Calcul de la Force d'un Vérin Différentiel

Comprendre le Vérin Différentiel

Le vérin différentiel est l'actionneur le plus courant en oléohydraulique. Il transforme l'énergie hydraulique (pression, débit) en énergie mécanique (force, vitesse). Il est dit "différentiel" car la surface du piston sur laquelle la pression agit n'est pas la même lors de la sortie de tige (poussée) et de la rentrée de tige (traction). La présence de la tige réduit la surface active côté piston, ce qui entraîne une force de traction inférieure à la force de poussée pour une même pression, et une vitesse de rentrée supérieure à la vitesse de sortie pour un même débit.

Données de l'étude

On analyse un vérin hydraulique différentiel double effet.

Caractéristiques du vérin et du circuit :

Diamètre du piston (alésage) (\(D\)) : \(80 \, \text{mm}\)
Diamètre de la tige (\(d\)) : \(45 \, \text{mm}\)
Pression d'alimentation (\(P\)) : \(150 \, \text{bar}\)

Hypothèse : On néglige les frottements et les pertes de charge. Les forces calculées sont donc théoriques.

Schéma : Vérin Différentiel et Surfaces Actives

Questions à traiter

Calculer la surface totale du piston (\(S_{\text{piston}}\)) soumise à la pression lors de la poussée.
Calculer la surface annulaire (\(S_{\text{annulaire}}\)) soumise à la pression lors de la traction.
Calculer la force théorique en poussant (\(F_{\text{poussée}}\)).
Calculer la force théorique en tirant (\(F_{\text{traction}}\)).

Correction : Calcul de la Force d'un Vérin Différentiel

Question 1 : Calcul de la Surface du Piston (\(S_{\text{piston}}\))

Principe :

La surface active lors de la sortie de tige (poussée) est la surface totale du disque formé par le piston. Elle est calculée à partir du diamètre du piston (ou alésage du vérin), D.

Formule(s) utilisée(s) :

S_{\text{piston}} = \frac{\pi \cdot D^2}{4}

Données et Conversion :

Diamètre du piston (\(D\)) : \(80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} S_{\text{piston}} &= \frac{\pi \times (0.08 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.0064}{4} \\ &\approx 0.005026 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Résultat Question 1 : La surface du piston est \(S_{\text{piston}} \approx 0.005026 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Calcul de la Surface Annulaire (\(S_{\text{annulaire}}\))

Principe :

Lors de la rentrée de tige (traction), la pression s'exerce sur la surface du piston de laquelle il faut soustraire la surface occupée par la tige. Cette surface active a la forme d'un anneau (ou d'une couronne).

Formule(s) utilisée(s) :

S_{\text{annulaire}} = S_{\text{piston}} - S_{\text{tige}} = \frac{\pi \cdot (D^2 - d^2)}{4}

Données et Conversion :

Diamètre du piston (\(D\)) : \(80 \, \text{mm} = 0.08 \, \text{m}\)
Diamètre de la tige (\(d\)) : \(45 \, \text{mm} = 0.045 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} S_{\text{annulaire}} &= \frac{\pi \times ((0.08)^2 - (0.045)^2)}{4} \\ &= \frac{\pi \times (0.0064 - 0.002025)}{4} \\ &= \frac{\pi \times 0.004375}{4} \\ &\approx 0.003436 \, \text{m}^2 \end{aligned}

Résultat Question 2 : La surface annulaire est \(S_{\text{annulaire}} \approx 0.003436 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Calcul de la Force Théorique en Poussant (\(F_{\text{poussée}}\))

Principe :

La force est le produit de la pression par la surface sur laquelle elle s'applique. Pour la poussée, on utilise la surface totale du piston. Il est crucial d'utiliser des unités cohérentes (Pascals pour la pression et m² pour la surface) pour obtenir une force en Newtons.

Formule(s) utilisée(s) :

F = P \cdot S

Données et Conversion :

Pression (\(P\)) : \(150 \, \text{bar} = 150 \times 10^5 \, \text{Pa} \, (\text{N/m}^2)\)
Surface piston (\(S_{\text{piston}}\)) : \(\approx 0.005026 \, \text{m}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} F_{\text{poussée}} &= (150 \times 10^5) \, \text{N/m}^2 \times 0.005026 \, \text{m}^2 \\ &= 753900 \, \text{N} \\ &\approx 753.9 \, \text{kN} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La force théorique en poussant est \(F_{\text{poussée}} \approx 753.9 \, \text{kN}\).

Question 4 : Calcul de la Force Théorique en Tirant (\(F_{\text{traction}}\))

Principe :

De même que pour la poussée, la force de traction est le produit de la pression par la surface active. Cette fois, on utilise la surface annulaire, qui est plus petite.

Formule(s) utilisée(s) :

F = P \cdot S

Données et Conversion :

Pression (\(P\)) : \(150 \, \text{bar} = 150 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
Surface annulaire (\(S_{\text{annulaire}}\)) : \(\approx 0.003436 \, \text{m}^2\)