ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de l’Énergie Récupérable par une Turbine

Calcul de l'Énergie Récupérable par une Turbine

Calcul de l'Énergie Récupérable par une Turbine

Comprendre la Récupération d'Énergie par Turbine

Dans de nombreux réseaux d'adduction d'eau, en particulier dans les régions montagneuses, l'eau est transportée depuis une source en haute altitude vers des zones de consommation plus basses. Cette différence de hauteur crée un excès de pression qui doit souvent être dissipé pour éviter d'endommager les conduites et les installations des usagers. Traditionnellement, cette dissipation se fait à l'aide de vannes réductrices de pression (PRV), qui "brûlent" l'énergie excédentaire en chaleur. Une alternative plus durable et économiquement intéressante est d'installer une micro-turbine. Celle-ci convertit l'énergie de pression excédentaire en énergie mécanique, puis en électricité via un alternateur. Ce processus permet de produire de l'énergie verte tout en assurant la régulation de la pression dans le réseau.

Données de l'étude

Une conduite forcée achemine de l'eau d'un réservoir de montagne (Point A) vers un point de distribution (Point B) où la pression doit être régulée. Une turbine est installée juste avant le point B pour récupérer l'énergie.

Caractéristiques du système et du fluide (eau à 10°C) :

  • Altitude de la surface libre du réservoir amont (\(z_A\)) : \(750 \, \text{m}\)
  • Altitude de l'axe de la turbine (Point B) : \(z_B = 500 \, \text{m}\)
  • Pression requise à la sortie de la turbine (\(P_B\)) : \(4.0 \, \text{bars}\)
  • Débit de fonctionnement (\(Q\)) : \(360 \, \text{m}^3/\text{h}\)
  • Conduite : Acier, DN 400 (\(D = 0.4 \, \text{m}\)), longueur \(L = 2500 \, \text{m}\)
  • Rugosité de l'acier (\(\epsilon\)) : \(0.1 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-4} \, \text{m}\)
  • Viscosité cinématique de l'eau (\(\nu\)) : \(1.307 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho\)) : \(999.7 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Rendements :

  • Rendement de la turbine (\(\eta_t\)) : \(85 \% = 0.85\)
  • Rendement de l'alternateur (\(\eta_a\)) : \(94 \% = 0.94\)
Schéma du Système de Turbinage
z_A = 750 m L=2500m, D=400mm Turbine (B) z_B = 500 m Altitude

Questions à traiter

  1. Calculer le débit en \(m^3/s\) et la vitesse de l'écoulement \(v\).
  2. Calculer le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\).
  3. Calculer la perte de charge linéaire totale (\(h_f\)) dans la conduite.
  4. Déterminer la hauteur de chute nette (\(H_T\)) disponible pour la turbine.
  5. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) récupérée par la turbine.
  6. Calculer la puissance électrique nette (\(P_e\)) produite par l'installation.

Correction : Calcul de la Puissance Récupérée

Question 1 : Débit et Vitesse (\(v\))

Principe :

Les unités doivent être cohérentes pour les calculs. Le débit est converti en m³/s. La vitesse est ensuite déduite en divisant le débit par l'aire de la section de la conduite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \quad ; \quad v = \frac{Q}{A} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= 360 \, \frac{\text{m}^3}{\text{h}} \times \frac{1 \, \text{h}}{3600 \, \text{s}} = 0.1 \, \text{m}^3/\text{s} \\ A &= \frac{\pi \times (0.4 \, \text{m})^2}{4} \approx 0.1257 \, \text{m}^2 \\ v &= \frac{0.1 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.1257 \, \text{m}^2} \approx 0.796 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le débit est \(Q = 0.1 \, \text{m}^3/\text{s}\) et la vitesse \(v \approx 0.80 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Coefficient de Perte de Charge (\(\lambda\))

Principe :

Le coefficient \(\lambda\) est nécessaire pour quantifier les pertes par frottement. Pour un écoulement turbulent (ce qui sera vérifié), il dépend du nombre de Reynolds (\(Re\)) et de la rugosité relative (\(\epsilon/D\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Re = \frac{v D}{\nu} \]
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{\epsilon/D}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{Re}\right] \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} Re &= \frac{0.796 \, \text{m/s} \times 0.4 \, \text{m}}{1.307 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \approx 243600 \\ \frac{\epsilon}{D} &= \frac{0.0001 \, \text{m}}{0.4 \, \text{m}} = 0.00025 \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} &\approx -1.8 \log_{10}\left[\left(\frac{0.00025}{3.7}\right)^{1.11} + \frac{6.9}{243600}\right] \\ &\approx 7.26 \\ \lambda &\approx (1/7.26)^2 \approx 0.0189 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient de perte de charge est \(\lambda \approx 0.0189\).

Question 3 : Perte de Charge Linéaire (\(h_f\))

Principe :

La perte de charge linéaire représente l'énergie totale perdue par frottement le long des 2500 mètres de la conduite. On la calcule avec la formule de Darcy-Weisbach.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ h_f = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} h_f &= 0.0189 \times \frac{2500 \, \text{m}}{0.4 \, \text{m}} \times \frac{(0.796 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &= 118.125 \times \frac{0.6336}{19.62} \\ &\approx 3.81 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La perte de charge linéaire totale est \(h_f \approx 3.81 \, \text{m}\).

Question 4 : Hauteur de Chute Nette (\(H_T\))

Principe :

La hauteur de chute nette est l'énergie par unité de poids réellement disponible pour la turbine. On l'obtient en appliquant l'équation de Bernoulli entre la surface du réservoir amont (A) et la sortie de la turbine (B), en tenant compte de la pression requise en B et des pertes de charge dans la conduite.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ H_A = H_B + h_f + H_T \Rightarrow H_T = H_A - H_B - h_f \]
\[ \text{avec } H_A = z_A \text{ et } H_B = z_B + \frac{P_B}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{P_B}{\rho g} &= \frac{4.0 \, \text{bars} \times 10^5}{999.7 \times 9.81} \approx 40.78 \, \text{m} \\ \frac{v^2}{2g} &= \frac{(0.796)^2}{2 \times 9.81} \approx 0.032 \, \text{m} \\ H_B &= 500 \, \text{m} + 40.78 \, \text{m} + 0.032 \, \text{m} \approx 540.81 \, \text{m} \\ H_A &= z_A = 750 \, \text{m} \\ H_T &= 750 \, \text{m} - 540.81 \, \text{m} - 3.81 \, \text{m} \\ &= 205.38 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La hauteur de chute nette disponible pour la turbine est \(H_T \approx 205.4 \, \text{m}\).

Question 5 : Puissance Hydraulique (\(P_h\))

Principe :

La puissance hydraulique est la puissance brute extraite du fluide par la turbine. Elle est directement proportionnelle au débit, à la hauteur de chute nette et au poids volumique du fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot H_T \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_h &= 999.7 \times 9.81 \times 0.1 \times 205.38 \\ &\approx 201280 \, \text{W} \\ &\approx 201.3 \, \text{kW} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance hydraulique récupérée est \(P_h \approx 201.3 \, \text{kW}\).

Question 6 : Puissance Électrique Nette (\(P_e\))

Principe :

La puissance électrique nette est la puissance réellement produite et injectable sur le réseau. Elle est obtenue en multipliant la puissance hydraulique par les rendements successifs de la turbine (conversion hydraulique → mécanique) et de l'alternateur (conversion mécanique → électrique).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_e = P_h \times \eta_t \times \eta_a \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_e &= 201.3 \, \text{kW} \times 0.85 \times 0.94 \\ &\approx 160.9 \, \text{kW} \end{aligned} \]
Résultat : La puissance électrique nette produite est d'environ \(161 \, \text{kW}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La hauteur de chute nette (\(H_T\)) pour une turbine représente :

2. Si le débit (\(Q\)) dans la conduite augmente, que se passe-t-il ?

3. La puissance électrique produite est toujours inférieure à la puissance hydraulique à cause :

Glossaire

Turbine Hydraulique
Machine tournante qui convertit l'énergie hydraulique (pression et cinétique) d'un fluide en énergie mécanique sur un arbre rotatif.
Hauteur de Chute Nette (\(H_T\))
Différence de charge hydraulique effective entre l'entrée et la sortie de la turbine. C'est l'énergie par unité de poids réellement disponible pour être convertie par la turbine.
Puissance Hydraulique (\(P_h\))
Puissance extraite du fluide par la turbine. C'est le produit du poids volumique du fluide, du débit et de la hauteur de chute nette.
Rendement (\(\eta\))
Rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée d'un système. Pour une installation de turbinage, on considère le rendement de la turbine et celui de l'alternateur.
Calcul de l'Énergie Récupérable par une Turbine - Exercice d'Application

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