ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Puissance de Cisaillement Visqueux

Calcul de la Puissance de Cisaillement Visqueux

Calcul de la Puissance de Cisaillement Visqueux

Contexte : Pourquoi calculer la puissance dissipée par le cisaillement ?

Dans de nombreux systèmes mécaniques en rotation, comme les paliers de butée, les embrayages multidisques ou les viscomètres rotatifs, un film de fluide (souvent de l'huile) sépare deux surfaces en mouvement relatif. La viscosité du fluide, qui est sa résistance interne à l'écoulement, génère des forces de frottement. Ce frottement, appelé cisaillement visqueux, s'oppose à la rotation et nécessite un couple pour être vaincu. Ce couple, multiplié par la vitesse de rotation, se traduit par une puissance qui est entièrement convertie en chaleur. Le calcul de cette puissance est crucial pour dimensionner le moteur d'entraînement, prévoir l'échauffement du système et évaluer les pertes énergétiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas, de la conversion des unités de vitesse à l'intégration du couple sur une surface, pour aboutir au calcul de la puissance. Vous verrez comment les propriétés du fluide (\(\mu\)) et la géométrie du système (rayon \(R\), épaisseur du film \(h\)) influencent directement la puissance perdue.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la loi de viscosité de Newton dans un écoulement de Couette circulaire.
  • Calculer la contrainte de cisaillement en un point d'un fluide entre deux disques.
  • Déterminer le couple total résultant de l'intégration des contraintes de cisaillement sur une surface.
  • Calculer la puissance dissipée à partir du couple et de la vitesse angulaire.
  • Analyser l'influence des différents paramètres (viscosité, vitesse, géométrie) sur la puissance perdue.

Données de l'étude

On considère un palier de butée simple constitué d'un disque de rayon \(R\) tournant à une vitesse angulaire constante \(\omega\) au-dessus d'un disque stationnaire. Les deux disques sont parallèles et séparés par un film d'huile d'épaisseur constante \(h\) et de viscosité dynamique \(\mu\).

Schéma du palier de butée
Disque Stationnaire Disque Rotatif ω Film d'huile (μ, h) Rayon R h

Données numériques :

  • Rayon du disque : \(R = 100 \, \text{mm}\)
  • Vitesse de rotation : \(N = 1500 \, \text{tr/min}\) (tours par minute)
  • Épaisseur du film d'huile : \(h = 0.5 \, \text{mm}\)
  • Viscosité dynamique de l'huile : \(\mu = 0.028 \, \text{Pa·s}\)

Questions à traiter

  1. Convertir la vitesse de rotation \(N\) en vitesse angulaire \(\omega\) en \(\text{rad/s}\).
  2. Déterminer l'expression de la contrainte de cisaillement \(\tau(r)\) dans le film d'huile en fonction du rayon \(r\).
  3. Calculer le couple visqueux total (\(C_v\)) exercé sur le disque.
  4. Calculer la puissance (\(P\)) dissipée par ce frottement visqueux.

Correction : Calcul de la Puissance de Cisaillement Visqueux

Question 1 : Convertir la vitesse de rotation en vitesse angulaire

Principe (le concept physique)

Les calculs en mécanique de la rotation utilisent la vitesse angulaire \(\omega\) en radians par seconde (\(\text{rad/s}\)) comme unité de base. Il faut donc convertir la vitesse donnée en tours par minute (\(\text{tr/min}\)) vers cette unité du Système International.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Un tour complet correspond à un angle de \(2\pi\) radians. Une minute correspond à 60 secondes. La conversion consiste donc à multiplier le nombre de tours par \(2\pi\) (pour passer en radians) et à diviser par 60 (pour passer en secondes).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Ne confondez pas la fréquence de rotation \(f\) (en Hertz, c'est-à-dire en tours par seconde) et la vitesse angulaire \(\omega\) (en radians par seconde). La relation est simple : \(\omega = 2\pi f\). La conversion depuis les tr/min combine ces deux aspects.

Normes (la référence réglementaire)

Le radian est l'unité standard d'angle dans le Système International d'unités (SI), et le radian par seconde est l'unité standard de vitesse angulaire.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la vitesse de rotation de 1500 tr/min est constante et stable.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de conversion de la vitesse de rotation :

\[ \omega \, (\text{rad/s}) = N \, (\text{tr/min}) \times \frac{2\pi}{60} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Vitesse de rotation : \(N = 1500 \, \text{tr/min}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule de conversion :

\[ \begin{aligned} \omega &= 1500 \times \frac{2\pi}{60} \\ &= 50\pi \\ &\approx 157.08 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 1500 tours par minute correspond à une rotation de près de 157 radians (soit environ 25 tours complets) chaque seconde. C'est une vitesse de rotation courante pour de nombreux moteurs électriques.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Toutes les formules fondamentales de la mécanique (vitesse linéaire, couple, puissance) utilisent la vitesse angulaire \(\omega\) en \(\text{rad/s}\). Cette conversion est donc une étape préliminaire indispensable à tous les calculs suivants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier le facteur \(2\pi\) : Une erreur fréquente est de simplement diviser les tr/min par 60, ce qui donne la fréquence en Hertz (\(f\)), mais pas la vitesse angulaire \(\omega\). Il faut impérativement multiplier par \(2\pi\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le facteur de conversion \(\frac{\pi}{30}\) (qui est égal à \(\frac{2\pi}{60}\)) est un nombre que les ingénieurs en mécanique mémorisent pour passer rapidement des tr/min aux rad/s.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utiliser les radians et non les degrés ?

Le radian est une unité "naturelle" d'angle, définie par la longueur de l'arc intercepté sur un cercle. L'utilisation des radians simplifie de nombreuses formules en physique et en calcul différentiel (par exemple, la dérivée de \(\sin(x)\) n'est \(\cos(x)\) que si \(x\) est en radians).

Résultat Final : La vitesse angulaire du disque est \(\omega \approx\) 157.08 rad/s.

À vous de jouer !

Question 2 : Déterminer la contrainte de cisaillement \(\tau(r)\)

Principe (le concept physique)
y=0, v=0 y=h, v=ωr Profil de vitesse linéaire v(r)

La contrainte de cisaillement \(\tau\) est la force de frottement par unité de surface au sein du fluide. Selon la loi de Newton pour les fluides, elle est proportionnelle au gradient de vitesse. Pour un film d'huile mince, on peut supposer que le profil de vitesse est linéaire, variant de zéro (sur le disque fixe) à la vitesse locale du disque rotatif \(v(r)\) à une distance \(r\) du centre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'écoulement entre une surface fixe et une surface mobile est appelé "écoulement de Couette". Dans notre cas, il s'agit d'un écoulement de Couette circulaire. La vitesse linéaire d'un point sur un corps en rotation est donnée par \(v = \omega \times r\). Le gradient de vitesse \(\frac{dv}{dy}\), qui représente la variation de vitesse à travers l'épaisseur du film, peut être approximé par \(\frac{\Delta v}{\Delta y} = \frac{v(r) - 0}{h - 0} = \frac{\omega r}{h}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La contrainte de cisaillement n'est pas constante sur toute la surface du disque. Elle est nulle au centre (\(r=0\)) et maximale au bord extérieur (\(r=R\)), car la vitesse linéaire augmente avec le rayon. C'est pour cela qu'elle est exprimée en fonction de \(r\), soit \(\tau(r)\).

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est une application directe des principes fondamentaux de la mécanique des fluides (loi de Newton de la viscosité), qui sont la base de nombreuses normes de conception de machines, sans pour autant être une norme en soi.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On fait l'hypothèse d'un profil de vitesse linéaire dans l'entrefer, ce qui est très précis lorsque l'épaisseur \(h\) est très petite par rapport au rayon \(R\). On néglige également les effets de bord à la périphérie du disque.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi de Newton de la viscosité :

\[ \tau = \mu \frac{dv}{dy} \]

Avec un profil linéaire, le gradient devient :

\[ \frac{dv}{dy} \approx \frac{v(r)}{h} = \frac{\omega r}{h} \]

Expression de la contrainte de cisaillement :

\[ \tau(r) = \mu \frac{\omega r}{h} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Il s'agit d'une dérivation symbolique, pas d'une application numérique directe. Les données seront utilisées dans les questions suivantes.
Calcul(s) (l'application numérique)

Aucun calcul numérique à ce stade. La réponse est l'expression littérale.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'expression montre que la contrainte de cisaillement est directement proportionnelle à la viscosité \(\mu\), à la vitesse de rotation \(\omega\) et au rayon \(r\), et inversement proportionnelle à l'épaisseur du film \(h\). Cela correspond bien à l'intuition : un fluide plus "collant", une vitesse plus grande ou un jeu plus faible augmentent le frottement.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Déterminer la contrainte de cisaillement est l'étape clé qui relie les propriétés du fluide et la cinématique du système. C'est la grandeur locale qui, une fois intégrée sur toute la surface, donnera l'effort global (le couple).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la vitesse constante : Ne pas utiliser une vitesse constante pour tout le disque. La vitesse varie avec le rayon, et donc la contrainte aussi. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type de problème.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les fluides qui ne suivent pas la loi de Newton (\(\tau = \mu \frac{dv}{dy}\)) sont dits "non-newtoniens". C'est le cas du ketchup ou de la peinture, dont la viscosité diminue lorsqu'on les agite (rhéofluidifiants), ou des mélanges d'eau et de fécule de maïs, qui se solidifient sous un choc (rhéoépaississants).

FAQ (pour lever les doutes)
L'hypothèse du profil de vitesse linéaire est-elle toujours valable ?

Elle est excellente pour des jeux \(h\) faibles. Si l'espacement devient grand, les forces d'inertie peuvent devenir non négligeables et le profil de vitesse peut devenir légèrement courbé, mais pour la plupart des applications de lubrification, l'approximation linéaire est suffisante.

Résultat Final : L'expression de la contrainte de cisaillement est \(\tau(r) = \mu \frac{\omega r}{h}\).

À vous de jouer !

Question 3 : Calculer le couple visqueux total (\(C_v\))

Principe (le concept physique)
r Anneau élémentaire dA = 2πr dr dC = r * (τ(r) * dA)

Le couple est un effort de rotation. Pour le calculer, on ne peut pas simplement multiplier la contrainte par la surface totale, car la contrainte et le bras de levier (le rayon \(r\)) changent en chaque point. On doit donc décomposer le disque en une infinité d'anneaux minces de rayon \(r\) et de largeur \(dr\). On calcule le couple élémentaire \(dC\) sur chaque anneau, puis on somme (on intègre) tous ces couples élémentaires du centre (\(r=0\)) jusqu'au bord (\(r=R\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul intégral est l'outil mathématique qui permet de sommer une quantité qui varie continûment sur un domaine. Ici, le couple élémentaire \(dC\) dépend de \(r^3\) (\(dC = r \times (\mu \frac{\omega r}{h}) \times (2\pi r dr) = \frac{2\pi\mu\omega}{h} r^3 dr\)). L'intégrale de \(r^3\) est \(\frac{r^4}{4}\), ce qui explique pourquoi le rayon \(R\) apparaît à la puissance 4 dans le résultat final. Cette forte dépendance au rayon est une caractéristique clé des problèmes de friction en rotation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La surface d'un anneau élémentaire est son périmètre (\(2\pi r\)) multiplié par son épaisseur (\(dr\)), d'où \(dA = 2\pi r dr\). C'est une formule de base du calcul intégral en coordonnées polaires qu'il est bon de maîtriser.

Normes (la référence réglementaire)

La formule du couple visqueux pour cette géométrie est un résultat classique de la mécanique des fluides, enseigné dans tous les cursus et utilisé comme base pour des modèles plus complexes dans les logiciels de conception assistée par ordinateur (CAO) et de calcul par éléments finis (FEM).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la viscosité \(\mu\) et l'épaisseur \(h\) sont constantes sur toute la surface du disque. En réalité, l'échauffement dû au frottement pourrait faire baisser localement la viscosité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du couple élémentaire :

\[ dC_v = r \cdot dF = r \cdot (\tau(r) \, dA) = r \cdot \left(\mu \frac{\omega r}{h}\right) \cdot (2\pi r \, dr) \]

Formule du couple total par intégration :

\[ C_v = \int_0^R dC_v = \int_0^R \frac{2\pi\mu\omega}{h} r^3 \, dr \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Rayon : \(R = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
  • Vitesse angulaire : \(\omega \approx 157.08 \, \text{rad/s}\)
  • Épaisseur du film : \(h = 0.5 \, \text{mm} = 0.0005 \, \text{m}\)
  • Viscosité dynamique : \(\mu = 0.028 \, \text{Pa·s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Résolution de l'intégrale :

\[ \begin{aligned} C_v &= \frac{2\pi\mu\omega}{h} \int_0^R r^3 \, dr \\ &= \frac{2\pi\mu\omega}{h} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R \\ &= \frac{2\pi\mu\omega}{h} \left( \frac{R^4}{4} - 0 \right) \\ &= \frac{\pi \mu \omega R^4}{2h} \end{aligned} \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} C_v &= \frac{\pi \times 0.028 \times 157.08 \times (0.1)^4}{2 \times 0.0005} \\ &\approx 1.382 \, \text{N·m} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le couple résistant dû au frottement de l'huile est de 1.38 N·m. C'est le couple que le moteur doit fournir en permanence juste pour vaincre la friction visqueuse dans ce palier, avant même de considérer toute autre charge utile.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le couple est la grandeur fondamentale qui quantifie l'effort de rotation. Son calcul est l'étape intermédiaire indispensable pour pouvoir ensuite déterminer la puissance, qui est souvent la donnée finale la plus intéressante pour l'ingénieur (dimensionnement du moteur, bilan énergétique).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur d'unités : L'erreur la plus fréquente ici est de ne pas convertir toutes les longueurs en mètres (mm \(\Rightarrow\) m). Le rayon \(R\) et l'épaisseur \(h\) doivent impérativement être en mètres pour que le résultat soit en N·m, l'unité SI du couple.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La dépendance du couple en \(R^4\) est énorme. Si on double le rayon du disque, le couple résistant est multiplié par \(2^4 = 16\). C'est pourquoi les paliers de grande dimension peuvent générer des pertes par frottement très importantes.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le disque extérieur tourne et le disque intérieur est fixe ?

La formule reste exactement la même. Ce qui compte, c'est la vitesse de rotation relative entre les deux surfaces. Le couple calculé est le couple qu'il faut appliquer au disque rotatif pour le maintenir en mouvement, et c'est aussi le couple de réaction (de même magnitude mais de sens opposé) subi par le disque fixe.

Résultat Final : Le couple visqueux total exercé sur le disque est d'environ 1.38 N·m.

À vous de jouer !

Question 4 : Calculer la puissance dissipée (\(P\))

Principe (le concept physique)
Cᵥ ω × P

La puissance mécanique développée par un couple qui entraîne un objet en rotation est le produit de ce couple par la vitesse angulaire. Dans notre cas, la puissance calculée est celle que le moteur doit fournir pour vaincre le frottement visqueux. Cette puissance est entièrement dissipée sous forme de chaleur dans le film d'huile.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette relation \(P = C \times \omega\) est l'analogue rotatif de la formule de la puissance en translation, \(P = F \times v\) (Puissance = Force × vitesse). Elle est fondamentale en génie mécanique. L'unité de la puissance est le Watt (W), qui correspond à un Joule par seconde (J/s) ou, en unités de base, à un \(\text{N·m/s}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Assurez-vous que le couple est en N·m et la vitesse angulaire en rad/s. L'utilisation de ces unités SI garantit que la puissance obtenue sera directement en Watts, sans nécessiter d'autre facteur de conversion.

Normes (la référence réglementaire)

Le Watt (W) est l'unité de puissance du Système International, nommée en l'honneur de l'ingénieur écossais James Watt pour ses contributions au développement de la machine à vapeur.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que toute la puissance mécanique est convertie en chaleur et que cette chaleur est absorbée par l'huile. On néglige les autres sources de pertes (par exemple, par rayonnement ou convection avec l'air ambiant).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la puissance en rotation :

\[ P = C_v \times \omega \]

En remplaçant le couple par son expression :

\[ P = \frac{\pi \mu \omega^2 R^4}{2h} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Couple visqueux : \(C_v \approx 1.382 \, \text{N·m}\)
  • Vitesse angulaire : \(\omega \approx 157.08 \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule de puissance :

\[ \begin{aligned} P &= 1.382 \, \text{N·m} \times 157.08 \, \text{rad/s} \\ &\approx 217.0 \, \text{W} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le système dissipe 217 Watts en chaleur, soit l'équivalent d'une grosse ampoule à incandescence. Cette chaleur doit être évacuée (par exemple par un circuit de refroidissement de l'huile) pour éviter que la température du palier n'augmente trop, ce qui dégraderait l'huile et pourrait endommager le mécanisme.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de la puissance est l'objectif final de nombreuses études de frottement. Il permet de quantifier les pertes énergétiques d'un système et de dimensionner les systèmes d'évacuation de chaleur nécessaires pour assurer un fonctionnement fiable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser la vitesse en tr/min : Une erreur très grave serait de multiplier le couple par la vitesse en tr/min. Il faut impérativement utiliser la vitesse angulaire en rad/s pour obtenir une puissance en Watts.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La puissance dissipée est proportionnelle au carré de la vitesse de rotation (\(P \propto \omega^2\)). Cela signifie que si l'on double la vitesse d'un palier, les pertes par frottement visqueux sont multipliées par quatre. C'est un enjeu majeur pour la conception de machines à haute vitesse.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette puissance est-elle perdue ?

Oui, d'un point de vue mécanique, cette puissance est une perte nette. Elle ne contribue pas au travail utile de la machine. D'un point de vue thermodynamique, l'énergie n'est pas "perdue" mais transformée en énergie thermique (chaleur), ce qui augmente l'entropie du système.

Résultat Final : La puissance dissipée par le frottement visqueux est d'environ 217 W.

À vous de jouer !

Outil Interactif : Calculateur de Puissance de Cisaillement

Modifiez les paramètres du palier pour voir leur influence sur le couple et la puissance dissipée.

Paramètres du Palier
Résultats
Couple Visqueux (Cᵥ) -
Puissance (P) : -

Le Saviez-Vous ?

Le même principe de calcul est utilisé pour concevoir les embrayages humides multidisques, que l'on trouve dans les boîtes de vitesses automatiques ou sur les motos. En contrôlant la pression qui comprime les disques (et donc l'épaisseur \(h\) du film d'huile), on peut faire varier le couple transmis de manière très progressive.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la température de l'huile augmente ?

Si la température augmente, la viscosité \(\mu\) de l'huile diminue de façon exponentielle. D'après les formules, le couple et la puissance dissipée diminueront également. Un système peut ainsi atteindre un équilibre thermique où la puissance dissipée est égale à la chaleur évacuée.

Cette formule s'applique-t-elle à un palier cylindrique (manchon) ?

Le principe est le même, mais la géométrie est différente. Pour un palier cylindrique, on intègre sur la surface d'un cylindre (\(dA = 2\pi R L\), où L est la longueur). La formule finale du couple est différente, mais elle dépend toujours des mêmes paramètres : \(\mu\), \(\omega\), \(R\), \(h\) et \(L\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le rayon \(R\) du disque, la puissance dissipée est multipliée par :

2. Pour réduire les pertes par frottement visqueux dans un palier, il est plus efficace de :

Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Force de frottement par unité de surface qui s'exerce tangentiellement entre les couches d'un fluide en mouvement. Unité : Pascal (Pa).
Couple (\(C\))
Effort de rotation appliqué à un objet. C'est le produit d'une force par le bras de levier. Unité : Newton-mètre (N·m).
Puissance (\(P\))
Quantité d'énergie transférée ou convertie par unité de temps. Pour un système en rotation, c'est le produit du couple par la vitesse angulaire. Unité : Watt (W).
Vitesse Angulaire (\(\omega\))
Vitesse à laquelle un objet tourne autour d'un axe, exprimée en angle par unité de temps. Unité SI : radian par seconde (rad/s).
Fondamentaux de l'Hydraulique : Puissance de Cisaillement

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