Bilan Énergétique sur une Section de Conduite

Comprendre le Bilan Énergétique

Le premier principe de la thermodynamique, appliqué à la mécanique des fluides, est souvent exprimé par l'équation de Bernoulli. Dans sa forme idéale, elle décrit la conservation de l'énergie entre deux points d'un écoulement. Cependant, dans tout circuit réel, l'énergie n'est jamais parfaitement conservée : une partie est "perdue" à cause du frottement du fluide contre les parois et des turbulences créées par les coudes, vannes et autres obstacles. Ces pertes de chargePerte d'énergie irréversible dans un fluide en mouvement, principalement due au frottement et aux turbulences. Elle se traduit par une diminution de la pression et une augmentation de la température du fluide. sont en réalité une conversion d'énergie mécanique en chaleur. Le bilan énergétique complet, ou équation de Bernoulli généralisée, prend en compte ces pertes, ce qui est fondamental pour dimensionner correctement une pompe ou prédire la pression disponible à un point donné d'un circuit.

Remarque Pédagogique : L'équation de Bernoulli généralisée est l'un des outils les plus puissants de l'ingénieur hydraulicien. Elle permet de répondre à des questions pratiques comme : "Quelle pression doit fournir ma pompe au point A pour garantir une pression suffisante au point B, situé 10 mètres plus haut, en tenant compte des frottements dans 50 mètres de tuyau ?"

Données de l'étude

Une pompe fait circuler de l'eau d'un point A vers un point B plus élevé à travers une conduite de diamètre constant. On cherche à déterminer la pression au point B.

Caractéristiques du circuit et du fluide :

Fluide : Eau (\(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\))
Pression relative au point A (\(P_A\)) : \(2.5 \, \text{bar}\)
Altitude du point A (\(z_A\)) : \(0 \, \text{m}\)
Altitude du point B (\(z_B\)) : \(8 \, \text{m}\)
Débit (\(Q\)) : \(60 \, \text{L/min}\)
Diamètre intérieur de la conduite (\(D\)) : \(25 \, \text{mm}\)
Pertes de chargePerte d'énergie irréversible dans un fluide en mouvement, principalement due au frottement et aux turbulences. Elle se traduit par une diminution de la pression et une augmentation de la température du fluide. totales entre A et B (\(h_f\)) : \(3 \, \text{m}\) (exprimées en mètres de colonne de fluide)

Constantes :

Accélération de la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Pression atmosphérique (\(P_{atm}\)) : \(1 \, \text{bar} = 100,000 \, \text{Pa}\)

Schéma du Circuit Hydraulique

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'eau (\(v\)) dans la conduite.
Convertir la pression initiale \(P_A\) et les pertes de charge \(h_f\) en Pascals.
Poser l'équation de Bernoulli généralisée entre les points A et B.
Calculer la pression relative au point B (\(P_B\)) en bars.

Correction : Bilan Énergétique sur une Section de Conduite

Question 1 : Vitesse de l'Eau (\(v\))

Principe :

La vitesse du fluide est déterminée par le débit (\(Q\)) et la section de la conduite (\(A\)). Comme le diamètre est constant, la vitesse est la même aux points A et B. Il est crucial d'utiliser des unités SI (m³/s et m²) pour obtenir une vitesse en m/s.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Même si la vitesse est la même en A et B, le terme d'énergie cinétique (\(\frac{1}{2}\rho v^2\)) doit figurer dans l'équation de Bernoulli. Il représente une partie de l'énergie totale du fluide. Dans ce cas précis, les termes s'annuleront, mais ce n'est pas toujours le cas (si le diamètre changeait, par exemple).

Formule(s) utilisée(s) :

A = \frac{\pi D^2}{4} \quad \text{et} \quad v = \frac{Q}{A}

Données(s) et Conversions :

Débit (\(Q\)) : \(60 \, \text{L/min} = 60/60000 = 0.001 \, \text{m}^3/\text{s}\)
Diamètre (\(D\)) : \(25 \, \text{mm} = 0.025 \, \text{m}\)

Calcul(s) :

1. Calcul de la section :

\begin{aligned} A &= \frac{\pi \times (0.025 \, \text{m})^2}{4} \\ &\approx 0.000491 \, \text{m}^2 \end{aligned}

2. Calcul de la vitesse :

\begin{aligned} v &= \frac{0.001 \, \text{m}^3/\text{s}}{0.000491 \, \text{m}^2} \\ &\approx 2.04 \, \text{m/s} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La vitesse de l'eau dans la conduite est \(v \approx 2.04 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Conversion des Pressions et Pertes

Principe :

L'équation de Bernoulli fonctionne avec des pressions absolues et des pertes exprimées en pression (Pascals). Il faut donc convertir la pression relative \(P_A\) en pression absolue en y ajoutant la pression atmosphérique. Les pertes de charge, données en mètres de colonne d'eau (\(h_f\)), doivent être converties en une perte de pression (\(\Delta P_f\)) via la formule \(\Delta P_f = \rho g h_f\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Exprimer les pertes en "mètres de colonne de fluide" est très courant. C'est une façon intuitive de visualiser la perte d'énergie : c'est comme si le fluide avait dû monter de \(h_f\) mètres supplémentaires à cause du frottement.

Calcul(s) :

1. Pression absolue en A :

\begin{aligned} P_{A,abs} &= P_{A,rel} + P_{atm} \\ &= (2.5 \times 100,000) + 100,000 \\ &= 350,000 \, \text{Pa} \end{aligned}

2. Perte de charge en Pascals :

\begin{aligned} \Delta P_f &= \rho \cdot g \cdot h_f \\ &= 1000 \times 9.81 \times 3 \\ &= 29,430 \, \text{Pa} \end{aligned}

Résultat Question 2 : La pression absolue en A est de \(350,000 \, \text{Pa}\) et les pertes de charge correspondent à une chute de pression de \(29,430 \, \text{Pa}\).

Question 3 : Équation de Bernoulli Généralisée

Principe :

L'équation de Bernoulli généralisée établit le bilan énergétique entre deux points. L'énergie totale au point A (pression, potentielle, cinétique) est égale à l'énergie totale au point B plus toute l'énergie perdue en chemin (les pertes de charge).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On peut écrire l'équation de deux manières : soit en termes de pression (en Pascals), soit en termes de "hauteur" ou "charge" (en mètres). Les deux sont équivalentes, il suffit de diviser ou multiplier chaque terme par \(\rho g\). Les hydrauliciens utilisent souvent la forme en "mètres" car elle est plus visuelle.

Formule(s) utilisée(s) :

Forme en "pressions" (en Pascals) :

P_{A,abs} + \rho g z_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 = P_{B,abs} + \rho g z_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \Delta P_f

Forme en "hauteurs" ou "charges" (en mètres) :

\frac{P_{A,abs}}{\rho g} + z_A + \frac{v_A^2}{2g} = \frac{P_{B,abs}}{\rho g} + z_B + \frac{v_B^2}{2g} + h_f

Question 4 : Pression Relative au Point B (\(P_B\))

Principe :

En utilisant l'équation de Bernoulli posée précédemment et en y insérant toutes les valeurs connues, on peut isoler le seul terme inconnu : la pression absolue au point B, \(P_{B,abs}\). Une fois cette valeur trouvée, on la convertit en pression relative pour obtenir la lecture qu'indiquerait un manomètre au point B.

Calcul(s) :

Puisque \(v_A = v_B\), les termes d'énergie cinétique s'annulent. On réarrange l'équation pour isoler \(P_{B,abs}\) :

P_{B,abs} = P_{A,abs} + \rho g (z_A - z_B) - \Delta P_f

\begin{aligned} P_{B,abs} &= 350,000 + 1000 \times 9.81 \times (0 - 8) - 29,430 \\ &= 350,000 - 78,480 - 29,430 \\ &= 242,090 \, \text{Pa} \end{aligned}

Enfin, on calcule la pression relative en B :

\begin{aligned} P_{B,rel} &= P_{B,abs} - P_{atm} \\ &= 242,090 - 100,000 \\ &= 142,090 \, \text{Pa} \end{aligned}

Résultat Question 4 : La pression relative au point B est d'environ \(1.42 \, \text{bar}\).

Test de Compréhension : Si les pertes de charge (\(h_f\)) étaient nulles, la pression au point B serait...

...identique.
...plus élevée.
...plus basse.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre	Valeur Calculée	Unité
Vitesse dans la conduite (\(v\))	Cliquez pour révéler	m/s
Pression absolue en A (\(P_{A,abs}\))	Cliquez pour révéler	Pa
Pertes de charge (\(\Delta P_f\))	Cliquez pour révéler	Pa
Pression relative en B (\(P_B\))	Cliquez pour révéler	bar

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On remplace l'eau par une huile de masse volumique \(\rho = 850 \, \text{kg/m}^3\). Toutes les autres données (vitesses, altitudes, \(h_f=3m\)) restent les mêmes. Quelle est la nouvelle pression relative en B (en bar) ?

\(P_{B,rel}\) (en bar) =

Pièges à Éviter

Pressions Relatives/Absolues : Ne jamais appliquer Bernoulli avec un mélange de pressions relatives et absolues. Convertissez tout en absolu pour le calcul, puis reconvertissez le résultat final en relatif si nécessaire.

Pertes de charge (\(h_f\) vs \(\Delta P_f\)) : Ne confondez pas la perte de charge en mètres (\(h_f\)) et la perte de pression en Pascals (\(\Delta P_f\)). Assurez-vous d'utiliser la bonne forme de l'équation de Bernoulli en fonction de l'unité de vos pertes.

Énergie Potentielle (\(\rho g z\)) : N'oubliez pas le terme d'énergie potentielle lié à la différence d'altitude. C'est une erreur fréquente quand on se concentre trop sur les pressions et les vitesses.

Simulation Interactive du Bilan Énergétique

Variez les pertes de charge et la hauteur du point B pour voir comment la pression finale est affectée. Le graphique montre la répartition de l'énergie en chaque point.

Paramètres de Simulation

Pertes de Charge (\(h_f\)): 3 m

Altitude du Point B (\(z_B\)): 8 m

Bilan Énergétique (en mètres de colonne d'eau)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Calcul des Pertes de Charge : Dans cet exercice, \(h_f\) était donné. En pratique, on le calcule à l'aide de l'équation de Darcy-Weisbach, qui dépend de la longueur et du diamètre du tuyau, de la rugosité de sa paroi, et de la vitesse du fluide (via le nombre de Reynolds).

2. Pertes de Charge Singulières : En plus des pertes par frottement le long des tuyaux (pertes régulières), il existe des pertes "singulières" dues aux accidents de parcours : coudes, vannes, tés, élargissements... Chacun de ces éléments ajoute une perte de charge supplémentaire au bilan.

3. Ligne de Charge et Ligne Piézométrique : Les ingénieurs tracent souvent des graphiques de l'énergie le long d'un circuit. La ligne de charge représente l'énergie totale (\(z + P/\rho g + v^2/2g\)), tandis que la ligne piézométrique représente la somme de l'altitude et de la pression (\(z + P/\rho g\)). La ligne de charge ne peut que descendre (à cause des pertes), sauf si une pompe ajoute de l'énergie.

Le Saviez-Vous ?

Les aqueducs romains sont un exemple magistral de l'application intuitive du bilan énergétique. Pour transporter l'eau sur des dizaines de kilomètres, les ingénieurs devaient calculer une pente très précise et constante. Cette pente fournissait juste assez d'énergie potentielle (\(\rho g \Delta z\)) pour compenser les pertes par frottement sur toute la longueur, assurant un écoulement continu sans avoir besoin de pompes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la vitesse ne change-t-elle pas dans le calcul ?

Dans cet exercice, le diamètre de la conduite est constant entre les points A et B. Selon l'équation de continuité (\(Q=A \cdot v\)), si le débit \(Q\) et la section \(A\) sont constants, la vitesse \(v\) doit l'être aussi. L'énergie cinétique du fluide ne change donc pas, mais elle reste une composante de l'énergie totale à considérer dans le bilan.

Peut-on avoir une pression en B supérieure à celle en A ?

Oui, c'est possible, même si de l'énergie est perdue ! Si le tuyau descend (\(z_B < z_A\)), la conversion d'énergie potentielle en énergie de pression peut être supérieure aux pertes de charge. C'est le principe utilisé dans les centrales hydroélectriques de basse chute.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un écoulement réel d'un point A à un point B, l'énergie totale au point B est toujours...

Supérieure à l'énergie en A.
Égale à l'énergie en A.
Inférieure à l'énergie en A.

2. Une perte de charge de 5 mètres de colonne d'eau correspond à une perte de pression d'environ...

0.5 bar.
5 bar.
5000 Pa.

Glossaire

Équation de Bernoulli généralisée: Principe de conservation de l'énergie pour un fluide réel, qui inclut les termes de pression, de vitesse, d'altitude et les pertes de charge dues au frottement.
Pertes de charge (\(h_f\)): Perte d'énergie irréversible dans un fluide en mouvement, principalement due au frottement et aux turbulences. Elle se traduit par une diminution de la pression et une augmentation de la température du fluide.
Charge hydraulique: Énergie totale d'un fluide par unité de poids, souvent exprimée en mètres de colonne de fluide. Elle est la somme de la charge de pression, de la charge de vitesse et de la charge d'altitude.