Calcul de la Surpression due à un Coup de Bélier
Contexte : Le phénomène de Coup de BélierOnde de choc qui se propage dans une canalisation lorsqu'un fluide en mouvement est brusquement arrêté ou change de direction..
Le coup de bélier est un phénomène de surpression (ou de dépression) qui apparaît suite à une variation très rapide de la vitesse d'un fluide dans une conduite, par exemple lors de la fermeture/ouverture rapide d'une vanne ou de l'arrêt d'une pompe. Cette onde de choc se propage dans le circuit et peut causer des dommages importants (rupture de canalisation, détérioration des équipements). Le dimensionnement des réseaux hydrauliques en charge doit impérativement prendre en compte ce phénomène transitoire pour garantir la sécurité et la durabilité des installations.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier le risque lié au coup de bélier en calculant la surpression maximale générée par un arrêt de pompage, une situation courante et critique dans les réseaux d'adduction d'eau.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le phénomène physique du coup de bélier.
- Calculer la célérité d'une onde de pression dans une conduite.
- Distinguer un coup de bélier à manœuvre "rapide" d'une manœuvre "lente".
- Appliquer la formule d'Allievi pour déterminer la surpression maximale.
- Évaluer la résistance d'une conduite face à ce phénomène.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'Installation
Schéma du circuit hydraulique
| Caractéristique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Matériau de la conduite | - | Acier | - |
| Longueur de la conduite | \(L\) | 1500 | m |
| Diamètre intérieur | \(D\) | 400 | mm |
| Épaisseur de la paroi | \(e\) | 8 | mm |
| Débit nominal | \(Q\) | 0.25 | m³/s |
| Temps de fermeture (arrêt pompe) | \(t_f\) | 0.5 | s |
| Module de Young (Acier) | \(E_{\text{acier}}\) | 210 | GPa |
| Masse volumique (Eau) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| Module de compressibilité (Eau) | \(K_{\text{eau}}\) | 2.2 | GPa |
Questions à traiter
- Calculer la vitesse initiale de l'écoulement \(V_0\) dans la conduite.
- Calculer la célérité de l'onde \(a\) dans la conduite.
- Déterminer si la manœuvre est "rapide" ou "lente".
- En déduire la surpression maximale \(\Delta H\) (en mCE) et \(\Delta P\) (en bars) due au coup de bélier.
- Si la pression statique en service normal est de 6 bars, quelle est la pression maximale que devra supporter la conduite ? Conclure.
Les bases sur le Coup de Bélier
Le calcul du coup de bélier repose sur la compréhension de la propagation d'une onde de pression dans un milieu élastique (le fluide) contenu dans une conduite également élastique.
1. Célérité de l'onde (a)
La célérité est la vitesse de propagation de l'onde de surpression. Elle dépend des caractéristiques du fluide et de la conduite. Pour un fluide dans une conduite circulaire à paroi mince, elle est donnée par :
\[ a = \frac{1}{\sqrt{\rho \left( \frac{1}{K_{\text{fluide}}} + \frac{D}{E_{\text{conduite}} \cdot e} \right)}} \]
2. Formules de calcul de la surpression (\(\Delta H\))
On distingue deux cas selon le temps de manœuvre \(t_f\) et le "temps d'Allievi" \(\tau = 2L/a\) :
- Manœuvre rapide (\(t_f \le 2L/a\)) : La surpression est maximale et indépendante du temps de manœuvre. On utilise la formule d'Allievi : \(\Delta H = \frac{a \cdot V_0}{g}\)
- Manœuvre lente (\(t_f > 2L/a\)) : La surpression est atténuée. On utilise la formule de Michaud : \(\Delta H = \frac{2 L \cdot V_0}{g \cdot t_f}\)
Correction : Calcul de la Surpression due à un Coup de Bélier
Question 1 : Calculer la vitesse initiale de l'écoulement \(V_0\)
Principe
La vitesse d'un fluide dans une conduite est directement liée au débit et à la section de passage. Cette vitesse initiale est le point de départ de tout calcul de coup de bélier, car c'est sa variation (de \(V_0\) à 0) qui est à l'origine du phénomène.
Mini-Cours
Le principe de conservation du débit (ou équation de continuité pour un fluide incompressible) stipule que pour un débit donné, le produit de la vitesse par la section de l'écoulement est constant. C'est l'un des principes fondateurs de l'hydraulique en charge.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours de transformer les données macroscopiques (comme le débit) en données locales (comme la vitesse). Pensez toujours à vérifier si les unités de vos données d'entrée sont cohérentes avant de commencer le calcul de la section.
Normes
Ce calcul relève des principes fondamentaux de la mécanique des fluides. Il n'est pas régi par une norme spécifique, mais est un prérequis indispensable à l'application de toute norme de dimensionnement de réseau (comme la norme EN 805 pour les réseaux d'eau).
Formule(s)
Relation Débit-Vitesse
Section d'une conduite circulaire
Donnée(s)
On extrait les données nécessaires de l'énoncé de l'exercice.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Débit nominal | \(Q\) | 0.25 | m³/s |
| Diamètre intérieur | \(D\) | 400 | mm |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, sachez que dans les réseaux d'adduction d'eau, les vitesses sont généralement comprises entre 0.8 m/s et 2.5 m/s pour des raisons technico-économiques. Un résultat très éloigné de cette plage doit vous alerter.
Schéma (Avant les calculs)
Le calcul de la vitesse se base sur la section interne de la conduite, définie par son diamètre D.
Section de la conduite
Calcul(s)
Conversion du diamètre en mètres
Calcul de la section (S)
Calcul de la vitesse (\(V_0\))
Schéma (Après les calculs)
La vitesse calculée représente la vitesse moyenne des particules de fluide s'écoulant à travers la section de la conduite.
Vitesse d'écoulement
Réflexions
La vitesse calculée de 1.99 m/s se situe bien dans la plage usuelle pour ce type d'installation. Cela confirme que nos données de départ sont cohérentes et que notre premier calcul est vraisemblable. Cette valeur d'énergie cinétique (proportionnelle à \(V_0^2\)) est ce qui sera transformé en énergie de pression.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier de convertir le diamètre de millimètres en mètres. Si vous utilisez 400 mm dans la formule de la section, votre résultat sera erroné d'un facteur \(1000^2 = 1,000,000\) !
Points à retenir
- La vitesse est inversement proportionnelle au carré du diamètre.
- Formule clé : \(V = Q / (\pi D^2 / 4)\).
- Toujours travailler avec des unités S.I. (m, m², m³/s) pour la cohérence.
Le saviez-vous ?
Le concept de conservation du débit a été formalisé par Léonard de Vinci au 15ème siècle, bien avant les équations de la mécanique des fluides moderne. Il avait déjà compris que pour un même débit, le fluide accélère dans les sections plus étroites.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le débit (en m³/s) si, pour le même diamètre, la vitesse était limitée à 1.5 m/s ?
Question 2 : Calculer la célérité de l'onde \(a\)
Principe
La célérité de l'onde, notée 'a', représente la vitesse à laquelle l'onde de choc du coup de bélier se propage. Elle n'est pas la vitesse du fluide, mais bien celle de la perturbation. Sa valeur dépend à la fois de la compressibilité de l'eau et de l'élasticité de la conduite en acier.
Mini-Cours
La célérité de l'onde est une combinaison des élasticités du fluide et du contenant. Si la conduite était infiniment rigide (\(E = \infty\)), la célérité serait simplement celle du son dans l'eau (\(\approx 1500\) m/s). Comme la conduite est déformable, elle "amortit" légèrement la propagation, ce qui réduit la célérité. Plus la conduite est souple (E faible), plus la célérité est faible.
Remarque Pédagogique
Observez dans la formule que la célérité est inversement proportionnelle à la racine carrée d'une somme de deux termes : l'un pour le fluide (1/K) et l'autre pour la conduite (D/Ee). Comprendre quel terme est dominant vous aide à anticiper les résultats.
Normes
La formule de calcul de la célérité est un résultat théorique de la mécanique. Les guides de conception et logiciels de modélisation hydraulique (comme EPANET) intègrent cette formule ou des variantes plus complexes pour tenir compte de facteurs comme le type d'ancrage de la conduite.
Formule(s)
Formule de la célérité
Hypothèses
- La conduite est considérée à paroi mince (\(D/e > 10\)). Ici, 400/8 = 50, l'hypothèse est validée.
- Le matériau de la conduite est homogène et son comportement est élastique linéaire.
Donnée(s)
Nous utilisons les données fournies relatives aux propriétés du fluide et du matériau.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse volumique (Eau) | \(\rho\) | 1000 | kg/m³ |
| Module de compressibilité (Eau) | \(K_{\text{eau}}\) | 2.2 | GPa |
| Module de Young (Acier) | \(E_{\text{acier}}\) | 210 | GPa |
| Diamètre intérieur | \(D\) | 400 | mm |
| Épaisseur de la paroi | \(e\) | 8 | mm |
Astuces
Pour une première estimation rapide, la célérité de l'onde dans une conduite d'eau en acier est très souvent comprise entre 1000 et 1300 m/s. Pour une conduite en PVC, elle est bien plus faible, souvent entre 300 et 500 m/s.
Schéma (Avant les calculs)
La célérité dépend des propriétés du fluide contenu et de la géométrie (D, e) et du matériau (E) de la conduite.
Paramètres de la conduite
Calcul(s)
Conversion du module de compressibilité (Eau)
Conversion du module de Young (Acier)
Conversion du diamètre
Conversion de l'épaisseur
Application de la formule de la célérité
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est la vitesse de propagation de l'onde de pression le long de la conduite.
Propagation de l'onde
Réflexions
La valeur de 1202 m/s est cohérente avec l'astuce (1000-1300 m/s). Elle est inférieure à la célérité du son dans l'eau libre (~1500 m/s), ce qui est physiquement correct car la déformation des parois de la conduite "ralentit" la propagation de l'onde.
Points de vigilance
La conversion des GPa en Pa est cruciale (\(1 \text{ GPa} = 10^9 \text{ Pa}\)). Une erreur ici faussera complètement le résultat. Assurez-vous aussi que D et e sont tous les deux en mètres.
Points à retenir
- La célérité dépend de 4 paramètres : \(\rho\), K (fluide), E, et le rapport D/e (conduite).
- Une conduite plus rigide (E élevé) ou plus épaisse (e élevé) augmente la célérité.
Le saviez-vous ?
Le phénomène de coup de bélier a été étudié et modélisé pour la première fois de manière rigoureuse par l'ingénieur italien Lorenzo Allievi au début du 20ème siècle. Les formules que nous utilisons aujourd'hui portent encore son nom.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le fluide était du pétrole (\(K \approx 1.5\) GPa, \(\rho \approx 850\) kg/m³), quelle serait la célérité (en m/s) ?
Question 3 : Déterminer si la manœuvre est "rapide" ou "lente"
Principe
La nature "rapide" ou "lente" d'une fermeture ne dépend pas de sa durée dans l'absolu, mais de la comparaison entre cette durée et le temps que met l'onde de pression pour faire un aller-retour dans la conduite. Ce temps de référence, \(\tau = 2L/a\), est appelé phase ou période d'Allievi.
Mini-Cours
Imaginez que la fermeture de la vanne envoie une "information" (l'onde de pression) vers l'amont du réseau. Cette information voyage à la vitesse 'a'. Elle atteint l'extrémité amont (un réservoir par exemple) puis est réfléchie et revient à la vanne. Si la vanne est complètement fermée avant que l'onde de retour n'arrive, le système n'a pas eu le temps de s'adapter : le choc est maximal. C'est une manœuvre rapide. Si la fermeture est plus longue que cet aller-retour, la pression a le temps de s'équilibrer partiellement, le choc est atténué : c'est une manœuvre lente.
Remarque Pédagogique
Cette étape est un point de bifurcation critique dans la résolution. Le résultat de cette comparaison détermine la formule à utiliser pour la question suivante. Une erreur ici invalide toute la suite du calcul de surpression.
Normes
Les normes de conception des réseaux imposent souvent des temps de fermeture minimum pour les vannes motorisées afin de garantir que les manœuvres soient toujours "lentes" et ainsi de limiter les surpressions.
Formule(s)
Période d'Allievi
Condition de manœuvre rapide
Donnée(s)
On utilise les résultats et données précédents.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur conduite | \(L\) | 1500 | m |
| Célérité de l'onde | \(a\) | 1202 | m/s |
| Temps de fermeture | \(t_f\) | 0.5 | s |
Astuces
Dans un cas réel où le temps de fermeture n'est pas connu avec précision (ex: coupure de courant), on fait toujours l'hypothèse du cas le plus défavorable, c'est-à-dire une manœuvre rapide, pour dimensionner les protections.
Schéma (Avant les calculs)
On compare visuellement sur un axe de temps la durée de fermeture \(t_f\) et la période de la conduite \(\tau\).
Comparaison des temps
Calcul(s)
Calcul de la période d'Allievi
Comparaison des temps
Schéma (Après les calculs)
La comparaison des durées confirme que la manœuvre est rapide, ce qui dictera le choix de la formule de calcul de la surpression.
Conclusion de la comparaison
Réflexions
Le temps de fermeture de 0.5 seconde est 5 fois plus court que le temps de communication hydraulique de la conduite (2.5 s). Le système n'a absolument pas le temps de réagir et subira donc l'onde de choc maximale. Le choix de la formule d'Allievi pour la suite est donc justifié.
Points de vigilance
Ne pas confondre \(L\) et \(2L\). La période correspond à un aller-retour de l'onde, d'où le facteur 2. Utiliser simplement \(L/a\) est une erreur commune qui mène à une mauvaise classification de la manœuvre.
Points à retenir
- La période de la conduite est \(\tau = 2L/a\).
- Si \(t_f \le \tau \Rightarrow\) Manœuvre Rapide (choc max).
- Si \(t_f > \tau \Rightarrow\) Manœuvre Lente (choc atténué).
Le saviez-vous ?
Dans les très longs pipelines (plusieurs kilomètres), la période d'Allievi peut être de plusieurs dizaines de secondes, voire de quelques minutes. Une fermeture de vanne qui semble lente (ex: 30 secondes) peut donc être considérée comme "rapide" d'un point de vue hydraulique !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel devrait être le temps de fermeture minimal (en s) pour que la manœuvre soit considérée comme "lente" ?
Question 4 : Calculer la surpression maximale \(\Delta H\) et \(\Delta P\)
Principe
Puisqu'il s'agit d'une manœuvre rapide, la surpression maximale est atteinte et peut être calculée avec la formule d'Allievi. Cette formule exprime la conversion de l'énergie cinétique du fluide (liée à \(V_0\)) en énergie de pression (liée à \(\Delta H\)).
Mini-Cours
La formule d'Allievi \(\Delta H = aV_0/g\) est une simplification de l'équation plus générale de Joukovsky \(\Delta P = \rho \cdot a \cdot \Delta V\). En posant \(\Delta P = \rho g \Delta H\) (loi de l'hydrostatique) et \(\Delta V = V_0 - 0 = V_0\), on retrouve bien la formule d'Allievi. Elle représente donc une application directe de la conservation de la quantité de mouvement.
Remarque Pédagogique
Le résultat de ce calcul, \(\Delta H\), est une hauteur d'eau. C'est une manière pratique de représenter une pression en hydraulique. Pour la comparer à la résistance d'une conduite, on la convertit souvent en bars, l'unité de pression plus courante dans l'industrie.
Normes
Les normes de construction de réseaux spécifient les pressions maximales admissibles en régime transitoire. Le résultat de ce calcul doit être comparé à ces valeurs limites pour valider la conception.
Formule(s)
Formule d'Allievi
Conversion de hauteur en pression
On utilise la relation \(P = \rho g H\). Pour l'eau, \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\), ce qui correspond approximativement à une colonne d'eau de 10.2 m. On utilise souvent l'approximation 1 bar \(\approx\) 10 mCE.
Hypothèses
- Les pertes de charge par frottement sont négligées dans la formule d'Allievi.
- La fermeture au niveau de la pompe est considérée comme instantanée par rapport à la période \(\tau\).
Donnée(s)
On reprend les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité de l'onde | \(a\) | 1202 | m/s |
| Vitesse initiale | \(V_0\) | 1.99 | m/s |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Une règle de pouce très utile pour une estimation rapide : la surpression en bars est approximativement égale au dixième du produit de la célérité (en m/s) par la vitesse (en m/s). Soit \(\Delta P \approx (a \cdot V_0) / 100\). Ici : \((1202 \times 1.99) / 100 \approx 23.9\) bars. C'est très proche du résultat exact !
Schéma (Avant les calculs)
L'énergie cinétique de l'eau en mouvement, caractérisée par sa vitesse \(V_0\), va être convertie en énergie de pression.
État initial : Écoulement permanent
Calcul(s)
Calcul de la surpression en hauteur d'eau (\(\Delta H\))
Conversion de la surpression en bars (\(\Delta P\))
(En utilisant l'approximation 1 bar = 10 mCE, on trouve 24.4 bars, ce qui est souvent accepté pour une première approche).
Schéma (Après les calculs)
Le calcul donne la hauteur de la surpression \(\Delta H\) qui s'ajoute à la pression de service le long de la conduite.
État final : Onde de surpression
Réflexions
Une surpression de près de 24 bars est considérable. C'est plus de 4 fois la pression de service initiale ! Cela démontre la violence du phénomène de coup de bélier et pourquoi il est redouté par les ingénieurs hydrauliciens. Un tel pic de pression peut littéralement faire exploser une conduite.
Points de vigilance
Attention à ne pas utiliser la formule de Michaud alors que la manœuvre a été identifiée comme rapide. Assurez-vous également de la cohérence de vos unités tout au long du calcul. Le résultat \(\Delta H\) est une hauteur, pas une pression. La conversion en bars est une étape supplémentaire.
Points à retenir
- Formule d'Allievi : \(\Delta H = aV_0/g\).
- La surpression est directement proportionnelle à la célérité et à la vitesse initiale.
- Pour limiter le coup de bélier, il faut donc en priorité réduire \(V_0\) (augmenter D) ou 'a' (utiliser un matériau moins rigide).
Le saviez-vous ?
Le bruit de "bélier" caractéristique vient du choc mécanique de l'onde de pression contre l'obstacle (la vanne fermée) et des vibrations qui en résultent dans la tuyauterie. Dans les grandes installations, le bruit peut être assourdissant et le sol peut trembler.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la conduite était en PVC (\(a \approx 400\) m/s), quelle serait la surpression \(\Delta H\) (en mCE) ?
Question 5 : Pression maximale et conclusion
Principe
La surpression du coup de bélier ne remplace pas la pression de service, elle s'y ajoute. La pression totale que doit supporter la tuyauterie est donc la somme de la pression statique initiale et de la surpression calculée.
Mini-Cours
La Pression Nominale (PN) d'un composant de réseau (tuyau, vanne, raccord) est sa pression de service maximale admissible à 20°C. La Pression d'Épreuve Hydraulique (PEA) est une pression supérieure que le composant doit pouvoir supporter pendant un temps court lors des tests en usine (souvent \(PEA = 1.5 \times PN\)). La pression maximale transitoire (\(P_{\text{max}}\)) ne doit idéalement pas dépasser la PN, et en aucun cas la PEA.
Remarque Pédagogique
C'est la conclusion de l'étude. C'est ici que l'ingénieur passe du calcul à la décision. Le résultat numérique est-il acceptable ou non ? Si non, quelles solutions techniques proposer ? Cette étape donne tout son sens aux calculs précédents.
Normes
Les normes de conception (ex: fascicule 71 en France) définissent les coefficients de sécurité à appliquer et les pressions maximales admissibles en régime transitoire, souvent en fonction de la PN de la conduite.
Formule(s)
Pression Maximale
Hypothèses
- La pression statique de 6 bars est la pression de service au point de fermeture juste avant l'événement.
- On néglige la dépression qui suit l'onde de surpression, qui peut aussi être dommageable (risque de cavitation ou d'écrasement de la conduite).
Donnée(s)
On utilise le résultat du calcul précédent et la donnée de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression statique | \(P_{\text{statique}}\) | 6 | bars |
| Surpression calculée | \(\Delta P\) | 23.9 | bars |
Astuces
Dans un rapport, il est toujours bon de comparer la pression maximale à la PN de la conduite. Si la PN n'est pas donnée, on peut la supposer (ex: PN10 ou PN16, les plus courantes) pour rendre la conclusion plus parlante.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la pression de service avant l'événement.
Pression de service
Calcul(s)
Calcul de la pression maximale
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du pic de pression maximale atteint pendant le coup de bélier.
Pression maximale transitoire
Réflexions
Une pression de 29.9 bars est extrêmement élevée. Les conduites standard pour l'eau sont souvent classées pour des pressions nominales (PN) de 10, 16 ou 25 bars. Une telle surpression dépasserait très probablement la résistance mécanique de la conduite et de ses accessoires (vannes, joints), entraînant un risque de rupture majeur.
Points de vigilance
Ne pas oublier d'additionner la pression statique. La surpression n'est qu'une augmentation, pas la valeur finale. Il faut également s'assurer que la pression statique est bien celle au point de fermeture, car elle peut varier le long de la conduite.
Points à retenir
- La pression totale subie par la conduite est la somme de la pression de service et de la surpression transitoire.
- Cette pression totale doit être comparée à la Pression Nominale (PN) de la conduite pour évaluer la sécurité de l'installation.
Le saviez-vous ?
Pour protéger les réseaux contre les coups de bélier, on installe des dispositifs spécifiques comme des réservoirs d'air (appelés "bouteilles anti-bélier") qui agissent comme des amortisseurs, ou des vannes à fermeture lente et contrôlée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la conduite est de classe PN 16 (pression nominale 16 bars), quelle est la surpression maximale admissible si l'on veut conserver une marge de sécurité de 2 bars (\(P_{\text{max}} \le 14\) bars) ?
Outil Interactif : Simulateur de Coup de Bélier
Utilisez les curseurs pour voir comment la vitesse initiale du fluide et la longueur de la conduite influencent la surpression maximale (selon Allievi).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (pour a = 1202 m/s)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la cause principale du coup de bélier ?
2. La célérité de l'onde de choc...
3. Une fermeture de vanne est dite "rapide" si...
4. Comment la rigidité de la conduite (Module de Young E) influence-t-elle la célérité ?
5. La formule d'Allievi (\(\Delta H = aV_0/g\)) donne une surpression qui...
- Coup de Bélier
- Phénomène de propagation d'une onde de surpression et de dépression dans une conduite, causé par une variation rapide de la vitesse du fluide.
- Célérité (a)
- Vitesse de propagation de l'onde de pression. Elle dépend des propriétés élastiques du fluide et de la conduite.
- Module de Young (E)
- Mesure de la rigidité d'un matériau. Un module de Young élevé signifie que le matériau est très rigide (ex: acier).
- Module de Compressibilité (K)
- Mesure de la résistance d'un fluide à la compression. Un module élevé signifie que le fluide est peu compressible (ex: eau).
D’autres exercices d’hydraulique en charge:
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