ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Surélévation dans un Virage de Canal

Calcul de la Surélévation dans un Virage de Canal

Calcul de la Surélévation dans un Virage de Canal

Comprendre la Surélévation en Canal

Lorsqu'un fluide s'écoule dans un virage d'un canal à surface libre, la force centrifuge agit sur les particules de fluide, les poussant vers l'extérieur du virage. Cet effet provoque une élévation du niveau de l'eau sur la berge extérieure et un abaissement sur la berge intérieure. Cette différence de hauteur est appelée surélévation. Le calcul de la hauteur d'eau maximale sur la berge extérieure est crucial pour le dimensionnement des canaux, car il permet de s'assurer que les parois (les francs-bords) sont suffisamment hautes pour contenir l'eau et éviter tout débordement, en particulier à des vitesses d'écoulement élevées ou dans des virages serrés.

Données de l'étude

On étudie un canal d'irrigation de section trapézoïdale qui comporte un virage. On souhaite déterminer la hauteur d'eau maximale sur la berge extérieure pour vérifier le dimensionnement du canal.

Caractéristiques du canal et de l'écoulement :

  • Débit (\(Q\)) : \(15 \, \text{m}^3/\text{s}\)
  • Largeur au fond du canal (\(b\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
  • Fruit des berges (\(m\)) : \(1.5\) (pour 1 unité verticale, 1.5 unité horizontale)
  • Pente du fond du canal (\(S_0\)) : \(0.001\) (ou 1 m/km)
  • Coefficient de Manning (\(n\)) : \(0.014\) (béton)
  • Rayon de courbure à l'axe du canal (\(R_c\)) : \(30 \, \text{m}\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma de la Section du Canal dans le Virage
Surface de l'eau Berge intérieure Berge extérieure y_n y_max Largeur au miroir T

Questions à traiter

  1. Déterminer la hauteur d'eau normale (\(y_n\)) dans le canal. (Note : nécessite une résolution par itérations).
  2. Calculer l'aire de la section mouillée (\(A\)) et la largeur au miroir (\(T\)) pour la hauteur normale.
  3. Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(v\)).
  4. Calculer la surélévation (\(\Delta y\)) à travers la surface de l'eau.
  5. Déterminer la hauteur d'eau maximale (\(y_{\text{max}}\)) sur la berge extérieure.

Correction : Calcul de la Surélévation

Question 1 : Hauteur Normale (\(y_n\))

Principe :

La hauteur normale (\(y_n\)) est la hauteur d'eau pour un écoulement uniforme, c'est-à-dire lorsque les forces motrices (gravité) sont équilibrées par les forces de frottement. Elle est déterminée en utilisant la formule de Manning. Comme la hauteur \(y_n\) apparaît à la fois dans l'aire (\(A\)) et le rayon hydraulique (\(R_h\)), l'équation ne peut pas être résolue directement et nécessite une approche par tâtonnement (itérations).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Q = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2} \]

Avec pour un trapèze : \(A = (b+my)y\), \(P = b+2y\sqrt{1+m^2}\) et \(R_h = A/P\).

Calcul (par itérations) :

On cherche \(y_n\) tel que la fonction \(f(y) = \frac{1}{n} A R_h^{2/3} S_0^{1/2} - Q\) soit égale à zéro.
Hypothèse 1 : Essayons une première valeur, par exemple \(y = 1.5 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} A &= (4+1.5 \times 1.5) \times 1.5 = 9.375 \, \text{m}^2 \\ P &= 4+2 \times 1.5 \sqrt{1+1.5^2} = 9.41 \, \text{m} \\ R_h &= 9.375/9.41 \approx 0.996 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014} \times 9.375 \times (0.996)^{2/3} \times \sqrt{0.001} \approx 21.1 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le résultat (\(21.1\)) est supérieur au débit cible (\(15\)). La hauteur d'eau est donc trop grande. Essayons une valeur plus faible.
Hypothèse 2 : Essayons \(y = 1.2 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} A &= (4+1.5 \times 1.2) \times 1.2 = 6.96 \, \text{m}^2 \\ P &= 4+2 \times 1.2 \sqrt{1+1.5^2} \approx 8.33 \, \text{m} \\ R_h &= 6.96/8.33 \approx 0.836 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014} \times 6.96 \times (0.836)^{2/3} \times \sqrt{0.001} \approx 13.9 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Le résultat (\(13.9\)) est inférieur au débit cible (\(15\)). La solution se trouve donc entre 1.2 m et 1.5 m. Affinons l'hypothèse.
Hypothèse 3 : Essayons \(y = 1.26 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} A &= (4+1.5 \times 1.26) \times 1.26 \approx 7.42 \, \text{m}^2 \\ P &= 4+2 \times 1.26 \sqrt{1+1.5^2} \approx 8.54 \, \text{m} \\ R_h &= 7.42/8.54 \approx 0.869 \, \text{m} \\ Q_{\text{calc}} &= \frac{1}{0.014} \times 7.42 \times (0.869)^{2/3} \times \sqrt{0.001} \approx 15.2 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned} \]

Ce résultat est très proche du débit cible de 15 m³/s. On considère cette valeur comme acceptable.

Résultat Question 1 : La hauteur normale est \(y_n \approx 1.26 \, \text{m}\).

Question 2 : Aire (\(A\)) et Largeur au Miroir (\(T\))

Principe :

Une fois la hauteur normale connue, les propriétés géométriques de la section d'écoulement peuvent être calculées directement à l'aide des formules pour un trapèze.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = (b+my_n)y_n \quad ; \quad T = b+2my_n \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (4 + 1.5 \times 1.26) \times 1.26 = (5.89) \times 1.26 \approx 7.42 \, \text{m}^2 \\ T &= 4 + 2 \times 1.5 \times 1.26 = 4 + 3.78 = 7.78 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire mouillée est \(A \approx 7.42 \, \text{m}^2\) et la largeur au miroir est \(T = 7.78 \, \text{m}\).

Question 3 : Vitesse Moyenne (\(v\))

Principe :

La vitesse moyenne est une conséquence directe du débit et de l'aire de la section d'écoulement, basée sur le principe de continuité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v = \frac{Q}{A} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= \frac{15 \, \text{m}^3/\text{s}}{7.42 \, \text{m}^2} \\ &\approx 2.02 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La vitesse moyenne de l'écoulement est \(v \approx 2.02 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Surélévation (\(\Delta y\))

Principe :

La surélévation est la différence de hauteur totale entre la berge extérieure et la berge intérieure. Elle est calculée en équilibrant la force centrifuge (proportionnelle à \(v^2/R_c\)) et la force de pression due à la pente de la surface de l'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta y = \frac{v^2 T}{g R_c} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta y &= \frac{(2.02 \, \text{m/s})^2 \times 7.78 \, \text{m}}{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 30 \, \text{m}} \\ &= \frac{4.08 \times 7.78}{294.3} \\ &\approx 0.108 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La surélévation est \(\Delta y \approx 0.11 \, \text{m}\) (soit 11 cm).

Question 5 : Hauteur d'Eau Maximale (\(y_{\text{max}}\))

Principe :

La hauteur d'eau maximale se produit sur la berge extérieure. Elle est égale à la hauteur d'eau normale à laquelle on ajoute la moitié de la surélévation totale (\(\Delta y\)), car la surélévation se répartit de part et d'autre de la hauteur moyenne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y_{\text{max}} = y_n + \frac{\Delta y}{2} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} y_{\text{max}} &= 1.26 \, \text{m} + \frac{0.108 \, \text{m}}{2} \\ &= 1.26 \, \text{m} + 0.054 \, \text{m} \\ &= 1.314 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat : La hauteur d'eau maximale sur la berge extérieure est \(y_{\text{max}} \approx 1.31 \, \text{m}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Quelle est la cause principale de la surélévation de l'eau dans un virage ?

2. Si le rayon de courbure (\(R_c\)) du virage est plus grand (virage moins serré), la surélévation (\(\Delta y\)) :

3. La hauteur d'eau sur la berge intérieure du virage est approximativement :

Glossaire

Écoulement à Surface Libre
Écoulement d'un liquide dont la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère (ex: rivières, canaux).
Surélévation (\(\Delta y\))
Différence de hauteur de la surface libre de l'eau entre la berge extérieure et la berge intérieure d'un canal dans un virage, causée par la force centrifuge.
Hauteur Normale (\(y_n\))
Hauteur d'eau constante et uniforme atteinte dans un canal de pente, de forme et de rugosité données, pour un débit constant.
Largeur au Miroir (\(T\))
Largeur de la surface libre de l'eau dans la section transversale du canal.
Coefficient de Manning (\(n\))
Coefficient empirique qui caractérise la rugosité des parois d'un canal et influence les pertes de charge par frottement.
Calcul de la Surélévation en Canal - Exercice d'Application

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