ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Célérité et de la Hauteur d’un Mascaret

Hydraulique : Calcul de la Célérité et de la Hauteur d'un Mascaret

Calcul de la célérité et de la hauteur d'un mascaret (onde de marée)

Contexte : La Vague qui Remonte le Courant

Un mascaretOnde de marée se propageant dans l'embouchure d'un fleuve, créant une vague qui remonte le courant. Phénomène spectaculaire visible dans certains estuaires. est une onde de marée qui remonte le cours d'un fleuve ou d'un estuaire. Ce phénomène, qui se manifeste par une vague abrupte, se produit lorsque le flot de la marée montante est canalisé et amplifié par la géométrie du cours d'eau. Physiquement, un mascaret est un ressaut hydrauliqueDiscontinuité brusque de la hauteur d'eau, marquant le passage d'un écoulement torrentiel (rapide) à un écoulement fluvial (lent). Il y a une forte dissipation d'énergie. en mouvement. Le calculer permet de comprendre les forces en jeu, de prédire les hauteurs d'eau et d'évaluer les risques d'érosion et de submersion des berges.

Remarque Pédagogique : Contrairement à une onde de rupture de barrage qui se propage vers l'aval, le mascaret se propage vers l'amont, contre le courant naturel du fleuve. L'analyse de ce phénomène nécessite de se placer dans un référentiel mobile, lié à l'onde, pour appliquer les lois de conservation de la masse et de la quantité de mouvement de manière plus simple.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la physique du ressaut hydraulique en mouvement.
  • Appliquer les équations de continuité et de quantité de mouvement dans un référentiel mobile.
  • Calculer la célérité (vitesse de propagation) d'un mascaret.
  • Déterminer les conditions d'écoulement (hauteur, vitesse) de part et d'autre de l'onde.
  • Calculer et interpréter le nombre de FroudeNombre sans dimension qui compare les forces d'inertie aux forces de gravité. Fr > 1 indique un écoulement torrentiel (rapide), Fr < 1 un écoulement fluvial (lent)..

Données de l'étude

Un mascaret remonte un canal rectangulaire de grande largeur. Les conditions de l'écoulement du fleuve, en amont du mascaret (non encore perturbé), sont une hauteur d'eau \(h_1 = 2.0 \, \text{m}\) et une vitesse \(u_1 = 1.5 \, \text{m/s}\). L'onde de marée impose une hauteur d'eau en aval du mascaret de \(h_2 = 4.0 \, \text{m}\).

Schéma du Mascaret
Fond du canal h1 = 2.0 m u1 = 1.5 m/s h2 = 4.0 m u2 = ? c = ?

Donnée :

  • Intensité de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer la célérité \(c\) du mascaret (sa vitesse de propagation vers l'amont).
  2. Calculer la vitesse absolue de l'eau \(u_2\) en aval du mascaret.
  3. Calculer le nombre de Froude de l'écoulement amont par rapport au mascaret et conclure sur la nature de l'écoulement.

Correction : Calcul de la Célérité et de la Hauteur d'un Mascaret

Question 1 : Célérité du Mascaret (c)

Principe :
h2 h1 u1 c

Pour analyser le mascaret, on se place dans un référentiel qui se déplace avec lui à la vitesse \(c\). Dans ce référentiel, le ressaut est stationnaire. Les vitesses relatives sont \(v_1 = u_1 + c\) (l'eau entre) et \(v_2 = u_2 + c\) (l'eau sort). En appliquant la conservation de la quantité de mouvement (équation de Bélanger) entre l'amont (1) et l'aval (2) pour un ressaut hydraulique, on peut isoler la célérité \(c\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le changement de référentiel est une technique très puissante en physique. Il transforme un problème non-stationnaire (le mascaret qui se déplace) en un problème stationnaire (un ressaut fixe), ce qui simplifie grandement l'application des lois de conservation.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{v_1^2}{2g} + \frac{h_1}{2} = \frac{v_2^2}{2g} + \frac{h_2}{2} \quad (\text{Quantité de mouvement}) \]
\[ v_1 h_1 = v_2 h_2 \quad (\text{Continuité}) \]
\[ c = \sqrt{ \frac{g h_2}{2 h_1} (h_1 + h_2) } - u_1 \]
Donnée(s) :
  • Hauteur amont \(h_1 = 2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur aval \(h_2 = 4.0 \, \text{m}\)
  • Vitesse amont \(u_1 = 1.5 \, \text{m/s}\)
  • Pesanteur \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} c &= \sqrt{ \frac{9.81 \times 4.0}{2 \times 2.0} (2.0 + 4.0) } - 1.5 \\ &= \sqrt{ \frac{39.24}{4.0} \times 6.0 } - 1.5 \\ &= \sqrt{ 9.81 \times 6.0 } - 1.5 \\ &= \sqrt{58.86} - 1.5 \\ &= 7.67 - 1.5 \\ &= 6.17 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signe des vitesses : Attention à bien distinguer les vitesses absolues (\(u_1, u_2\)) des vitesses relatives au mascaret (\(v_1, v_2\)). La formule finale donne directement \(c\), mais sa dérivation repose sur les vitesses relatives. Une erreur de signe sur \(u_1\) est fréquente.

Le saviez-vous ?

Le mascaret du fleuve Qiantang en Chine est le plus grand du monde. Il peut atteindre 9 mètres de haut et se déplacer à près de 40 km/h, produisant un son de tonnerre audible à des kilomètres. Il attire des milliers de touristes et de surfeurs chaque année.

FAQ en rapport avec la question :
L'énergie est-elle conservée dans un mascaret ?

Non, absolument pas. Un ressaut hydraulique est un phénomène très dissipatif. Une grande quantité d'énergie mécanique est "perdue", transformée en chaleur et en turbulence (le bouillonnement de la vague). C'est pourquoi on utilise la conservation de la quantité de mouvement, qui reste valable même en présence de dissipation.

Résultat : La célérité du mascaret est \(c \approx 6.17 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Vitesse de l'Eau en Aval (u₂)

Principe :
Débit entrant = v1*h1 Débit sortant = v2*h2 v1*h1 = v2*h2

La loi de conservation de la masse (ou équation de continuité), appliquée dans le référentiel mobile du mascaret, stipule que le débit volumique par unité de largeur qui entre dans le ressaut (\(q = v_1 h_1\)) doit être égal à celui qui en sort (\(q = v_2 h_2\)). Connaissant les hauteurs et la vitesse relative d'entrée \(v_1\), on peut en déduire la vitesse relative de sortie \(v_2\), puis la vitesse absolue \(u_2\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La continuité nous montre que comme la hauteur d'eau augmente (\(h_2 > h_1\)), la vitesse de l'eau par rapport à l'onde doit diminuer (\(v_2 < v_1\)). L'eau est "ralentie" par le passage du mascaret. C'est ce ralentissement qui provoque l'élévation du niveau.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_1 = u_1 + c \]
\[ v_2 = \frac{v_1 h_1}{h_2} \]
\[ u_2 = v_2 - c \]
Donnée(s) :
  • \(h_1 = 2.0 \, \text{m}\), \(h_2 = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(u_1 = 1.5 \, \text{m/s}\)
  • \(c \approx 6.17 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} v_1 &= u_1 + c \\ &= 1.5 + 6.17 \\ &= 7.67 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} v_2 &= \frac{v_1 h_1}{h_2} \\ &= \frac{7.67 \times 2.0}{4.0} \\ &= 3.835 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} u_2 &= v_2 - c \\ &= 3.835 - 6.17 \\ &= -2.335 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Interprétation du signe négatif : Le signe négatif pour \(u_2\) signifie que l'eau, après le passage du mascaret, s'écoule dans la direction opposée à celle du courant initial du fleuve. C'est le signe de la marée montante qui a vaincu le courant descendant.

Le saviez-vous ?

Les surfeurs qui rident les mascarets, comme celui de la Garonne en France ou du fleuve Severn au Royaume-Uni, doivent avoir une vitesse initiale (par exemple, en étant tractés par un jet-ski) pour "accrocher" la vague. Leur vitesse doit être très proche de la célérité \(c\) de l'onde pour rester sur le front.

FAQ en rapport avec la question :
Le débit du fleuve est-il le même après le mascaret ?

Non, le débit absolu change radicalement. Avant le mascaret, le débit par mètre de largeur est \(Q_1 = u_1 h_1 = 1.5 \times 2 = 3 \, \text{m}^2/\text{s}\) (vers l'aval). Après, il est de \(Q_2 = u_2 h_2 = -2.335 \times 4 \approx -9.34 \, \text{m}^2/\text{s}\) (vers l'amont). Le mascaret a complètement inversé le sens de l'écoulement.

Résultat : La vitesse de l'eau en aval du mascaret est \(u_2 \approx -2.34 \, \text{m/s}\) (dirigée vers l'amont).

Question 3 : Nombre de Froude et Nature de l'Écoulement

Principe :
Torrentiel (Fr > 1) Fluvial (Fr < 1) Fr1 > 1

Un ressaut hydraulique ne peut se former que si l'écoulement entrant (dans le référentiel du ressaut) est "torrentiel" ou "supercritique", c'est-à-dire si son nombre de Froude est supérieur à 1. Le nombre de Froude, \(Fr = v / \sqrt{gh}\), compare la vitesse de l'écoulement \(v\) à la célérité des ondes \(c = \sqrt{gh}\). On doit donc calculer \(Fr_1\) en utilisant la vitesse relative \(v_1\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le nombre de Froude est le paramètre fondamental qui gouverne les écoulements à surface libre. Un écoulement torrentiel (\(Fr > 1\)) est rapide et peu profond ; il ne peut pas être "averti" des conditions en aval. Un écoulement fluvial (\(Fr < 1\)) est lent et profond ; il est contrôlé par les conditions aval. Le ressaut est la transition brutale entre ces deux régimes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ Fr_1 = \frac{v_1}{\sqrt{g h_1}} \]
Donnée(s) :
  • Vitesse relative amont \(v_1 \approx 7.67 \, \text{m/s}\)
  • Hauteur amont \(h_1 = 2.0 \, \text{m}\)
  • Pesanteur \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} Fr_1 &= \frac{7.67}{\sqrt{9.81 \times 2.0}} \\ &= \frac{7.67}{\sqrt{19.62}} \\ &= \frac{7.67}{4.43} \\ &\approx 1.73 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Utiliser la bonne vitesse : L'erreur classique est de calculer le Froude avec la vitesse absolue \(u_1\) au lieu de la vitesse relative \(v_1\). Le régime de l'écoulement (torrentiel/fluvial) doit toujours être évalué par rapport à l'observateur pour qui le phénomène est stationnaire, c'est-à-dire l'observateur qui se déplace avec l'onde.

Le saviez-vous ?

Le nombre de Froude a été nommé en l'honneur de William Froude, un ingénieur anglais du 19ème siècle. Il a développé des méthodes pour utiliser des modèles réduits de coques de navires afin de prédire leur résistance à l'avancement en conditions réelles, en s'assurant que le nombre de Froude soit le même pour le modèle et le navire.

FAQ en rapport avec la question :
Que serait le nombre de Froude en aval ?

On peut calculer \(Fr_2 = v_2 / \sqrt{gh_2}\). On trouverait \(Fr_2 = 3.835 / \sqrt{9.81 \times 4.0} \approx 0.61\). Comme \(Fr_2 < 1\), l'écoulement en aval du ressaut est bien fluvial (subcritique), ce qui est une condition nécessaire pour la stabilité du ressaut. Le ressaut est la transition qui fait passer l'écoulement de supercritique à subcritique.

Résultat : Le nombre de Froude est \(Fr_1 \approx 1.73\). Comme \(Fr_1 > 1\), l'écoulement amont est bien torrentiel par rapport au mascaret, ce qui valide la possibilité de formation du ressaut.

Simulation Interactive du Mascaret

Faites varier les hauteurs d'eau en amont (\(h_1\)) et en aval (\(h_2\)) pour voir comment la célérité du mascaret et le nombre de Froude sont affectés. La vitesse du fleuve \(u_1\) est fixée à 1.5 m/s.

Paramètres du Mascaret
Célérité du mascaret (c)
Nombre de Froude (Fr1)
Profil du Ressaut Hydraulique

Pour Aller Plus Loin : Mascarets Ondulés et Déferlants

Toutes les vagues ne se ressemblent pas : Notre calcul décrit un mascaret "déferlant", avec un front abrupt. Cependant, si le nombre de Froude est faible (typiquement entre 1 et 1.7), le mascaret ne déferle pas mais prend la forme d'une série d'ondulations lisses, appelé "ressaut ondulé". Si le Froude est très élevé, le ressaut devient très turbulent et puissant. La forme du mascaret dépend donc directement de l'intensité du phénomène, quantifiée par le nombre de Froude.

Le Saviez-Vous ?

Le mot "mascaret" viendrait du gascon "mascarèth", qui signifie "petit veau tacheté", évoquant l'aspect bouillonnant et blanchâtre de la vague. En France, le phénomène est célèbre dans l'estuaire de la Gironde (sur la Garonne et la Dordogne) et dans la baie du Mont-Saint-Michel, où il peut être particulièrement spectaculaire.

Foire Aux Questions (FAQ)

Un mascaret peut-il se produire dans un lac ?

Non. Un mascaret est spécifiquement une onde de marée qui remonte un cours d'eau. Il nécessite l'interaction entre la marée océanique et un fleuve ou un estuaire qui la canalise. Un lac, n'étant pas directement soumis au même type de forçage par la marée, ne peut pas générer de mascaret. Il peut cependant y avoir des "seiches", qui sont des ondes stationnaires de grande période, souvent causées par le vent ou des variations de pression atmosphérique.

Pourquoi le mascaret est-il plus fort lors des grandes marées ?

Lors des grandes marées (vives-eaux), la différence de niveau entre la marée basse et la marée haute (le marnage) est maximale. Cela signifie que l'onde de marée arrive avec plus d'énergie et impose une hauteur \(h_2\) beaucoup plus grande par rapport à la hauteur du fleuve \(h_1\). Comme on le voit dans les formules, une plus grande différence de hauteur conduit à une célérité \(c\) et un nombre de Froude \(Fr_1\) plus élevés, et donc à un mascaret plus puissant et spectaculaire.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la vitesse du fleuve \(u_1\) augmente (plus de débit), la célérité du mascaret \(c\) :

2. Un ressaut hydraulique (et donc un mascaret) provoque toujours :

Glossaire

Mascaret
Onde de marée se propageant dans l'embouchure d'un fleuve, créant une vague abrupte qui remonte le courant. Il s'agit d'un ressaut hydraulique en mouvement.
Ressaut Hydraulique
Discontinuité brusque de la hauteur d'eau, marquant la transition d'un régime torrentiel (rapide, Fr > 1) à un régime fluvial (lent, Fr < 1). Il s'accompagne d'une forte dissipation d'énergie.
Nombre de Froude (Fr)
Nombre sans dimension comparant les forces d'inertie aux forces de gravité. \(Fr = v / \sqrt{gh}\). Il caractérise le régime d'un écoulement à surface libre.
Célérité (c)
Vitesse de propagation d'une onde par rapport au fluide. Pour un mascaret, c'est sa vitesse de déplacement par rapport au fond.
Écoulement Fluvial (Subcritique)
Régime d'écoulement lent et profond où le nombre de Froude est inférieur à 1 (\(Fr < 1\)).
Écoulement Torrentiel (Supercritique)
Régime d'écoulement rapide et peu profond où le nombre de Froude est supérieur à 1 (\(Fr > 1\)).
Calcul de la Célérité et de la Hauteur d'un Mascaret

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