ÉTUDE HYDRAULIQUE

Calcul de la Butée de Support pour un Coude

Exercice : Butée de Support pour un Coude

Calcul de la Butée de Support pour un Coude

Contexte : L'ingénierie des réseaux de distribution d'eau.

Dans les réseaux de canalisations sous pression, chaque changement de direction, comme un coude, génère des forces hydrodynamiques importantes. Si ces forces ne sont pas correctement reprises, elles peuvent provoquer le déboîtement des tuyaux et entraîner des fuites majeures. Pour contrer ces efforts, on construit des massifs en béton appelés butéesUn massif en béton ou autre matériau, conçu pour reprendre les efforts exercés par une canalisation et les transmettre au sol environnant.. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la force exercée par l'eau sur un coude et le dimensionnement de la butée nécessaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice combine des notions de mécanique des fluides (conservation du débit, théorème de Bernoulli) et de statique du solide pour résoudre un problème d'ingénierie civile très concret et essentiel à la conception des réseaux d'adduction d'eau.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le principe de conservation du débit pour calculer les vitesses du fluide.
  • Utiliser le théorème de Bernoulli pour déterminer la variation de pression dans un coude.
  • Calculer la force de poussée hydrodynamique sur un coude à l'aide du théorème d'EulerFormulation du principe de la conservation de la quantité de mouvement pour un fluide, permettant de calculer les forces résultantes..
  • Dimensionner la surface d'un massif de butée en fonction de la force à reprendre et de la contrainte admissible du sol.

Données de l'étude

On étudie un coude réducteur à 90°, installé sur un plan horizontal, dans un réseau de distribution d'eau potable.

Schéma du Coude et Forces Appliquées
V₁, P₁ V₂, P₂ Rₓ Rᵧ R D₁ D₂
Paramètre Symbole Valeur Unité
Débit volumique \(Q\) 1.0 \(\text{m}^3/\text{s}\)
Diamètre d'entrée \(D_1\) 600 \(\text{mm}\)
Pression relative en entrée \(P_1\) 5.0 \(\text{bar}\)
Diamètre de sortie \(D_2\) 400 \(\text{mm}\)
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 \(\text{kg}/\text{m}^3\)
Contrainte admissible du sol \(\sigma_{\text{sol}}\) 0.15 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de l'eau en entrée (\(V_1\)) et en sortie (\(V_2\)) du coude.
  2. En négligeant les pertes de charge, calculer la pression relative en sortie (\(P_2\)).
  3. Déterminer les composantes \(R_x\) et \(R_y\) de la force résultante exercée par le fluide sur le coude.
  4. Calculer le module (la norme) \(R\) et l'angle \(\theta\) (par rapport à l'horizontale) de cette force résultante.
  5. Dimensionner la surface minimale \(A_{\text{butée}}\) de la butée en béton nécessaire et proposer les dimensions d'une butée à base carrée.

Les bases de l'hydraulique en charge

Pour résoudre cet exercice, trois principes fondamentaux de la mécanique des fluides sont nécessaires.

1. Équation de Continuité (Conservation du Débit)
Pour un fluide incompressible, le débit volumique \(Q\) est constant à travers une conduite. Il est le produit de la section \(A\) et de la vitesse moyenne \(V\) du fluide. \[ Q = A_1 \cdot V_1 = A_2 \cdot V_2 \] Avec la section circulaire \(A = \frac{\pi D^2}{4}\).

2. Théorème de Bernoulli
Il exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. Pour un écoulement horizontal et sans perte de charge, il se simplifie en : \[ \frac{P_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} \] Où \(P\) est la pression, \(\rho\) la masse volumique, \(V\) la vitesse et \(g\) l'accélération de la pesanteur.

3. Théorème de la Quantité de Mouvement (Euler)
La somme des forces extérieures agissant sur un volume de fluide est égale à la variation de la quantité de mouvement de ce fluide. Pour un coude à 90°, les composantes de la force \(R\) du fluide sur le coude sont : \[ R_x = (P_1 \cdot A_1) + (\rho \cdot Q \cdot V_1) \] \[ R_y = (P_2 \cdot A_2) + (\rho \cdot Q \cdot V_2) \]

Correction : Calcul de la Butée de Support pour un Coude

Question 1 : Calculer les vitesses \(V_1\) et \(V_2\)

Principe

On utilise le principe de conservation de la masse pour un fluide incompressible, qui se traduit par la conservation du débit volumique. Le débit \(Q\) étant le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps, il doit être le même en tout point du circuit. La vitesse s'ajuste donc inversement à la surface de la section : \(V = Q/A\).

Mini-Cours

L'eau est considérée comme un fluide incompressible, ce qui signifie que sa masse volumique \(\rho\) ne varie pas. La loi de conservation de la masse impose que le débit massique (\(\rho \cdot Q\)) soit constant. Si \(\rho\) est constant, alors le débit volumique \(Q\) l'est aussi. C'est le fondement de l'équation de continuité.

Remarque Pédagogique

La première étape de tout calcul d'hydraulique est de s'assurer que les unités sont cohérentes. Ici, les diamètres sont en 'mm' et le débit en 'm³/s'. Il est impératif de convertir les diamètres en mètres avant de calculer les sections pour obtenir des vitesses en 'm/s'.

Normes

Le principe de conservation de la masse est une loi fondamentale de la physique et ne dépend pas d'une norme spécifique. Cependant, les méthodes de calcul des vitesses moyennes dans les conduites sont encadrées par des manuels de référence en hydraulique.

Formule(s)

Formule de la section d'une conduite circulaire :

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]

Formule de la vitesse moyenne :

\[ V = \frac{Q}{A} \]
Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que l'écoulement est permanent (le débit ne varie pas dans le temps) et que la vitesse est uniforme sur toute la section de la conduite (on calcule une vitesse moyenne).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)1.0\(\text{m}^3/\text{s}\)
Diamètre d'entrée\(D_1\)600 \(\text{mm}\) = 0.6 \(\text{m}\)\(\text{m}\)
Diamètre de sortie\(D_2\)400 \(\text{mm}\) = 0.4 \(\text{m}\)\(\text{m}\)
Astuces

Avant de calculer, on peut anticiper le résultat : le diamètre diminue de \(D_1\) à \(D_2\), donc la section va diminuer et la vitesse \(V_2\) devra être supérieure à \(V_1\). Cela permet une première vérification de la cohérence des résultats.

Schéma (Avant les calculs)
Sections de la conduite
Comparaison des sections d'entrée et de sortie A₁ D₁ = 600 mm A₂ D₂ = 400 mm
Calcul(s)

Calcul de la section d'entrée \(A_1\)

\[ \begin{aligned} A_1 &= \frac{\pi \cdot (0.6 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.36}{4} \\ &\approx 0.2827 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la section de sortie \(A_2\)

\[ \begin{aligned} A_2 &= \frac{\pi \cdot (0.4 \, \text{m})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.16}{4} \\ &\approx 0.1257 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse d'entrée \(V_1\)

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{Q}{A_1} \\ &= \frac{1.0 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.2827 \, \text{m}^2} \\ &\approx 3.54 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse de sortie \(V_2\)

\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{Q}{A_2} \\ &= \frac{1.0 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.1257 \, \text{m}^2} \\ &\approx 7.96 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Vecteurs Vitesse
V₁ ≈ 3.54 m/s V₂ ≈ 7.96 m/s
Réflexions

Comme attendu pour un coude réducteur, la vitesse du fluide augmente de manière significative (plus du double) lorsque la section de la canalisation est plus que divisée par deux. Cette augmentation de vitesse aura des conséquences directes sur la pression, comme nous le verrons dans la question suivante.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de la section (\(A = \pi D^2 / 4\)). Une autre erreur fréquente est de mal gérer la conversion des unités de 'mm' en 'm' (600 mm = 0.6 m, et non 6 m ou 0.06 m).

Points à retenir
  • Principe fondamental : \(Q_1 = Q_2\).
  • Formule clé : \(V = Q/A = 4Q / (\pi D^2)\).
  • Relation inverse : Si le diamètre diminue, la vitesse augmente.
Le saviez-vous ?

Le principe de continuité est souvent illustré par l'exemple du tuyau d'arrosage : en pinçant l'extrémité (on réduit la section A), l'eau jaillit beaucoup plus vite (V augmente) pour un même débit Q fourni par le robinet.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Pourquoi considère-t-on l'eau comme incompressible ?

En réalité, tous les fluides sont compressibles. Cependant, pour des variations de pression comme celles rencontrées en hydraulique urbaine, la variation de la masse volumique de l'eau est extrêmement faible (moins de 0.1%). La négliger est une hypothèse simplificatrice qui ne nuit pas à la précision des calculs.

Résultat Final
Les vitesses calculées sont : \(V_1 \approx 3.54 \, \text{m/s}\) et \(V_2 \approx 7.96 \, \text{m/s}\).
A vous de jouer

Quel serait la vitesse \(V_2\) (en \(\text{m/s}\)) si le diamètre de sortie \(D_2\) était de 500 \(\text{mm}\) ?

Question 2 : Calculer la pression en sortie \(P_2\)

Principe

On applique le théorème de Bernoulli, qui est une formulation du principe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement. Il stipule que la somme de l'énergie de pression, de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle reste constante le long d'une ligne de courant. Ici, l'énergie cinétique augmente (car \(V_2 > V_1\)), donc l'énergie de pression doit diminuer.

Mini-Cours

L'équation de Bernoulli se compose de trois termes : \(\frac{P}{\rho g}\) (hauteur de pression), \(\frac{V^2}{2g}\) (hauteur cinétique) et \(z\) (hauteur potentielle/altitude). La somme de ces trois hauteurs, appelée charge totale, est constante. Pour un tuyau horizontal, \(z_1 = z_2\), le terme d'énergie potentielle s'annule de chaque côté.

Remarque Pédagogique

Le théorème de Bernoulli est l'un des outils les plus puissants de la mécanique des fluides. L'astuce est de toujours bien identifier les deux points (ici, le centre de la section d'entrée et le centre de la section de sortie) entre lesquels on applique l'équation.

Normes

Le théorème de Bernoulli est un principe physique. Les normes d'ingénierie (comme les normes ISO ou NF EN) ne le définissent pas mais précisent comment l'appliquer en pratique, notamment en y ajoutant un terme pour les "pertes de charge", c'est-à-dire les pertes d'énergie par frottement que nous négligeons ici.

Formule(s)

Théorème de Bernoulli pour un écoulement horizontal, réarrangé pour trouver \(P_2\) :

\[ P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2) \]
Hypothèses

Pour appliquer cette version simplifiée de Bernoulli, nous faisons plusieurs hypothèses : fluide parfait (sans viscosité), incompressible, écoulement permanent et irrotationnel, et aucune machine (pompe, turbine) entre les points 1 et 2. Nous négligeons également les pertes de charge.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression d'entrée\(P_1\)5.0 \(\text{bar}\)\(\text{bar}\)
Masse volumique\(\rho\)1000\(\text{kg}/\text{m}^3\)
Vitesse d'entrée\(V_1\)3.54\(\text{m/s}\)
Vitesse de sortie\(V_2\)7.96\(\text{m/s}\)
Astuces

Vérification rapide : La vitesse a augmenté, donc la pression doit diminuer. Si votre calcul donne \(P_2 > P_1\), vous avez probablement inversé \(V_1^2\) et \(V_2^2\) dans la parenthèse. C'est une erreur très courante.

Schéma (Avant les calculs)
Application de Bernoulli
Point 1 (P₁, V₁) Point 2 (P₂, V₂) z₁ = z₂
Calcul(s)

Conversion de la pression \(P_1\)

\[ \begin{aligned} P_1 &= 5.0 \, \text{bar} \\ &= 5.0 \times 10^5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Calcul de la pression de sortie \(P_2\)

\[ \begin{aligned} P_2 &= 5 \times 10^5 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3.54^2 - 7.96^2) \\ &= 5 \times 10^5 + 500 \cdot (12.53 - 63.36) \\ &= 5 \times 10^5 + 500 \cdot (-50.83) \\ &= 5 \times 10^5 - 25415 \\ &= 474585 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique (Bernoulli)
Point 1 (Entrée) P₁ V₁² Point 2 (Sortie) P₂ V₂² Énergie transformée
Réflexions

La pression a chuté de 0.25 bar, ce qui peut sembler peu, mais cette conversion d'énergie est à l'origine d'une augmentation de vitesse de plus de 120%. Dans les systèmes réels, les pertes de charge dues au frottement et à la géométrie du coude réduiraient encore davantage la pression en sortie.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est la gestion des unités. Tous les termes doivent être en unités SI : Pression en Pascals (Pa), masse volumique en kg/m³, vitesse en m/s. N'oubliez pas que 1 bar = \(10^5\) Pa.

Points à retenir
  • Bernoulli = Conservation de l'énergie.
  • Pour un tuyau horizontal : si V augmente, P diminue (et vice-versa).
  • La formule \(P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2)\) est une application directe.
Le saviez-vous ?

Daniel Bernoulli, un scientifique suisse du 18ème siècle, n'a pas seulement travaillé sur les fluides. Il était un polymathe qui a également apporté des contributions majeures en mathématiques, en probabilités, en médecine et en botanique.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Que sont les "pertes de charge" ?

Ce sont les pertes d'énergie du fluide, principalement transformées en chaleur, à cause du frottement contre les parois de la conduite (pertes de charge linéaires) et à cause des singularités comme les coudes, vannes, etc. (pertes de charge singulières). Dans un calcul réel, on les ajouterait dans le second membre de l'équation de Bernoulli.

Résultat Final
La pression relative en sortie est \(P_2 \approx 474585 \, \text{Pa}\), soit environ 4.75 \(\text{bars}\).
A vous de jouer

En gardant les mêmes vitesses, quelle serait la pression de sortie \(P_2\) (en \(\text{bar}\)) si la pression d'entrée \(P_1\) était de 8 \(\text{bars}\) ?

Question 3 : Déterminer les composantes de la force \(R_x\) et \(R_y\)

Principe

On applique le théorème d'Euler, qui est une application de la deuxième loi de Newton (\(F=ma\)) à un volume de fluide. La force que le coude doit exercer sur le fluide pour le faire tourner (\(R_x\), \(R_y\)) est égale à la somme des forces de pression et de la variation du "débit de quantité de mouvement" (momentum flux) entre l'entrée et la sortie.

Mini-Cours

Pour chaque direction, la force totale est la somme de la force de pression (\(P \times A\)) et du débit de quantité de mouvement (\(\dot{m}V = \rho Q V\)). En entrée (section 1), le fluide arrive avec une quantité de mouvement horizontale. En sortie (section 2), il repart avec une quantité de mouvement verticale. Le coude doit donc fournir une force horizontale (\(R_x\)) pour "arrêter" le fluide dans cette direction et une force verticale (\(R_y\)) pour le "lancer" vers le bas.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien définir le système : on isole le volume d'eau contenu dans le coude. Les forces qui s'appliquent sur ce volume sont les pressions en entrée et sortie, et la réaction du coude (\(R_x, R_y\)). La force que l'on cherche pour dimensionner la butée est l'opposée de cette réaction (action-réaction).

Normes

Le calcul des efforts aux points singuliers des réseaux est une étape obligatoire dans les normes de conception de canalisations, comme la norme européenne EN 805 ou les manuels de l'American Water Works Association (AWWA) aux États-Unis.

Formule(s)

Composante horizontale de la force :

\[ R_x = P_1 A_1 + \rho Q V_1 \]

Composante verticale de la force :

\[ R_y = P_2 A_2 + \rho Q V_2 \]
Hypothèses

On suppose un écoulement en régime permanent. Les forces de frottement du fluide sur la paroi interne du coude sont négligées. On utilise les pressions relatives (manométriques), car la pression atmosphérique s'applique sur tout le système et son effet s'annule.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression d'entrée\(P_1\)5x10⁵\(\text{Pa}\)
Section d'entrée\(A_1\)0.2827\(\text{m}^2\)
Vitesse d'entrée\(V_1\)3.54\(\text{m/s}\)
Pression de sortie\(P_2\)474585\(\text{Pa}\)
Section de sortie\(A_2\)0.1257\(\text{m}^2\)
Vitesse de sortie\(V_2\)7.96\(\text{m/s}\)
Débit\(Q\)1.0\(\text{m}^3/\text{s}\)
Masse Volumique\(\rho\)1000\(\text{kg}/\text{m}^3\)
Astuces

Calculez séparément le terme de pression (\(P \cdot A\)) et le terme de quantité de mouvement (\(\rho Q V\)) pour chaque direction. Vous remarquerez que le terme de pression est souvent prépondérant, surtout pour les hautes pressions et faibles vitesses.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces sur le fluide (Volume de Contrôle)
Volume de Contrôle P₁A₁ P₂A₂ Rₓ Rᵧ
Calcul(s)

Calcul de la composante \(R_x\)

\[ \begin{aligned} R_x &= (5 \times 10^5 \, \text{Pa} \cdot 0.2827 \, \text{m}^2) + (1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m}^3/\text{s} \cdot 3.54 \, \text{m/s}) \\ &= 141350 \, \text{N} + 3540 \, \text{N} \\ &= 144890 \, \text{N} \end{aligned} \]

Calcul de la composante \(R_y\)

\[ \begin{aligned} R_y &= (474585 \, \text{Pa} \cdot 0.1257 \, \text{m}^2) + (1000 \, \text{kg/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m}^3/\text{s} \cdot 7.96 \, \text{m/s}) \\ &= 59655 \, \text{N} + 7960 \, \text{N} \\ &= 67615 \, \text{N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Composantes de la Force de Poussée
Rₓ ≈ 145 kN Rᵧ ≈ 68 kN R
Réflexions

On constate que la force horizontale \(R_x\) est plus de deux fois supérieure à la force verticale \(R_y\). Cela est dû principalement à la pression d'entrée \(P_1\) qui est plus élevée que \(P_2\), et à la section d'entrée \(A_1\) qui est plus grande que \(A_2\). La contribution de la pression est largement dominante par rapport à celle de la quantité de mouvement.

Points de vigilance

Attention à la direction des forces. Les formules données calculent la force exercée par le coude sur l'eau. La force que l'eau exerce sur le coude (et que la butée doit contrer) est de même norme mais de sens opposé. Cependant, pour le dimensionnement, seul le module de la force nous intéresse, donc le résultat est le même.

Points à retenir
  • La force de poussée a deux origines : statique (pression) et dynamique (vitesse).
  • Il faut calculer une composante pour chaque direction où la quantité de mouvement change.
  • Force = (Pression × Section) + (Masse volumique × Débit × Vitesse).
Le saviez-vous ?

Le même principe du théorème d'Euler est à la base de la propulsion des fusées et des avions à réaction. La fusée éjecte des gaz à très haute vitesse vers l'arrière ; en réaction, les gaz exercent une force de poussée sur la fusée vers l'avant.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Pourquoi utilise-t-on la pression relative ?

La pression atmosphérique s'exerce sur toutes les surfaces extérieures du coude. Son effet net sur le coude est nul. En utilisant la pression relative (pression par rapport à l'atmosphère), on calcule directement la force nette que le réseau interne exerce sur le coude, ce qui simplifie les calculs.

Résultat Final
Les composantes de la force que la butée doit reprendre sont \(R_x \approx 144.9 \, \text{kN}\) et \(R_y \approx 67.6 \, \text{kN}\).
A vous de jouer

En gardant les mêmes conditions, quelle serait la valeur de \(R_x\) (en \(\text{kN}\)) si le coude n'était pas réducteur (\(D_1=D_2=600 \, \text{mm}\)) ? (Attention, il faut recalculer \(V_2\) et \(P_2\) d'abord !)

Question 4 : Calculer le module \(R\) et l'angle \(\theta\)

Principe

La force résultante \(R\) est la somme vectorielle de ses composantes \(R_x\) et \(R_y\). Comme ces composantes sont orthogonales (à 90° l'une de l'autre), on peut utiliser le théorème de Pythagore pour trouver le module (la longueur du vecteur) et les fonctions trigonométriques pour trouver son orientation (l'angle).

Mini-Cours

Tout vecteur dans un plan peut être décomposé en deux composantes orthogonales. Réciproquement, connaissant les composantes \(R_x\) et \(R_y\), le module est \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\). L'angle \(\theta\) que fait le vecteur avec l'axe des abscisses (x) est donné par \(\tan(\theta) = R_y / R_x\).

Remarque Pédagogique

Dessiner le triangle des forces est une excellente habitude. Cela permet de visualiser la direction de la force résultante et de s'assurer qu'on utilise la bonne formule trigonométrique pour trouver l'angle sans se tromper entre sinus, cosinus et tangente.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie mais d'une application directe des mathématiques (géométrie et trigonométrie).

Formule(s)

Module de la force résultante :

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

Angle de la force résultante :

\[ \theta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]
Hypothèses

On suppose que le repère (x,y) est orthogonal, ce qui est le cas ici puisque l'axe d'entrée et l'axe de sortie du coude sont perpendiculaires.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Composante horizontale\(R_x\)144890\(\text{N}\)
Composante verticale\(R_y\)67615\(\text{N}\)
Astuces

Vérifiez que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non en "radians" ou "grades" avant de calculer l'arc tangente pour obtenir un angle que vous pouvez interpréter facilement.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Forces
Rₓ (côté adjacent) Rᵧ (côté opposé) R (hypoténuse) θ
Calcul(s)

Calcul du module \(R\)

\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{(144890)^2 + (67615)^2} \\ &= \sqrt{2.1 \times 10^{10} + 0.457 \times 10^{10}} \\ &\approx 159950 \, \text{N} \end{aligned} \]

Calcul de l'angle \(\theta\)

\[ \begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{67615}{144890}\right) \\ &\approx \arctan(0.4667) \\ &\approx 25.0^{\circ} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Résultant de la Poussée
x y R ≈ 160 kN θ ≈ 25°
Réflexions

L'angle de 25° indique que la poussée n'est pas symétrique (ce qui serait le cas à 45°). Elle est bien plus forte dans la direction x que dans la direction y. La butée devra donc être positionnée pour contrer une force orientée à 25° par rapport à l'axe de la canalisation d'entrée.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien comprendre à quel axe l'angle se réfère. Ici, nous l'avons calculé par rapport à l'axe x (la direction de \(R_x\)). Une confusion pourrait mener à une mauvaise orientation de la butée sur le terrain.

Points à retenir
  • La force résultante se calcule avec Pythagore : \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\).
  • L'angle se trouve avec l'arc tangente : \(\theta = \arctan(R_y/R_x)\).
  • La force de poussée est un vecteur, défini par son module et sa direction.
Le saviez-vous ?

Le théorème de Pythagore, connu depuis plus de 2500 ans, reste l'un des outils mathématiques les plus utilisés en ingénierie, de la mécanique à l'électricité, dès qu'il s'agit de composer des grandeurs vectorielles orthogonales.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

L'angle changerait-il si les pressions et débits étaient différents ?

Oui. Comme \(R_x\) et \(R_y\) dépendent des pressions et vitesses, toute modification de ces paramètres changera le rapport \(R_y/R_x\) et donc l'angle de la force résultante.

Résultat Final
La force résultante a un module \(R \approx 160 \, \text{kN}\) et est orientée à un angle de \(25.0^{\circ}\) par rapport à l'axe d'entrée de l'eau.
A vous de jouer

Calculez le module de la force \(R\) (en \(\text{kN}\)) pour \(R_x = 200 \, \text{kN}\) et \(R_y = 100 \, \text{kN}\).

Question 5 : Dimensionner la butée

Principe

Le principe de dimensionnement est de s'assurer que la contrainte exercée par la butée sur le sol ne dépasse pas la capacité portante de ce dernier. On utilise la relation fondamentale de la mécanique : Contrainte (\(\sigma\)) = Force (\(F\)) / Surface (\(A\)). En connaissant la force à reprendre et la contrainte maximale que le sol peut supporter, on en déduit la surface minimale requise.

Mini-Cours

La contrainte admissible du sol, \(\sigma_{\text{sol}}\), est une donnée géotechnique cruciale. Elle est déterminée par des essais en laboratoire ou in-situ et intègre un coefficient de sécurité pour tenir compte des incertitudes sur les propriétés du sol. Elle représente la pression maximale que le sol peut supporter sans risque de rupture ou de tassement excessif.

Remarque Pédagogique

La conception d'une butée est un acte d'ingénierie qui se situe à l'interface entre l'hydraulique (qui donne la force) et la géotechnique (qui donne la résistance du sol). Il est essentiel de s'assurer de la qualité du sol d'appui ; une butée ne doit jamais être construite sur du remblai non compacté.

Normes

Le dimensionnement des fondations et des ouvrages en contact avec le sol est régi par des normes géotechniques, comme l'Eurocode 7 en Europe. Ces normes définissent les coefficients de sécurité à appliquer et les méthodes de calcul pour garantir la stabilité de l'ouvrage.

Formule(s)

Relation Contrainte-Force-Surface et Surface minimale de la butée :

\[ \sigma = \frac{F}{A} \Rightarrow A_{\text{butée}_{\text{min}}} = \frac{R}{\sigma_{\text{sol}}} \]
Hypothèses

On suppose que la force de poussée \(R\) est transmise uniformément sur toute la surface de contact entre le massif en béton et le sol. On suppose également que le sol en face de la butée est un sol vierge, non remanié, capable de développer la contrainte admissible.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Force Résultante\(R\)159950\(\text{N}\)
Contrainte admissible du sol\(\sigma_{\text{sol}}\)0.15 \(\text{MPa}\)\(\text{MPa}\)
Astuces

En pratique, on majore toujours la dimension calculée. Un calcul donnant 1.03 m mènera à la construction d'une butée de 1.10 m voire 1.20 m de côté. Cela simplifie le coffrage et apporte une marge de sécurité supplémentaire.

Schéma (Avant les calculs)
Interaction Butée-Sol
Sol vierge Butée (A) R σ_sol
Calcul(s)

Conversion de \(\sigma_{\text{sol}}\)

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{sol}} &= 0.15 \, \text{MPa} \\ &= 0.15 \times 10^6 \, \text{Pa (ou N/m}^2\text{)} \end{aligned} \]

Calcul de la surface \(A_{\text{butée}}\)

\[ \begin{aligned} A_{\text{butée}} &= \frac{159950 \, \text{N}}{0.15 \times 10^6 \, \text{N/m}^2} \\ &\approx 1.07 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Dimension d'une base carrée \(L\)

\[ \begin{aligned} L &= \sqrt{A_{\text{butée}}} \\ &= \sqrt{1.07} \\ &\approx 1.03 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Proposition de Butée Carrée
L = 1.10 m L = 1.10 m
Réflexions

Le dimensionnement final montre qu'un massif en béton d'environ 1 mètre de côté est nécessaire pour reprendre une force de 16 tonnes (160 kN). Cela illustre l'ampleur des forces en jeu dans les réseaux d'eau sous pression, même pour des diamètres et pressions courants.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique serait une mauvaise conversion d'unités entre la force en Newtons et la contrainte en MégaPascals. 1 MPa = \(10^6\) Pa. Une erreur ici peut conduire à un sous-dimensionnement dangereux de l'ouvrage.

Points à retenir
  • Principe de base du dimensionnement : \(\text{Contrainte} \le \text{Contrainte admissible}\).
  • Formule clé : \(A_{\text{min}} = F / \sigma_{\text{adm}}\).
  • La fiabilité du calcul dépend de la qualité de la donnée géotechnique \(\sigma_{\text{sol}}\).
Le saviez-vous ?

Karl von Terzaghi, considéré comme le père de la mécanique des sols moderne au début du 20ème siècle, a révolutionné le domaine en introduisant le concept de "contrainte effective", qui est la base de tous les calculs de stabilité des sols aujourd'hui.

FAQ

Questions fréquentes sur ce sujet.

Que se passe-t-il si le sol est de mauvaise qualité ?

Si la contrainte admissible du sol est plus faible, la surface de la butée devra être plus grande pour répartir la force. Si le sol est vraiment mauvais, des solutions plus complexes peuvent être nécessaires, comme des fondations profondes (pieux) ou un renforcement du sol.

Résultat Final
Il faut une surface d'appui minimale de \(1.07 \, \text{m}^2\). On peut prévoir une butée carrée de \(1.10 \, \text{m}\) de côté pour la construction.
A vous de jouer

Quel serait le côté \(L\) de la butée carrée (en \(\text{m}\)) si la contrainte admissible du sol était de seulement 0.10 \(\text{MPa}\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Poussée

Utilisez cet outil pour voir comment la pression d'entrée et le débit influencent la force résultante sur le coude et la taille de la butée nécessaire. Les autres paramètres (\(D_1\), \(D_2\), \(\sigma_{\text{sol}}\)) sont ceux de l'exercice.

Paramètres d'Entrée
5.0 bar
1.0 m³/s
Résultats Clés
Force Résultante (kN) -
Côté de la butée carrée (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le débit dans le coude double, comment la partie dynamique de la force (liée à la vitesse) évolue-t-elle ?

2. Selon le théorème de Bernoulli (sans pertes), si la vitesse du fluide augmente, sa pression...

3. Quel est le but principal d'une butée en béton sur un coude ?

Butée (ou Massif de Butée)
Un massif en béton ou autre matériau, coulé contre un sol non remanié, conçu pour reprendre les efforts exercés par une canalisation (poussée hydrodynamique) et les transmettre au sol environnant.
Théorème d'Euler
Application du principe fondamental de la dynamique à un volume de fluide. Il établit que la résultante des forces extérieures appliquées à un fluide est égale à la variation de sa quantité de mouvement.
Poussée Hydrodynamique
La force résultante exercée par un fluide en mouvement sur un obstacle ou un changement de géométrie, comme un coude. Elle a une composante statique (pression) et une composante dynamique (vitesse).
Régime Permanent
Un régime d'écoulement où les propriétés du fluide (vitesse, pression, masse volumique) en chaque point du système ne varient pas au cours du temps.
Exercice : Butée de Support pour un Coude

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