Calcul de la Cylindrée d'une Pompe à Engrenages

Contexte : L'Hydraulique de PuissanceBranche de l'ingénierie qui étudie la transmission de puissance via des fluides sous pression (généralement de l'huile)..

Les pompes à engrenages externes sont des composants fondamentaux en oléohydraulique. Elles convertissent une énergie mécanique (rotation d'un moteur) en énergie hydraulique (un débit d'huile sous pression). La caractéristique principale d'une pompe est sa cylindréeLe volume de fluide que la pompe déplace (théoriquement) à chaque tour complet de son arbre d'entraînement. Généralement mesurée en cm³/tr.. Cet exercice vise à calculer cette cylindrée à partir des caractéristiques géométriques des pignons.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la cylindrée, un paramètre fondamental permettant ensuite de déterminer le débit théorique de la pompe et de sélectionner le composant adéquat pour un circuit hydraulique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation entre la géométrie des pignons (module, dents) et la cylindrée.
Maîtriser les formules de calcul des diamètres (primitif, tête) d'un engrenage.
Calculer la cylindrée d'une pompe à engrenages à partir d'une formule approchée.
Savoir convertir la cylindrée (cm³/tr) en débit théorique (L/min) en fonction de la vitesse.

Données de l'étude

Une pompe à engrenages externes est constituée de deux pignons identiques. Nous devons déterminer sa cylindrée exacte à partir de leurs caractéristiques.

Données Géométriques des Pignons

Caractéristique	Symbole	Valeur
Nombre de dents (par pignon)	\(Z\)	12
Module	\(m\)	3 mm
Largeur des pignons	\(b\)	25 mm

Schéma de principe d'une pompe à engrenages externes

Questions à traiter

Calculer le diamètre primitif (\(d_p\)) des pignons (en mm).
Calculer le diamètre de tête (\(d_a\)) des pignons (en mm).
Calculer la cylindrée (\(V_{cyl}\)) de la pompe (en cm³) en utilisant la formule approchée : \( V_{cyl} \approx \frac{\pi}{2} \cdot b \cdot (d_a^2 - d_p^2) \).
Si la pompe tourne à une vitesse \(N = 1500 \text{ tr/min}\), quel est son débit théorique (\(Q_{th}\)) en L/min ?
Discutez brièvement de la différence entre le débit théorique et le débit réel d'une pompe.

Les bases sur les Pompes à Engrenages

Une pompe à engrenages externes génère un débit en piégeant un volume de fluide (huile) dans les creux des dents de deux pignons en rotation. Ce fluide est transporté de l'orifice d'aspiration vers l'orifice de refoulement, où l'engrènement des dents force le fluide à sortir dans le circuit.

1. Géométrie du Pignon (Module et Diamètres)
En mécanique, un engrenage est défini par son moduleRapport du diamètre primitif au nombre de dents. C'est une caractéristique clé qui doit être identique pour que deux pignons s'engrènent. (\(m\)) et son nombre de dents (\(Z\)). Ces deux valeurs permettent de calculer tous les autres diamètres :

Diamètre Primitif (\(d_p\)): Le diamètre de référence de l'engrènement.
Diamètre de Tête (\(d_a\)): Le diamètre extérieur du pignon.

\[ d_p = m \cdot Z \] \[ d_a = m \cdot (Z + 2) \]

2. Cylindrée et Débit
La cylindréeVolume de fluide déplacé par tour (cm³/tr). (\(V_{cyl}\)) est le volume de fluide déplacé par tour. Le débit théoriqueVolume de fluide déplacé par unité de temps (L/min). (\(Q_{th}\)) dépend de la cylindrée et de la vitesse de rotation (\(N\)) : \[ Q_{th} = V_{cyl} \cdot N \] Attention aux unités : si \(V_{cyl}\) est en cm³/tr et \(N\) en tr/min, \(Q_{th}\) sera en cm³/min. (Rappel : 1 L = 1000 cm³).

Correction : Calcul de la Cylindrée d’une Pompe à Engrenages

Question 1 : Calculer le diamètre primitif (\(d_p\)) des pignons (en mm).

Principe

Le diamètre primitif (\(d_p\)) est le diamètre théorique sur lequel les deux pignons roulent l'un sur l'autre sans glissement. C'est une dimension de base pour tous les calculs d'engrenages.

Mini-Cours

Le diamètre primitif est directement proportionnel au module (\(m\)) et au nombre de dents (\(Z\)). La formule est l'une des plus fondamentales en conception d'engrenages.

Remarque Pédagogique

Comprendre le diamètre primitif est la première étape indispensable avant de pouvoir calculer le diamètre extérieur (de tête) ou la cylindrée.

Normes

Le calcul des engrenages est standardisé (par ex. ISO). La définition du diamètre primitif \(d_p = m \cdot Z\) est universelle dans le système métrique.

Formule(s)

La formule de base est :

d_p = m \cdot Z

Hypothèses

Nous utilisons les définitions standard des engrenages à développante de cercle, sans déport de denture.

Donnée(s)

D'après l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Module	\(m\)	3	mm
Nombre de dents	\(Z\)	12	-

Astuces

Le module (\(m\)) est toujours donné en millimètres (mm) dans le système métrique standard. Le résultat pour \(d_p\) sera donc naturellement en mm.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'un pignon où l'on cherche à identifier le cercle primitif.

Schéma du Pignon

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

On applique la formule \(d_p = m \cdot Z\). On remplace \(m\) par sa valeur (3 mm) et \(Z\) par sa valeur (12).

\begin{aligned} d_p &= m \cdot Z \\ d_p &= (3 \text{ mm}) \cdot (12) \\ d_p &= 36 \text{ mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul définit le cercle de contact théorique entre les pignons.

Visualisation du Diamètre Primitif (\(d_p\))

Réflexions

Le diamètre primitif de 36 mm est une dimension fondamentale. L'entraxe (distance entre les axes des deux pignons) sera égal au rayon primitif du pignon 1 + rayon primitif du pignon 2, soit \( (36/2) + (36/2) = 36 \text{ mm} \).

Points de vigilance

Ne pas confondre le module (\(m\)) et le nombre de dents (\(Z\)). Le module est une longueur (mm), le nombre de dents est sans dimension.

Points à retenir

La formule la plus importante pour démarrer : \(d_p = m \cdot Z\).

Le saviez-vous ?

Le "module" est une invention pour simplifier la fabrication. En standardisant les modules (m=1, 1.5, 2, 2.5, 3...), les fabricants d'outils de coupe n'ont besoin de créer qu'un jeu d'outils par module, réutilisable pour tous les nombres de dents.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le diamètre primitif (\(d_p\)) est de 36 mm.

A vous de jouer

Que se passerait-il si le pignon avait 15 dents (Z=15) avec le même module ? (Réponse en mm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Formule : \(d_p = m \cdot Z\)
Calcul : \(3 \text{ mm} \cdot 12 = 36 \text{ mm}\)

Question 2 : Calculer le diamètre de tête (\(d_a\)) des pignons (en mm).

Principe

Le diamètre de tête (\(d_a\)) est le diamètre extérieur total du pignon, c'est-à-dire la distance maximale entre les sommets de deux dents opposées. Il est crucial car il définit la limite extérieure du volume de fluide qui sera piégé entre les dents et le corps de la pompe.

Mini-Cours

Le diamètre de tête (\(d_a\)) est lié au diamètre primitif (\(d_p\)) et au module (\(m\)). La partie de la dent au-dessus du cercle primitif s'appelle la "saillie" (symbole \(h_a\)), et pour un engrenage standard, la saillie est égale à un module (\(h_a = 1 \cdot m\)). Comme le diamètre de tête inclut une saillie de chaque côté du diamètre primitif, on a : \(d_a = d_p + 2 \cdot h_a = d_p + 2 \cdot m\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est la deuxième clé du calcul. Nous avons besoin de \(d_a\) et \(d_p\) pour définir l'"anneau" de fluide qui sera utilisé pour calculer la cylindrée à la question suivante.

Normes

La formule \(d_a = m \cdot (Z + 2)\) est la définition standard pour un engrenage à denture droite non corrigé, selon les normes ISO.

Formule(s)

La formule standard pour un engrenage non modifié est :

d_a = m \cdot (Z + 2)

Formule de vérification (via \(d_p\))

\[ d_a = d_p + 2m \]

Hypothèses

Nous supposons un engrenage standard à développante de cercle, sans déport de denture (correction de profil).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la Q1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Module	\(m\)	3	mm
Nombre de dents	\(Z\)	12	-
Diamètre primitif (Q1)	\(d_p\)	36	mm

Astuces

Le "+2" dans la formule \(m \cdot (Z + 2)\) est facile à retenir : il représente les "2 saillies" (une en haut, une en bas) de "1 module" chacune, ajoutées au diamètre primitif (\(m \cdot Z\)). L'utilisation de \(d_a = d_p + 2m\) est une excellente vérification rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Nous reprenons notre schéma de pignon et cherchons maintenant son diamètre extérieur (\(d_a\)).

Schéma du Pignon

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule principale

On applique la formule \(d_a = m \cdot (Z + 2)\). On remplace \(m\) par 3 mm et \(Z\) par 12.

\begin{aligned} d_a &= m \cdot (Z + 2) \\ d_a &= (3 \text{ mm}) \cdot (12 + 2) \\ d_a &= 3 \text{ mm} \cdot (14) \\ d_a &= 42 \text{ mm} \end{aligned}

Étape 2 : Vérification (recommandée)

On utilise la deuxième formule \(d_a = d_p + 2m\). On remplace \(d_p\) par le résultat de la Q1 (36 mm) et \(m\) par 3 mm.

\begin{aligned} d_a &= d_p + 2m \\ d_a &= (36 \text{ mm}) + 2 \cdot (3 \text{ mm}) \\ d_a &= 36 \text{ mm} + 6 \text{ mm} \\ d_a &= 42 \text{ mm} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des deux diamètres, \(d_p\) (primitif) et \(d_a\) (tête).

Diamètres Primitif et de Tête

Réflexions

Le diamètre de tête est physiquement le diamètre extérieur du pignon. C'est cette dimension qui sera utilisée par le fabricant pour usiner la pièce. Il définit également le jeu minimal entre le pignon et le corps de pompe.

Points de vigilance

Ne pas confondre le diamètre de tête (\(d_a = m(Z+2)\)) avec le diamètre de pied (\(d_f = m(Z-2.5)\)), qui est le diamètre au fond des dents.

Points à retenir

La formule du diamètre de tête \(d_a = m \cdot (Z + 2)\) est fondamentale pour les engrenages standards.

Le saviez-vous ?

Le diamètre de tête est usiné avec une tolérance très précise. Le corps de la pompe est alésé à un diamètre légèrement *supérieur* (ex: 42.1 mm). Ce jeu minime, de l'ordre de quelques centièmes de millimètre, est essentiel : s'il est trop grand, les fuites augmentent ; s'il est inexistant, la pompe se bloque par dilatation !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le diamètre de tête (\(d_a\)) est de 42 mm.

A vous de jouer

Que vaudrait \(d_a\) si Z=15 et m=3 mm ? (Réponse en mm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Formule : \(d_a = m \cdot (Z + 2)\)
Calcul : \(3 \text{ mm} \cdot (12 + 2) = 42 \text{ mm}\)

Question 3 : Calculer la cylindrée (\(V_{cyl}\)) en cm³.

Principe

La cylindrée est le volume de fluide transféré en un tour. Cette formule approchée calcule le volume d'un "anneau creux" (défini par \(d_a\) et \(d_p\)) multiplié par la largeur (\(b\)). Le facteur \(\pi/2\) vient de \(\pi/4 \times 2\), car il y a deux pignons qui créent ce volume (aire de l'anneau \(\times\) largeur).

Mini-Cours

Le volume de fluide n'est pas piégé au centre (où les dents s'engrènent) mais transporté par l'extérieur, dans l'espace entre le corps de pompe et les pignons. La formule suppose que ce volume correspond à l'espace annulaire entre le diamètre de tête et le diamètre primitif.

Remarque Pédagogique

C'est le calcul central de cet exercice. Il combine toutes les dimensions géométriques (\(d_a\), \(d_p\), \(b\)) pour trouver la caractéristique la plus importante de la pompe : son volume par tour.

Normes

Il n'y a pas de "norme" pour cette formule, c'est une approximation géométrique couramment utilisée en hydraulique pour une estimation rapide et fiable.

Formule(s)

Formule approchée fournie dans l'énoncé :

V_{cyl} \approx \frac{\pi}{2} \cdot b \cdot (d_a^2 - d_p^2)

Hypothèses

Ceci est une formule approchée. Les formules plus précises prendraient en compte le volume exact des creux de dents, mais celle-ci est largement suffisante pour un prédimensionnement.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats et données :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de tête	\(d_a\)	42	mm
Diamètre primitif	\(d_p\)	36	mm
Largeur pignon	\(b\)	25	mm

Astuces

Convertissez tout en cm dès le début :
\(d_a = 4.2 \text{ cm}\)
\(d_p = 3.6 \text{ cm}\)
\(b = 2.5 \text{ cm}\).
Le calcul devient beaucoup plus simple et le résultat est directement en cm³.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons le volume de l'anneau bleu, multiplié par la largeur (b).

Aire de calcul (vue de face)

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités en cm

La formule utilise des multiplications de longueurs (\(b \cdot d^2\)). Pour obtenir un volume en cm³, toutes nos longueurs doivent être en cm avant le calcul. (Rappel : 10 mm = 1 cm).

\begin{aligned} d_p &= 36 \text{ mm} \rightarrow 3.6 \text{ cm} \\ d_a &= 42 \text{ mm} \rightarrow 4.2 \text{ cm} \\ b &= 25 \text{ mm} \rightarrow 2.5 \text{ cm} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la différence des carrés

Nous calculons le terme \((d_a^2 - d_p^2)\) en premier, en utilisant nos valeurs en cm.

\begin{aligned} (d_a^2 - d_p^2) &= (4.2 \text{ cm})^2 - (3.6 \text{ cm})^2 \\ &= (17.64 \text{ cm}^2) - (12.96 \text{ cm}^2) \\ &= 4.68 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul final de la cylindrée

On insère toutes les valeurs (en cm) dans la formule principale. On utilise \(\pi \approx 3.14159\), donc \(\pi/2 \approx 1.5708\).

\begin{aligned} V_{cyl} &\approx \frac{\pi}{2} \cdot b \cdot (d_a^2 - d_p^2) \\ V_{cyl} &\approx (1.5708) \cdot (2.5 \text{ cm}) \cdot (4.68 \text{ cm}^2) \\ V_{cyl} &\approx (3.927) \cdot (4.68 \text{ cm}^2) \\ V_{cyl} &\approx 18.379... \text{ cm}^3 \end{aligned}

On arrondit le résultat final.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un volume.

Résultat : Volume par Tour

Réflexions

La cylindrée est d'environ 18.4 cm³/tr. Cela signifie qu'à chaque tour complet de l'arbre moteur, la pompe déplace (théoriquement) 18.4 cm³ d'huile. C'est la caractéristique "carte d'identité" de la pompe.

Points de vigilance

Attention critique aux unités ! La question demande un résultat en cm³. Les données sont en mm. Il est essentiel de convertir les longueurs (mm) en centimètres (cm) avant de les élever au carré pour éviter des erreurs d'un facteur 1000.

Points à retenir

La conversion des unités (mm en cm) est l'étape la plus critique.
La cylindrée dépend de la largeur (\(b\)) et de l'écart au carré des diamètres (\(d_a^2 - d_p^2\)).

Le saviez-vous ?

Le volume exact piégé n'est pas l'anneau, mais le volume du *creux* d'une dent, multiplié par le nombre de dents. Le calcul de l'aire exacte d'un creux de dent à développante de cercle est mathématiquement très complexe. C'est pourquoi les ingénieurs utilisent ces formules approchées, qui donnent une précision de l'ordre de 95-98%.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

La cylindrée (\(V_{cyl}\)) est d'environ 18.38 cm³/tr.

A vous de jouer

Si la largeur (\(b\)) était de 30 mm (3 cm), que vaudrait la cylindrée (en cm³) ? (Gardez \(d_a\) et \(d_p\) identiques).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Point Clé : Convertir en cm AVANT le calcul.
Formule : \(V_{cyl} \approx \frac{\pi}{2} \cdot b \cdot (d_a^2 - d_p^2)\)
Calcul : \(1.5708 \cdot 2.5 \cdot (4.2^2 - 3.6^2) \approx 18.38 \text{ cm}^3\)

Question 4 : Calculer le débit théorique (\(Q_{th}\)) à 1500 tr/min.

Principe

Le débit théorique (\(Q_{th}\)) est le volume total que la pompe peut déplacer par unité de temps (ici, par minute). On l'obtient simplement en multipliant le volume déplacé par tour (la cylindrée, \(V_{cyl}\)) par le nombre de tours effectués en une minute (la vitesse, \(N\)).

Mini-Cours

Le débit théorique est une caractéristique de fonctionnement, pas une caractéristique de construction. Il est directement proportionnel à la vitesse de rotation. Si la vitesse double, le débit théorique double. Si la vitesse est nulle, le débit est nul.

Remarque Pédagogique

C'est la conséquence pratique de la cylindrée. Un client ne demande pas une "pompe de 18.38 cm³", il demande une "pompe qui fournit X L/min à Y tr/min". Ce calcul fait le lien entre la géométrie de la pompe et sa performance en fonctionnement.

Normes

La relation \(Q_{th} = V_{cyl} \cdot N\) est une définition de base en mécanique des fluides et en hydraulique.

Formule(s)

Q_{th} = V_{cyl} \cdot N

Hypothèses

Ce calcul est "théorique" car il suppose qu'il n'y a absolutely aucune fuite interne dans la pompe (rendement volumétrique de 100%).

Donnée(s)

Données nécessaires pour ce calcul :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Cylindrée (Q3)	\(V_{cyl}\)	18.38	cm³/tr
Vitesse de rotation	\(N\)	1500	tr/min

Points de vigilance

Encore une fois, les unités sont primordiales. Le calcul \(V_{cyl} \cdot N\) donnera un résultat en cm³/min. La question demande un résultat en L/min (Litres par minute). N'oubliez pas la conversion : 1 L = 1000 cm³.

Astuces

Pour passer de \(V_{cyl}\) (cm³/tr) et \(N\) (tr/min) à \(Q_{th}\) (L/min), vous pouvez utiliser la formule directe : \[ Q_{th} \text{ [L/min]} = \frac{V_{cyl} \text{ [cm³/tr]} \cdot N \text{ [tr/min]}}{1000} \]

Schéma (Avant les calculs)

On imagine la pompe tournant à 1500 tr/min et on cherche le débit en sortie.

Pompe en Rotation

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du débit en cm³/min

On applique la formule \(Q_{th} = V_{cyl} \cdot N\). On remplace \(V_{cyl}\) par le résultat de la Q3 (18.38 cm³/tr) et \(N\) par la vitesse donnée (1500 tr/min).

\begin{aligned} Q_{th} &= V_{cyl} \cdot N \\ Q_{th} &= (18.38 \text{ cm}^3/\text{tr}) \cdot (1500 \text{ tr/min}) \\ Q_{th} &= 27570 \text{ cm}^3/\text{min} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion en L/min

Le résultat est en cm³/min. Pour le convertir en L/min, on utilise le fait que 1 Litre = 1000 cm³. On doit donc diviser notre résultat par 1000.

\begin{aligned} Q_{th} \text{ [L/min]} &= \frac{Q_{th} \text{ [cm}^3/\text{min]}}{1000 \text{ cm}^3/\text{L}} \\ Q_{th} &= \frac{27570}{1000} \\ Q_{th} &= 27.57 \text{ L/min} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le débit est le fluide sortant de la pompe.

Visualisation du Débit

Réflexions

Un débit de 27.5 L/min est un débit courant pour de petites applications mobiles (par ex. une fendeuse à bois, un petit chargeur). C'est ce débit, combiné à la pression, qui définira la puissance hydraulique fournie.

Points de vigilance

Ne jamais utiliser le débit théorique pour des calculs de performance réels (vitesse d'actionneur) sans appliquer un rendement volumétrique. Le rendement \(\eta_v\) n'est pas constant : il diminue si la pression augmente (plus de fuites) ou si la pompe s'use.

Points à retenir

Le débit est proportionnel à la vitesse.
Ne pas oublier la conversion \( \text{cm}^3/\text{min} \rightarrow \text{L/min} \) en divisant par 1000.

Le saviez-vous ?

Les moteurs de Formule 1 tournent à plus de 15 000 tr/min. Les pompes hydrauliques industrielles tournent rarement au-delà de 3000 tr/min, la vitesse la plus courante étant 1500 tr/min (vitesse de synchronisme d'un moteur électrique standard).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le débit théorique (\(Q_{th}\)) à 1500 tr/min est de 27.57 L/min.

A vous de jouer

Quel serait le débit (en L/min) si la pompe tournait à 2000 tr/min ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Formule : \(Q_{th} = V_{cyl} \cdot N\)
Calcul : \(18.38 \cdot 1500 = 27570 \text{ cm}^3/\text{min}\)
Conversion : \(27570 / 1000 = 27.57 \text{ L/min}\)

Question 5 : Discuter débit théorique vs. réel.

Principe

Le débit "théorique" (\(Q_{th}\)) est un calcul mathématique idéal, comme si la pompe était une machine parfaite. Le débit "réel" (\(Q_{reel}\)) est ce que l'on mesure physiquement à la sortie de la pompe. Il est toujours inférieur au débit théorique.

Mini-Cours

La différence entre \(Q_{th}\) et \(Q_{reel}\) est due aux fuites internes. Dans une pompe, le fluide est transporté d'une zone de basse pression (aspiration) à une zone de haute pression (refoulement). Naturellement, une partie de ce fluide sous pression va chercher à retourner à l'aspiration en passant par les faibles espaces (jeux) existants :

Entre les sommets des dents et le corps de pompe.
Entre les flancs des dents et les flasques (parois latérales).

Ces fuites sont inévitables et augmentent avec la pression de service et l'usure de la pompe.

Remarque Pédagogique

C'est la différence entre la théorie et la réalité. Un bon ingénieur doit toujours prendre en compte les rendements pour dimensionner un système qui fonctionne dans le monde réel, pas seulement sur le papier.

Normes

Les normes (ex: ISO 4409) définissent comment tester une pompe pour mesurer son débit réel et calculer son rendement volumétrique.

Formule(s)

On définit le Rendement Volumétrique (\(\eta_v\)) pour quantifier ces fuites. C'est le rapport entre le réel et le théorique.

\eta_v = \frac{Q_{reel}}{Q_{th}}

Par conséquent, le débit réel est :

Q_{reel} = Q_{th} \cdot \eta_v

Hypothèses

Le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) n'est pas une constante. Il dépend de la pression, de la température (viscosité de l'huile) et de la vitesse de rotation. Pour cet exercice, nous supposons un \(\eta_v\) moyen.

Donnée(s)

Pour une pompe à engrenages neuve, un rendement volumétrique typique à pression nominale est \(\eta_v \approx 0.90 \text{ à } 0.95\) (soit 90% à 95%).

Astuces

Une pompe usée aura un rendement volumétrique plus faible (ex: 80% ou moins), car les jeux internes ont augmenté, facilitant les fuites.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des fuites internes. Le débit théorique entre, mais seul le débit réel sort, le reste est perdu en fuites.

Débit Théorique vs. Réel

Calcul(s)

Cette question est conceptuelle, mais on peut l'illustrer par un calcul. Utilisons notre débit théorique (\(Q_{th} = 27.57 \text{ L/min}\)) et supposons un rendement volumétrique réaliste de 92% (\(\eta_v = 0.92\)).

Étape 1 : Calcul du débit réel

On applique la formule \(Q_{reel} = Q_{th} \cdot \eta_v\).

\begin{aligned} Q_{reel} &= Q_{th} \cdot \eta_v \\ Q_{reel} &= (27.57 \text{ L/min}) \cdot (0.92) \\ Q_{reel} &\approx 25.36 \text{ L/min} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la perte (débit de fuite)

Le débit de fuite est la différence entre le théorique et le réel.

\begin{aligned} Q_{fuite} &= Q_{th} - Q_{reel} \\ Q_{fuite} &= 27.57 \text{ L/min} - 25.36 \text{ L/min} \\ Q_{fuite} &= 2.21 \text{ L/min} \end{aligned}

Cela montre que 2.21 L/min de fluide ne "travaillent" pas et retournent à l'aspiration à cause des jeux internes.

Schéma (Après les calculs)

Un diagramme en barres montre clairement la différence et la perte.

Comparaison Débit Théorique vs. Réel

Réflexions

Cette différence est cruciale. Si un ingénieur a besoin de 27 L/min pour faire bouger un vérin à une certaine vitesse, il ne peut pas choisir cette pompe en se basant sur son débit théorique. Il doit utiliser le débit réel (ex: 25.36 L/min) pour son dimensionnement, sinon le vérin n'ira pas assez vite.

Points de vigilance

Points à retenir

Le débit réel est TOUJOURS inférieur au débit théorique.
Cette différence est causée par les fuites internes (jeux).
Elle est quantifiée par le rendement volumétrique (\(\eta_v\)).

Le saviez-vous ?

Le rendement que nous avons vu (\(\eta_v\)) est le *volumétrique*. Il existe aussi un rendement *mécanique* (\(\eta_m\)), qui compte les pertes par frottement (paliers, engrenages). La puissance réelle à fournir à l'arbre est \(P_{arbre} = P_{hydraulique} / \eta_m\). Le rendement *total* de la pompe est \(\eta_{total} = \eta_v \cdot \eta_m\), souvent autour de 85-90%.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le débit réel est inférieur au débit théorique en raison des fuites internes, un phénomène mesuré par le rendement volumétrique (\(\eta_v\)).

A vous de jouer

Si une pompe a un \(Q_{th}\) de 30 L/min et que l'on mesure un \(Q_{reel}\) de 28.5 L/min, quel est son rendement volumétrique (en %)?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept : Fuites internes.
Formule : \(Q_{reel} = Q_{th} \cdot \eta_v\).
Conséquence : \(Q_{reel} < Q_{th}\).

Outil Interactif : Simulateur de Débit

Utilisez les sliders pour voir comment le changement du Module (m) ou de la Vitesse (N) impacte la cylindrée et le débit. (Z=12 et b=25mm sont fixes).

Paramètres d'Entrée

Module (m) [mm] 3 mm

Vitesse de Rotation (N) [tr/min] 1500 tr/min

Résultats Clés

Cylindrée (Vcyl) - cm³/tr

Débit Théo. (Qth) - L/min

Glossaire

Cylindrée (Vcyl): Volume de fluide (théorique) déplacé par la pompe à chaque tour complet de son arbre d'entraînement. Unité : cm³/tr.
Module (m): Caractéristique dimensionnelle d'un engrenage. Il définit la taille des dents. Deux engrenages qui s'engrènent doivent avoir le même module. Unité : mm.
Débit (\(Q\)): Volume de fluide qui traverse une section par unité de temps. Unité : L/min ou m³/s.
Rendement Volumétrique (eta_v): Rapport entre le débit réel et le débit théorique (eta_v = Qreel / Qth). Il quantifie les pertes par fuites internes.