Calcul de la Pente d'Équilibre d'un Cours d'Eau

Contexte : L'hydraulique à surface libreL'étude des écoulements de liquides où la surface supérieure est en contact avec l'atmosphère (ex: rivières, canaux)..

Cet exercice vous guide dans le calcul de la pente d'équilibre (ou pente normale) d'un canal trapézoïdal. C'est une notion fondamentale pour le dimensionnement des canaux d'irrigation, des aqueducs ou des rivières canalisées. Nous utiliserons la célèbre formule de Manning-StricklerFormule empirique qui relie la vitesse de l'eau dans un canal à sa géométrie et à la rugosité de ses parois. pour déterminer la pente du fond qui permet d'évacuer un débit donné en régime d'écoulement uniformeUn écoulement où la hauteur d'eau (tirant d'eau) et la vitesse sont constantes sur une section donnée du canal..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème d'hydraulique en étapes logiques : calcul des propriétés géométriques (surface, périmètre), puis hydrauliques (rayon, vitesse), pour enfin appliquer la formule de résistance à l'écoulement.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les propriétés géométriques d'un canal trapézoïdal (Surface et Périmètre Mouillés).
Déterminer le Rayon HydrauliqueRapport S/P. Il caractérise l'efficacité de la section à évacuer l'eau. et la Vitesse moyenne de l'écoulement.
Appliquer la formule de Manning-Strickler pour trouver la pente d'équilibre (\(I_0\)).

Données de l'étude

On étudie un canal en béton de section trapézoïdale, conçu pour transporter un débit constant en régime uniforme.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Forme du Canal	Trapézoïdale
Matériau	Béton lisse
Régime d'écoulement	Uniforme et permanent

Section transversale du canal trapézoïdal

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit	\(Q\)	25	m³/s
Coeff. Strickler	\(K\)	70	m¹/³·s⁻¹
Largeur au radier	\(b\)	10	m
Fruit des berges	\(m\)	2	(1V:2H)
Tirant d'eau	\(y\)	2.0	m

Questions à traiter

Calculer la surface mouillée (\(S\)) du canal.
Calculer le périmètre mouillé (\(P\)) du canal.
En déduire le rayon hydraulique (\(R_h\)).
Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)).
Déterminer la pente d'équilibre (\(I_0\)) en utilisant la formule de Manning-Strickler.

Les bases de l'hydraulique à surface libre

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin des formules décrivant la géométrie et l'écoulement dans un canal trapézoïdal.

1. Géométrie du Canal Trapézoïdal
La section est définie par sa largeur au fond \(b\), son tirant d'eau \(y\) et le fruit de ses berges \(m\) (défini comme \(m\) horizontal pour \(1\) vertical). \[ S = (b + my)y \] \[ P = b + 2y\sqrt{1 + m^2} \] \[ R_h = \frac{S}{P} \]

2. Formule de Manning-Strickler
Cette formule relie le débit \(Q\) à la géométrie du canal et à la pente de la ligne d'énergie \(I_f\). En régime uniforme, la pente de la ligne d'énergie est égale à la pente du fond \(I_0\). \[ V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I_f^{1/2} \] \[ Q = S \cdot V = S \cdot K \cdot R_h^{2/3} \cdot I_f^{1/2} \]

Correction : Calcul de la Pente d’Équilibre d’un Cours d’Eau

Question 1 : Calculer la surface mouillée (\(S\)) du canal.

Principe

La surface mouillée (\(S\)) est l'aire de la section transversale occupée par l'eau. C'est la "porte" à travers laquelle le débit \(Q\) s'écoule. Pour un trapèze, on peut la voir comme un rectangle central (\(b \times y\)) et deux triangles sur les côtés.

Mini-Cours

La largeur à la surface libre \(B\) est plus grande que la largeur au fond \(b\). L'élargissement de chaque côté est \(my\). Donc \(B = b + 2my\).
L'aire standard d'un trapèze est \(S = \frac{(\text{petite base} + \text{grande base})}{2} \times \text{hauteur}\) = \(\frac{(b+B)}{2} \times y\).
En remplaçant \(B\), on obtient : \(S = \frac{(b + (b + 2my))}{2} \times y = \frac{(2b + 2my)}{2} \times y\), ce qui se simplifie en \(S = (b + my)y\). C'est la formule la plus directe.

Remarque Pédagogique

La formule \(S = (b + my)y\) est facile à retenir : \((b+my)\) est la largeur moyenne de la section (la largeur à mi-hauteur) et \(y\) est la hauteur.

Normes

Ce calcul est une application directe de la géométrie euclidienne et constitue la base de toutes les formules d'hydraulique à surface libre.

Formule(s)

La formule à appliquer est :

\[ S = (b + my)y \]

Hypothèses

On suppose que le canal est prismatique (sa section est constante le long de son axe) et que le tirant d'eau \(y\) est constant sur toute la largeur (surface de l'eau horizontale).

Canal prismatique
Tirant d'eau \(y = 2.0 \text{ m}\)

Donnée(s)

Nous extrayons les données géométriques directement du tableau de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(b\)	10	m
Fruit des berges	\(m\)	2
Tirant d'eau	\(y\)	2.0	m

Astuces

Visualisez la section : un rectangle de 10m de large et 2m de haut (\(b \times y = 20 \text{ m}^2\)) plus deux triangles. Chaque triangle a une hauteur de 2m (\(y\)) et une base de \(my = 2 \times 2 = 4 \text{ m}\). L'aire d'un triangle est \((base \times hauteur)/2 = (4 \times 2)/2 = 4 \text{ m}^2\).
Aire totale = Rectangle + 2 \(\times\) Triangle = 20 + 2 \(\times\) 4 = 28 m².

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous référons au schéma de l'énoncé, en identifiant \(b=10\), \(m=2\) et \(y=2\).

Visualisation des termes (Décomposition)

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(S = (b + my)y\) en remplaçant chaque variable par sa valeur de l'énoncé.

Étape 1 : Substitution des valeurs

S = (b + m \cdot y) \cdot y \] \[ S = (10 + 2 \cdot 2.0) \cdot 2.0

Étape 2 : Calcul de la parenthèse (largeur moyenne)

S = (10 + 4) \cdot 2.0 \] \[ S = (14) \cdot 2.0

Étape 3 : Calcul final

S = 28.0 \text{ m}^2

(Vérification alternative avec la grande base B)

On peut aussi calculer la largeur en surface \(B\) en premier :

B = b + 2my \] \[ = 10 + 2 \times (2) \times (2.0) \] \[ = 10 + 8 \] \[ = 18.0 \text{ m}

Puis utiliser la formule standard du trapèze :

S = \frac{(b+B)}{2} \times y \] \[ = \frac{(10 + 18)}{2} \times 2.0 \] \[ = \frac{28}{2} \times 2.0 = 14 \times 2.0 \] \[ = 28.0 \text{ m}^2

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul est confirmé, la surface est de 28 m².

Réflexions

Une surface de 28 m² est l'aire de passage de l'eau. Combinée au débit \(Q\) de 25 m³/s (donné dans l'énoncé), cela nous indique que la vitesse moyenne sera légèrement inférieure à 1 m/s (car \(V = Q/S\)). C'est une première vérification de cohérence.

Points de vigilance

La principale erreur est d'oublier le facteur 2 dans la largeur en surface \(B = b + 2my\), ou de mal interpréter \(m\). \(m=2\) signifie 2 unités horizontales pour 1 unité verticale.

Points à retenir

La formule de la surface mouillée pour un trapèze est fondamentale.

\(S = (b + my)y\)

Le saviez-vous ?

Pour une même surface, la section hydraulique la plus "efficace" (celle qui a le plus petit périmètre mouillé, et donc le moins de frottements) est le demi-cercle. Le demi-hexagone est la forme trapézoïdale la plus efficace.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La surface mouillée est \(S = 28,0 \text{ m}^2\).

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que deviendrait \(S\) si le tirant d'eau \(y\) était de \(2.5 \text{ m}\) ? (Indice: S = (10 + 2 * 2.5) * 2.5)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Surface mouillée d'un trapèze.
Formule Essentielle : \(S = (b + my)y\).
Résultat : \(S = 28,0 \text{ m}^2\).

Question 2 : Calculer le périmètre mouillé (\(P\)) du canal.

Principe

Le périmètre mouillé (\(P\)) est la longueur totale des parois *solides* du canal qui sont en contact avec l'eau. C'est la surface sur laquelle l'eau "frotte". Il ne faut **jamais** inclure la surface libre (le contact avec l'air). Pour notre trapèze, c'est la largeur du fond \(b\) plus la longueur des deux berges inclinées.

Mini-Cours

La longueur d'une berge inclinée (\(L_b\)) se calcule avec le théorème de Pythagore. Imaginez un triangle rectangle formé par la hauteur (\(y\)) et l'élargissement horizontal (\(my\)). La longueur de la berge est l'hypoténuse.
\(L_b^2 = (\text{côté vertical})^2 + (\text{côté horizontal})^2 = y^2 + (my)^2\)
\(L_b^2 = y^2(1 + m^2)\) \(\Rightarrow\) \(L_b = \sqrt{y^2(1 + m^2)} = y\sqrt{1 + m^2}\).
Comme il y a deux berges, le périmètre total est \(P = \text{fond} + 2 \times \text{berge} = b + 2(y\sqrt{1 + m^2})\).

Remarque Pédagogique

Une erreur commune est de prendre la largeur en surface \(B\) dans ce calcul. Le périmètre est la "frontière solide" de l'eau, c'est-à-dire la zone où s'exercent les frottements qui ralentissent l'eau.

Normes

Ce calcul est, comme la surface, une application directe de la géométrie euclidienne (théorème de Pythagore).

Formule(s)

Formule de la longueur d'une berge \(L_b\)

L_b = y\sqrt{1 + m^2}

Formule du périmètre mouillé \(P\)

P = b + 2L_b = b + 2y\sqrt{1 + m^2}

Hypothèses

On suppose que le canal est prismatique et que les deux berges sont symétriques (même fruit \(m\)).

Berges symétriques (\(m=2\))

Donnée(s)

Nous utilisons les mêmes données géométriques que pour la Q1, issues de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur au radier	\(b\)	10	m
Fruit des berges	\(m\)	2
Tirant d'eau	\(y\)	2.0	m

Astuces

Calculez d'abord le terme \(\sqrt{1 + m^2}\) séparément. Pour \(m=2\), \(\sqrt{1+2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}\). C'est une valeur fréquente. \(\sqrt{5} \approx 2.236\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons les composantes du périmètre mouillé : le radier (b) et les deux berges (Lb). La ligne en pointillé (surface libre) n'est PAS incluse.

Composantes du Périmètre Mouillé

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(P = b + 2y\sqrt{1 + m^2}\).

Étape 1 : Calcul du terme de la berge (le radical)

Ce terme représente la longueur de la berge pour une hauteur de 1m.

\sqrt{1 + m^2} = \sqrt{1 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2.236

Étape 2 : Substitution dans la formule de P

On remplace \(b\), \(y\), et le terme \(\sqrt{1+m^2}\) que l'on vient de calculer.

P = b + 2 \cdot y \cdot \sqrt{1 + m^2} \] \[ P = 10 + 2 \cdot 2.0 \cdot (2.236)

Étape 3 : Calcul final

P = 10 + 4 \cdot (2.236) \] \[ P = 10 + 8.944 \] \[ P = 18.944 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul est purement géométrique. Le résultat est une longueur de 18.944 m.

Réflexions

Le périmètre (18.944 m) est logiquement plus grand que la largeur en surface \(B\) (qui valait 18 m, calculée à la Q1) car les berges sont inclinées. Cette valeur représente l'ampleur du frottement que l'eau subira.

Points de vigilance

Ne pas oublier de multiplier la longueur de berge \(y\sqrt{1 + m^2}\) par 2 (car il y a deux berges). Ne pas additionner \(b^2\) dans le radical ! Le radier \(b\) est en dehors de la racine.

Points à retenir

Formule clé : \(P = b + 2y\sqrt{1 + m^2}\)
Le périmètre mouillé représente la source de frottement.

Le saviez-vous ?

Minimiser le périmètre mouillé \(P\) pour une surface \(S\) donnée est l'objectif principal lors du dimensionnement d'un canal, car cela minimise les frottements et donc la pente nécessaire (ou maximise le débit).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le périmètre mouillé est \(P \approx 18,944 \text{ m}\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(P\) si \(y\) était de \(2.5 \text{ m}\) ? (Gardez \(\sqrt{5} \approx 2.236\))
(Indice: P = 10 + 2 * 2.5 * 2.236)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Périmètre de contact eau/paroi.
Formule Essentielle : \(P = b + 2y\sqrt{1 + m^2}\).
Résultat : \(P \approx 18,944 \text{ m}\).

Question 3 : En déduire le rayon hydraulique (\(R_h\)).

Principe

Le rayon hydraulique \(R_h\) n'est pas un "rayon" physique au sens géométrique. C'est un paramètre de calcul crucial qui représente l'efficacité de la section. Il met en rapport la surface qui "porte" l'écoulement (\(S\)) avec le périmètre qui le "freine" (\(P\)). C'est le paramètre géométrique clé de la formule de Manning-Strickler.

Mini-Cours

Une valeur de \(R_h\) élevée signifie que, pour une quantité d'eau donnée, il y a proportionnellement moins de contact avec les parois. Moins de contact signifie moins de frottement, et donc un écoulement plus efficace. C'est pourquoi un tuyau plein (\(R_h = D/4\)) ou un demi-cercle (\(R_h = D/4 \text{ ou } R/2\)) sont très efficaces.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas le rayon hydraulique \(R_h\) avec le tirant d'eau \(y\). Pour un canal rectangulaire très large, \(R_h\) tend vers \(y\), mais pour la plupart des autres formes (comme notre trapèze), \(R_h < y\).

Normes

Il s'agit d'une définition standardisée en hydraulique à surface libre, utilisée universellement dans les formules de Chézy, Manning, etc.

Formule(s)

Formule du Rayon Hydraulique

R_h = \frac{S}{P}

Hypothèses

Cette définition suppose que les frottements sont uniformément répartis le long du périmètre mouillé, ce qui est une approximation. La validité de ce calcul dépend de l'exactitude des calculs de S et P.

Les calculs de S et P des questions précédentes sont corrects.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur (Source)	Unité
Surface Mouillée	\(S\)	28.0 (de Q1)	m²
Périmètre Mouillé	\(P\)	18.944 (de Q2)	m

Astuces

Pour un canal rectangulaire très large (où \(b \gg y\)), \(S \approx by\) et \(P \approx b\). Donc \(R_h \approx by/b = y\). Votre \(R_h\) doit être logiquement inférieur à \(y\), car les berges ajoutent du périmètre. Ici \(R_h \approx 1.478 \text{ m}\) est bien inférieur à \(y = 2.0 \text{ m}\), ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Le rayon hydraulique est le rapport entre l'aire bleue (S) et la longueur de la ligne rouge (P).

Ratio S / P

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(R_h = S / P\) en utilisant les valeurs calculées dans les questions précédentes.

Étape 1 : Reprise des valeurs

Surface \(S\) (de Q1) = \(28.0 \text{ m}^2\)

Périmètre \(P\) (de Q2) = \(18.944 \text{ m}\)

Étape 2 : Calcul du ratio

R_h = \frac{S}{P} = \frac{28.0 \text{ m}^2}{18.944 \text{ m}} \] \[ R_h \approx 1.478 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent, le résultat est une valeur numérique.

Réflexions

Ce rayon hydraulique de 1.478 m représente "l'efficacité" de notre section. C'est cette valeur, élevée à la puissance 2/3, qui sera utilisée dans la formule de Manning-Strickler pour quantifier l'effet de la géométrie sur la vitesse.

Points de vigilance

L'erreur la plus grave est d'inverser la fraction (\(P/S\)). Pensez : "Surface" (en m²) est en haut, "Périmètre" (en m) est en bas, pour obtenir un résultat en "m".

Points à retenir

\(R_h = S/P\)
\(R_h\) est un indicateur d'efficacité hydraulique, pas un rayon physique.

Le saviez-vous ?

Le rayon hydraulique d'un tuyau circulaire de diamètre D complètement plein est \(R_h = S/P = (\pi D^2/4) / (\pi D) = D/4\). Étrangement, pour un tuyau à moitié plein (comme un demi-cercle), c'est \(R_h = (\pi D^2/8) / (\pi D/2) = D/4\) également !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le rayon hydraulique est \(R_h \approx 1,478 \text{ m}\).

A vous de jouer

Avec \(S=37.5 \text{ m}^2\) et \(P=21.18 \text{ m}\) (pour \(y=2.5\text{m}\)), que vaut \(R_h\) ? (Indice: 37.5 / 21.18)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Efficacité de la section.
Formule Essentielle : \(R_h = S / P\).
Résultat : \(R_h \approx 1,478 \text{ m}\).

Question 4 : Calculer la vitesse moyenne de l'écoulement (\(V\)).

Principe

La vitesse moyenne \(V\) est un concept fondamental de l'équation de continuité. Elle représente la vitesse "fictive" à laquelle l'eau devrait s'écouler si elle avait la même vitesse en tout point de la section, pour transporter le débit \(Q\) donné. Le débit \(Q\) est le volume d'eau qui traverse la section \(S\) chaque seconde.

Mini-Cours

L'équation de continuité pour un fluide incompressible stipule que le débit volumique \(Q\) (en m³/s) est constant et égal au produit de la surface de la section transversale \(S\) (en m²) par la vitesse moyenne \(V\) (en m/s) à travers cette section.
\(Q \text{ [m³/s]} = S \text{ [m²]} \times V \text{ [m/s]}\). En réarrangeant, on trouve \(V = Q / S\).

Remarque Pédagogique

C'est une vitesse *moyenne*. En réalité, l'eau s'écoule plus vite au centre de la section, loin des parois (où la vitesse est nulle à cause du frottement), et plus lentement près des berges et du fond.

Normes

C'est l'application directe du principe de conservation de la masse (ou du volume pour un fluide incompressible) en régime permanent (débit constant dans le temps).

Formule(s)

Équation de Continuité

V = \frac{Q}{S}

Hypothèses

On suppose que l'écoulement est permanent (le débit \(Q\) ne varie pas dans le temps) et que le fluide (l'eau) est incompressible (sa masse volumique est constante).

Écoulement permanent
Fluide incompressible

Donnée(s)

Nous utilisons le débit de l'énoncé et le résultat de la Question 1 :

Paramètre	Symbole	Valeur (Source)	Unité
Débit	\(Q\)	25 (Énoncé)	m³/s
Surface Mouillée	\(S\)	28.0 (de Q1)	m²

Astuces

Vérifiez toujours la cohérence des unités : [m³/s] divisé par [m²] donne bien des [m/s]. C'est un bon moyen de s'assurer qu'on n'a pas inversé la fraction.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du flux de débit Q traversant la surface S à une vitesse moyenne V.

Équation de Continuité Q = S x V

Calcul(s)

Nous utilisons l'équation de continuité \(V = Q / S\).

Étape 1 : Reprise des valeurs

Débit \(Q\) (de l'énoncé) = \(25 \text{ m}^3/\text{s}\)

Surface \(S\) (de Q1) = \(28.0 \text{ m}^2\)

Étape 2 : Calcul de la vitesse

V = \frac{Q}{S} = \frac{25 \text{ m}^3/\text{s}}{28.0 \text{ m}^2} \] \[ V \approx 0.893 \text{ m/s}

Schéma (Après les calculs)

Un profil de vitesse typique montre que la vitesse V=0.893 m/s est une moyenne. La vitesse est maximale (\(V_{max}\)) près de la surface et nulle (\(V=0\)) aux parois.

Profil de Vitesse Réel (Illustratif)

Réflexions

Une vitesse de 0.893 m/s (environ 3.2 km/h) est une vitesse d'écoulement plutôt lente, typique d'un canal en béton bien dimensionné. C'est la vitesse d'un marcheur lent. Elle est généralement souhaitable pour limiter l'érosion tout en évacuant le débit.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités sont cohérentes : \(Q\) en [m³/s] et \(S\) en [m²] donnent bien \(V\) en [m/s]. Ne pas confondre le débit \(Q\) (un volume par temps) et la vitesse \(V\) (une distance par temps).

Points à retenir

\(Q = S \times V\) est l'équation de base de l'hydraulique.
\(V\) est une vitesse *moyenne* sur la section.

Le saviez-vous ?

La vitesse n'est pas uniforme dans la section. Elle suit un profil souvent logarithmique, étant nulle aux parois (condition de non-glissement) et maximale généralement juste sous la surface libre, au centre du canal.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vitesse moyenne est \(V \approx 0,893 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

Avec \(Q=25 \text{ m}^3/\text{s}\) et \(S=37.5 \text{ m}^2\) (pour \(y=2.5\text{m}\)), que vaut \(V\) ? (Indice: 25 / 37.5)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Continuité du débit.
Formule Essentielle : \(V = Q / S\).
Résultat : \(V \approx 0,893 \text{ m/s}\).

Question 5 : Déterminer la pente d'équilibre (\(I_0\)).

Principe

C'est l'objectif final. Nous cherchons la pente du fond \(I_0\) qui, pour cette géométrie (\(S, R_h\)), cette rugosité (\(K\)) et cette vitesse (\(V\)), permet à l'écoulement d'être "uniforme". En régime uniforme, les forces motrices (dues à la gravité, liées à la pente \(I_0\)) sont parfaitement équilibrées par les forces de frottement (pertes de charge, liées à \(I_f\)). Donc, \(I_0 = I_f\).

Mini-Cours

Nous partons de la formule de Manning-Strickler pour la vitesse : \(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I_f^{1/2}\).
Notre but est de trouver \(I_f\), la pente de la ligne d'énergie (pertes de charge) que nous poserons égale à \(I_0\).
1. Isoler le terme de pente : \(I_f^{1/2} = \frac{V}{K \cdot R_h^{2/3}}\)
2. Mettre au carré les deux côtés pour supprimer la racine : \(I_f = \left( \frac{V}{K \cdot R_h^{2/3}} \right)^2\)
3. Poser \(I_0 = I_f\) car nous sommes en régime uniforme.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de synthèse qui utilise tous les résultats précédents. La pente \(I_0\) est la "réponse" du canal : c'est la pente dont il a besoin pour évacuer ce débit \(Q\) à cette hauteur \(y\).

Normes

La formule de Manning-Strickler est une loi empirique (basée sur l'expérience) et non une loi physique fondamentale. Elle est extrêmement utilisée en ingénierie pour les canaux en régime turbulent rugueux.

Formule(s)

Formule de Manning-Strickler (réarrangée)

I_0 = I_f = \left( \frac{V}{K \cdot R_h^{2/3}} \right)^2

Alternative avec le débit Q (en remplaçant V=Q/S)

I_0 = I_f = \left( \frac{Q}{K \cdot S \cdot R_h^{2/3}} \right)^2

Hypothèses

Nous supposons que le régime est uniforme (c'est la condition \(I_0 = I_f\)) et que le coefficient de Strickler \(K=70\) est correct pour ce béton et ce tirant d'eau.

Régime uniforme (\(I_0 = I_f\))
Coefficient \(K\) constant et connu.

Donnée(s)

Nous utilisons toutes les données et résultats précédents :

Paramètre	Symbole	Valeur (Source)	Unité
Vitesse	\(V\)	0.893 (de Q4)	m/s
Coeff. Strickler	\(K\)	70 (Énoncé)	m¹/³·s⁻¹
Rayon Hydraulique	\(R_h\)	1.478 (de Q3)	m

Astuces

Faites attention aux puissances ! \(R_h\) est à la puissance 2/3 (soit \(\approx 0.667\)). La fraction entière est au carré (puissance 2). Vérifiez bien l'ordre des opérations sur votre calculatrice : calculez \(R_h^{2/3}\) d'abord, puis multipliez par K, puis divisez V par ce résultat, et enfin mettez le tout au carré.

Schéma (Avant les calculs)

En régime uniforme, la ligne d'eau (LE), la ligne d'énergie (LC) et le fond du canal (z) sont tous parallèles. Leurs pentes sont égales : \(I_0 = I_y = I_f\).

Schéma longitudinal en régime uniforme

Calcul(s)

Nous utilisons la formule de Manning-Strickler réarrangée pour isoler la pente \(I_0\). Nous allons décomposer le calcul en plusieurs étapes.

Étape 1 : Calculer le terme \(R_h^{2/3}\)

Nous reprenons \(R_h \approx 1.478 \text{ m}\) de la Q3.

R_h^{2/3} = (1.478)^{2/3} \approx 1.294

Étape 2 : Calculer le dénominateur de la fraction \((K \cdot R_h^{2/3})\)

Nous reprenons \(K = 70\) de l'énoncé et le résultat de l'Étape 1.

K \cdot R_h^{2/3} = 70 \times 1.294 \approx 90.58

Étape 3 : Calculer la fraction \((V / (K \cdot R_h^{2/3}))\)

Nous reprenons \(V \approx 0.893 \text{ m/s}\) de la Q4 et le résultat de l'Étape 2.

\frac{V}{K \cdot R_h^{2/3}} = \frac{0.893}{90.58} \approx 0.009859

Étape 4 : Calculer la pente \(I_0\) en mettant au carré

La formule finale est \(I_0 = (\text{résultat de l'étape 3})^2\).

I_0 = (0.009859)^2 \] \[ I_0 \approx 0.0000972

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique, pas un schéma.

Réflexions

La pente d'équilibre est \(I_0 \approx 0.000097\). C'est une valeur sans dimension (m/m). Pour mieux la comprendre :
- En "pour mille" (‰) : \(0.000097 \times 1000 = 0,097 \text{ ‰}\). Cela signifie une chute verticale de 0,097 mètre (soit 9.7 cm) pour 1000 mètres (1 km) de canal.
- En "pourcent" (%) : \(0.000097 \times 100 = 0,0097 \text{ %}\).
C'est une pente très faible, typique des grands canaux de plaine ou des fleuves lents.

Points de vigilance

Attention aux puissances ! \(R_h\) est à la puissance 2/3. La fraction entière est au carré (2). Vérifiez bien l'ordre des opérations sur votre calculatrice. Une erreur fréquente est d'oublier de mettre au carré le résultat final.

Points à retenir

La formule de Manning-Strickler permet de lier Vitesse, Géométrie (\(R_h\)) et Pente (\(I_f\)).
En régime uniforme, \(I_f = I_0\) (la pente du fond compense les frottements).

Le saviez-vous ?

La formule est souvent présentée avec le coefficient de Manning \(n\), qui est l'inverse de Strickler (\(n \approx 1/K\)). La formule devient \(V = \frac{1}{n} R_h^{2/3} I_f^{1/2}\). Pour \(K=70\), \(n \approx 1/70 \approx 0.014\), une valeur typique pour le béton.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pente d'équilibre est \(I_0 \approx 0,000097\) (ou \(0,097 \text{ ‰}\)).

A vous de jouer

Avec \(V=0.667 \text{ m/s}\) et \(R_h=1.77 \text{ m}\) (pour \(y=2.5\text{m}\)), que vaut \(I_0\) ? (Indice : \(R_h^{2/3} \approx 1.461\))
(Calcul : I0 = (0.667 / (70 * 1.461))² )

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Équilibre motrice/frottement.
Formule Essentielle : \(I_0 = (V / (K \cdot R_h^{2/3}))^2\).
Résultat : \(I_0 \approx 0,000097\).

Outil Interactif : Simulateur de Pente

Utilisez les curseurs pour voir comment le tirant d'eau (\(y\)) et le coefficient de Strickler (\(K\)) influencent la pente d'équilibre \(I_0\) (pour \(Q=25 \text{ m}^3/\text{s}\), \(b=10\text{m}\), \(m=2\) constants).

Paramètres d'Entrée

Tirant d'eau, \(y\) (m) 2.0 m

Strickler, \(K\) (m¹/³·s⁻¹) 70 m¹/³·s⁻¹

Résultats Clés

Vitesse, \(V\) (m/s) -

Pente, \(I_0\) (‰) -

Glossaire

Manning-Strickler (Formule de): Formule empirique (\(V = K \cdot R_h^{2/3} \cdot I_f^{1/2}\)) qui relie la vitesse de l'eau (\(V\)) à la rugosité des parois (\(K\)), la géométrie (\(R_h\)) et la pente de la ligne d'énergie (\(I_f\)).
Régime Uniforme: Un écoulement où la profondeur (tirant d'eau \(y\)) et la vitesse \(V\) ne changent pas le long du canal. Cela se produit lorsque les forces motrices (gravité, pente \(I_0\)) équilibrent parfaitement les forces de frottement (\(I_f\)).
Rayon Hydraulique (\(R_h\)): Rapport de la surface mouillée (\(S\)) sur le périmètre mouillé (\(P\)). Il caractérise l'efficacité d'une section à évacuer l'eau. Plus il est grand, moins il y a de frottements relatifs.
Pente d'Équilibre (\(I_0\)): Aussi appelée "pente normale". C'est la pente du fond du canal qui permet d'évacuer un débit \(Q\) donné à un tirant d'eau \(y\) constant (en régime uniforme).
Surface Mouillée (\(S\)): Aire de la section transversale de l'écoulement (en m²). C'est la "porte" par où passe le débit.
Périmètre Mouillé (\(P\)): Longueur de la paroi du canal en contact avec l'eau (en m). C'est la source des frottements.