Calcul de la Force d'un Vérin Différentiel

Contexte : L'OléohydrauliqueTechnologie utilisant un liquide (généralement de l'huile) sous pression pour transmettre de l'énergie et générer des forces ou des mouvements. (ou hydraulique de puissance).

Cette branche de l'ingénierie est omniprésente dans les engins de chantier (pelleteuses, grues), les presses industrielles, les systèmes de freinage et bien d'autres applications nécessitant des forces très importantes. Le composant clé pour transformer cette pression hydraulique en force mécanique est le vérin. Cet exercice se concentre sur le type le plus courant : le vérin différentielUn vérin double-effet où la surface du piston côté tige est plus petite que la surface côté fond, entraînant des forces et vitesses différentes en sortie et rentrée de tige..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre le dimensionnement des actionneurs hydrauliques. Maîtriser le calcul des forces en "poussant" et "tirant" est essentiel pour tout technicien ou ingénieur en conception ou maintenance de systèmes hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de fonctionnement d'un vérin différentiel double effet.
Calculer les surfaces actives (section piston et section annulaire).
Déterminer les forces théoriques en poussant (sortie de tige) et en tirant (rentrée de tige).
Saisir l'importance cruciale de la conversion des unités (bar, mm, Pa, m).

Données de l'étude

Nous étudions un vérin hydraulique différentiel double effet, alimenté par une centrale hydraulique. L'objectif est de déterminer les efforts qu'il peut développer.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de vérin	Différentiel, double effet
Fluide	Huile minérale HV 46
Pression de service maximale	160 bar

Schéma du Vérin Différentiel

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de service	\(P\)	120	bar
Diamètre du piston	\(D\)	80	mm
Diamètre de la tige	\(d\)	45	mm

Questions à traiter

Calculer la section active du piston (côté fond), notée \(A_{\text{piston}}\), en cm² puis en m².
Calculer la section annulaire (côté tige), notée \(A_{\text{annulaire}}\), en cm² puis en m².
Déterminer la force théorique en poussant (sortie de tige), notée \(F_{\text{poussant}}\), en Newtons (N) puis en kilonewtons (kN).
Déterminer la force théorique en tirant (rentrée de tige), notée \(F_{\text{tirant}}\), en Newtons (N) puis en kilonewtons (kN).
Calculer le rapport des vitesses (vitesse en traction / vitesse en poussée) pour un débit d'huile constant.

Les bases sur les Vérins Hydrauliques

Un vérin hydraulique est un actionneur qui convertit l'énergie hydraulique (pression, débit) en énergie mécanique (force, vitesse). Le principe repose sur la loi fondamentale de l'hydrostatique.

1. Loi Fondamentale de l'Hydrostatique (Principe de Pascal)
La force (\(F\)) développée par un fluide sous pression (\(P\)) sur une surface (\(A\)) est donnée par la relation : \[ F = P \times A \] Pour que cette formule fonctionne, les unités doivent être cohérentes :

\(F\) en Newtons (N)
\(P\) en Pascals (Pa), où \(1 \text{ Pa} = 1 \text{ N/m}^2\)
\(A\) en mètres carrés (m²)

2. Le Vérin Différentiel
Il est dit "différentiel" car les deux surfaces actives du piston ne sont pas égales.

En poussant (sortie de tige) : La pression s'exerce sur toute la surface du piston : \(A_{\text{piston}} = \frac{\pi \times D^2}{4}\).
En tirant (rentrée de tige) : La pression s'exerce sur la surface du piston moins la surface de la tige (la surface annulaire) : \(A_{\text{annulaire}} = A_{\text{piston}} - A_{\text{tige}} = \frac{\pi \times (D^2 - d^2)}{4}\).

À pression égale, la force en poussant est donc toujours supérieure à la force en tirant.

Correction : Calcul de la Force d’un Vérin Différentiel

Question 1 : Calculer la section active du piston (\(A_{\text{piston}}\)) en cm² puis en m².

Principe

La première étape consiste à calculer la surface sur laquelle la pression va s'exercer lorsque le vérin sort sa tige (mode "poussant"). C'est la surface totale du piston, qui est un simple disque.

Mini-Cours

La surface (ou l'aire) d'un disque de diamètre \(D\) est donnée par la formule universelle : \(A = \frac{\pi \times D^2}{4}\). C'est cette surface que nous appelons \(A_{\text{piston}}\).

Remarque Pédagogique

Le plus simple est de convertir d'abord le diamètre dans l'unité souhaitée (cm ou m) avant d'appliquer la formule. Travailler directement en mètres est la méthode la plus sûre pour les calculs de force ultérieurs.

Normes

Le calcul de section est une application directe de la géométrie euclidienne et ne dépend pas d'une norme hydraulique spécifique, mais les unités de base (mètre, m²) sont celles du Système International (SI).

Formule(s)

La formule à utiliser est celle de l'aire d'un disque.

Section du piston

A_{\text{piston}} = \frac{\pi \times D^2}{4}

Hypothèses

On considère que le diamètre donné est le diamètre effectif de la surface d'application de la pression.

Le piston est parfaitement cylindrique.
Le diamètre \(D\) est constant.

Donnée(s)

Nous n'avons besoin que d'une seule donnée de l'énoncé pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre du pistonDiamètre extérieur du piston mobile à l'intérieur du cylindre.	D	80	mm

Astuces

Pour éviter les erreurs, convertissez toujours les millimètres (mm) en mètres (m) en divisant par 1000. Donc, \(80 \text{ mm} = 0.080 \text{ m}\). De même, \(80 \text{ mm} = 8 \text{ cm}\).

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la surface pleine du piston, représentée par le diamètre \(D\).

Surface du Piston (A_piston)

Calcul(s)

Nous effectuons le calcul d'abord en cm² (plus parlant) puis en m² (pour les futurs calculs).

Étape 1 : Calcul en centimètres carrés (cm²)

\begin{aligned} A_{\text{piston}} &= \frac{\pi \times D^2}{4} \\ (\text{avec } D &= 80 \text{ mm} = 8 \text{ cm}) \\ A_{\text{piston}} &= \frac{\pi \times (8 \text{ cm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 64 \text{ cm}^2}{4} \\ &= 16 \times \pi \text{ cm}^2 \\ \Rightarrow A_{\text{piston}} &\approx 50.265 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul en mètres carrés (m²)

\begin{aligned} A_{\text{piston}} &= \frac{\pi \times D^2}{4} \\ (\text{avec } D &= 80 \text{ mm} = 0.080 \text{ m}) \\ A_{\text{piston}} &= \frac{\pi \times (0.080 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0064 \text{ m}^2}{4} \\ &= 0.0016 \times \pi \text{ m}^2 \\ \Rightarrow A_{\text{piston}} &\approx 0.0050265 \text{ m}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La surface calculée est la zone bleue sur laquelle la pression s'exercera pour pousser la tige.

Visualisation de A_piston

Réflexions

Le résultat est \(0.0050265 \text{ m}^2\). C'est une petite valeur, ce qui est normal pour les mètres carrés. La valeur en cm² (50.27) est plus facile à visualiser. Il est crucial de retenir que \(1 \text{ m}^2 = 10 000 \text{ cm}^2\). Donc, \(50.265 / 10 000 = 0.0050265\), nos deux calculs sont cohérents.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le diamètre au carré (\(D^2\)). Une autre erreur fréquente est de mal convertir les unités, par exemple en pensant que \(1 \text{ m}^2 = 100 \text{ cm}^2\), ce qui est faux.

Points à retenir

La section d'un vérin est la surface qui "voit" la pression.

Formule de l'aire du disque : \(A = \pi \times D^2 / 4\).
Conversion d'unité : \(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\), \(1 \text{ m}^2 = 1 000 000 \text{ mm}^2\).

Le saviez-vous ?

En hydraulique, on parle souvent du diamètre d'un vérin en "alésage". L'alésage est le diamètre intérieur du cylindre (le "fût") dans lequel le piston coulisse. On considère que le diamètre du piston est quasiment identique à l'alésage (à quelques centièmes de mm près pour le jeu de fonctionnement).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La section du piston est \(A_{\text{piston}} \approx 50.27 \text{ cm}^2\) (ou \(0.0050265 \text{ m}^2\)).

A vous de jouer

Quelle serait la section du piston (en cm²) si le diamètre \(D\) était de 100 mm (10 cm) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Section piston = Aire d'un disque.
Formule Essentielle : \(A_{\text{piston}} = \pi \times D^2 / 4\).
Point de Vigilance Majeur : Conversion mm \(\rightarrow\) m (diviser par 1000).

Question 2 : Calculer la section annulaire (\(A_{\text{annulaire}}\)) en cm² puis en m².

Principe

Nous calculons maintenant la surface active lorsque le vérin rentre sa tige (mode "tirant"). La pression ne peut pas s'exercer sur la partie du piston où la tige est fixée. La surface active est donc un "anneau" (ou une couronne).

Mini-Cours

La section annulaireSurface du piston côté tige, calculée en soustrayant la surface de la tige de la surface totale du piston. est la surface totale du piston (\(A_{\text{piston}}\)) à laquelle on soustrait la surface de la tige (\(A_{\text{tige}}\)). On doit donc d'abord calculer l'aire de la tige (un disque de diamètre \(d\)).

Remarque Pédagogique

Puisque nous avons déjà calculé \(A_{\text{piston}}\) à la question 1, il nous suffit de calculer \(A_{\text{tige}}\) en utilisant la même formule (\(\pi \times d^2 / 4\)) et de faire une simple soustraction.

Normes

Application du Système International (SI) pour la cohérence des unités (mètres, m²).

Formule(s)

Deux formules sont nécessaires : l'aire de la tige, puis l'aire annulaire par soustraction.

Section de la tige

A_{\text{tige}} = \frac{\pi \times d^2}{4}

Section annulaire

A_{\text{annulaire}} = A_{\text{piston}} - A_{\text{tige}}

Hypothèses

La tige est pleine et parfaitement centrée sur le piston.

La tige est fixée perpendiculairement au piston.

Donnée(s)

Nous avons besoin du diamètre de la tige (\(d\)) et du résultat de la question 1 (\(A_{\text{piston}}\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de la tige	d	45	mm
Section du piston (Q1)	\(A_{\text{piston}}\)	0.0050265	m²

Astuces

On peut aussi factoriser la formule : \(A_{\text{annulaire}} = \frac{\pi \times D^2}{4} - \frac{\pi \times d^2}{4} = \frac{\pi}{4} \times (D^2 - d^2)\). Cela permet un calcul direct si on n'a pas besoin de \(A_{\text{piston}}\) séparément.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise la surface du piston (grand cercle) et la surface de la tige (petit cercle). L'aire annulaire est la différence entre les deux.

Surface Annulaire (A_annulaire)

Calcul(s)

Nous allons calculer \(A_{\text{tige}}\) puis la soustraire de \(A_{\text{piston}}\), en utilisant les valeurs en m² pour la précision.

Étape 1 : Calcul de la section de tige (\(A_{\text{tige}}\)) en m²

\begin{aligned} A_{\text{tige}} &= \frac{\pi \times d^2}{4} \\ (\text{avec } d &= 45 \text{ mm} = 0.045 \text{ m}) \\ A_{\text{tige}} &= \frac{\pi \times (0.045 \text{ m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.002025 \text{ m}^2}{4} \\ &= 0.00050625 \times \pi \text{ m}^2 \\ \Rightarrow A_{\text{tige}} &\approx 0.0015904 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la section annulaire (\(A_{\text{annulaire}}\)) en m²

\begin{aligned} A_{\text{annulaire}} &= A_{\text{piston}} - A_{\text{tige}} \\ A_{\text{annulaire}} &= 0.0050265 \text{ m}^2 - 0.0015904 \text{ m}^2 \\ \Rightarrow A_{\text{annulaire}} &\approx 0.0034361 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en cm²

\begin{aligned} A_{\text{annulaire}} &= 0.0034361 \text{ m}^2 \end{aligned}

sachant que \(1 \text{ m}^2 = 10 000 \text{ cm}^2\)

\begin{aligned} A_{\text{annulaire}} &= 0.0034361 \times 10 000 \text{ cm}^2 \\ \Rightarrow A_{\text{annulaire}} &\approx 34.361 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La surface calculée est la zone bleue (l'anneau) sur laquelle la pression s'exercera pour tirer la tige.

Visualisation de A_annulaire

Réflexions

La surface annulaire (\(34.36 \text{ cm}^2\)) est logiquement plus petite que la surface du piston (\(50.27 \text{ cm}^2\)). Cela confirme que la force en tirant sera inférieure à la force en poussant.

Points de vigilance

L'erreur classique est de soustraire les diamètres avant de les mettre au carré : \((D-d)^2\). C'est incorrect. Il faut soustraire les carrés : \((D^2 - d^2)\). Ce sont deux résultats très différents.

Points à retenir

La section annulaire est la surface du piston MOINS la surface de la tige.
Formule : \(A_{\text{annulaire}} = A_{\text{piston}} - A_{\text{tige}}\)
Formule directe : \(A_{\text{annulaire}} = \frac{\pi}{4} \times (D^2 - d^2)\).

Le saviez-vous ?

Il existe des vérins "double tige" (ou tige traversante) où une tige sort des deux côtés du piston. Dans ce cas, la surface active est annulaire des deux côtés et donc identique. Les forces et vitesses en poussant et en tirant sont alors égales. Ce ne sont plus des vérins différentiels.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La section annulaire est \(A_{\text{annulaire}} \approx 34.36 \text{ cm}^2\) (ou \(0.0034361 \text{ m}^2\)).

A vous de jouer

Si \(D=80 \text{ mm}\) et la tige \(d=50 \text{ mm}\), quelle serait la section annulaire (en cm²) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Section côté tige = Section Piston - Section Tige.
Formule Essentielle : \(A_{\text{annulaire}} = \frac{\pi}{4} \times (D^2 - d^2)\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas faire \((D-d)^2\).

Question 3 : Déterminer la force théorique en poussant (\(F_{\text{poussant}}\)) en N puis en kN.

Principe

Nous appliquons maintenant la loi fondamentale de l'hydrostatique (\(F = P \times A\)) pour trouver la force maximale que le vérin peut développer en sortie de tige (quand il "pousse").

Mini-Cours

La force de poussée est le produit de la pression de service (\(P\)) par la surface totale du piston (\(A_{\text{piston}}\)), car c'est sur cette surface que le fluide appuie pour faire sortir la tige.

Remarque Pédagogique

C'est ici que la conversion des unités est la plus critique. Pour obtenir des Newtons (N), la Pression DOIT être en Pascals (Pa) et la Surface DOIT être en Mètres Carrés (m²). C'est la règle d'or.

Normes

Le Newton (N) est l'unité de force du Système International (SI). Le Pascal (Pa) est l'unité de pression du SI. Le Bar (bar) est une unité "usuelle" très fréquente en industrie, mais non-SI.

Formule(s)

La loi de base de l'hydrostatique.

Force de Poussée

F_{\text{poussant}} = P \times A_{\text{piston}}

Hypothèses

On calcule la force "théorique", ce qui signifie qu'on néglige les pertes.

On néglige les forces de frottement des joints du piston et de la tige.
La pression \(P = 120 \text{ bar}\) est constante et s'applique uniformément.
Il n'y a pas de contre-pression de l'autre côté du piston (échappement libre au réservoir).

Donnée(s)

Nous avons besoin de la pression et du résultat de la question 1.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de service	P	120	bar
Section du piston (Q1)	\(A_{\text{piston}}\)	0.0050265	m²

Astuces

La conversion clé : \(1 \text{ bar} = 100 000 \text{ Pa} = 10^5 \text{ Pa}\).
Donc, \(120 \text{ bar} = 120 \times 10^5 \text{ Pa} = 12 \times 10^6 \text{ Pa}\).
Une autre astuce : \(1 \text{ MPa} = 10 \text{ bar}\). Donc \(120 \text{ bar} = 12 \text{ MPa} = 12 \times 10^6 \text{ Pa}\).

Schéma (Avant les calculs)

La pression (flèches rouges) s'exerce sur toute la surface \(A_{\text{piston}}\) (bleue) pour créer la force \(F_{\text{poussant}}\).

Action en Poussant

Calcul(s)

On convertit tout en unités SI (Pa et m²) avant de multiplier.

Étape 1 : Conversion de la Pression

\begin{aligned} P &= 120 \text{ bar} \end{aligned}

sachant que \(1 \text{ bar} = 100 000 \text{ Pa} = 10^5 \text{ N/m}^2\)

\begin{aligned} P &= 120 \times 10^5 \text{ Pa} \\ P &= 12 000 000 \text{ Pa (ou N/m}^2) \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la Force en Newtons (N)

\begin{aligned} F_{\text{poussant}} &= P \times A_{\text{piston}} \\ F_{\text{poussant}} &= (12 000 000 \text{ N/m}^2) \times (0.0050265 \text{ m}^2) \\ \Rightarrow F_{\text{poussant}} &= 60 318 \text{ N} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en kilonewtons (kN)

\begin{aligned} F_{\text{poussant}} &= 60 318 \text{ N} \end{aligned}

sachant que \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\)

\begin{aligned} F_{\text{poussant}} &= 60 318 \div 1000 \text{ kN} \\ \Rightarrow F_{\text{poussant}} &= 60.318 \text{ kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une force unique appliquée à la tige.

Résultat Force Poussant

Réflexions

Une force de 60 318 N est considérable. Pour visualiser, \(1 \text{ kg} \approx 9.81 \text{ N}\) (souvent simplifié à 10 N). Donc, ce vérin peut soulever (pousser) une masse d'environ \(60318 / 9.81 \approx 6148 \text{ kg}\), soit plus de 6 tonnes ! Cela montre la puissance de l'hydraulique.

Points de vigilance

Ne jamais, jamais multiplier des bars par des mm² ou des cm². Le résultat serait incohérent.
\(\text{Pa} \times \text{m}^2 \rightarrow \text{N}\)
\(\text{MPa} \times \text{mm}^2 \rightarrow \text{N}\) (C'est une autre astuce : \(12 \text{ MPa} \times (5026.5 \text{ mm}^2) \approx 60318 \text{ N}\)).

Points à retenir

Force = Pression \(\times\) Surface.
La force de poussée utilise la surface totale du piston \(A_{\text{piston}}\).
Conversion : \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\). \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\).

Le saviez-vous ?

La force réelle d'un vérin est toujours légèrement inférieure à la force théorique calculée. La différence est due au "rendement" du vérin (généralement 90-95%), qui prend en compte les pertes par frottement des joints d'étanchéité.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La force théorique en poussant est \(F_{\text{poussant}} \approx 60 318 \text{ N}\), soit \(60.32 \text{ kN}\).

A vous de jouer

Avec le même vérin (\(A_{\text{piston}} = 0.0050265 \text{ m}^2\)), quelle serait la force de poussée (en kN) sous 150 bar ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Force de poussée.
Formule Essentielle : \(F_{\text{poussant}} = P \times A_{\text{piston}}\).
Point de Vigilance Majeur : Unités ! \(\text{Pression (Pa)} \times \text{Surface (m}^2) = \text{Force (N)}\).

Question 4 : Déterminer la force théorique en tirant (\(F_{\text{tirant}}\)) en N puis en kN.

Principe

Nous calculons maintenant la force lorsque le vérin rentre sa tige (quand il "tire"). La logique est la même (\(F = P \times A\)), mais la surface d'application (\(A\)) est différente.

Mini-Cours

La force de traction (ou tirant) est le produit de la pression de service (\(P\)) par la section annulaireSurface du piston côté tige, calculée en soustrayant la surface de la tige de la surface totale du piston. (\(A_{\text{annulaire}}\)), car le fluide pousse sur cette surface en forme d'anneau pour faire rentrer la tige.

Remarque Pédagogique

Puisque \(A_{\text{annulaire}}\) (Q2) est plus petite que \(A_{\text{piston}}\) (Q1), la force en tirant sera nécessairement plus faible que la force en poussant, même si la pression est identique.

Normes

Utilisation des unités du Système International (Pascal, Mètre carré, Newton).

Formule(s)

Loi de l'hydrostatique appliquée à la surface annulaire.

Force de Traction

F_{\text{tirant}} = P \times A_{\text{annulaire}}

Hypothèses

Mêmes hypothèses que pour la Q3 :

On néglige les frottements.
La pression \(P = 120 \text{ bar}\) est constante.
Il n'y a pas de contre-pression côté piston.

Donnée(s)

Nous avons besoin de la pression et du résultat de la question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression de service	P	120	bar
Section annulaire (Q2)	\(A_{\text{annulaire}}\)	0.0034361	m²

Astuces

Comme la pression est la même, on peut estimer le résultat. La surface annulaire (\(34.36 \text{ cm}^2\)) est environ 2/3 de la surface piston (\(50.27 \text{ cm}^2\)). La force en tirant devrait donc être environ 2/3 de la force en poussant (\(60.32 \text{ kN}\)). 2/3 de 60 est 40. Le résultat devrait être autour de 40 kN.

Schéma (Avant les calculs)

La pression (flèches rouges) s'exerce sur la surface annulaire \(A_{\text{annulaire}}\) (bleue) pour créer la force \(F_{\text{tirant}}\).

Action en Tirant

Calcul(s)

On utilise la pression en Pascals et la surface annulaire en mètres carrés.

Étape 1 : Conversion de la Pression

\begin{aligned} P &= 120 \text{ bar} \end{aligned}

sachant que \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\)

\begin{aligned} P &= 120 \times 10^5 \text{ Pa} \\ P &= 12 000 000 \text{ Pa (ou N/m}^2) \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la Force en Newtons (N)

\begin{aligned} F_{\text{tirant}} &= P \times A_{\text{annulaire}} \\ F_{\text{tirant}} &= (12 000 000 \text{ N/m}^2) \times (0.0034361 \text{ m}^2) \\ \Rightarrow F_{\text{tirant}} &= 41 233.2 \text{ N} \end{aligned}

Étape 3 : Conversion en kilonewtons (kN)

\begin{aligned} F_{\text{tirant}} &= 41 233.2 \text{ N} \end{aligned}

sachant que \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\)

\begin{aligned} F_{\text{tirant}} &= 41 233.2 \div 1000 \text{ kN} \\ \Rightarrow F_{\text{tirant}} &= 41.2332 \text{ kN} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une force de traction appliquée à la tige.

Résultat Force Tirant

Réflexions

Comme prévu (\(41.23 \text{ kN}\)), la force de traction est bien inférieure à la force de poussée (\(60.32 \text{ kN}\)). Le vérin est "différentiel" : il pousse plus fort qu'il ne tire. Notre estimation (autour de 40 kN) était correcte.

Points de vigilance

L'erreur principale serait d'utiliser \(A_{\text{piston}}\) au lieu de \(A_{\text{annulaire}}\). Le vérin est "double-effet" (il peut être alimenté dans les deux sens), mais il est "différentiel" (les forces ne sont pas égales).

Points à retenir

La force de traction (rentrée de tige) utilise la surface annulaire \(A_{\text{annulaire}}\).
Formule : \(F_{\text{tirant}} = P \times A_{\text{annulaire}}\).
\(F_{\text{tirant}} < F_{\text{poussant}}\) pour un vérin différentiel.

Le saviez-vous ?

Sur une pelleteuse, le vérin du "balancier" (le bras principal) est souvent monté de manière à ce que l'effort de levage (le plus important) se fasse en "tirant" et non en "poussant". Le constructeur choisit un vérin dont la section annulaire est optimisée pour cet effort, même si c'est contraire à l'intuition.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La force théorique en tirant est \(F_{\text{tirant}} \approx 41 233 \text{ N}\), soit \(41.23 \text{ kN}\).

A vous de jouer

Avec le même vérin (\(A_{\text{annulaire}} = 0.0034361 \text{ m}^2\)), quelle serait la force de traction (en kN) sous 150 bar ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Force de traction.
Formule Essentielle : \(F_{\text{tirant}} = P \times A_{\text{annulaire}}\).
Point de Vigilance Majeur : Utiliser la bonne surface (l'annulaire !).

Question 5 : Calculer le rapport des vitesses (vitesse en traction / vitesse en poussée) pour un débit constant.

Principe

En hydraulique, la force est liée à la pression (\(F=P \times A\)), mais la vitesse est liée au débit (\(Q = A \times v\)). Puisque le débit \(Q\) (le volume d'huile envoyé par la pompe par seconde) est constant, la vitesse (\(v\)) doit changer si la section (\(A\)) change.

Mini-Cours

La formule du débit est \(Q = A \times v\), où \(Q\) est le débit (en m³/s), \(A\) la surface (en m²) et \(v\) la vitesse (en m/s).
On peut l'isoler : \(v = Q / A\).

Vitesse en poussant : \(v_{\text{poussant}} = Q / A_{\text{piston}}\)
Vitesse en tirant : \(v_{\text{tirant}} = Q / A_{\text{annulaire}}\)

Remarque Pédagogique

Puisque la section annulaire (\(A_{\text{annulaire}}\)) est plus petite, le même volume d'huile (\(Q\)) la remplit "plus vite". Par conséquent, le vérin rentre (tire) plus rapidement qu'il ne sort (pousse). C'est l'inverse des forces !

Normes

C'est le principe de la conservation du débit (ou conservation de la masse) appliqué aux fluides incompressibles, une base de la mécanique des fluides.

Formule(s)

La formule du rapport de vitesse.

Rapport des Vitesses

\frac{v_{\text{tirant}}}{v_{\text{poussant}}} = \frac{Q / A_{\text{annulaire}}}{Q / A_{\text{piston}}} = \frac{Q}{A_{\text{annulaire}}} \times \frac{A_{\text{piston}}}{Q} = \frac{A_{\text{piston}}}{A_{\text{annulaire}}}

Hypothèses

Le débit \(Q\) fourni par la pompe est identique dans les deux sens d'alimentation.

Le fluide (huile) est incompressible.

Donnée(s)

Nous n'avons pas besoin du débit (il s'annule), juste des résultats des Q1 et Q2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Section piston (Q1)	\(A_{\text{piston}}\)	0.0050265	m²
Section annulaire (Q2)	\(A_{\text{annulaire}}\)	0.0034361	m²

Astuces

Notez l'inversion : le rapport des vitesses (\(A_{\text{piston}} / A_{\text{annulaire}}\)) est l'inverse du rapport des forces (\(F_{\text{tirant}} / F_{\text{poussant}} = A_{\text{annulaire}} / A_{\text{piston}}\)). C'est un principe fondamental : ce qu'on gagne en force, on le perd en vitesse (et vice-versa).

Schéma (Avant les calculs)

On compare le "remplissage" des deux chambres pour un même débit \(Q\).

Vitesse vs Section (Débit Q constant)

Calcul(s)

On divise la grande surface par la petite pour trouver le rapport \(v_{\text{tirant}} / v_{\text{poussant}}\).

Étape 1 : Poser le rapport

\text{Rapport} = \frac{v_{\text{tirant}}}{v_{\text{poussant}}} = \frac{A_{\text{piston}}}{A_{\text{annulaire}}}

Étape 2 : Calcul du rapport (sans unité)

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{A_{\text{piston}}}{A_{\text{annulaire}}} \\ \text{Rapport} &= \frac{0.0050265 \text{ m}^2}{0.0034361 \text{ m}^2} \\ \Rightarrow \text{Rapport} &\approx 1.463 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un nombre sans unité (un ratio).

Réflexions

Un rapport de 1.463 signifie que le vérin rentre (traction) 1.46 fois plus vite qu'il ne sort (poussée). C'est la conséquence directe du fait qu'il est "différentiel". Cette différence de vitesse est cruciale pour le dimensionnement des cycles de machine.

Points de vigilance

Ne pas inverser le rapport. On demande \(v_{\text{tirant}} / v_{\text{poussant}}\). Puisque \(v_{\text{tirant}}\) est plus rapide (car \(A_{\text{annulaire}}\) est plus petite), le rapport doit être supérieur à 1. Si vous trouvez 0.68 (l'inverse), c'est que vous avez calculé \(v_{\text{poussant}} / v_{\text{tirant}}\).

Points à retenir

La vitesse est inversement proportionnelle à la section (\(v = Q / A\)).
Petite section = Grande vitesse.
Rapport de vitesse (Traction/Poussée) = \(A_{\text{piston}} / A_{\text{annulaire}}\).
Rapport de force (Traction/Poussée) = \(A_{\text{annulaire}} / A_{\text{piston}}\).

Le saviez-vous ?

Certains systèmes hydrauliques (appelés "montage régénération") réinjectent l'huile sortant de la chambre annulaire dans la chambre piston lors de la sortie de tige. Cela augmente la vitesse de sortie (mais réduit la force), permettant des mouvements rapides "à vide".

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La vitesse en traction est 1.46 fois supérieure à la vitesse en poussée. (Rapport \(v_{\text{tirant}} / v_{\text{poussant}} \approx 1.46\)).

A vous de jouer

Si \(D=100 \text{ mm}\) (\(A_p \approx 78.54 \text{ cm}^2\)) et \(d=50 \text{ mm}\) (\(A_a \approx 58.90 \text{ cm}^2\)), quel serait le rapport de vitesse \(v_{\text{tirant}} / v_{\text{poussant}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Vitesse inversement proportionnelle à la section.
Formule Essentielle : \(\frac{v_{\text{tirant}}}{v_{\text{poussant}}} = \frac{A_{\text{piston}}}{A_{\text{annulaire}}}\).
Point de Vigilance Majeur : Le rapport des vitesses est l'inverse du rapport des forces.

Outil Interactif : Simulateur de Force

Utilisez les curseurs pour faire varier la pression et le diamètre du piston, et observez l'impact direct sur les forces de poussée et de traction. (Le diamètre de tige est fixe à 45 mm pour ce simulateur).

Paramètres d'Entrée

Pression de service (P) (bar) 120 bar

Diamètre Piston (D) (mm) 80 mm

Résultats Clés (pour tige d=45mm)

Force Poussant (kN) -

Force Tirant (kN) -

Glossaire

Vérin Différentiel: Vérin double-effet où la surface du piston côté fond (poussée) est différente de la surface côté tige (traction), car la tige occupe une partie de la surface.
Oléohydraulique: Technique de transmission de puissance utilisant un liquide sous pression, généralement de l'huile (du latin "oleum" = huile).
Pression (bar / Pa): Force exercée par un fluide sur une surface. \(1 \text{ bar} = 100 000 \text{ Pascals (Pa)}\). Le Pascal (\(1 \text{ N/m}^2\)) est l'unité officielle du Système International.
Section Annulaire: Surface du piston côté tige, ayant la forme d'un anneau. Calculée par \(A_{\text{piston}} - A_{\text{tige}}\).
Actionneur: Composant qui transforme une énergie (électrique, hydraulique, pneumatique) en mouvement mécanique. Le vérin est un actionneur hydraulique linéaire.