Calcul de l'Énergie Récupérable par une Turbine

Contexte : L'Hydraulique en ChargeBranche de l'hydraulique qui étudie les écoulements de liquides dans des conduites entièrement remplies, où la pression est généralement supérieure à la pression atmosphérique..

Cet exercice porte sur une installation hydroélectrique simple. Un réservoir d'eau en altitude alimente une turbine via une longue conduite forcée. L'objectif est de déterminer la puissance électrique que l'on peut espérer récupérer en tenant compte de l'énergie perdue par frottement dans la conduite. Nous appliquerons le théorème de BernoulliPrincipe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement, reliant pression, vitesse et altitude. généralisé pour modéliser le système.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer le théorème de Bernoulli à un cas concret de production d'énergie, en quantifiant l'impact des pertes de chargePerte d'énergie d'un fluide due aux frottements (pertes linéaires) ou aux accidents de parcours comme les coudes et vannes (pertes singulières). sur le rendement global d'une installation.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer l'équation générale de l'énergie (Bernoulli avec pertes de charge et machines).
Calculer les pertes de charge linéaires et singulières dans une conduite.
Déterminer la hauteur nette d'une turbine et la puissance électrique récupérable.

Données de l'étude

Une retenue d'eau, dont la surface libre est à une altitude \(z_A\), alimente une turbine Pelton par l'intermédiaire d'une conduite forcée en fonte. L'eau est ensuite restituée à l'atmosphère à une altitude \(z_B\). On cherche à évaluer la puissance électrique produite.

Schéma de l'Installation Hydroélectrique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude réservoir amont	\(z_A\)	1200	m
Altitude de restitution (aval)	\(z_B\)	840	m
Longueur de la conduite	\(L\)	2500	m
Diamètre intérieur de la conduite	\(D\)	800	mm
Débit volumique	\(Q\)	4.5	m³/s
Rugosité de la conduite (fonte)	\(k\)	0.26	mm
Coefficient de perte de charge (entrée)	\(K_{\text{entrée}}\)	0.5	-
Rendement global (turbine-alternateur)	\(\eta\)	88	%
Viscosité cinématique de l'eau	\(\nu\)	\(1.0 \times 10^{-6}\)	m²/s

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'écoulement dans la conduite.
Calculer le nombre de Reynolds et déterminer la nature de l'écoulement.
Calculer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\).
Calculer les pertes de charge totales (linéaires et singulières).
Appliquer le théorème de Bernoulli pour calculer la hauteur nette de la turbine (\(H_T\)).
Calculer la puissance électrique récupérable en sortie de l'alternateur (en MW).

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur le principe de conservation de l'énergie appliqué à un fluide en mouvement, connu sous le nom de théorème de Bernoulli, ainsi que sur les formules de calcul des pertes d'énergie dans les conduites.

1. Théorème de Bernoulli Généralisé
Entre deux points A et B d'un circuit hydraulique contenant une machine (ici, une turbine), l'équation de l'énergie s'écrit : \[ \frac{P_A}{\rho g} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{P_B}{\rho g} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} + H_T + \Delta H_{\text{pertes}} \]

2. Calcul des Pertes de Charge
Les pertes d'énergie (\(\Delta H\)) sont de deux types :
- Linéaires : dues au frottement sur la longueur de la conduite : \(\Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}\)
- Singulières : dues aux accidents (coudes, vannes, entrées, sorties) : \(\Delta H_{\text{sing}} = \sum K \frac{v^2}{2g}\)

3. Puissance d'une Turbine
La puissance électrique générée est le produit de la puissance hydraulique captée par la turbine et du rendement global de l'installation : \[ P_{\text{élec}} = \eta \cdot \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_T \]

Correction : Calcul de l’Énergie Récupérable par une Turbine

Question 1 : Calculer la vitesse de l'écoulement

Principe (le concept physique)

La vitesse du fluide est déterminée par l'équation de continuité, qui exprime la conservation de la masse pour un fluide incompressible : le débit (volume par seconde) qui traverse une section de la conduite est égal au produit de la vitesse du fluide par l'aire de cette section.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de continuité \(Q = v \cdot A\) est l'une des équations fondamentales de la mécanique des fluides. Elle stipule que pour un fluide incompressible, le débit volumique \(Q\) est constant tout au long d'une conduite de section variable. Si la section \(A\) diminue, la vitesse \(v\) doit augmenter pour maintenir le même débit, et inversement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout calcul en hydraulique est souvent de déterminer la vitesse. C'est une valeur clé qui intervient dans le calcul du nombre de Reynolds et des pertes de charge. Soyez toujours très vigilant sur la conversion des unités, notamment le diamètre qui est souvent donné en millimètres.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul ne dépend pas d'une norme de construction spécifique, mais repose sur les principes universels de la physique et de la mécanique des fluides, enseignés dans tous les cursus d'ingénierie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la Vitesse

v = \frac{Q}{A}

Formule de l'Aire d'un disque

A = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le fluide (eau) est considéré comme incompressible.
L'écoulement est supposé uniforme sur toute la section de la conduite (la vitesse est la même en tout point de la section).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	4.5	m³/s
Diamètre intérieur	\(D\)	800	mm

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un calcul mental rapide, vous pouvez approximer \(\pi \approx 3.14\). L'aire d'un cercle est "un peu moins" que le carré de son diamètre. Ici, \(A \approx 0.8 \times (0.8)^2 = 0.512\) m², ce qui est proche du résultat exact.

Schéma (Avant les calculs)

Section de la conduite et débit

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du diamètre

D = 800 \text{ mm} = 0,8 \text{ m}

Calcul de la section

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0,8\text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0,64\text{ m}^2}{4} \\ &\approx 0,5027 \text{ m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse

\begin{aligned} v &= \frac{4,5 \text{ m}^3/\text{s}}{0,5027 \text{ m}^2} \\ &\approx 8,95 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil de Vitesse Turbulent

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de près de 9 m/s (soit 32 km/h) est très élevée pour une conduite. Cela laisse présager que les pertes d'énergie dues au frottement seront importantes, car elles sont proportionnelles au carré de la vitesse.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir le diamètre de millimètres en mètres. Une autre erreur fréquente est dans le calcul de l'aire : ne pas oublier de mettre le diamètre au carré ou d'utiliser \(A=\pi r^2\) sans diviser le diamètre par deux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La relation fondamentale à maîtriser est \(Q = v \cdot A\).
L'aire d'une section circulaire est \(A = \pi D^2 / 4\).
L'homogénéité des unités (m, m², m³) est cruciale pour obtenir un résultat correct en m/s.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de conservation de la masse, qui mène à l'équation de continuité, a été formalisé par Antoine Lavoisier à la fin du 18e siècle, avec son célèbre adage "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme".

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse de l'écoulement dans la conduite est de 8,95 m/s.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le débit était réduit à 3 m³/s, quelle serait la nouvelle vitesse ?

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds

Principe (le concept physique)

Le nombre de Reynolds (\(Re\)) est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (qui tendent à maintenir le fluide en mouvement) aux forces de viscosité (qui tendent à freiner le fluide). Il permet de déterminer si l'écoulement est régulier (laminaire) ou chaotique (turbulent).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le régime d'écoulement est généralement classé comme suit pour les conduites circulaires :

\(Re < 2000\) : Écoulement laminaire. Les filets de fluide sont parallèles, l'écoulement est ordonné.
\(2000 < Re < 4000\) : Régime transitoire, instable.
\(Re > 4000\) : Écoulement turbulent. L'écoulement est chaotique, avec des tourbillons et un mélange intense. La quasi-totalité des applications industrielles se situent en régime turbulent.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La détermination du régime d'écoulement est une étape obligatoire avant de calculer les pertes de charge. Les formules pour le coefficient de frottement \(\lambda\) sont radicalement différentes en régime laminaire et turbulent. Ne sautez jamais cette étape !

Normes (la référence réglementaire)

Les seuils (2000 et 4000) sont des valeurs de référence universellement acceptées en mécanique des fluides, basées sur les expériences historiques d'Osborne Reynolds.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Nombre de Reynolds

Re = \frac{v \cdot D}{\nu}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La viscosité cinématique \(\nu\) est considérée comme constante (l'eau est à température constante).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse (calculée)	\(v\)	8.95	m/s
Diamètre	\(D\)	0.8	m
Viscosité cinématique	\(\nu\)	\(1.0 \times 10^{-6}\)	m²/s

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour de l'eau dans des conduites de taille courante, avec des vitesses supérieures à quelques centimètres par seconde, l'écoulement est presque toujours turbulent. Le nombre de Reynolds sera très élevé. Le calcul reste nécessaire pour la précision, mais vous pouvez anticiper le résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Écoulements Laminaire vs. Turbulent

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du nombre de Reynolds

\begin{aligned} Re &= \frac{8,95 \text{ m/s} \times 0,8 \text{ m}}{1,0 \times 10^{-6} \text{ m}^2/\text{s}} \\ &= 7\ 160\ 000 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du régime d'écoulement

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le nombre de Reynolds, étant de plusieurs millions, est très largement supérieur au seuil de 4000. Cela confirme sans aucun doute que l'écoulement est pleinement turbulent. Les forces d'inertie dominent massivement les forces de viscosité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que toutes les unités sont dans le système international (m, m/s, m²/s) avant de faire le calcul. Une erreur commune est d'utiliser un diamètre en mm ou une viscosité avec un mauvais exposant, ce qui peut fausser le résultat de plusieurs ordres de grandeur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La formule de Reynolds \(Re = vD/\nu\) est incontournable.
Le seuil critique pour le passage en régime turbulent dans une conduite est d'environ \(Re \approx 4000\).
La nature de l'écoulement (laminaire/turbulent) dicte la méthode de calcul des frottements.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le nombre de Reynolds a été introduit par George Stokes en 1851, mais c'est Osborne Reynolds qui l'a popularisé en 1883 en montrant son importance pour distinguer les régimes d'écoulement à travers une expérience célèbre injectant un filet de colorant dans un tube en verre.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le nombre de Reynolds est de \(7,16 \times 10^6\). L'écoulement est turbulent.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la vitesse de la question 1 (v=5.97 m/s), quel serait le nouveau nombre de Reynolds ?

Question 3 : Calculer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de perte de charge linéaire, \(\lambda\) (lambda), est un nombre sans dimension qui quantifie l'intensité du frottement entre le fluide en mouvement et la paroi interne de la conduite. Une valeur élevée de \(\lambda\) signifie des frottements importants et donc plus de pertes d'énergie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de \(\lambda\) dépend du régime d'écoulement :

Laminaire (\(Re < 2000\)): \(\lambda = 64/Re\). Le frottement ne dépend que de la viscosité.
Turbulent (\(Re > 4000\)): Le calcul est plus complexe. \(\lambda\) dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la paroi (\(k/D\)). La référence est l'équation de Colebrook-White. Visuellement, on peut trouver \(\lambda\) sur le diagramme de Moody.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'équation de Colebrook est "implicite", ce qui signifie que \(\lambda\) apparaît des deux côtés de l'équation. On ne peut pas l'isoler directement. Dans la pratique, on utilise un solveur numérique, une calculatrice programmable, ou des approximations explicites très précises comme celle de Haaland.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Colebrook-White est la base de la plupart des normes et codes de calcul de réseaux de fluides sous pression (par exemple, la norme ISO). Les valeurs de rugosité \(k\) pour différents matériaux sont tabulées dans la littérature technique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de Colebrook-White

\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k/D}{3,7} + \frac{2,51}{Re \sqrt{\lambda}} \right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

La rugosité \(k\) est uniforme sur toute la longueur de la conduite.
Le régime d'écoulement est pleinement développé et turbulent.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rugosité	\(k\)	0.26	mm
Diamètre	\(D\)	800	mm
Nombre de Reynolds	\(Re\)	\(7.16 \times 10^6\)	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un écoulement très turbulent ("régime turbulent rugueux"), le second terme dans la parenthèse de Colebrook devient négligeable. On peut alors utiliser la formule simplifiée : \(\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \approx -2 \log_{10} \left( \frac{k/D}{3,7} \right)\), qui donne ici \(\lambda \approx 0,0151\). Le résultat est très proche, car le Reynolds est très élevé.

Schéma (Avant les calculs)

Rugosité de la paroi

Calcul(s) (l'application numérique)

La résolution de l'équation de Colebrook est implicite et se fait par itérations successives. On part d'une estimation initiale pour \(\lambda\) et on affine le résultat jusqu'à ce qu'il ne change plus. Prenons une estimation initiale de \(\lambda_0 = 0,02\) (une valeur commune pour un début d'itération en régime turbulent).

Calcul de la rugosité relative

\begin{aligned} \frac{k}{D} &= \frac{0,26 \text{ mm}}{800 \text{ mm}} \\ &= 0,000325 \end{aligned}

Itération 1

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0,000325}{3,7} + \frac{2,51}{7\ 160\ 000 \sqrt{0,02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8,78 \times 10^{-5} + \frac{2,51}{1\ 012\ 581} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8,78 \times 10^{-5} + 2,48 \times 10^{-6} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 9,028 \times 10^{-5} \right) \\ &\approx 8,089 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \left( \frac{1}{8,089} \right)^2 \approx 0,01528 \end{aligned}

Itération 2 (en réinjectant \(\lambda_1\))

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0,000325}{3,7} + \frac{2,51}{7\ 160\ 000 \sqrt{0,01528}} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8,78 \times 10^{-5} + \frac{2,51}{885\ 095} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 8,78 \times 10^{-5} + 2,84 \times 10^{-6} \right) \\ &= -2 \log_{10} \left( 9,064 \times 10^{-5} \right) \\ &\approx 8,085 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \left( \frac{1}{8,085} \right)^2 \approx 0,01529 \end{aligned}

La valeur de \(\lambda\) a très peu changé (\(0,01528 \rightarrow 0,01529\)). On peut considérer que la valeur a convergé.

Résultat Final pour Lambda

\lambda \approx 0,0153

Schéma (Après les calculs)

Position sur le Diagramme de Moody (Illustratif)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de \(\lambda\) est typique pour de grandes conduites en fonte avec un écoulement à grande vitesse. Elle semble faible, mais multipliée par le rapport L/D qui est très grand (2500/0.8 = 3125), elle conduira à des pertes de charge significatives.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)), et non le logarithme népérien (\(\ln\)). Vérifiez également que \(k\) et \(D\) sont dans la même unité pour calculer la rugosité relative.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

En turbulent, \(\lambda\) dépend de \(Re\) et \(k/D\).
L'équation de Colebrook-White est la référence pour le calcul de \(\lambda\).
Le diagramme de Moody est la représentation graphique de cette équation.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme de Moody, publié en 1944, a révolutionné l'ingénierie hydraulique en fournissant un outil graphique simple pour résoudre l'équation complexe de Colebrook, bien avant l'avènement des calculatrices et ordinateurs.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) est d'environ 0,0153.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conduite était parfaitement lisse (\(k=0\)), quelle serait la valeur de \(\lambda\) (en utilisant la formule de Haaland pour simplifier) ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge totales

Principe (le concept physique)

L'énergie du fluide diminue au fur et à mesure de son parcours dans la conduite. Cette perte d'énergie, appelée "perte de charge", est la somme des pertes dues au frottement sur la longueur (linéaires) et des pertes dues aux obstacles comme l'entrée de la conduite (singulières).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les pertes de charge, exprimées en mètres de colonne de fluide (m), représentent une perte de pression. Elles sont toujours proportionnelles à l'énergie cinétique du fluide (\(v^2/2g\)).

Pertes linéaires (\(\Delta H_{\text{lin}}\)): Dépendent du coefficient de frottement \(\lambda\) et du ratio longueur/diamètre \(L/D\).
Pertes singulières (\(\Delta H_{\text{sing}}\)): Dépendent d'un coefficient K propre à chaque "accident" (coude, vanne, entrée...).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans les conduites très longues comme ici, les pertes de charge linéaires sont généralement prépondérantes par rapport aux pertes singulières. C'est une bonne manière de vérifier la cohérence de vos résultats. Si vos pertes singulières sont plus grandes que les linéaires, revoyez vos calculs.

Normes (la référence réglementaire)

Les coefficients de pertes de charge singulières (\(K\)) pour divers composants (coudes, tés, vannes, entrées...) sont tabulés dans des manuels de référence en hydraulique et dans des normes industrielles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule des Pertes de Charge Totales

\Delta H_{\text{totales}} = \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}} = \left( \lambda \frac{L}{D} + \sum K \right) \frac{v^2}{2g}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Seule la perte de charge à l'entrée de la conduite est considérée comme significative parmi les pertes singulières. Les autres (coudes éventuels, etc.) sont négligées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient \(\lambda\)	\(\lambda\)	0.0153	-
Longueur	\(L\)	2500	m
Diamètre	\(D\)	0.8	m
Coefficient d'entrée	\(K_{\text{entrée}}\)	0.5	-
Vitesse	\(v\)	8.95	m/s
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du terme d'énergie cinétique

\begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(8,95\text{ m/s})^2}{2 \times 9,81\text{ m/s}^2} \\ &\approx 4,08 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge linéaires

\begin{aligned} \Delta H_{\text{lin}} &= \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \\ &= 0,0153 \times \frac{2500\text{ m}}{0,8\text{ m}} \times 4,08\text{ m} \\ &\approx 195,08 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge singulières

\begin{aligned} \Delta H_{\text{sing}} &= K_{\text{entrée}} \frac{v^2}{2g} \\ &= 0,5 \times 4,08\text{ m} \\ &\approx 2,04 \text{ m} \end{aligned}

Calcul des pertes totales

\begin{aligned} \Delta H_{\text{totales}} &= \Delta H_{\text{lin}} + \Delta H_{\text{sing}} \\ &= 195,08\text{ m} + 2,04\text{ m} \\ &= 197,12 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ligne d'Énergie et Ligne Piézométrique

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme prévu, les pertes linéaires (195.08 m) sont très largement supérieures aux pertes singulières (2,04 m). Cela signifie que l'énergie est principalement "consommée" par le frottement le long de la conduite, et non par la turbulence à l'entrée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas d'inclure TOUTES les pertes de charge dans le calcul. Ici, il n'y a que l'entrée, mais dans un cas réel, il pourrait y avoir des coudes, des vannes, etc., chacun avec son propre coefficient K à additionner.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pertes totales = Pertes linéaires + Pertes singulières.
La formule de Darcy-Weisbach \(\Delta H_{\text{lin}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g}\) est centrale.
Pour les longues conduites, les pertes linéaires dominent.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les grandes conduites forcées des barrages hydroélectriques sont conçues pour être les plus lisses possible à l'intérieur (parfois avec des revêtements spéciaux) afin de minimiser le coefficient \(\lambda\) et donc de maximiser l'énergie arrivant à la turbine.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les pertes de charge totales dans la conduite s'élèvent à 197,12 m.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on ajoutait deux coudes avec K=0.3 chacun, quelles seraient les nouvelles pertes totales ?

Question 5 : Calculer la hauteur nette de la turbine (\(H_T\))

Principe (le concept physique)

La hauteur nette de la turbine (\(H_T\)) représente l'énergie réellement extraite du fluide par la machine. Elle est calculée en appliquant le bilan énergétique (théorème de Bernoulli généralisé) entre le point de départ (réservoir amont) et le point d'arrivée (bassin aval).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie totale en un point A (\(H_A = z_A + P_A/\rho g + v_A^2/2g\)) est égale à l'énergie totale en un point B (\(H_B\)) plus l'énergie cédée à la turbine (\(H_T\)) et l'énergie dissipée par les pertes (\(\Delta H\)). C'est une application directe du premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix des points A et B pour appliquer Bernoulli est stratégique. On choisit toujours des points où l'on connaît le maximum d'informations. Les surfaces libres des grands réservoirs sont idéales, car la vitesse y est quasi-nulle et la pression est la pression atmosphérique, ce qui simplifie grandement l'équation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation de Bernoulli simplifiée

z_A = z_B + H_T + \Delta H_{\text{totales}} \Rightarrow H_T = (z_A - z_B) - \Delta H_{\text{totales}}

Où \((z_A - z_B)\) est la hauteur de chute brute.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les vitesses aux surfaces libres des réservoirs sont considérées comme nulles (\(v_A \approx v_B \approx 0\)).
Les pressions aux surfaces libres sont égales à la pression atmosphérique (\(P_A = P_B = P_{\text{atm}}\)), donc les termes de pression s'annulent dans la différence.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Altitude amont	\(z_A\)	1200	m
Altitude aval	\(z_B\)	840	m
Pertes de charge totales	\(\Delta H_{\text{totales}}\)	197.12	m

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur nette

\begin{aligned} H_T &= (1200\text{ m} - 840\text{ m}) - 197,12\text{ m} \\ &= 360\text{ m} - 197,12\text{ m} \\ &= 162,88 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Bilan Énergétique

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La hauteur de chute brute était de 360 m. Cependant, à cause des frottements importants, la hauteur nette réellement utilisable par la turbine n'est que de 162.88 m. Plus de 54% de l'énergie potentielle initiale a été perdue en chaleur dans la conduite. Ceci montre un dimensionnement non optimal de la conduite pour ce débit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas la hauteur de chute brute (\(z_A - z_B\)) et la hauteur nette (\(H_T\)). La hauteur nette est toujours inférieure à la hauteur brute à cause des pertes de charge. C'est une erreur conceptuelle fréquente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Hauteur Nette = Hauteur Brute - Pertes de Charge Totales.
Le choix judicieux des points d'application de Bernoulli est la clé de la simplification du problème.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les projets de Station de Transfert d'Énergie par Pompage (STEP), la même conduite est utilisée pour la descente de l'eau (turbinage) et sa remontée (pompage). Le dimensionnement de la conduite est alors un compromis complexe pour minimiser les pertes dans les deux sens de fonctionnement.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La hauteur nette disponible pour la turbine est de 162,88 m.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les pertes de charge étaient de 150 m seulement, quelle serait la hauteur nette ?

Question 6 : Calculer la puissance électrique récupérable

Principe (le concept physique)

La puissance électrique produite est le résultat de la conversion de la puissance hydraulique de l'eau en puissance mécanique par la turbine, puis en puissance électrique par l'alternateur. Chaque conversion a un rendement, et le rendement global \(\eta\) représente l'efficacité de toute cette chaîne.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance hydraulique brute disponible est \(P_{\text{hyd}} = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_T\). C'est l'énergie par unité de temps que le courant d'eau fournit à la turbine. La puissance électrique en sortie est simplement cette puissance hydraulique multipliée par le rendement global \(\eta\) de la transformation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule de la puissance est l'aboutissement de tous les calculs précédents. Une erreur sur la vitesse, le lambda, les pertes de charge ou la hauteur nette se répercutera directement ici. C'est une bonne raison de vérifier chaque étape avec soin.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la puissance électrique

P_{\text{élec}} = \eta \cdot \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_T

Hypothèses (le cadre du calcul)

La masse volumique de l'eau \(\rho\) est de 1000 kg/m³.
L'accélération de la pesanteur \(g\) est de 9.81 m/s².
Le rendement \(\eta\) est constant quel que soit le point de fonctionnement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rendement	\(\eta\)	0.88	-
Masse Volumique	\(\rho\)	1000	kg/m³
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²
Débit	\(Q\)	4.5	m³/s
Hauteur Nette	\(H_T\)	162.88	m

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du rendement

\eta = 88\% = 0,88

Calcul de la puissance en Watts

\begin{aligned} P_{\text{élec}} &= \eta \cdot \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_T \\ &= 0,88 \times 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \times 4,5 \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times 162,88 \text{ m} \\ &\approx 6\ 328\ 545 \text{ W} \end{aligned}

Conversion en Mégawatts

P_{\text{élec}} \approx 6,33 \text{ MW}

Schéma (Après les calculs)

Cascade de Conversion de Puissance

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La puissance de 6,33 MW est considérable, équivalente à l'alimentation de plusieurs milliers de foyers. Cependant, si les pertes de charge avaient été nulles (\(H_T = 360\) m), la puissance aurait été de \(0.88 \times 1000 \times 9.81 \times 4.5 \times 360 \approx 14\) MW. On voit donc que les pertes de charge ont plus que divisé par deux la production électrique potentielle.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas le rendement \(\eta\) dans le calcul de la puissance électrique. Oublier ce facteur revient à calculer la puissance hydraulique, pas la puissance électrique finale. Attention aussi à la conversion finale de W en kW ou MW.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La puissance est proportionnelle au débit ET à la hauteur nette.
Le rendement \(\eta\) est un facteur multiplicatif crucial (toujours < 1).
L'équation \(P = \eta \rho g Q H_T\) est la formule finale pour la puissance d'une installation hydroélectrique.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les plus grandes centrales hydroélectriques au monde, comme le barrage des Trois-Gorges en Chine, ont des puissances installées dépassant les 22 000 MW, soit près de 3500 fois la puissance calculée dans cet exercice !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La puissance électrique récupérable en sortie de l'alternateur est de 6,33 MW.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la hauteur nette de 210 m de la question précédente, quelle serait la puissance en MW ?

Outil Interactif : Simulateur d'Installation

Utilisez les curseurs pour voir comment le débit et la rugosité de la conduite influencent la hauteur nette de la turbine et la puissance électrique générée. Observez comment une augmentation du débit peut parfois réduire la puissance si les pertes de charge deviennent trop importantes !

Paramètres d'Entrée

Débit Volumique (Q) 4.5 m³/s

Rugosité de la conduite (k) 0.26 mm

Résultats Clés

Hauteur Nette Turbine (\(H_T\)) - m

Puissance Électrique (\(P_{\text{élec}}\)) - MW

Théorème de Bernoulli: Principe fondamental de la dynamique des fluides qui établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement, traduisant la conservation de son énergie.
Pertes de Charge: Diminution de l'énergie totale d'un fluide lorsqu'il s'écoule dans une conduite. Elles sont causées par les frottements (pertes linéaires) et les obstacles ou changements de direction (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re): Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Il permet de distinguer les écoulements laminaires (faibles Re) des écoulements turbulents (Re élevés).
Hauteur Nette de Turbine (\(H_T\)): Énergie réellement absorbée par la turbine par unité de poids du fluide. C'est la différence entre l'énergie du fluide à l'entrée et à la sortie de la turbine.