Bilan Hydraulique d’un Système de Pompage

Bilan Hydraulique d'un Système de Pompage

Bilan Hydraulique d'un Système de Pompage

Contexte : L'hydraulique en charge et le dimensionnement de pompes

L'hydraulique en charge étudie les écoulements de liquides dans des conduites pleines, où la pression est supérieure à la pression atmosphérique. Un cas d'application majeur est le transport d'eau d'un point bas (comme un puits ou une nappe phréatique) vers un point haut (un réservoir de stockage). Pour vaincre la différence d'altitude et les pertes de chargeÉnergie dissipée par le frottement du fluide sur les parois de la conduite (pertes linéaires) et par les accidents de parcours comme les coudes ou les vannes (pertes singulières)., une pompe est nécessaire. Établir le bilan hydraulique complet est une étape cruciale pour choisir une pompe adaptée, capable de fournir le débit requis sans gaspiller d'énergie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est au cœur du métier d'ingénieur hydraulicien. Un mauvais calcul peut mener au choix d'une pompe sous-dimensionnée (qui ne fournit pas le débit attendu) ou sur-dimensionnée (qui consomme trop d'énergie et s'use prématurément). La maîtrise de ce calcul est donc essentielle pour la conception de réseaux d'eau potable, d'irrigation ou de circuits industriels.


Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse de l'écoulement et le nombre de ReynoldsNombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement (laminaire ou turbulent). Essentiel pour déterminer le coefficient de perte de charge..
  • Déterminer le coefficient de pertes de charge linéaires (λ) à l'aide de la formule de Colebrook-White.
  • Calculer les pertes de charge linéaires et singulières d'un circuit.
  • Calculer la Hauteur Manométrique TotaleÉnergie totale que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre la hauteur géométrique et toutes les pertes de charge du circuit. C'est le point de fonctionnement de la pompe. (HMT) du système.
  • Calculer la puissance hydraulique et la puissance absorbée par la pompe.

Données de l'étude

On souhaite pomper de l'eau d'un puits vers un réservoir situé en hauteur. Le système est constitué d'une pompe, d'une conduite d'aspiration et d'une conduite de refoulement.

Schéma du Système de Pompage
Niveau puits (Z_A = 10m) Niveau réservoir (Z_B = 50m) Pompe Crépine (K=2) Coude 90° (K=0.4) Clapet (K=1.5) Vanne (K=0.2) Coude 90° (K=0.4)

Données disponibles :

  • Fluide : Eau à 20°C (masse volumiqueMasse par unité de volume. Pour l'eau, environ 1000 kg/m³. \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\), viscosité cinématiqueMesure de la résistance interne d'un fluide à l'écoulement. Pour l'eau à 20°C, elle est de 10⁻⁶ m²/s. \(\nu = 10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}\))
  • Débit souhaité : \( Q = 50 \, \text{L/s} \)
  • Altitude du plan d'eau dans le puits : \(Z_A = 10 \, \text{m}\)
  • Altitude du plan d'eau dans le réservoir : \(Z_B = 50 \, \text{m}\)
  • Conduite (aspiration et refoulement) : PVC, diamètre intérieur \(D = 200 \, \text{mm}\), rugositéHauteur moyenne des aspérités à l'intérieur de la conduite. Elle influence les frottements. \(k_s = 0.01 \, \text{mm}\)
  • Longueur totale de la conduite : \(L = 150 \, \text{m}\)
  • Rendement de la pompe : \(\eta = 0.75\)

Accessoires du circuit (points singuliers) :

Accessoire Coefficient de perte de charge (K)
Crépine d'aspiration 2.0
Coude à 90° (x2) 0.4
Clapet anti-retour 1.5
Vanne à passage direct (ouverte) 0.2
Sortie dans le réservoir 1.0

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse d'écoulement \(V\) dans la conduite, puis le nombre de Reynolds \(Re\).
  2. Calculer le coefficient de pertes de charge linéaires \(\lambda\) avec la formule de Colebrook-White.
  3. Calculer les pertes de charge totales (linéaires \(J_{lin}\) et singulières \(J_{sing}\)).
  4. Déterminer la Hauteur Manométrique Totale (HMT) que la pompe doit fournir.
  5. Calculer la puissance hydraulique (\(P_h\)) et la puissance absorbée par la pompe (\(P_{abs}\)).

Correction : Bilan Hydraulique d'un Système de Pompage

Question 1 : Vitesse et Nombre de Reynolds

Normes et Principes

La première étape de tout calcul hydraulique est de caractériser l'écoulement. La vitesse est déterminée par le débit et la section de la conduite. Le nombre de Reynolds (Re) permet ensuite de savoir si l'écoulement est laminaire (Re < 2000), transitoire ou turbulent (Re > 4000), ce qui conditionne le calcul des pertes de charge.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Ces deux valeurs, Vitesse et Reynolds, sont les "papiers d'identité" de l'écoulement. Sans elles, impossible de continuer. Elles nous disent à quelle vitesse le fluide se déplace et s'il le fait de manière ordonnée (laminaire) ou chaotique (turbulent).

Visualisation du Principe
Débit (Q) Diamètre (D) V = Q / (πD²/4) Vitesse (V) Re
Formule(s) utilisée(s)
\[ V = \frac{Q}{A} \quad \text{avec} \quad A = \frac{\pi D^2}{4} \] \[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \]
Calcul(s)

Conversion des unités :

\[ Q = 50 \, \text{L/s} = 0.05 \, \text{m}^3/\text{s} \] \[ D = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m} \]

Calcul de la section de la conduite :

\[ A = \frac{\pi \times (0.2 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.04 \, \text{m}^2}{4} \approx 0.0314 \, \text{m}^2 \]

Calcul de la vitesse :

\[ V = \frac{0.05 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.0314 \, \text{m}^2} \approx 1.59 \, \text{m/s} \]

Calcul du nombre de Reynolds :

\[ Re = \frac{1.59 \, \text{m/s} \times 0.2 \, \text{m}}{10^{-6} \, \text{m}^2/\text{s}} = 318 \, 000 \]
Points de Vigilance

Cohérence des Unités : C'est le piège numéro 1. Tous les calculs doivent être effectués dans le Système International (mètres, secondes, m³, etc.). Une erreur de conversion du débit ou du diamètre est fatale pour la suite.

Résultat Question 1 : Vitesse \(V \approx 1.59 \, \text{m/s}\), Reynolds \(Re = 318 \, 000\). L'écoulement est franchement turbulent.

Question 2 : Coefficient de pertes de charge (λ)

Normes et Principes

Pour un écoulement turbulent dans une conduite rugueuse, le coefficient de frottement λ (lambda) dépend à la fois du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite (\(k_s/D\)). La formule de Colebrook-White est la référence pour le calculer. C'est une formule implicite, qui se résout par itérations ou via des abaques comme le diagramme de Moody.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La formule de Colebrook peut sembler intimidante. En pratique, les ingénieurs utilisent souvent des calculateurs ou des approximations (comme la formule de Haaland) pour la résoudre. Comprendre son rôle est plus important que de la mémoriser : elle lie la physique de l'écoulement (Re) aux caractéristiques de la conduite (rugosité) pour quantifier les frottements.

Visualisation du Principe
Re = 318000 ks/D = 0.00005 Colebrook 1/√λ = -2log(...) λ ≈ 0.0148
Formule(s) utilisée(s)
\[ \frac{1}{\sqrt{\lambda}} = -2 \log_{10} \left( \frac{k_s}{3.7 D} + \frac{2.51}{Re \sqrt{\lambda}} \right) \]
Calcul(s)

La formule étant implicite, on la résout par itérations. On part d'une estimation de λ et on affine le résultat.

Calcul de la rugosité relative :

\[ \frac{k_s}{D} = \frac{0.01\text{mm}}{200\text{mm}} = 0.00005 \]

Itération 1 : On choisit une valeur initiale \(\lambda_0 = 0.02\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00005}{3.7} + \frac{2.51}{318000 \sqrt{0.02}} \right) \\ &= -2 \log_{10}(1.351 \times 10^{-5} + 5.583 \times 10^{-5}) \\ &= -2 \log_{10}(6.934 \times 10^{-5}) \\ &\approx 8.319 \end{aligned} \]
\[ \lambda_1 = \left(\frac{1}{8.319}\right)^2 \approx 0.0144 \]

Itération 2 : On réinjecte \(\lambda_1 = 0.0144\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00005}{3.7} + \frac{2.51}{318000 \sqrt{0.0144}} \right) \\ &= -2 \log_{10}(1.351 \times 10^{-5} + 6.581 \times 10^{-5}) \\ &= -2 \log_{10}(7.932 \times 10^{-5}) \\ &\approx 8.201 \end{aligned} \]
\[ \lambda_2 = \left(\frac{1}{8.201}\right)^2 \approx 0.0149 \]

Itération 3 : On réinjecte \(\lambda_2 = 0.0149\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{\lambda_3}} &= -2 \log_{10} \left( \frac{0.00005}{3.7} + \frac{2.51}{318000 \sqrt{0.0149}} \right) \\ &= -2 \log_{10}(1.351 \times 10^{-5} + 6.476 \times 10^{-5}) \\ &= -2 \log_{10}(7.827 \times 10^{-5}) \\ &\approx 8.214 \end{aligned} \]
\[ \lambda_3 = \left(\frac{1}{8.214}\right)^2 \approx 0.0148 \]

La valeur se stabilise. On retient \(\lambda \approx 0.0148\).

Points de Vigilance

Calcul Implicite : On ne peut pas isoler λ directement. Il faut utiliser une méthode numérique (calculatrice avec solveur, tableur) ou une méthode graphique (Diagramme de Moody). Une erreur commune est de mal utiliser son outil de résolution.

Résultat Question 2 : Le coefficient de pertes de charge linéaires est λ ≈ 0.0148.

Question 3 : Pertes de charge totales

Normes et Principes

L'énergie totale perdue par le fluide se décompose en deux : les pertes linéaires (frottement sur toute la longueur) et les pertes singulières (turbulences créées par les accessoires). On les additionne pour obtenir la perte de charge totale du circuit.

Remarque Pédagogique

Point Clé : Imaginez un trajet en voiture. Les pertes linéaires sont comme la consommation de carburant sur l'autoroute (constante sur la distance). Les pertes singulières sont comme les coups de frein et d'accélérateur aux péages et dans les virages (pertes d'énergie ponctuelles). Il faut les deux pour connaître la consommation totale.

Visualisation du Principe
Pertes Linéaires (J_lin) + Pertes Singulières (J_sing) Pertes Totales (J_total)
Formule(s) utilisée(s)
\[ J_{lin} = \lambda \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g} \quad \text{et} \quad J_{sing} = \left( \sum K \right) \frac{V^2}{2g} \]

avec \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)

Calcul(s)

Calcul du terme d'énergie cinétique :

\[ \frac{V^2}{2g} = \frac{(1.59 \, \text{m/s})^2}{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 0.129 \, \text{m} \]

Calcul des pertes de charge linéaires :

\[ J_{lin} = 0.0148 \times \frac{150 \, \text{m}}{0.2 \, \text{m}} \times 0.129 \, \text{m} \approx 1.43 \, \text{m} \]

Calcul des pertes de charge singulières :

\[ \sum K = \underbrace{2.0}_{\text{Crépine}} + \underbrace{(2 \times 0.4)}_{\text{Coudes}} + \underbrace{1.5}_{\text{Clapet}} + \underbrace{0.2}_{\text{Vanne}} + \underbrace{1.0}_{\text{Sortie}} = 5.5 \]
\[ J_{sing} = 5.5 \times 0.129 \, \text{m} \approx 0.71 \, \text{m} \]

Calcul des pertes de charge totales :

\[ \begin{aligned} J_{total} &= J_{lin} + J_{sing} \\ &= 1.43 \, \text{m} + 0.71 \, \text{m} \\ &= 2.14 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Somme des K : Une erreur fréquente est d'oublier un accessoire ou de mal compter le nombre de coudes. Il faut systématiquement lister tous les points singuliers et sommer leurs coefficients K avant de faire le calcul.

Conclusion : Les pertes de charge totales du circuit sont d'environ 2.14 m.

Question 4 : Hauteur Manométrique Totale (HMT)

Normes et Principes

La HMT est l'énergie totale (exprimée en mètres de colonne d'eau) que la pompe doit fournir. Elle correspond à la somme de la hauteur géométrique à vaincre (la différence d'altitude entre l'arrivée et le départ) et de toutes les pertes de charge du circuit. C'est la valeur clé pour sélectionner une pompe sur son graphique de performance.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La HMT, c'est "l'effort total" de la pompe. Elle doit non seulement "soulever" l'eau (hauteur géométrique), mais aussi la "pousser" contre les frottements (pertes de charge). C'est pour cela qu'on additionne les deux.

Visualisation du Principe
ΔZ = 40m J = 2.14m } HMT = 42.14m Z_A Z_B
Formule(s) utilisée(s)
\[ HMT = (Z_B - Z_A) + J_{total} \]
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} HMT &= (Z_B - Z_A) + J_{total} \\ &= (50 \, \text{m} - 10 \, \text{m}) + 2.14 \, \text{m} \\ &= 40 \, \text{m} + 2.14 \, \text{m} \\ &= 42.14 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de Vigilance

Pression au refoulement : La HMT n'est pas la pression en sortie de pompe. Elle représente une charge totale (pression + altitude + vitesse). Si le réservoir était sous pression, il faudrait ajouter ce terme de pression (converti en mètres) à la HMT.

Résultat Question 4 : La pompe doit fournir une HMT d'environ 42.14 m.

Question 5 : Puissances de la pompe

Normes et Principes

La puissance hydraulique (\(P_h\)) est la puissance réellement transmise au fluide. La puissance absorbée (\(P_{abs}\)) est la puissance que le moteur de la pompe doit consommer sur le réseau électrique. La différence entre les deux est perdue à cause du rendement (\(\eta\)) de la pompe (pertes mécaniques, hydrauliques, etc.). C'est la puissance absorbée qui est utilisée pour dimensionner l'alimentation électrique et estimer les coûts de fonctionnement.

Remarque Pédagogique

Point Clé : La puissance hydraulique, c'est la puissance "utile". La puissance absorbée, c'est la puissance "facturée". Le rendement \(\eta\) est toujours inférieur à 1, ce qui signifie qu'on paye toujours plus d'énergie que ce que le fluide reçoit réellement.

Visualisation du Principe
P_abs (facturée) Pompe η = 0.75 P_hyd (utile) Pertes
Formule(s) utilisée(s)
\[ P_h = \rho \cdot g \cdot Q \cdot HMT \quad \text{et} \quad P_{abs} = \frac{P_h}{\eta} \]
Calcul(s)

Calcul de la puissance hydraulique (en Watts) :

\[ \begin{aligned} P_h &= \rho \cdot g \cdot Q \cdot HMT \\ &= 1000 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 0.05 \, \text{m}^3/\text{s} \times 42.14 \, \text{m} \\ &\approx 20671 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ P_h \approx 20.7 \, \text{kW} \]

Calcul de la puissance absorbée (en Watts) :

\[ \begin{aligned} P_{abs} &= \frac{P_h}{\eta} \\ &= \frac{20671 \, \text{W}}{0.75} \\ &\approx 27561 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ P_{abs} \approx 27.6 \, \text{kW} \]
Points de Vigilance

Rendement global : L'exercice donne un rendement de pompe de 0.75. Dans un cas réel, il faudrait considérer le rendement du moteur électrique également. La puissance facturée au compteur électrique dépend du rendement global de l'ensemble "moteur + pompe".

Résultat Question 5 : La puissance hydraulique est de 20.7 kW et la puissance absorbée par la pompe est de 27.6 kW.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Nombre de Reynolds (Re) Cliquez pour révéler
Pertes de Charge Totales (J) Cliquez pour révéler
HMT Cliquez pour révéler
Puissance Hydraulique (P_h) Cliquez pour révéler
Puissance Absorbée (P_abs) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Pour réduire les coûts, on envisage d'utiliser une conduite de diamètre 150 mm au lieu de 200 mm. Sans refaire tous les calculs, que pouvez-vous dire de l'impact sur la HMT et la puissance absorbée ?


Simulation Interactive du Point de Fonctionnement

Variez le débit et le diamètre de la conduite pour voir leur influence sur la HMT et la puissance nécessaire.

Paramètres de Simulation
Vitesse (m/s)
Pertes de charge (m)
HMT (m)
Puissance Absorbée (kW)
Visualisation : Composantes de la HMT

Pièges à Éviter

Oublier les pertes singulières : Les pertes de charge dans les coudes, vannes et autres accessoires sont souvent négligées dans les calculs rapides. Sur des circuits courts et sinueux, elles peuvent représenter une part très significative des pertes totales et ne doivent jamais être oubliées.

Utiliser la mauvaise rugosité : Chaque matériau de conduite (PVC, fonte, acier, etc.) a sa propre rugosité (ks). Utiliser une valeur pour un autre matériau peut fausser significativement le calcul de λ et donc les pertes de charge linéaires.


Pour Aller Plus Loin : Courbe de Pompe et NPSH

1. Courbe caractéristique de la pompe

Dans la réalité, le travail ne s'arrête pas au calcul de la HMT. Il faut ensuite superposer la "courbe du réseau" (qui montre l'évolution de la HMT en fonction du débit) avec la "courbe de la pompe" (fournie par le constructeur). Le point d'intersection de ces deux courbes donne le point de fonctionnement réel du système (débit et HMT effectifs).

2. Vérification du NPSH (Net Positive Suction Head)

Il est crucial de vérifier que la pression à l'aspiration de la pompe reste suffisante pour éviter le phénomène de cavitationFormation de bulles de vapeur dans le liquide lorsque la pression chute, qui implosent violemment dans la pompe et causent des dégâts importants., qui peut détruire la pompe. Ce calcul, appelé vérification du NPSH disponible par rapport au NPSH requis, est une condition de sécurité impérative.


Le Saviez-Vous ?

Le diagramme de Moody, cet abaque universel utilisé par des générations d'ingénieurs pour trouver le coefficient de frottement λ, a été publié pour la première fois en 1944 par Lewis Ferry Moody. Il reste aujourd'hui un outil pédagogique et pratique de référence, même si les calculateurs numériques basés sur la formule de Colebrook sont plus précis.


Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre pertes de charge linéaires et singulières ?

Les pertes de charge linéaires (ou régulières) sont dues au frottement du fluide sur toute la longueur des parois internes de la conduite. Elles sont proportionnelles à la longueur de la conduite. Les pertes de charge singulières sont causées par les turbulences locales créées par des "accidents" sur le parcours : coudes, tés, vannes, élargissements, etc. Elles sont ponctuelles.

Pourquoi la vitesse de l'eau est-elle si importante ?

La vitesse a un impact majeur car les pertes de charge sont proportionnelles au carré de la vitesse (\(V^2\)). Si vous doublez la vitesse dans une conduite (en augmentant le débit), vous multipliez les pertes de charge par quatre. Le choix du diamètre de la conduite, qui fixe la vitesse pour un débit donné, est donc un compromis crucial entre le coût d'investissement de la conduite et le coût de fonctionnement (énergie pour vaincre les pertes de charge).


Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le débit dans une conduite sans changer son diamètre, les pertes de charge linéaires sont approximativement...

2. La Hauteur Manométrique Totale (HMT) représente :


Glossaire

Hauteur Manométrique Totale (HMT)
Énergie totale que la pompe doit fournir au fluide pour vaincre la hauteur géométrique et toutes les pertes de charge du circuit. C'est le point de fonctionnement de la pompe.
Pertes de Charge
Énergie dissipée par le frottement du fluide sur les parois de la conduite (pertes linéaires) et par les accidents de parcours comme les coudes ou les vannes (pertes singulières).
Nombre de Reynolds (Re)
Nombre sans dimension qui caractérise le régime d'un écoulement (laminaire ou turbulent). Essentiel pour déterminer le coefficient de perte de charge.
Coefficient de pertes de charge (λ)
Coefficient sans dimension qui quantifie le frottement du fluide dans la conduite. Il dépend du régime d'écoulement (Re) et de la rugosité de la conduite.
Cavitation
Phénomène de vaporisation du liquide à l'aspiration de la pompe, dû à une pression trop faible. Les bulles de vapeur implosent ensuite brutalement, causant des dégâts importants à la pompe.
Hydraulique en Charge : Circuits & Réseaux - Exercice d'Application
Calculatrice
Calculateur de HMT
Calculateur Pertes de Charge
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Calculateur de HMT

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