Calcul de la Pression Résiduelle

Contexte : Les pertes de chargeDiminution de l'énergie (et donc de la pression) d'un fluide en mouvement, due aux frottements sur les parois (linéaires) et aux obstacles comme les coudes ou vannes (singulières). en hydraulique.

Le dimensionnement correct des réseaux de tuyauterie est une tâche essentielle pour les ingénieurs. Que ce soit pour l'alimentation en eau potable d'une ville, un système d'irrigation agricole ou un circuit de refroidissement industriel, il est crucial de garantir qu'une pression suffisante est disponible à l'extrémité du réseau. Cette pression résiduelle dépend directement de l'énergie perdue par le fluide lors de son transport. Cet exercice vous guidera dans le calcul de ces pertes d'énergie pour un circuit simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de Bernoulli pour des fluides réels, en quantifiant les pertes de charge linéaires (dues à la friction) et singulières (dues aux accessoires) pour déterminer la pression en un point donné d'un circuit.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la vitesse d'écoulement à partir d'un débit volumique.
Déterminer le régime d'écoulement (laminaire/turbulent) via le nombre de ReynoldsUn nombre sans dimension utilisé en mécanique des fluides pour caractériser un régime d'écoulement. Une valeur élevée indique un écoulement turbulent..
Calculer le coefficient de perte de charge linéaire avec l'équation de Colebrook-White.
Quantifier les pertes de charge totales (linéaires et singulières).
Appliquer le théorème de BernoulliPrincipe de conservation de l'énergie pour les fluides en mouvement. Il relie la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide. pour trouver une pression résiduelle.

Données de l'étude

On étudie un circuit d'adduction d'eau simple partant d'un réservoir pressurisé (Point A) pour alimenter un point d'utilisation (Point B) situé en contrebas. Le circuit est constitué d'une conduite en acier et de plusieurs accessoires.

Fiche Technique du Circuit

Caractéristique	Valeur
Fluide transporté	Eau à 20°C
Matériau de la conduite	Acier (Rugosité, \(\varepsilon = 0.05 \, \text{mm}\))
Accessoires	2 coudes à 90°, 1 vanne à passage direct

Schéma du circuit hydraulique

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression au point A (relative)	\(P_{\text{A}}\)	4	\(\text{bars}\)
Vitesse au point A (supposée)	\(v_{\text{A}}\)	0	\(\text{m/s}\)
Altitude du point A	\(z_{\text{A}}\)	10	\(\text{m}\)
Altitude du point B	\(z_{\text{B}}\)	8	\(\text{m}\)
Longueur totale de la conduite	\(L\)	150	\(\text{m}\)
Diamètre intérieur de la conduite	\(D\)	100	\(\text{mm}\)
Débit volumique requis	\(Q\)	25	\(\text{L/s}\)
Viscosité cinématique de l'eau (20°C)	\(\nu\)	\(1.004 \times 10^{-6}\)	\(\text{m}^2/\text{s}\)
Masse volumique de l'eau	\(\rho\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Coefficient perte de charge (coude 90°)	\(K_{\text{coude}}\)	0.9	-
Coefficient perte de charge (vanne)	\(K_{\text{vanne}}\)	0.2	-

Questions à traiter

Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement dans la conduite.
Calculer le nombre de Reynolds et déterminer la nature de l'écoulement.
Calculer le coefficient de perte de charge linéaire (\(\lambda\)) à l'aide de l'abaque de Moody ou de l'équation de Colebrook-White.
Calculer les pertes de charge totales (linéaires et singulières).
En déduire la pression résiduelle au point B (\(P_B\)) en bars.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux sont nécessaires : le théorème de Bernoulli qui traduit la conservation de l'énergie d'un fluide, et la notion de pertes de charge qui quantifie l'énergie "perdue" par frottement.

1. Théorème de Bernoulli pour un fluide réel
Entre deux points A et B d'un circuit, l'équation de Bernoulli s'écrit : \[ \frac{P_{\text{A}}}{\rho g} + \frac{v_{\text{A}}^2}{2g} + z_{\text{A}} = \frac{P_{\text{B}}}{\rho g} + \frac{v_{\text{B}}^2}{2g} + z_{\text{B}} + \Delta H_{\text{T}} \] Où \(\Delta H_{\text{T}}\) représente la perte de charge totale entre A et B.

2. Calcul des Pertes de Charge Totales (\(\Delta H_{\text{T}}\))
Elles sont la somme des pertes linéaires (friction sur la longueur) et singulières (accessoires) : \[ \Delta H_{\text{T}} = \Delta H_{\text{L}} + \Delta H_{\text{S}} \] \[ \Delta H_{\text{L}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \quad (\text{Darcy-Weisbach}) \] \[ \Delta H_{\text{S}} = \left( \sum K \right) \frac{v^2}{2g} \]

Correction : Calcul de la Pression Résiduelle

Question 1 : Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement

Principe (le concept physique)

La vitesse (\(v\)) d'un fluide dans une conduite est directement liée au débit volumique (\(Q\)) et à la section transversale (\(A\)). Ce principe découle de la conservation de la masse : pour un fluide incompressible, le volume qui entre dans un segment de tuyau par seconde doit être égal au volume qui en sort.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le produit de la section (\(A\)) par la vitesse (\(v\)) est constant le long d'une conduite : \(Q = A_1 v_1 = A_2 v_2\). Cela signifie que si le diamètre de la conduite diminue, la vitesse du fluide doit augmenter pour maintenir le même débit.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape de tout calcul en hydraulique est presque toujours de s'assurer que les unités sont cohérentes. Avant d'appliquer une formule, convertissez systématiquement toutes vos données dans le Système International (mètres, secondes, kilogrammes, Pascals).

Normes (la référence réglementaire)

Le principe de conservation de la masse (\(Q=vA\)) est une loi physique fondamentale. Il n'est pas issu d'une norme, mais toutes les normes d'ingénierie hydraulique (comme les Eurocodes ou les normes ISO) s'appuient sur ce principe de base pour leurs calculs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation Débit-Vitesse

v = \frac{Q}{A}

Aire d'une section circulaire

A = \frac{\pi D^2}{4}

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps).
Le fluide est incompressible (sa masse volumique est constante).
La conduite est pleine sur toute sa longueur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit volumique	\(Q\)	25	\(\text{L/s}\)
Diamètre intérieur	\(D\)	100	\(\text{mm}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une première estimation, retenez que pour un tuyau de 100 mm de diamètre, un débit de 10 L/s correspond à une vitesse d'environ 1.3 m/s. Ainsi, pour 25 L/s, on s'attend à une vitesse environ 2.5 fois plus grande, soit autour de 3.2 m/s.

Schéma (Avant les calculs)

Section de la conduite et débit

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion du débit

\begin{aligned} Q &= 25 \, \text{L/s} \\ &= 25 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s} \\ &= 0.025 \, \text{m}^3/\text{s} \end{aligned}

Conversion du diamètre

\begin{aligned} D &= 100 \, \text{mm} \\ &= 0.1 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul de la section

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.1 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.007854 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Calcul de la vitesse

\begin{aligned} v &= \frac{0.025 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.007854 \, \text{m}^2} \\ &\approx 3.183 \, \text{m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil de vitesse turbulent

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une vitesse de 3.18 m/s est une valeur relativement élevée pour des réseaux de distribution d'eau (où l'on vise souvent 1-2 m/s pour limiter les pertes de charge et le bruit), mais elle reste acceptable dans de nombreuses applications industrielles.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans la conversion des unités. Attention à ne pas oublier le carré sur le diamètre dans la formule de l'aire (\(D^2\)) et à ne pas confondre rayon et diamètre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La relation fondamentale est \(Q = v \times A\).
L'aire d'un cercle est \(A = \pi D^2 / 4\).
La cohérence des unités (SI) est primordiale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'équation de continuité est une manifestation locale de la loi de conservation de la masse. Elle a été formulée pour la première fois sous sa forme moderne par le mathématicien et physicien Leonhard Euler au 18ème siècle.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La vitesse moyenne de l'écoulement dans la conduite est d'environ \(3.18 \, \text{m/s}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Calculez la vitesse si le débit était de \(40 \, \text{L/s}\) et le diamètre de \(125 \, \text{mm}\).

Question 2 : Calculer le nombre de Reynolds et déterminer le régime d'écoulement

Principe (le concept physique)

Le nombre de Reynolds (Re) est un nombre sans dimension qui compare les forces d'inertie (qui tendent à maintenir le fluide en mouvement) aux forces visqueuses (qui tendent à freiner le fluide par frottement interne). Ce ratio permet de déterminer si l'écoulement sera ordonné (laminaire) ou chaotique (turbulent).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un écoulement dans une conduite circulaire :

Si \(Re < 2000\) : Régime laminaire. Les filets de fluide sont parallèles, l'écoulement est lisse. Les pertes de charge sont proportionnelles à la vitesse.
Si \(2000 < Re < 4000\) : Régime transitoire. L'écoulement est instable, alternant entre laminaire et turbulent.
Si \(Re > 4000\) : Régime turbulent. L'écoulement est chaotique avec des tourbillons. Les pertes de charge sont proportionnelles au carré de la vitesse.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans la pratique (eau, air dans des conduites), le régime est presque toujours turbulent. Le régime laminaire est rare et se rencontre surtout avec des fluides très visqueux (huile, miel) ou à très faibles vitesses.

Normes (la référence réglementaire)

Les seuils de 2000 et 4000 pour le nombre de Reynolds sont des valeurs conventionnelles issues des expériences d'Osborne Reynolds. Ils sont universellement acceptés et utilisés dans tous les codes de calcul de mécanique des fluides.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Re = \frac{v \cdot D}{\nu}

Où \(\nu\) (nu) est la viscosité cinématique du fluide.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les propriétés du fluide, notamment la viscosité, sont constantes et correspondent à la température donnée (20°C).
La vitesse calculée est la vitesse moyenne dans la section.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse	\(v\)	3.183	\(\text{m/s}\)
Diamètre	\(D\)	0.1	\(\text{m}\)
Viscosité cinématique	\(\nu\)	\(1.004 \times 10^{-6}\)	\(\text{m}^2/\text{s}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour l'eau à température ambiante, une astuce rapide consiste à multiplier la vitesse (en m/s) par le diamètre (en mm). Si le résultat est bien supérieur à 100, l'écoulement est quasi certainement turbulent. Ici, \(3.183 \times 100 = 318.3\), ce qui indique un régime turbulent.

Schéma (Avant les calculs)

Régimes d'écoulement

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du nombre de Reynolds

\begin{aligned} Re &= \frac{3.183 \, \text{m/s} \times 0.1 \, \text{m}}{1.004 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} \\ &= \frac{0.3183}{1.004 \times 10^{-6}} \\ &\approx 317\,032 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Position sur l'échelle de Reynolds

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Avec une valeur de Reynolds supérieure à 300 000, nous sommes très loin de la zone de transition. L'écoulement est pleinement turbulent. Cela implique que les pertes de charge seront importantes et dépendront fortement de la rugosité de la conduite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Faites attention à ne pas confondre la viscosité cinématique \(\nu\) (en m²/s) avec la viscosité dynamique \(\mu\) (en Pa.s ou kg/m.s). La relation est \(\nu = \mu / \rho\). La plupart des formules utilisent \(\nu\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La formule de Reynolds : \(Re = vD/\nu\).
Les seuils critiques : 2000 pour laminaire, 4000 pour turbulent.
Le nombre de Reynolds est sans dimension.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les expériences d'Osborne Reynolds en 1883 étaient d'une grande élégance : il injectait un filet d'encre dans un tube en verre où de l'eau s'écoulait. À faible vitesse, le filet restait droit (laminaire). En augmentant la vitesse, le filet se mettait soudainement à se mélanger de façon chaotique au reste du fluide, visualisant ainsi la transition vers la turbulence.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le nombre de Reynolds est d'environ \(317\,032\). L'écoulement est turbulent.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quel serait le nombre de Reynolds si on pompait une huile (\(\nu = 80 \times 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\)) à la même vitesse ?

Question 3 : Calculer le coefficient de perte de charge linéaire (\(\lambda\))

Principe (le concept physique)

Le coefficient de perte de charge linéaire, \(\lambda\) (lambda), représente la part d'énergie perdue par frottement pour chaque "longueur de diamètre" de la conduite. Il n'est pas constant et dépend de l'état de l'écoulement (nombre de Reynolds) et de l'état de surface de la paroi (rugosité relative).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En régime turbulent, on distingue le régime "lisse" (où \(\lambda\) ne dépend que de Re) du régime "rugueux" (où \(\lambda\) ne dépend que de la rugosité relative \(\varepsilon/D\)). Entre les deux, \(\lambda\) dépend des deux paramètres. L'équation de Colebrook-White modélise cette transition.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Puisque l'équation de Colebrook-White est implicite (le terme \(\lambda\) apparaît des deux côtés), on ne peut pas la résoudre directement. En pratique, sans logiciel, on utilise le diagramme de Moody, qui est la représentation graphique de cette équation.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Colebrook-White (1939) est la méthode de référence dans la plupart des normes internationales pour le calcul des pertes de charge en régime turbulent dans les conduites sous pression.

Formule(s) (l'outil mathématique)

\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

La valeur de la rugosité absolue (\(\varepsilon = 0.05 \, \text{mm}\)) pour l'acier est une valeur moyenne correcte pour une conduite neuve.
L'écoulement est pleinement développé (on est assez loin de l'entrée du tuyau pour que le profil de vitesse soit stabilisé).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rugosité absolue	\(\varepsilon\)	0.05	\(\text{mm}\)
Diamètre	\(D\)	100	\(\text{mm}\)
Nombre de Reynolds	\(Re\)	\(317\,032\)	-

Astuces (Pour aller plus vite)

La formule explicite de Swamee-Jain donne une excellente approximation de Colebrook-White pour \(10^{-6} < \varepsilon/D < 10^{-2}\) et \(5000 < Re < 10^8\) : \(\lambda \approx 0.25 / [\log_{10}(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{Re^{0.9}})]^2\).

Schéma (Avant les calculs)

Lecture sur l'Abaque de Moody

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la rugosité relative

\begin{aligned} \frac{\varepsilon}{D} &= \frac{0.05 \, \text{mm}}{100 \, \text{mm}} \\ &= 0.0005 \end{aligned}

Résolution itérative de Colebrook-White

L'équation est implicite. On part d'une estimation initiale pour \(\lambda\), par exemple \(\lambda_0 = 0.02\).

Itération 1

On calcule \(\lambda_1\) en utilisant \(\lambda_0\) dans la partie droite de l'équation.

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0005}{3.7} + \frac{2.51}{317032 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10} ( 0.0001351 + 0.0000560 ) \\ &= -2 \log_{10} ( 0.0001911 ) \\ &= 7.438 \\ \Rightarrow \lambda_1 &= \frac{1}{7.438^2} = 0.01804\end{aligned}

Itération 2

On recommence avec la nouvelle valeur \(\lambda_1 = 0.01804\).

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0005}{3.7} + \frac{2.51}{317032 \sqrt{0.01804}} \right) \\ &= -2 \log_{10} ( 0.0001351 + 0.0000589 ) \\ &= -2 \log_{10} ( 0.0001940 ) \\ &= 7.423 \\ \Rightarrow \lambda_2 &= \frac{1}{7.423^2} = 0.01810\end{aligned}

Itération 3

On continue avec \(\lambda_2 = 0.01810\). La valeur change très peu, on a convergé.

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.0005}{3.7} + \frac{2.51}{317032 \sqrt{0.01810}} \right) \\ &= -2 \log_{10} ( 0.0001351 + 0.0000589 ) \\ &= -2 \log_{10} ( 0.0001940 ) \\ &= 7.423 \\ \Rightarrow \lambda_3 &= \frac{1}{7.423^2} = 0.01810\end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la rugosité relative

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(\lambda=0.0181\) est typique pour une conduite en acier dans ces conditions d'écoulement. Si la conduite était en PVC (plus lisse), \(\lambda\) serait plus faible. Si elle était en béton (plus rugueux), \(\lambda\) serait plus élevé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la rugosité absolue \(\varepsilon\) (qui ne dépend que du matériau) et la rugosité relative \(\varepsilon/D\) (qui dépend aussi du diamètre). Assurez-vous que \(\varepsilon\) et \(D\) sont dans la même unité pour le calcul du ratio.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le coefficient \(\lambda\) dépend de deux paramètres : Re et \(\varepsilon/D\).
L'équation de Colebrook-White est la référence pour le régime turbulent.
Le diagramme de Moody est la version graphique de cette équation.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le diagramme de Moody, publié en 1944 par Lewis Ferry Moody, a révolutionné l'ingénierie hydraulique. Avant sa publication, la résolution de l'équation de Colebrook était si fastidieuse que de nombreuses approximations plus simples mais moins précises étaient utilisées.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le coefficient de perte de charge linéaire \(\lambda\) est d'environ 0.0181.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle serait la valeur approximative de \(\lambda\) pour une conduite en PVC (\(\varepsilon \approx 0.0015 \, \text{mm}\)) dans les mêmes conditions ?

Question 4 : Calculer les pertes de charge totales (\(\Delta H_{\text{T}}\))

Principe (le concept physique)

Les pertes de charge totales sont la somme de l'énergie perdue par frottement le long de la conduite (pertes linéaires, ou régulières) et de l'énergie dissipée par la turbulence intense créée par les accidents de parcours comme les coudes, tés, vannes, etc. (pertes singulières).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'énergie cinétique du fluide est représentée par le terme \(v^2/2g\), appelé "hauteur dynamique". Les deux types de pertes de charge sont exprimés comme un multiple de cette hauteur dynamique. Pour les pertes linéaires, le multiplicateur est \(\lambda L/D\). Pour les pertes singulières, chaque accessoire a son propre coefficient K, et on les additionne.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez aux pertes de charge en termes de "coût énergétique". Parcourir une longue distance a un coût (pertes linéaires). Changer brusquement de direction ou passer un obstacle a aussi un coût (pertes singulières). Votre travail est de calculer le coût total du trajet pour le fluide.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Darcy-Weisbach pour les pertes linéaires est la norme universelle. Les coefficients de perte de charge singulière (K) sont tabulés dans des manuels de référence en ingénierie comme le Crane Technical Paper No. 410, qui est une référence quasi-industrielle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pertes de charge totales

\Delta H_{\text{T}} = \Delta H_{\text{L}} + \Delta H_{\text{S}}

Pertes linéaires et singulières

\Delta H_{\text{L}} = \lambda \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \quad \text{et} \quad \Delta H_{\text{S}} = \left( \sum K \right) \frac{v^2}{2g}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les coefficients K des accessoires sont considérés comme indépendants du nombre de Reynolds (ce qui est une bonne approximation en régime fortement turbulent).
On suppose que les accessoires sont suffisamment espacés pour ne pas interagir hydrodynamiquement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de friction	\(\lambda\)	0.0181	-
Vitesse	\(v\)	3.183	\(\text{m/s}\)
Ratio Longueur / Diamètre	\(L/D\)	\(150/0.1\)	-
Coefficients singuliers	\(K_{\text{coude}}, K_{\text{vanne}}\)	0.9, 0.2	-

Astuces (Pour aller plus vite)

Factorisez le terme commun \(v^2/2g\) pour simplifier le calcul : \(\Delta H_{\text{T}} = (\lambda \frac{L}{D} + \sum K) \frac{v^2}{2g}\). Cela évite de le calculer deux fois et réduit les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

Identification des sources de pertes

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la hauteur dynamique

\begin{aligned} \frac{v^2}{2g} &= \frac{(3.183 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 0.516 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge linéaires (\(\Delta H_{\text{L}}\))

\begin{aligned} \Delta H_{\text{L}} &= 0.0181 \times \frac{150 \, \text{m}}{0.1 \, \text{m}} \times 0.516 \, \text{m} \\ &\approx 14.00 \, \text{m} \end{aligned}

Somme des coefficients singuliers

\begin{aligned} \sum K &= (2 \times K_{\text{coude}}) + K_{\text{vanne}} \\ &= (2 \times 0.9) + 0.2 \\ &= 1.8 + 0.2 \\ &= 2.0 \end{aligned}

Calcul des pertes de charge singulières (\(\Delta H_{\text{S}}\))

\begin{aligned} \Delta H_{\text{S}} &= 2.0 \times 0.516 \, \text{m} \\ &\approx 1.03 \, \text{m} \end{aligned}

Calcul des pertes de charge totales

\begin{aligned} \Delta H_{\text{T}} &= 14.00 \, \text{m} + 1.03 \, \text{m} \\ &= 15.03 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ligne de Charge et Ligne Piézométrique

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La perte totale est de 15.03 mètres de colonne d'eau. Cela équivaut à une perte de pression d'environ 1.47 bar. On note que les pertes linéaires (14.00 m) sont très majoritaires par rapport aux pertes singulières (1.03 m), ce qui est typique pour les conduites longues.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez aucun accessoire lors de la somme des coefficients K. Une vanne oubliée peut changer significativement le résultat, surtout dans des circuits courts avec beaucoup d'accessoires.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La perte totale est la somme des pertes linéaires et singulières : \(\Delta H_{\text{T}} = \Delta H_{\text{L}} + \Delta H_{\text{S}}\).
Les deux types de pertes sont proportionnels au carré de la vitesse (\(v^2\)).
Les pertes linéaires dépendent de L/D, les singulières de \(\sum K\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les ingénieurs romains, bien qu'ignorant la formule de Darcy-Weisbach, avaient une compréhension empirique des pertes de charge. Ils construisaient leurs aqueducs avec des pentes très faibles mais constantes et évitaient les virages serrés pour minimiser les "pertes" et maintenir l'écoulement.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La perte de charge totale entre les points A et B est de \(15.03 \, \text{m}\) de colonne d'eau.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Recalculez la perte de charge totale si on remplace la vanne à passage direct (\(K=0.2\)) par une vanne papillon à moitié ouverte (\(K=3.5\)).

Question 5 : Calculer la pression résiduelle au point B (\(P_{\text{B}}\))

Principe (le concept physique)

Le théorème de Bernoulli est une application directe du principe de conservation de l'énergie à un fluide en mouvement. L'énergie totale en un point A (composée de l'énergie de pression, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle) est égale à l'énergie totale au point B, moins l'énergie dissipée par les frottements (pertes de charge) entre A et B.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Chaque terme de l'équation de Bernoulli, \(P/(\rho g) + v^2/(2g) + z\), est appelé une "charge" et a la dimension d'une hauteur (mètres). On parle de charge de pression, charge de vitesse (ou hauteur dynamique) et charge d'altitude. La somme de ces trois charges est la charge totale. La ligne qui représente la charge totale le long du circuit est la "ligne de charge".

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez l'équation comme un budget. Vous partez du point A avec un certain "capital" d'énergie. En allant vers B, vous dépensez une partie de ce capital en frottements (\(\Delta H_{\text{T}}\)). Ce qui reste au point B est votre budget final, réparti entre pression, vitesse et altitude.

Normes (la référence réglementaire)

L'équation de Bernoulli est une loi fondamentale de la physique des fluides. Son application, y compris l'intégration des termes de pertes de charge, est la méthode standard et universelle pour le dimensionnement des réseaux hydrauliques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

En partant de l'équation de Bernoulli générale et en isolant le terme de pression au point B, on obtient :

\frac{P_{\text{B}}}{\rho g} = \frac{P_{\text{A}}}{\rho g} + (z_{\text{A}} - z_{\text{B}}) - \frac{v_{\text{B}}^2 - v_{\text{A}}^2}{2g} - \Delta H_{\text{T}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La vitesse à la surface du grand réservoir au point A est considérée comme nulle (\(v_{\text{A}} \approx 0\)).
La vitesse au point B est la vitesse moyenne de l'écoulement dans la conduite, soit \(v_{\text{B}} = v\).
La pression \(P_{\text{A}}\) est une pression relative (ou manométrique). Le résultat \(P_{\text{B}}\) sera donc aussi une pression relative.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression en A	\(P_{\text{A}}\)	4	\(\text{bars}\)
Altitude A / B	\(z_{\text{A}}, z_{\text{B}}\)	10 / 8	\(\text{m}\)
Vitesse en B	\(v_{\text{B}}\)	3.183	\(\text{m/s}\)
Perte de charge totale	\(\Delta H_{\text{T}}\)	15.03	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Il est plus simple de convertir d'abord toutes les pressions et pertes en mètres de colonne d'eau (mCE), de faire l'addition/soustraction, puis de reconvertir le résultat final en bars. Rappelez-vous qu'environ \(10 \, \text{mCE} \approx 1 \, \text{bar}\).

Schéma (Avant les calculs)

Bilan Énergétique Visuel

Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la pression initiale en hauteur

\begin{aligned} \frac{P_{\text{A}}}{\rho g} &= \frac{4 \times 10^5 \, \text{Pa}}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \\ &\approx 40.77 \, \text{mCE} \end{aligned}

Bilan des hauteurs

\begin{aligned} \frac{P_{\text{B}}}{\rho g} &= \overbrace{40.77}^{\text{Charge Pression A}} + \overbrace{(10 - 8)}^{\text{Charge Altitude}} - \overbrace{0.516}^{\text{Charge Vitesse B}} - \overbrace{15.03}^{\text{Pertes Totales}} \\ &= 40.77 + 2 - 0.516 - 15.03 \\ &= 27.224 \, \text{mCE} \end{aligned}

Conversion de la hauteur finale en Pression (Pascals)

\begin{aligned} P_{\text{B}} &= 27.224 \, \text{mCE} \times \rho g \\ &= 27.224 \times 9810 \\ &\approx 267\,067 \, \text{Pa} \end{aligned}

Conversion de la Pression en Bars

\begin{aligned} P_{\text{B}} &\approx \frac{267\,067}{10^5} \\ &\approx 2.67 \, \text{bars} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Répartition de l'énergie au point B

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La pression a chuté de 4 bars à 2.67 bars. Cette pression résiduelle est-elle suffisante ? Cela dépend de l'usage au point B. S'il s'agit d'alimenter un robinet, c'est largement suffisant. S'il s'agit d'un équipement industriel nécessitant 3 bars minimum, le dimensionnement de la conduite est incorrect.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux signes ! Une différence d'altitude (\(z_{\text{A}} - z_{\text{B}}\)) positive (descente) ajoute de l'énergie de pression, tandis que les pertes de charge et la charge de vitesse sont toujours soustraites du bilan énergétique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'équation de Bernoulli est un bilan d'énergie.
Énergie finale = Énergie initiale + Gains - Pertes.
Convertissez toutes les grandeurs en "mètres de charge" pour simplifier le calcul.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "charge" ou "hauteur" (head en anglais) vient des débuts de l'hydraulique, où la pression était souvent mesurée par la hauteur qu'elle pouvait faire monter une colonne d'eau dans un tube piézométrique. C'est une unité très visuelle et intuitive pour les ingénieurs hydrauliciens.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La pression résiduelle relative au point B est d'environ \(2.67 \, \text{bars}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si le réservoir au point A n'était pas pressurisé (ouvert à l'air libre, \(P_{\text{A}} = 0 \, \text{bar rel.}\)), quelle serait la pression au point B ? (attention, elle peut être négative !)

Outil Interactif : Influence du Débit et de la Longueur

Utilisez ce simulateur pour visualiser comment le débit et la longueur de la conduite affectent les pertes de charge et la pression résiduelle au point B. Le graphique montre la chute de pression en fonction du débit pour la longueur sélectionnée.

Paramètres d'Entrée

Débit Volumique (L/s) 25 L/s

Longueur de la conduite (m) 150 m

Résultats Clés

Pertes de Charge Totales (mCE) -

Pression Résiduelle en B (bars) -

Glossaire

Perte de Charge: Diminution de l'énergie totale d'un fluide lorsqu'il s'écoule dans une conduite. Elle se traduit par une chute de pression et est due aux frottements.
Nombre de Reynolds (Re): Nombre sans dimension qui caractérise un régime d'écoulement. Il rapporte les forces d'inertie aux forces de viscosité.
Théorème de Bernoulli: Principe de conservation de l'énergie appliqué aux fluides, qui relie la pression, la vitesse et l'altitude d'un point à un autre.
Régime Turbulent: Type d'écoulement chaotique et désordonné, caractérisé par des tourbillons et un mélange intense. Il apparaît à des nombres de Reynolds élevés (Re > 4000).