ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Pente d’Équilibre d’un Cours d’Eau

Calcul de la Pente d'Équilibre d'un Cours d'Eau

Calcul de la Pente d'Équilibre d'un Cours d'Eau

Comprendre la Pente d'Équilibre et le Transport Solide

Une rivière ou un canal n'est pas un système figé ; il s'agit d'un environnement dynamique où le lit et les berges évoluent constamment. Un concept central de la morphodynamique fluviale est la pente d'équilibre. Il s'agit de la pente longitudinale qu'un cours d'eau tend à atteindre naturellement sur le long terme. À cette pente, la capacité de l'écoulement à transporter des sédiments (la capacité de transport) est exactement égale à la quantité de sédiments fournie par l'amont (l'apport solide). Si la pente est plus forte que la pente d'équilibre, le cours d'eau a un surplus d'énergie et va éroder son lit pour diminuer sa pente. Si elle est plus faible, sa capacité est insuffisante, et il va déposer des sédiments, ce qui augmentera sa pente. Le calcul de cette pente est essentiel pour les projets de restauration de cours d'eau, la gestion des sédiments et la prévision de l'évolution des lits de rivière.

Données de l'étude

On étudie une rivière à lit de gravier, supposée large et rectiligne. On souhaite déterminer la pente pour laquelle la rivière est à l'équilibre, c'est-à-dire qu'elle transporte exactement l'apport solide venant de l'amont.

Caractéristiques hydrauliques et sédimentaires :

  • Débit liquide par unité de largeur (\(q\)) : \(5 \, \text{m}^2/\text{s}\)
  • Hauteur d'eau normale (\(y_n\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Diamètre médian des sédiments (\(d_{50}\)) : \(20 \, \text{mm} = 0.02 \, \text{m}\)
  • Masse volumique des sédiments (\(\rho_s\)) : \(2650 \, \text{kg/m}^3\)
  • Masse volumique de l'eau (\(\rho_w\)) : \(1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Coefficient de Strickler (\(K_{st}\)) : \(35 \, \text{m}^{1/3}/\text{s}\)
  • Paramètre de Shields critique (\(\theta_c\)) : \(0.047\)
  • Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Apport de transport solide par charriage à l'équilibre (\(q_{s,eq}\)) : \(0.001 \, \text{m}^2/\text{s}\)
Schéma Conceptuel de la Pente d'Équilibre
Apport Solide (q_s) Capacité de Transport S_e

Questions à traiter

  1. Calculer le paramètre de densité relative des sédiments (\(s\)).
  2. Calculer le débit de transport solide adimensionnel (\(\Phi\)) correspondant à l'apport solide d'équilibre \(q_{s,eq}\).
  3. En utilisant la formule de Meyer-Peter et Müller, déterminer le Paramètre de Shields d'équilibre (\(\theta_{eq}\)) requis pour transporter ce débit.
  4. Calculer la contrainte de cisaillement au fond d'équilibre (\(\tau_{0,eq}\)) correspondante.
  5. Déterminer la pente d'équilibre (\(S_e\)) du cours d'eau.

Correction : Calcul de la Pente d'Équilibre

Question 1 : Densité Relative des Sédiments (\(s\))

Principe :

La densité relative, ou densité déjaugée, est un paramètre fondamental en transport solide. Elle représente le rapport entre la densité des sédiments et celle du fluide, corrigé de la flottabilité. Elle quantifie à quel point les grains sont "lourds" dans l'eau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ s = \frac{\rho_s}{\rho_w} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} s &= \frac{2650 \, \text{kg/m}^3}{1000 \, \text{kg/m}^3} \\ &= 2.65 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La densité relative des sédiments est \(s = 2.65\).

Question 2 : Débit Solide Adimensionnel (\(\Phi\))

Principe :

Pour utiliser les formules empiriques comme celle de Meyer-Peter et Müller, il est nécessaire de travailler avec des grandeurs adimensionnelles. Le débit solide par charriage (\(q_s\)) est adimensionnalisé en un paramètre \(\Phi\), qui le normalise par les caractéristiques du sédiment et du fluide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Phi = \frac{q_s}{\sqrt{(s-1) g d_{50}^3}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi &= \frac{0.001 \, \text{m}^2/\text{s}}{\sqrt{(2.65-1) \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times (0.02 \, \text{m})^3}} \\ &= \frac{0.001}{\sqrt{1.65 \times 9.81 \times 8 \times 10^{-6}}} \\ &= \frac{0.001}{\sqrt{1.295 \times 10^{-4}}} \\ &\approx \frac{0.001}{0.01138} \\ &\approx 0.0879 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le débit solide adimensionnel est \(\Phi \approx 0.088\).

Question 3 : Paramètre de Shields d'Équilibre (\(\theta_{eq}\))

Principe :

La formule de Meyer-Peter et Müller relie le transport solide (\(\Phi\)) à la sollicitation de l'écoulement sur le fond, représentée par le paramètre de Shields (\(\theta\)). En inversant la formule, on peut déterminer le \(\theta\) nécessaire pour assurer le transport du débit solide \(\Phi\) calculé à la question précédente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Phi = 8 (\theta - \theta_c)^{1.5} \Rightarrow \theta_{eq} = \left(\frac{\Phi}{8}\right)^{2/3} + \theta_c \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta_{eq} &= \left(\frac{0.0879}{8}\right)^{2/3} + 0.047 \\ &= (0.01098)^{2/3} + 0.047 \\ &= 0.0494 + 0.047 \\ &= 0.0964 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le paramètre de Shields d'équilibre est \(\theta_{eq} \approx 0.096\).

Question 4 : Contrainte de Cisaillement d'Équilibre (\(\tau_{0,eq}\))

Principe :

Le paramètre de Shields est la forme adimensionnelle de la contrainte de cisaillement au fond. En connaissant le \(\theta_{eq}\) nécessaire, on peut le reconvertir en une contrainte de cisaillement dimensionnelle (\(\tau_{0,eq}\)) en utilisant les propriétés du fluide et des sédiments.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta = \frac{\tau_0}{(\rho_s - \rho_w) g d_{50}} \Rightarrow \tau_{0,eq} = \theta_{eq} (\rho_s - \rho_w) g d_{50} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{0,eq} &= 0.0964 \times (2650 - 1000) \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.02 \, \text{m} \\ &= 0.0964 \times 1650 \times 9.81 \times 0.02 \\ &\approx 31.18 \, \text{N/m}^2 \text{ (Pa)} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La contrainte de cisaillement d'équilibre est \(\tau_{0,eq} \approx 31.2 \, \text{Pa}\).

Question 5 : Pente d'Équilibre (\(S_e\))

Principe :

La contrainte de cisaillement au fond est aussi directement liée aux caractéristiques globales de l'écoulement : la hauteur d'eau et la pente. En connaissant la contrainte requise (\(\tau_{0,eq}\)) et la hauteur d'eau (\(y_n\)), on peut en déduire la pente du lit qui produira exactement cette contrainte. Pour un canal large, on approxime le rayon hydraulique par la hauteur d'eau (\(R_h \approx y_n\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_{0,eq} = \rho_w g R_h S_e \Rightarrow S_e = \frac{\tau_{0,eq}}{\rho_w g y_n} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_e &= \frac{31.18 \, \text{N/m}^2}{1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 2.0 \, \text{m}} \\ &= \frac{31.18}{19620} \\ &\approx 0.00159 \end{aligned} \]
Résultat : La pente d'équilibre du cours d'eau est \(S_e \approx 0.0016\) (ou 1.6‰).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Une rivière est dite "à l'équilibre" lorsque :

2. Si la pente d'une rivière est supérieure à sa pente d'équilibre, la rivière va :

3. Le paramètre de Shields (\(\theta\)) représente :

Glossaire

Pente d'Équilibre (\(S_e\))
Pente longitudinale d'un cours d'eau pour laquelle il n'y a ni érosion, ni sédimentation nette. La capacité de transport solide égale l'apport solide.
Transport par Charriage (Bedload)
Mode de transport des sédiments les plus grossiers (sables, graviers) qui se déplacent en roulant, glissant ou par saltation sur le fond du lit.
Contrainte de Cisaillement au Fond (\(\tau_0\))
Force de frottement exercée par l'écoulement sur le lit par unité de surface. C'est la force motrice principale du transport solide.
Paramètre de Shields (\(\theta\))
Nombre adimensionnel représentant la contrainte de cisaillement normalisée par le poids déjaugé des grains de sédiment. Il est utilisé pour prédire le début du mouvement et le taux de transport.
Formule de Meyer-Peter et Müller
Formule empirique largement utilisée pour estimer le taux de transport solide par charriage en fonction de la contrainte de cisaillement excédentaire (la différence entre la contrainte réelle et la contrainte critique de début de mouvement).
Calcul de la Pente d'Équilibre - Exercice d'Application

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