ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Partie Immergée et du Métacentre

Stabilité d'un Iceberg : Calcul de la Partie Immergée et du Métacentre

Stabilité d'un Iceberg : Calcul de la Partie Immergée et du Métacentre

Contexte : Stabilité des Corps Flottants

Un corps flottant, comme un iceberg ou un navire, est soumis à deux forces principales : son poids, appliqué au centre de gravitéPoint d'application de la résultante des forces de gravité (poids) d'un corps. (G), et la poussée d'Archimède, appliquée au centre de carèneCentre de gravité du volume de liquide déplacé par un corps flottant. C'est le point d'application de la poussée d'Archimède. (B). Pour qu'il soit à l'équilibre, ces deux forces doivent être égales et opposées. Mais pour qu'il soit stable, il doit être capable de revenir à sa position d'équilibre après une petite perturbation (comme une vague). Cette capacité dépend de la position relative d'un point crucial : le métacentrePoint d'intersection de l'axe vertical du corps flottant (à l'équilibre) avec la verticale passant par le nouveau centre de carène après une petite inclinaison. (M).

Remarque Pédagogique : Cet exercice explore deux concepts fondamentaux. Le premier est l'équilibre statique (principe d'Archimède), qui nous permet de déterminer quelle fraction de l'iceberg est immergée. Le second est l'équilibre dynamique (stabilité), qui dépend de la hauteur métacentrique (GM). Si le métacentre M est au-dessus du centre de gravité G, le corps est stable. Sinon, il chavire.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le principe d'Archimède pour calculer le volume et la hauteur immergés.
  • Déterminer la position du centre de gravité (G) et du centre de carène (B).
  • Calculer le rayon métacentrique (BM) en utilisant le moment d'inertie de la flottaison.
  • Calculer la hauteur métacentrique (GM) et conclure sur la stabilité de l'iceberg.

Données de l'étude

Un iceberg de forme parallélépipédique flotte dans l'océan. On cherche à déterminer sa hauteur immergée et à vérifier sa stabilité.

Données disponibles :

  • Hauteur totale de l'iceberg : \(H = 150 \, \text{m}\)
  • Largeur de l'iceberg : \(l = 200 \, \text{m}\)
  • Longueur de l'iceberg : \(L = 300 \, \text{m}\)
  • Masse volumique de la glace : \(\rho_{\text{glace}} = 920 \, \text{kg/m}^3\)
  • Masse volumique de l'eau de mer : \(\rho_{\text{eau}} = 1025 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma de l'Iceberg
G B h_e h_i l = 200m

Questions à traiter

  1. Déterminer la hauteur immergée (\(h_i\)) de l'iceberg.
  2. Calculer la position du centre de gravité (G) et du centre de carène (B) par rapport à la base de l'iceberg.
  3. Calculer la distance métacentrique transversale \(BM_T\) (on considère l'inclinaison selon la plus petite dimension de la base, la largeur \(l\)).
  4. En déduire la hauteur métacentrique \(GM_T\) et conclure sur la stabilité de l'iceberg.

Correction : Stabilité d'un iceberg : calcul de la partie immergée et du métacentre

Question 1 : Hauteur immergée (\(h_i\))

Principe :
Poids Π_A

D'après le principe d'Archimède, un corps flottant est à l'équilibre lorsque son poids est égal à la poussée d'Archimède, qui correspond au poids du volume de fluide déplacé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour un corps homogène flottant dans un liquide, le rapport des volumes (immergé sur total) est égal au rapport des densités (corps sur liquide). C'est une conséquence directe de l'équilibre Poids = Poussée.

Formule(s) utilisée(s)
\[ P = \Pi_A \Rightarrow \rho_{\text{glace}} \cdot V_{\text{total}} \cdot g = \rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g \]
\[ \frac{V_{\text{immergé}}}{V_{\text{total}}} = \frac{h_i \cdot L \cdot l}{H \cdot L \cdot l} = \frac{h_i}{H} = \frac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{eau}}} \]
Calcul
\[ \begin{aligned} h_i &= H \times \frac{\rho_{\text{glace}}}{\rho_{\text{eau}}} \\ &= 150 \, \text{m} \times \frac{920 \, \text{kg/m}^3}{1025 \, \text{kg/m}^3} \\ &= 150 \times 0.89756 \\ &= 134.63 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La hauteur immergée de l'iceberg est d'environ 134.6 m.

Question 2 : Position des centres G et B

Principe :
G OG = H/2 B OB = hi/2 Base

Pour un parallélépipède homogène, le centre de gravité (G) se situe au centre géométrique du volume total. Le centre de carène (B), ou centre de poussée, se situe au centre géométrique du volume immergé.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les positions sont toujours mesurées par rapport à un point de référence fixe, généralement la base (le "fond") de l'objet flottant. \(OG\) est donc à \(H/2\) et \(OB\) est à \(h_i/2\).

Calcul
\[ OG = \frac{H}{2} = \frac{150 \, \text{m}}{2} = 75 \, \text{m} \]
\[ OB = \frac{h_i}{2} = \frac{134.63 \, \text{m}}{2} = 67.32 \, \text{m} \]
Résultat Question 2 : Le centre de gravité G est à 75 m de la base, et le centre de carène B est à 67.32 m de la base.

Question 3 : Distance Métacentrique Transversale (\(BM_T\))

Principe :
G B M

La distance entre le centre de carène B et le métacentre M, appelée rayon métacentrique, dépend de la forme de la surface de flottaison (la "tranche" de l'iceberg au niveau de l'eau) et du volume immergé. Elle est donnée par \(BM = I/V_i\), où \(I\) est le moment d'inertie de la surface de flottaison par rapport à l'axe de rotation.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le moment d'inertie \(I\) mesure la résistance de la surface de l'eau à l'inclinaison. Une surface large et plate (grand \(I\)) augmente la stabilité. Pour la stabilité transversale, on considère la rotation autour de l'axe le plus long (L), donc le moment d'inertie est \(I_T = \frac{L \cdot l^3}{12}\).

Formule(s) utilisée(s)
\[ BM_T = \frac{I_T}{V_{\text{immergé}}} \quad \text{avec} \quad I_T = \frac{L \cdot l^3}{12} \]
Calcul
\[ \begin{aligned} I_T &= \frac{300 \, \text{m} \times (200 \, \text{m})^3}{12} = 2 \times 10^8 \, \text{m}^4 \\ V_{\text{immergé}} &= L \times l \times h_i = 300 \times 200 \times 134.63 \\ &= 8\,077\,800 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} BM_T &= \frac{2 \times 10^8 \, \text{m}^4}{8\,077\,800 \, \text{m}^3} \\ &= 24.76 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rayon métacentrique transversal est de 24.76 m.

Question 4 : Hauteur Métacentrique (\(GM_T\)) et Stabilité

Principe :
B G M GM > 0

La hauteur métacentrique \(GM\) est la distance verticale entre le centre de gravité G et le métacentre M. Elle se calcule à partir des distances OB, OG, et BM. La stabilité est assurée si \(GM > 0\), c'est-à-dire si le métacentre M est au-dessus du centre de gravité G.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une valeur de \(GM\) positive crée un "couple de redressement" qui ramène le corps à sa position d'équilibre après une inclinaison. Une valeur négative crée un couple qui accentue l'inclinaison et fait chavirer le corps.

Formule utilisée
\[ GM_T = OB + BM_T - OG \]
Calcul
\[ \begin{aligned} GM_T &= 67.32 \, \text{m} + 24.76 \, \text{m} - 75 \, \text{m} \\ &= 92.08 \, \text{m} - 75 \, \text{m} \\ &= 17.08 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La hauteur métacentrique est de 17.08 m. Comme GM > 0, l'iceberg est stable.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Hauteur Immergée (\(h_i\)) Cliquez pour révéler
Distance Base-Centre de Carène (OB) Cliquez pour révéler
Rayon Métacentrique (\(BM_T\)) Cliquez pour révéler
Hauteur Métacentrique (\(GM_T\)) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Un iceberg de même forme (\(L=300\)m, \(l=200\)m) flotte, mais sa hauteur totale \(H\) est inconnue. Des mesures révèlent que sa hauteur métacentrique \(GM_T\) est nulle (stabilité neutre). Quelle est la hauteur totale \(H\) de cet iceberg ? (Utilisez les mêmes densités).

Pièges à Éviter

Mauvais axe pour le moment d'inertie : Pour la stabilité transversale, l'inclinaison se fait autour de l'axe longitudinal (L). Le moment d'inertie pertinent est donc celui qui utilise la largeur \(l\) au cube : \(I_T = L \cdot l^3 / 12\).

Confondre G, B, et M : Gardez à l'esprit la signification de chaque point. G dépend de la masse totale, B dépend du volume immergé, et M dépend de la forme de la flottaison. Leurs positions relatives déterminent la stabilité.

Simulation Interactive de la Stabilité

Variez les dimensions et la densité pour voir comment la stabilité de l'iceberg est affectée.

Paramètres de Simulation
Hauteur Immergée (h_i)
Hauteur Métacentrique (GM)
Visualisation de la Stabilité (GM en m)

Le Saviez-Vous ?

La forme de l'iceberg est cruciale. Un iceberg haut et étroit (comme un "pinnacle") est beaucoup moins stable qu'un iceberg large et plat (un "iceberg tabulaire"). C'est pourquoi les icebergs se retournent souvent lorsqu'ils fondent, car leur centre de gravité se déplace et leur forme change, rendant leur position initiale instable.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi calcule-t-on la stabilité transversale (\(GM_T\)) et pas longitudinale (\(GM_L\))?

On calcule généralement les deux. Cependant, un navire ou un iceberg est presque toujours plus long que large. L'inclinaison selon l'axe le plus court (la largeur) est la plus "facile" et donc la plus critique. Si le corps est stable transversalement (\(GM_T > 0\)), il sera presque toujours encore plus stable longitudinalement (\(GM_L\)), car le moment d'inertie par rapport à l'axe transversal (\(I_L = l \cdot L^3 / 12\)) est beaucoup plus grand.

La salinité de l'eau change-t-elle quelque chose ?

Oui. L'eau de mer (\(\rho \approx 1025 \, \text{kg/m}^3\)) est plus dense que l'eau douce (\(\rho \approx 1000 \, \text{kg/m}^3\)). Un iceberg flottera donc légèrement plus haut dans l'eau de mer, ce qui modifie sa hauteur immergée, la position de son centre de carène (B) et, par conséquent, sa stabilité.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un iceberg flotte plus haut (partie émergée plus grande) dans :

2. Pour augmenter la stabilité d'un iceberg parallélépipédique, il est plus efficace de :

Glossaire

Poussée d'Archimède
Force verticale, dirigée vers le haut, que subit un corps plongé dans un fluide. Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé.
Centre de Carène (B)
Point d'application de la poussée d'Archimède. C'est le centre de gravité du volume immergé du corps.
Métacentre (M)
Point d'intersection entre l'axe vertical d'un corps flottant à l'équilibre et la nouvelle verticale de la poussée d'Archimède lorsque le corps est légèrement incliné.
Hauteur Métacentrique (GM)
Distance entre le centre de gravité (G) et le métacentre (M). Si GM > 0, le corps est stable. Si GM < 0, il est instable.
Fondamentaux de l'Hydraulique - Exercice d'Application

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