Calcul de la Surélévation dans un Virage de Canal

Contexte : L'Hydraulique à surface libreDiscipline étudiant les écoulements de liquides avec une surface libre (ex: rivières, canaux)..

Lorsqu'un écoulement à surface libre aborde un virage, la force centrifuge provoque une élévation du niveau d'eau sur la rive extérieure et un abaissement sur la rive intérieure. Ce phénomène, appelé surélévation (ou dévers), est crucial à calculer pour le dimensionnement des berges (revanche) et pour assurer la stabilité de l'écoulement.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les équations fondamentales pour quantifier cette surélévation, un calcul essentiel pour tout ingénieur en hydraulique ou génie civil.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le phénomène physique de la surélévation due à la force centrifuge.
Appliquer la formule de la surélévation (équation de Grashof) pour un canal rectangulaire.
Calculer la différence de hauteur d'eau entre la rive intérieure et la rive extérieure.
Déterminer le régime d'écoulement à l'aide du nombre de Froude.

Données de l'étude

Un canal rectangulaire en béton aborde un virage serré. Nous devons déterminer la surélévation maximale pour vérifier si les berges sont suffisamment hautes et si l'écoulement reste stable.

Fiche du Canal

Caractéristique	Valeur
Type de Canal	Rectangulaire, en béton
Régime d'écoulement supposé	Subcritique (fluvial)
Objectif	Calcul de la surélévation Δh

Schéma de principe du virage (Vue de dessus)

Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Vitesse moyenne (V)	Vitesse de l'écoulement	2.5	m/s
Largeur du canal (B)	Largeur au miroir	8.0	m
Rayon de courbure (Rc)	Rayon de l'axe du canal	50	m
Profondeur moyenne (hm)	Profondeur moyenne de l'eau	1.5	m
Accélération (g)	Gravité	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer le nombre de Froude (Fr) de l'écoulement. Est-il fluvial ou torrentiel ?
Quelle est la formule générale de la surélévation \(\Delta h\) dans un virage (formule de Grashof) ?
Calculer la surélévation totale \(\Delta h\) entre la rive extérieure et la rive intérieure.
Déterminer la hauteur d'eau sur la rive extérieure (\(h_{\text{ext}}\)) et la rive intérieure (\(h_{\text{int}}\)).
Le franc-bord (revanche) des berges est de 0.5 m au-dessus du niveau moyen \(h_{\text{m}}\). Y a-t-il un risque de débordement sur la rive extérieure ?

Les bases sur l'Hydraulique en Virage

La clé du phénomène de surélévation est l'équilibre qui s'établit dans le virage entre la force centrifuge (qui pousse l'eau vers l'extérieur) et la force de pression (créée par la différence de hauteur d'eau) qui la compense.

1. Force Centrifuge et Pente Transversale
Dans un virage, chaque particule d'eau est soumise à une accélération centripète \(a_{\text{c}} = V^2 / R\). Pour que l'écoulement suive cette trajectoire courbe, la surface de l'eau doit s'incliner, créant une force de pression dirigée vers l'intérieur du virage. La surélévation \(\Delta h\) est la différence de hauteur totale qui en résulte sur la largeur \(B\).

2. Nombre de Froude (Fr)
C'est le nombre adimensionnel qui caractérise le régime d'écoulement. Il compare les forces d'inertie (liées à la vitesse V) aux forces de gravité (liées à la profondeur h). \[ Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot h_{\text{m}}}} \]

Si \(Fr < 1\), l'écoulement est fluvial (subcritique) : lent et profond.
Si \(Fr > 1\), l'écoulement est torrentiel (supercritique) : rapide et peu profond.

Correction : Calcul de la Surélévation dans un Virage de Canal

Question 1 : Calculer le nombre de Froude (Fr) de l'écoulement. Est-il fluvial ou torrentiel ?

Principe

Le nombre de Froude (Fr) est un indicateur crucial en hydraulique. Il nous permet de savoir si l'écoulement est "calme" (fluvial) ou "rapide" (torrentiel). Cette distinction est fondamentale car elle détermine comment les vagues se propagent et comment l'écoulement réagit aux obstacles.

Mini-Cours

Le nombre de Froude compare la vitesse de l'eau \(V\) à la vitesse (ou célérité) \(c\) à laquelle une petite vague se propage à la surface. Pour un canal rectangulaire, cette célérité est \(c = \sqrt{g \cdot h_{\text{m}}}\). Si l'eau va plus vite que les vagues (\(Fr > 1\)), le régime est torrentiel.

Remarque Pédagogique

Pensez au nombre de Froude comme à un "indicateur de vitesse" hydraulique. Tout comme un avion devient "supersonique" s'il dépasse la vitesse du son, un écoulement devient "supercritique" (torrentiel) s'il dépasse la vitesse des vagues de surface.

Normes

La classification des régimes d'écoulement (fluvial/critique/torrentiel) basée sur le nombre de Froude est une convention universelle en hydraulique à surface libre, utilisée dans toutes les normes et manuels de conception.

Formule(s)

La formule du nombre de Froude pour un canal rectangulaire de profondeur moyenne \(h_{\text{m}}\) est :

Nombre de Froude (Fr)

Fr = \frac{V}{\sqrt{g \cdot h_{\text{m}}}}

Hypothèses

Pour utiliser \(h_{\text{m}}\) (profondeur moyenne) comme longueur caractéristique dans la formule de Froude, nous supposons :

Le canal est rectangulaire et suffisamment large pour que la profondeur moyenne \(h_{\text{m}}\) soit représentative.
La vitesse \(V\) est la vitesse moyenne dans la section.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé nécessaires pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse moyenne	V	2.5	m/s
Profondeur moyenne (\(h_{\text{m}}\))	\(h_{\text{m}}\)	1.5	m
Gravité	g	9.81	m/s²

Astuces

Pour un canal rectangulaire, la profondeur moyenne \(h_m\) est souvent appelée \(h\). Pour un canal trapézoïdal, le calcul est plus complexe et utilise la profondeur hydraulique \(D = A / B\), où A est l'aire mouillée et B la largeur au miroir.

Schéma (Avant les calculs)

Ce diagramme illustre les différents régimes d'écoulement en fonction de la relation entre V et \(\sqrt{g h}\).

Diagramme des Régimes d'Écoulement

Calcul(s)

Nous insérons les valeurs dans la formule.

Calcul du nombre de Froude

\begin{aligned} Fr &= \frac{V}{\sqrt{g \cdot h_{\text{m}}}} \\ Fr &= \frac{2.5}{\sqrt{9.81 \times 1.5}} \\ Fr &= \frac{2.5}{\sqrt{14.715}} \\ Fr &= \frac{2.5}{3.836} \\ Fr &\approx 0.652 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(Fr \approx 0.65\) confirme notre position dans le diagramme des régimes : nous sommes bien en dessous de la ligne critique \(Fr = 1\).

Position sur le diagramme des régimes

Réflexions

Le nombre de Froude est \(Fr \approx 0.65\). Comme \(Fr < 1\), l'écoulement est en régime fluvial (ou subcritique). Cela signifie que l'eau s'écoule 'tranquillement' et que les perturbations (comme le virage) peuvent avoir une influence vers l'amont.

Points de vigilance

Ne pas oublier la racine carrée sur le terme \((g \cdot h)\). Une erreur fréquente est de diviser \(V\) par \((g \cdot h)\) directement, ce qui donnerait un résultat erroné. Vérifiez aussi que \(h_{\text{m}}\) est bien la profondeur moyenne et non la largeur B.

Points à retenir

Ce qu'il faut retenir :

La formule \(Fr = V / \sqrt{gh_{\text{m}}}\) est fondamentale.
\(Fr < 1\) signifie régime Fluvial (subcritique).
\(Fr > 1\) signifie régime Torrentiel (supercritique).

Le saviez-vous ?

Le nombre de Froude a été nommé d'après l'ingénieur et architecte naval anglais William Froude. Il est utilisé non seulement pour les canaux, mais aussi pour modéliser la résistance des vagues sur les coques de navires.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le nombre de Froude est \(Fr \approx 0.65\). L'écoulement est fluvial (subcritique).

A vous de jouer

Que deviendrait le régime si la vitesse augmentait à 4 m/s (avec \(h_{\text{m}}=1.5\)m) ? (La célérité \(\sqrt{gh_{\text{m}}}\) reste 3.836 m/s)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Régime d'écoulement (Fluvial/Torrentiel).
Formule Essentielle : \(Fr = V / \sqrt{g h_{\text{m}}}\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier la racine carrée.

Question 2 : Quelle est la formule générale de la surélévation \(\Delta h\) dans un virage (formule de Grashof) ?

Principe

Cette question porte sur la formule théorique qui décrit le phénomène. La surélévation \(\Delta h\) représente la différence de hauteur totale entre la rive extérieure (plus haute) et la rive intérieure (plus basse).

Mini-Cours

La formule de Grashof (parfois appelée formule de la surélévation ou du dévers) est une approximation courante qui résulte de l'équilibre entre la force centrifuge (proportionnelle à \(V^2/R_{\text{c}}\)) et la force de gravité (liée à \(g\)). Elle relie la surélévation \(\Delta h\) aux principaux paramètres de l'écoulement et du virage.

Formule(s)

Formule de la Surélévation (Grashof)

\Delta h = \frac{V^2 \cdot B}{g \cdot R_{\text{c}}}

Hypothèses

Cette formule suppose plusieurs choses :

L'écoulement est uniforme (vitesse \(V\) constante dans la section).
Le rayon de courbure \(R_{\text{c}}\) est grand par rapport à la largeur \(B\).
Les effets de la viscosité et de la courbure des lignes de courant (écoulement secondaire) sont négligés.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre les variables de la formule.

Variables de la formule de Grashof

Réflexions

L'analyse de la formule est très instructive :

Si la vitesse \(V\) augmente, \(\Delta h\) augmente (au carré).
Si la largeur \(B\) augmente, \(\Delta h\) augmente.
Si le virage est plus serré (\(R_{\text{c}}\) diminue), \(\Delta h\) augmente.

Résultat Final

La formule de la surélévation (Grashof) est : \(\Delta h = \frac{V^2 \cdot B}{g \cdot R_{\text{c}}}\)

A vous de jouer

Si la vitesse \(V\) est doublée, par combien la surélévation \(\Delta h\) sera-t-elle multipliée ?

Question 3 : Calculer la surélévation totale \(\Delta h\) entre la rive extérieure et la rive intérieure.

Principe

Maintenant que nous avons identifié la bonne formule (Question 2) et que nous disposons de toutes les données nécessaires (Énoncé), nous pouvons procéder à l'application numérique pour trouver la valeur de \(\Delta h\).

Mini-Cours

L'application numérique est l'étape où la théorie rencontre la pratique. Elle consiste à remplacer les variables littérales (comme \(V\), \(B\), \(g\), \(R_{\text{c}}\)) dans la formule par leurs valeurs numériques fournies dans l'énoncé. La clé est de s'assurer de la cohérence des unités.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs, je vous conseille de toujours calculer le numérateur et le dénominateur séparément avant de faire la division finale. Cela permet de mieux vérifier les ordres de grandeur à chaque étape.

Normes

Ce calcul de base est universel. Les normes (comme celles du CCTG Fascicule 67 pour les ouvrages d'art) ne changent pas la formule, mais peuvent imposer des coefficients de sécurité ou des hypothèses spécifiques sur les valeurs à utiliser (par exemple, une vitesse majorée).

Formule(s)

Formule de la Surélévation

\Delta h = \frac{V^2 \cdot B}{g \cdot R_{\text{c}}}

Hypothèses

Nous reprenons les hypothèses de la Q2, principalement :

Toutes les données fournies (V, B, \(R_{\text{c}}\)) sont correctes et représentent les valeurs moyennes à utiliser.
Les unités sont dans le Système International.

Donnée(s)

Nous rassemblons toutes les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse moyenne	V	2.5	m/s
Largeur du canal	B	8.0	m
Rayon de courbure (\(R_{\text{c}}\))	\(R_{\text{c}}\)	50	m
Gravité	g	9.81	m/s²

Astuces

Une analyse dimensionnelle rapide : \(\frac{(\text{m/s})^2 \cdot \text{m}}{\text{m/s}^2} = \frac{\text{m}^2/\text{s}^2 \cdot \text{m}}{\text{m/s}^2} = \frac{\text{m}^3/\text{s}^2}{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{m}\). Les unités sont cohérentes, le résultat sera bien en mètres.

Schéma (Avant les calculs)

Nous réutilisons le schéma de la Q2, en nous concentrant sur les 4 variables dont nous avons besoin pour le calcul.

Variables pour le calcul

Calcul(s)

Calcul de la surélévation \(\Delta h\)

\begin{aligned} \Delta h &= \frac{V^2 \cdot B}{g \cdot R_{\text{c}}} \\ \Delta h &= \frac{(2.5)^2 \times 8.0}{9.81 \times 50} \\ \Delta h &= \frac{6.25 \times 8.0}{9.81 \times 50} \\ \Delta h &= \frac{50}{490.5} \\ \Delta h &\approx 0.1019 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(\Delta h \approx 0.102\) m (soit 10.2 cm) est la différence de hauteur totale.

Résultat du calcul de \(\Delta h\)

Réflexions

Une surélévation de 10.2 cm est relativement faible mais non négligeable. Sur un grand canal, cela peut influencer la conception des berges et la navigation.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier le carré sur la vitesse \(V\). Si vous aviez fait \((2.5 \times 8) / (9.81 \times 50)\), vous auriez obtenu \(\approx 0.04\) m, un résultat erroné. Vérifiez toujours les exposants !

Points à retenir

L'application numérique est directe, mais la rigueur est essentielle. Vérifiez toujours : 1. La bonne formule. 2. Les bonnes valeurs. 3. La cohérence des unités.

Le saviez-vous ?

Dans les rivières naturelles (méandres), ce même phénomène de surélévation est responsable, en partie, de l'érosion plus marquée sur la rive extérieure (concave) où la vitesse et la hauteur d'eau sont plus importantes.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La surélévation totale calculée entre les deux berges est \(\Delta h \approx 0.102 \text{ m}\) (ou 10.2 cm).

A vous de jouer

Recalculez \(\Delta h\) si la vitesse (V) était de 3 m/s (les autres paramètres inchangés).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Application numérique.
Formule : \(\Delta h = V^2 B / (g R_{\text{c}})\).
Piège à éviter : Oublier le carré sur la vitesse \(V\).

Question 4 : Déterminer la hauteur d'eau sur la rive extérieure (\(h_{\text{ext}}\)) et la rive intérieure (\(h_{\text{int}}\)).

Principe

La surélévation totale \(\Delta h\) de 10.2 cm ne s'ajoute pas entièrement à la hauteur moyenne. En réalité, la surface de l'eau "pivote" autour de l'axe central. La rive extérieure monte de \(\Delta h / 2\) et la rive intérieure descend de \(\Delta h / 2\) par rapport à la hauteur moyenne \(h_{\text{m}}\).

Mini-Cours

La hauteur moyenne \(h_{\text{m}}\) est le niveau d'eau que l'on aurait si le canal était droit. Dans le virage, cette hauteur moyenne se situe à l'axe (sur \(R_{\text{c}}\)). La surélévation \(\Delta h\) représente l'écart total. On suppose une répartition linéaire de cette surélévation, donc l'écart par rapport à la moyenne à chaque berge est de \(\pm \Delta h / 2\).

Remarque Pédagogique

Visualisez la surface de l'eau comme une règle inclinée. Le point milieu de la règle est à la hauteur \(h_{\text{m}}\). L'extrémité extérieure est à \(h_{\text{m}} + \text{moitié de la différence}\) et l'extrémité intérieure à \(h_{\text{m}} - \text{moitié de la différence}\).

Normes

Cette répartition linéaire (\(\pm \Delta h / 2\)) est une simplification de premier ordre. Les normes de conception avancées peuvent utiliser des répartitions plus complexes, mais celle-ci est la plus couramment utilisée pour les dimensionnements standards.

Formule(s)

Hauteur rive extérieure

h_{\text{ext}} = h_{\text{m}} + \frac{\Delta h}{2}

Hauteur rive intérieure

h_{\text{int}} = h_{\text{m}} - \frac{\Delta h}{2}

Hypothèses

L'hypothèse principale ici est que la pente de la surface libre est linéaire à travers la section, ce qui implique que le point de hauteur moyenne \(h_{\text{m}}\) est bien situé à l'axe du canal.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de Q3 et la donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Profondeur moyenne (\(h_{\text{m}}\))	\(h_{\text{m}}\)	1.5	m
Surélévation totale	\(\Delta h\)	0.102	m

Astuces

Pour vérifier votre calcul : calculez \(h_{\text{ext}} - h_{\text{int}}\). Vous devez retrouver la valeur de \(\Delta h\) calculée à la question 3. Exemple : \((h_{\text{m}} + \Delta h/2) - (h_{\text{m}} - \Delta h/2) = \Delta h\).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma en coupe montrant les inconnues \(h_{\text{ext}}\) et \(h_{\text{int}}\).

Répartition de la surélévation

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la demi-surélévation (\(\Delta h / 2\))

\begin{aligned} \text{Demi-surélévation} &= \frac{\Delta h}{2} \\ &= \frac{0.1019 \text{ m}}{2} \\ \quad &\approx 0.051 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la hauteur extérieure

\begin{aligned} h_{\text{ext}} &= h_{\text{m}} + \frac{\Delta h}{2} \\ h_{\text{ext}} &= 1.5 \text{ m} + 0.051 \text{ m} \\ h_{\text{ext}} &= 1.551 \text{ m} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la hauteur intérieure

\begin{aligned} h_{\text{int}} &= h_{\text{m}} - \frac{\Delta h}{2} \\ h_{\text{int}} &= 1.5 \text{ m} - 0.051 \text{ m} \\ h_{\text{int}} &= 1.449 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma en coupe (section transversale) montre la répartition des hauteurs.

Section transversale avec surélévation

Réflexions

La différence entre la rive extérieure et intérieure est bien de \(1.551 - 1.449 = 0.102 \text{ m}\), ce qui confirme notre calcul de \(\Delta h\) à la Question 3. Les hauteurs sont donc réparties symétriquement autour de la moyenne.

Points de vigilance

Ne pas additionner ou soustraire la totalité de \(\Delta h\) à \(h_{\text{m}}\). C'est l'erreur la plus fréquente. \(\Delta h\) est l'écart *total* entre les deux rives, pas l'écart par rapport à la moyenne.

Points à retenir

La surélévation se répartit en \(\pm \Delta h / 2\) autour de la profondeur moyenne \(h_{\text{m}}\). \(h_{\text{ext}}\) est la hauteur maximale, \(h_{\text{int}}\) la hauteur minimale.

Le saviez-vous ?

Dans les virages de routes (dévers), on applique le même principe ! On incline la route (on crée une "surélévation" solide) pour que la composante du poids de la voiture compense la force centrifuge, améliorant l'adhérence.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La hauteur d'eau sur la rive extérieure est \(h_{\text{ext}} \approx 1.551 \text{ m}\) et sur la rive intérieure \(h_{\text{int}} \approx 1.449 \text{ m}\).

A vous de jouer

Si la hauteur moyenne \(h_{\text{m}}\) était de 2.0 m (avec le même \(\Delta h = 0.102\) m), quelle serait \(h_{\text{ext}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Répartition de la surélévation.
Formules : \(h_{\text{ext}} = h_{\text{m}} + \Delta h/2\) et \(h_{\text{int}} = h_{\text{m}} - \Delta h/2\).
Piège à éviter : Utiliser \(\Delta h\) au lieu de \(\Delta h/2\).

Question 5 : Le franc-bord (revanche) des berges est de 0.5 m au-dessus du niveau moyen \(h_{\text{m}}\). Y a-t-il un risque de débordement sur la rive extérieure ?

Principe

Cette question est une vérification d'ingénierie. Le franc-bord (ou revanche)Marge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal et le sommet de la berge pour éviter les débordements. est la marge de sécurité. Nous devons comparer la hauteur d'eau maximale réelle (\(h_{\text{ext}}\)) à la hauteur maximale admissible (hauteur de la berge) pour voir si la sécurité est assurée.

Mini-Cours

La revanche est une hauteur de sécurité obligatoire dans la conception des canaux. Elle sert à absorber les variations imprévues du niveau d'eau (vagues, augmentation subite du débit, imprécisions de calcul). Le concepteur fixe la revanche (ici, 0.5 m) et l'ingénieur vérificateur doit s'assurer que le niveau d'eau maximal (\(h_{\text{ext}}\) dans notre cas) ne dépasse jamais la hauteur totale de la berge.

Remarque Pédagogique

C'est la question "concrète" de l'exercice. Elle relie tous nos calculs précédents (V, \(h_{\text{m}}\) \(\rightarrow\) Fr; V, B, \(R_{\text{c}}\) \(\rightarrow\) \(\Delta h\); \(\Delta h\), \(h_{\text{m}}\) \(\rightarrow\) \(h_{\text{ext}}\)) à une décision de conception réelle : "Est-ce que ça déborde ? Oui ou Non ?"

Normes

Les normes de conception des canaux (par exemple, celles du Ministère de l'Agriculture ou d'organismes comme le CEMAGREF/IRSTEA) fixent les valeurs minimales de revanche à adopter en fonction du type de canal, du débit, et du régime d'écoulement.

Formule(s)

Hauteur de la berge (\(H_{\text{berge}}\))

H_{\text{berge}} = h_{\text{m}} + \text{Revanche}

Condition de sécurité

h_{\text{ext}} \le H_{\text{berge}}

Hypothèses

Nous supposons que la "revanche de 0.5 m" est définie par rapport au niveau *moyen* \(h_{\text{m}}\) en conditions normales, comme l'indique l'énoncé. C'est le niveau de référence pour la conception.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de Q4 et la nouvelle donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur d'eau max (ext)	\(h_{\text{ext}}\)	1.551	m
Profondeur moyenne (\(h_{\text{m}}\))	\(h_{\text{m}}\)	1.5	m
Revanche (Franc-bord)	F	0.5	m

Astuces

Une autre façon de voir : calculez la "revanche restante". Revanche restante = \(H_{\text{berge}} - h_{\text{ext}}\). Si ce nombre est positif, c'est bon. S'il est négatif, ça déborde.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la revanche et de la hauteur d'eau maximale.

Vérification de la revanche (Avant calcul)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la hauteur totale de la berge

\begin{aligned} H_{\text{berge}} &= h_{\text{m}} + \text{Revanche} \\ H_{\text{berge}} &= 1.5 \text{ m} + 0.5 \text{ m} \\ H_{\text{berge}} &= 2.0 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Comparaison

\begin{aligned} \text{Condition :} \quad &h_{\text{ext}} \le H_{\text{berge}} \text{ ?} \\ \text{Comparaison :} \quad &1.551 \text{ m} \le 2.0 \text{ m} \text{ ?} \\ \text{Conclusion :} \quad &\text{VRAI.} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le schéma montre la hauteur d'eau maximale par rapport à la hauteur de la berge.

Vérification de la revanche

Réflexions

La hauteur maximale de l'eau (\(h_{\text{ext}} = 1.551\) m) est bien inférieure à la hauteur totale de la berge (\(H_{\text{berge}} = 2.0\) m). La condition de sécurité est respectée. La marge de sécurité (revanche restante) est de \(2.0 - 1.551 = 0.449\) m, ce qui est très confortable.

Points de vigilance

Attention à ne pas comparer \(h_{\text{ext}}\) (1.551 m) à la revanche (0.5 m). C'est une erreur classique. Il faut comparer la hauteur d'eau *totale* à la hauteur de berge *totale*.

Points à retenir

La vérification finale est \(H_{\text{berge}} \ge h_{\text{ext}}\). Le niveau d'eau maximal (rive extérieure) doit être plus bas que le sommet de la berge.

Le saviez-vous ?

Pour les écoulements torrentiels (\(Fr > 1\)), des vagues complexes (vagues obliques, ondes de choc hydrauliques) peuvent se former dans les virages, rendant la surélévation beaucoup plus complexe à calculer et souvent plus importante. La formule de Grashof n'est alors plus applicable.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Non, il n'y a pas de risque de débordement. La hauteur d'eau maximale (1.551 m) reste bien en dessous de la hauteur de la berge (2.0 m).

A vous de jouer

Si la revanche n'avait été que de 0.05 m (soit \(H_{\text{berge}} = 1.55\) m), y aurait-il eu un risque ? (Rappel : \(h_{\text{ext}} = 1.551\) m)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Vérification de la revanche (sécurité).
Formule : \(H_{\text{berge}} = h_{\text{m}} + \text{Revanche}\).
Condition : Vérifier que \(h_{\text{ext}} \le H_{\text{berge}}\).

Outil Interactif : Simulateur de Surélévation

Utilisez les curseurs pour voir comment la vitesse (V) et le rayon de courbure (Rc) influencent la surélévation Δh. (Basé sur B=8m et g=9.81m/s²).

Paramètres d'Entrée

Vitesse (V) (m/s) 2.5 m/s

Rayon de Courbure (Rc) (m) 50 m

Profondeur Moyenne (hm) (m) 1.5 m

Résultats Clés

Surélévation (Δh) (m) -

Nombre de Froude (Fr) -

Glossaire

Surélévation (ou Dévers): Différence de hauteur de la surface libre de l'eau entre la rive extérieure (plus haute) et la rive intérieure (plus basse) d'un virage, due à la force centrifuge.
Nombre de Froude (Fr): Nombre adimensionnel comparant les forces d'inertie (vitesse) aux forces de gravité (profondeur). Il définit le régime d'écoulement.
Régime Fluvial (Subcritique): Régime d'écoulement lent et profond, caractérisé par un Nombre de Froude \(Fr < 1\). Les ondes ou perturbations peuvent remonter le courant.
Régime Torrentiel (Supercritique): Régime d'écoulement rapide et peu profond, caractérisé par un Nombre de Froude \(Fr > 1\). Le contrôle se fait par l'amont, les ondes sont entraînées vers l'aval.
Revanche (ou Franc-bord): Marge de sécurité verticale entre le niveau d'eau maximal de conception et le sommet de la berge (ou de l'ouvrage) pour éviter les débordements.