rapport à une conduite en acier (\(\sigma_e \approx 235 \, \text{MPa}\)) nécessitera une épaisseur :

Glossaire

Contrainte (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface à l'intérieur d'un matériau. Elle s'exprime en Pascals (Pa) ou Mégapascals (MPa).
Limite d'élasticité (\(\sigma_e\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente.
Coefficient de sécurité (s)
Facteur par lequel la résistance d'une structure doit être supérieure à la charge attendue. C'est une marge de sécurité contre les défaillances.
Formule de Barlow
Équation utilisée pour concevoir des conduites à paroi mince en reliant la pression, le diamètre, l'épaisseur et la contrainte matérielle.
Hydraulique en Charge (Circuits & Réseaux) - Exercice d'Application

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