ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Butée de Support pour un Coude

Calcul de la Butée de Support pour un Coude

Calcul de la Butée de Support pour un Coude dans un Réseau Haute Pression

Comprendre le Calcul de la Butée de Support pour un Coude

Lorsqu'un fluide sous pression change de direction dans un coude, il exerce des forces considérables sur celui-ci. Ces forces, si elles ne sont pas reprises, peuvent provoquer le déboîtement des joints et la rupture de la canalisation. La butée est un massif en béton ou un autre système d'ancrage conçu pour absorber ces efforts et les transmettre au sol. Le calcul de la force résultante sur le coude est donc une étape de sécurité primordiale. Cette force est la somme vectorielle de deux composantes : les forces de pression statique (généralement dominantes) et les forces dynamiques dues au changement de la quantité de mouvement du fluide.

Données de l'étude

On veut dimensionner la butée pour un coude horizontal à 90° dans un réseau d'adduction d'eau.

Caractéristiques du système :

  • Fluide : Eau (\(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
  • Pression de service (\(P\)) : \(12 \, \text{bars}\)
  • Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(400 \, \text{mm}\)
  • Débit volumique (\(Q\)) : \(0.5 \, \text{m}^3\text{/s}\)
  • Angle du coude (\(\theta\)) : 90°

Hypothèse : On suppose que la pression est constante à travers le coude.

Schéma des forces sur un coude à 90°
Butée Rx Ry R_Total Rx = Fp_x + Fm_x Ry = Fp_y + Fm_y

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section (\(A\)) et la vitesse de l'eau (\(V\)) dans la conduite.
  2. Calculer la résultante des forces de pression (\(\vec{R}_p\)) exercées par le fluide sur le coude.
  3. Calculer la résultante des forces dynamiques (\(\vec{R}_m\)) dues au changement de quantité de mouvement.
  4. Calculer la force totale (\(\vec{R}_\text{Total}\)) que la butée doit reprendre (module et direction).

Correction : Calcul de la Butée de Support pour un Coude dans un Réseau Haute Pression

Question 1 : Aire (\(A\)) et Vitesse (\(V\))

Principe :

On calcule d'abord l'aire de la section interne de la conduite, puis on en déduit la vitesse de l'écoulement à partir du débit volumique.

Calcul :
\[ \begin{aligned} D &= 400 \, \text{mm} = 0.4 \, \text{m} \\ A &= \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi \times (0.4)^2}{4} \approx 0.1257 \, \text{m}^2 \\ V &= \frac{Q}{A} = \frac{0.5 \, \text{m}^3\text{/s}}{0.1257 \, \text{m}^2} \\ &\approx 3.98 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Question 2 : Résultante des Forces de Pression (\(\vec{R}_p\))

Principe :

Le fluide exerce une force de pression \(P \times A\) sur chaque section. La force exercée par le fluide sur le coude est la somme vectorielle des forces agissant sur les surfaces d'entrée et de sortie. Pour un coude à 90°, on décompose sur les axes x et y.

Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= 12 \, \text{bars} = 12 \times 10^5 \, \text{Pa} \\ F_p &= P \times A = 12 \times 10^5 \, \text{Pa} \times 0.1257 \, \text{m}^2 \approx 150840 \, \text{N} \\ R_{p,x} &= F_p = 150840 \, \text{N} \\ R_{p,y} &= F_p = 150840 \, \text{N} \end{aligned} \]

Question 3 : Résultante des Forces Dynamiques (\(\vec{R}_m\))

Principe :

La force dynamique résulte du changement de direction de la quantité de mouvement (\(\rho Q V\)). La force exercée par le fluide sur le coude est \( \vec{R}_m = \rho Q (\vec{V}_1 - \vec{V}_2) \).

Calcul :
\[ \begin{aligned} F_m &= \rho Q V = 1000 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \times 0.5 \, \frac{\text{m}^3}{\text{s}} \times 3.98 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} = 1990 \, \text{N} \\ R_{m,x} &= \rho Q (V_{1x} - V_{2x}) = \rho Q (V - 0) = 1990 \, \text{N} \\ R_{m,y} &= \rho Q (V_{1y} - V_{2y}) = \rho Q (0 - (-V)) = 1990 \, \text{N} \end{aligned} \]

(On considère un coude qui tourne vers le haut, donc la composante y finale est positive, rendant le changement de quantité de mouvement négatif, et la force sur le coude positive).

Question 4 : Force Totale sur la Butée (\(\vec{R}_\text{Total}\))

Principe :

La force totale est la somme vectorielle des forces de pression et des forces dynamiques. On somme les composantes sur chaque axe, puis on calcule le module et l'angle de la résultante.

Calcul des composantes totales :
\[ \begin{aligned} R_{\text{Total},x} &= R_{p,x} + R_{m,x} = 150840 + 1990 = 152830 \, \text{N} \\ R_{\text{Total},y} &= R_{p,y} + R_{m,y} = 150840 + 1990 = 152830 \, \text{N} \end{aligned} \]
Calcul du module et de l'angle :
\[ \begin{aligned} R_\text{Total} &= \sqrt{R_{\text{Total},x}^2 + R_{\text{Total},y}^2} = \sqrt{(152830)^2 + (152830)^2} \\ &= \sqrt{2 \times (152830)^2} = 152830 \sqrt{2} \approx 216134 \, \text{N} \\ \alpha &= \arctan\left(\frac{R_{\text{Total},y}}{R_{\text{Total},x}}\right) = \arctan(1) = 45^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La butée doit résister à une force de \(216.1 \, \text{kN}\) orientée à 45° par rapport à la direction de l'écoulement entrant.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

10. Dans un réseau à haute pression, la force principale exercée sur un coude provient de :

11. Si le débit double dans la conduite, la force dynamique (\(\vec{R}_m\)) est :

12. Une butée est un ouvrage de génie civil dont le rôle est de :

Glossaire

Butée (Thrust Block)
Massif en béton ou autre structure d'ancrage conçu pour s'opposer aux forces hydrodynamiques générées aux points de changement de direction (coudes), de changement de section ou aux extrémités des conduites.
Force de Pression
Force exercée par un fluide sous pression sur une surface, égale au produit de la pression par l'aire de la surface (\(F=P \cdot A\)).
Quantité de Mouvement
Produit de la masse d'un objet par sa vitesse. En mécanique des fluides, on parle souvent de débit massique multiplié par la vitesse (\(\dot{m}V\) ou \(\rho Q V\)). Un changement de direction ou de magnitude de la vitesse entraîne une variation de la quantité de mouvement, qui requiert une force.
Calcul de la Butée de Support - Exercice d'Application

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