Calcul de la Cylindrée d'une Pompe à Engrenages

Comprendre la Pompe à Engrenages

Les pompes à engrenages externes sont parmi les plus répandues en oléohydraulique pour leur simplicité, leur robustesse et leur coût modéré. Elles fonctionnent en piégeant des volumes de fluide dans les creux des dents de deux pignons en rotation. Le fluide est transporté de l'orifice d'aspiration vers l'orifice de refoulement. La cylindrée (ou déplacement volumétrique) est le volume de fluide théorique transféré par la pompe pour un tour complet de son arbre d'entraînement. C'est la caractéristique fondamentale qui détermine le débit de la pompe pour une vitesse de rotation donnée.

Données de l'étude

On analyse une pompe hydraulique à engrenages externes.

Caractéristiques géométriques et de fonctionnement :

Nombre de dents des pignons (\(z\)) : \(12\)
Module des engrenages (\(m\)) : \(3 \, \text{mm}\)
Largeur des pignons (\(L\)) : \(20 \, \text{mm}\)
Vitesse de rotation de l'arbre d'entraînement (\(N\)) : \(1500 \, \text{tr/min}\)
Rendement volumétrique (\(\eta_v\)) : \(0.92\)

Schéma : Pompe à Engrenages Externe

Questions à traiter

Calculer le volume approximatif d'un creux entre deux dents (\(V_{\text{creux}}\)).
Calculer la cylindrée théorique (\(V_c\)) de la pompe.
Calculer le débit théorique (\(Q_{\text{th}}\)) fourni par la pompe.
Calculer le débit réel (\(Q_{\text{réel}}\)) en sortie de pompe.

Correction : Calcul de la Cylindrée d'une Pompe à Engrenages

Question 1 : Calcul du Volume d'un Creux (\(V_{\text{creux}}\))

Principe :

Le volume d'huile piégé dans le creux entre deux dents peut être approximé par un parallélépipède. La surface de ce creux est estimée par la formule empirique \(S_{\text{creux}} \approx \pi \cdot m^2\), où \(m\) est le module. Le volume est alors cette surface multipliée par la largeur (\(L\)) de la denture.

Formule(s) utilisée(s) :

V_{\text{creux}} \approx \pi \cdot m^2 \cdot L

Données et Conversion :

Module (\(m\)) : \(3 \, \text{mm} = 0.003 \, \text{m}\)
Largeur (\(L\)) : \(20 \, \text{mm} = 0.020 \, \text{m}\)

Calcul :

\begin{aligned} V_{\text{creux}} &\approx \pi \times (0.003 \, \text{m})^2 \times 0.020 \, \text{m} \\ &\approx \pi \times 0.000009 \, \text{m}^2 \times 0.020 \, \text{m} \\ &\approx 0.000000565 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Converti en cm³ : \(0.000000565 \, \text{m}^3 \times 10^6 = 0.565 \, \text{cm}^3\).

Résultat Question 1 : Le volume approximatif d'un creux est \(V_{\text{creux}} \approx 0.565 \, \text{cm}^3\).

Question 2 : Calcul de la Cylindrée Théorique (\(V_c\))

Principe :

La cylindrée est le volume total déplacé par la pompe en une seule révolution. Elle correspond au volume d'un creux multiplié par le nombre de dents (\(z\)) et par le nombre de pignons (toujours 2 dans une pompe externe standard).

Formule(s) utilisée(s) :

V_c = V_{\text{creux}} \cdot z \cdot 2

Calcul :

\begin{aligned} V_c &\approx 0.565 \, \text{cm}^3/\text{creux} \times 12 \, \text{creux/pignon} \times 2 \, \text{pignons} \\ &\approx 13.56 \, \text{cm}^3/\text{tr} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La cylindrée théorique de la pompe est \(V_c \approx 13.6 \, \text{cm}^3/\text{tr}\).

Question 3 : Calcul du Débit Théorique (\(Q_{\text{th}}\))

Principe :

Le débit théorique est le volume déplacé par unité de temps. Il s'obtient en multipliant la cylindrée (volume par tour) par la vitesse de rotation de la pompe. Les unités doivent être cohérentes.

Formule(s) utilisée(s) :

Q_{\text{th}} = V_c \cdot N

Données et Conversion :

Cylindrée (\(V_c\)) : \(13.6 \, \text{cm}^3/\text{tr} = 0.0136 \, \text{L/tr}\)
Vitesse de rotation (\(N\)) : \(1500 \, \text{tr/min}\)

Calcul :

\begin{aligned} Q_{\text{th}} &= 0.0136 \, \text{L/tr} \times 1500 \, \text{tr/min} \\ &= 20.4 \, \text{L/min} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le débit théorique de la pompe est \(Q_{\text{th}} = 20.4 \, \text{L/min}\).

Question 4 : Calcul du Débit Réel (\(Q_{\text{réel}}\))

Principe :

Le débit réel est toujours inférieur au débit théorique à cause des fuites internes (jeux entre les dentures et le carter). Le rendement volumétrique (\(\eta_v\)) quantifie ces pertes. Le débit réel est le produit du débit théorique par ce rendement.

Formule(s) utilisée(s) :

Q_{\text{réel}} = Q_{\text{th}} \cdot \eta_v

Calcul :

\begin{aligned} Q_{\text{réel}} &= 20.4 \, \text{L/min} \times 0.92 \\ &\approx 18.77 \, \text{L/min} \end{aligned}

Résultat Question 4 : Le débit réel fourni par la pompe est d'environ \(18.8 \, \text{L/min}\).

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