Application du Théorème de Bernoulli
Contexte : Le Théorème de BernoulliPrincipe fondamental de la dynamique des fluides qui établit une relation entre la pression, la vitesse et l'altitude d'un fluide en mouvement..
Cet exercice porte sur l'étude de l'écoulement de l'eau dans une conduite présentant un rétrécissement, un cas d'application classique du théorème de Bernoulli. Nous analyserons comment la vitesse, la pression et l'énergie du fluide se modifient. Ce principe est essentiel pour le dimensionnement des réseaux hydrauliques, des pompes ou encore en aérodynamique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer concrètement l'équation de Bernoulli pour un fluide parfait et incompressible, en utilisant également le principe de conservation du débit et en explorant l'impact de la densité et de l'altitude.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser l'équation de conservation du débit (équation de continuité).
- Appliquer l'équation de Bernoulli entre deux points d'une ligne de courant.
- Calculer la variation de pression dans un écoulement suite à un changement de vitesse.
- Comprendre l'influence de la densité du fluide et de la dénivellation sur la pression.
Données de l'étude
Schéma de la conduite avec rétrécissement
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression au point A | \(P_A\) | 250 000 | Pa |
| Vitesse au point A | \(v_A\) | 2 | m/s |
| Diamètre au point A | \(D_A\) | 100 | mm |
| Diamètre au point B | \(D_B\) | 50 | mm |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Masse volumique du mercure | \(\rho_{\text{mercure}}\) | 13600 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
Pour les questions 1, 2, 3 et 6, on considère que le fluide est de l'eau et que la conduite est horizontale (\(z_A = z_B\)).
- Calculer le débit volumique \(Q_v\) dans la conduite.
- Calculer la vitesse de l'eau \(v_B\) au point B.
- En appliquant le théorème de Bernoulli, calculer la pression \(P_B\) au point B.
- Que pouvez-vous conclure sur la relation entre la vitesse et la pression dans ce cas ?
- (Bonus) Si la conduite était inclinée, le point B se trouvant 1 mètre plus haut que le point A (\(z_B = z_A + 1\) m), quelle serait la nouvelle pression \(P_B\) ?
- (Bonus) Si la conduite était à nouveau horizontale, mais que le fluide était du mercure, quelle serait la pression \(P_B\) ?
Les bases sur l'Hydraulique
Pour résoudre cet exercice, deux principes fondamentaux de la mécanique des fluides sont nécessaires.
1. Conservation du Débit (Équation de continuité)
Pour un fluide incompressible, le débit volumique (\(Q_v\)) est constant tout au long d'une conduite. Le débit est le produit de la section de la conduite (\(S\)) par la vitesse du fluide (\(v\)). Ainsi, entre deux points A et B :
\[ Q_v = S_A \cdot v_A = S_B \cdot v_B \]
2. Théorème de Bernoulli
Pour un fluide parfait et incompressible en écoulement permanent, la charge hydraulique totale est constante le long d'une ligne de courant. L'équation de Bernoulli entre deux points A et B s'écrit :
\[ P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g z_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g z_B \]
Où \(P\) est la pression, \(\rho\) la masse volumique, \(v\) la vitesse, \(g\) l'accélération de la pesanteur et \(z\) l'altitude.
Correction : Application du Théorème de Bernoulli
Question 1 : Calculer le débit volumique \(Q_v\).
Principe
Le débit volumique est le volume de fluide qui traverse une section par unité de temps. Pour un fluide incompressible, ce débit est constant tout au long de la conduite. On peut donc le calculer en n'importe quel point où la section et la vitesse sont connues, comme le point A.
Mini-Cours
Le concept de conservation de la masse est fondamental en physique. Pour un fluide incompressible, sa masse volumique \(\rho\) est constante. La conservation de la masse implique donc la conservation du volume. Le débit volumique \(Q_v\), mesuré en \(\text{m}^3/\text{s}\), représente ce volume traversant une section par seconde.
Remarque Pédagogique
Pour résoudre un problème, il est souvent judicieux de commencer par calculer les grandeurs qui restent constantes tout au long du système. Ici, le débit \(Q_v\) est un invariant, le calculer en premier est une bonne stratégie.
Normes
Le calcul du débit ne dépend pas d'une norme de construction spécifique (comme un Eurocode), mais du principe physique fondamental de la conservation de la masse, universellement applicable en mécanique des fluides.
Formule(s)
Hypothèses
Le calcul repose sur l'hypothèse que l'écoulement est permanent et que la vitesse \(v_A\) est uniforme sur toute la section \(S_A\).
Donnée(s)
- Vitesse au point A, \(v_A = 2 \, \text{m/s}\)
- Diamètre au point A, \(D_A = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m}\)
Astuces
Pensez à toujours convertir les unités (ici les millimètres en mètres) avant de commencer le calcul pour éviter les erreurs. Une section en \(\text{mm}^2\) et une vitesse en \(\text{m/s}\) donneraient un résultat incohérent.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons les données d'entrée au point A.
Focus sur le point A
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la section \(S_A\)
Étape 2 : Calcul du débit \(Q_v\)
Schéma (Après les calculs)
Le débit calculé est une propriété de l'ensemble de l'écoulement dans la conduite.
Visualisation du Débit
Réflexions
Un débit de \(0.0157 \, \text{m}^3/\text{s}\) peut être plus parlant en litres par seconde. Sachant que \(1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L}\), le débit est de \(0.0157 \times 1000 = 15.7 \, \text{L/s}\). C'est une information utile pour le dimensionnement de pompes, par exemple.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le diamètre au carré dans la formule de la section (\(S = \pi D^2 / 4\)). Une autre erreur fréquente est de mal convertir les unités.
Points à retenir
Concept Clé : Le débit volumique est constant dans une conduite pour un fluide incompressible.
Formule Essentielle : \(Q_v = S \cdot v\).
Le saviez-vous ?
Les grands fleuves ont des débits impressionnants. L'Amazone, par exemple, a un débit moyen d'environ \(209\,000 \, \text{m}^3/\text{s}\), soit plus de 13 millions de fois le débit de notre conduite !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la vitesse au point A était de \(3 \, \text{m/s}\), quel serait le nouveau débit en L/s ?
Question 2 : Calculer la vitesse de l'eau \(v_B\) au point B.
Principe
Puisque le débit doit rester constant et que la section de la conduite diminue au point B, le fluide est obligé d'accélérer pour "passer" dans cet espace plus restreint. La vitesse au point B sera donc supérieure à la vitesse au point A.
Mini-Cours
L'équation de continuité \(S_A v_A = S_B v_B\) montre une relation inverse entre la section et la vitesse. Si la section est divisée par un facteur \(k\), la vitesse est multipliée par ce même facteur \(k\). Dans notre cas, le rapport des sections \(S_A/S_B\) est de 4, donc la vitesse sera multipliée par 4.
Remarque Pédagogique
Avant de faire le calcul, ayez toujours une intuition du résultat. Ici, \(D_B < D_A\), donc on s'attend à ce que \(v_B > v_A\). Si votre calcul donne un résultat inférieur, c'est qu'il y a probablement une erreur.
Normes
Comme pour la question 1, ce calcul est basé sur des principes physiques fondamentaux et non sur des codes de construction spécifiques.
Formule(s)
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1 : fluide incompressible et écoulement permanent.
Donnée(s)
- Vitesse au point A, \(v_A = 2 \, \text{m/s}\)
- Diamètre au point A, \(D_A = 100 \, \text{mm}\)
- Diamètre au point B, \(D_B = 50 \, \text{mm}\)
Astuces
Utiliser le rapport des diamètres au carré \((D_A/D_B)^2\) est plus direct et moins sujet aux erreurs d'arrondi que de calculer chaque section séparément avant de faire la division.
Schéma (Avant les calculs)
Le problème est de trouver \(v_B\) en connaissant les conditions en A et la géométrie.
Relation entre A et B
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Le vecteur vitesse en B est 4 fois plus long que le vecteur vitesse en A.
Vecteurs Vitesse
Réflexions
Une vitesse de \(8 \, \text{m/s}\) (soit \(28.8 \, \text{km/h}\)) est une vitesse d'écoulement relativement élevée pour une conduite. Cela peut entraîner des pertes de charge (frottements) non négligeables, que nous ignorons ici en considérant un fluide parfait.
Points de vigilance
N'oubliez pas que la vitesse est proportionnelle à l'inverse du carré du diamètre, pas seulement à l'inverse du diamètre. C'est une erreur courante.
Points à retenir
Concept Clé : La vitesse d'un fluide incompressible est inversement proportionnelle à la section de passage.
Relation : \(v_B / v_A = (D_A / D_B)^2\).
Le saviez-vous ?
Le même principe est utilisé par les pompiers. En réduisant la section de sortie de la lance à incendie, ils augmentent considérablement la vitesse de l'eau, ce qui permet au jet d'atteindre une plus grande distance.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le diamètre \(D_B\) était de \(25 \, \text{mm}\), quelle serait la nouvelle vitesse \(v_B\) ?
Question 3 : Calculer la pression \(P_B\) au point B (conduite horizontale).
Principe
Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant. Cette énergie a trois composantes : l'énergie de pression (\(P\)), l'énergie cinétique (\(\frac{1}{2}\rho v^2\)) et l'énergie potentielle (\(\rho g z\)). Comme la conduite est horizontale, l'énergie potentielle ne change pas. L'augmentation de l'énergie cinétique (due à l'augmentation de la vitesse) doit donc être compensée par une diminution de l'énergie de pression.
Mini-Cours
Chaque terme de l'équation de Bernoulli a la dimension d'une pression (en Pascals). On parle de pression statique (\(P\)), de pression dynamique (\(\frac{1}{2}\rho v^2\)) et de pression hydrostatique (\(\rho g z\)). Pour un écoulement horizontal sans frottement, la somme de la pression statique et de la pression dynamique, appelée pression totale, est constante.
Remarque Pédagogique
C'est un résultat souvent contre-intuitif. On pourrait penser qu'en "pressant" le fluide dans un passage étroit, la pression augmente. En réalité, c'est l'inverse qui se produit car le fluide accélère. C'est le cœur de l'effet Venturi.
Normes
Le théorème de Bernoulli est un principe fondamental. Cependant, les normes de calcul (comme les DTU en France) introduisent des coefficients de sécurité et des calculs de "pertes de charge" pour tenir compte des frottements (viscosité) que le théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits ignore.
Formule(s)
Pour une conduite horizontale (\(z_A = z_B\)), l'équation de Bernoulli se simplifie :
Hypothèses
En plus des hypothèses précédentes, nous supposons que le fluide est parfait (sans viscosité), ce qui signifie qu'il n'y a aucune perte d'énergie par frottement entre les points A et B.
Donnée(s)
- Pression au point A, \(P_A = 250\,000 \, \text{Pa}\)
- Masse volumique de l'eau, \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- Vitesse au point A, \(v_A = 2 \, \text{m/s}\)
- Vitesse au point B, \(v_B = 8 \, \text{m/s}\) (calculée précédemment)
Astuces
Calculez d'abord la différence des carrés des vitesses (\(v_A^2 - v_B^2\)). Comme \(v_B > v_A\), ce terme sera négatif, ce qui confirmera que la pression \(P_B\) doit être inférieure à \(P_A\).
Schéma (Avant les calculs)
On représente la situation avec des manomètres pour visualiser les pressions. La pression en B est inconnue.
Manomètres avant calcul
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
La hauteur de la colonne d'eau dans le manomètre en B est plus faible, illustrant la baisse de pression.
Visualisation des pressions
Réflexions
La pression a chuté de \(30\,000 \, \text{Pa}\) (soit 0.3 bar). Cette différence de pression, appelée \(\Delta P\), est directement liée à l'accélération du fluide. C'est sur ce principe que fonctionnent les débitmètres à Venturi : en mesurant la différence de pression, on peut en déduire la vitesse et donc le débit.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes (SI). Si la pression est en bar, convertissez-la en Pascals (\(1 \, \text{bar} = 100\,000 \, \text{Pa}\)). Si les vitesses ne sont pas dans le bon ordre dans la soustraction, le résultat sera physiquement incorrect (une pression qui augmente avec la vitesse).
Points à retenir
Concept Clé : L'énergie totale d'un fluide parfait se conserve.
Formule Essentielle (horizontale) : \(P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constante}\).
Le saviez-vous ?
Les trombes marines et les tornades sont des manifestations extrêmes de l'effet Venturi. L'air tourbillonne à très grande vitesse au centre, ce qui crée une chute de pression drastique capable d'aspirer de l'eau ou des objets.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la pression initiale \(P_A\) était de \(300\,000 \, \text{Pa}\), quelle serait la nouvelle pression \(P_B\) ?
Question 4 : Conclusion sur la relation vitesse-pression.
Principe
Cette question est une synthèse qualitative des résultats quantitatifs précédents. Il s'agit de formuler le principe physique que nous avons observé à travers les calculs.
Mini-Cours
Ce phénomène, où la pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente, est connu sous le nom d'Effet Venturi, du nom du physicien italien Giovanni Battista Venturi. C'est une conséquence directe de la conservation de l'énergie dans un fluide en mouvement, formalisée par le théorème de Bernoulli.
Remarque Pédagogique
Cette relation inverse est l'un des concepts les plus importants et les plus applicables de la mécanique des fluides, de l'aéronautique à l'hydraulique en passant par la biologie (circulation sanguine).
Normes
Ce principe n'est pas une norme mais une loi physique. Les normes s'appuient sur cette loi pour définir des règles de conception, par exemple pour éviter la cavitation dans les pompes.
Formule(s)
La relation conceptuelle est : si \(v \uparrow\), alors \(P \downarrow\) (et inversement), pour \(z\) constant.
Hypothèses
Cette conclusion est valide pour un fluide parfait (sans frottement) et une conduite horizontale.
Schéma
Le schéma illustre qualitativement cette relation inverse.
Relation Vitesse-Pression
Réflexions
En comparant les résultats des questions 2 et 3, nous observons que :
- Au point A, où la section est grande, la vitesse est faible (\(2 \, \text{m/s}\)) et la pression est élevée (\(250 \, \text{kPa}\)).
- Au point B, où la section est petite, la vitesse est élevée (\(8 \, \text{m/s}\)) et la pression est faible (\(220 \, \text{kPa}\)).
Cela illustre une conclusion fondamentale du théorème de Bernoulli pour un écoulement horizontal : là où la vitesse du fluide augmente, sa pression diminue, et inversement. C'est un principe de conservation de l'énergie : l'énergie cinétique (liée à la vitesse) et l'énergie de pression s'échangent l'une l'autre pour que leur somme reste constante (en l'absence de frottements et de variation d'altitude).
Points de vigilance
Cette relation n'est vraie que si les autres termes d'énergie sont constants. Si l'altitude change, ou s'il y a des pertes de charge importantes, la relation directe "vitesse augmente, pression diminue" peut être modifiée.
Points à retenir
La relation inverse entre vitesse et pression dans un écoulement est l'un des enseignements les plus importants de la dynamique des fluides de base. C'est ce qu'on appelle l'Effet Venturi.
Le saviez-vous ?
C'est ce même principe qui explique la portance des ailes d'avion. L'air circule plus vite sur l'extrados (partie supérieure bombée) que sur l'intrados (partie inférieure plate). La vitesse plus élevée au-dessus crée une zone de basse pression, tandis que la vitesse plus faible en dessous crée une zone de haute pression. La différence de pression entre le dessous et le dessus de l'aile génère une force verticale vers le haut : la portance.
FAQ
Résultat Final
Question 5 : Calcul de \(P_B\) avec une conduite inclinée.
Principe
Lorsque la conduite n'est plus horizontale, le terme d'énergie potentielle de pesanteur (\(\rho g z\)) de l'équation de Bernoulli ne s'annule plus. Pour élever le fluide de 1 mètre, une partie de l'énergie du système doit être convertie en énergie potentielle. Cette énergie est "prélevée" sur les autres formes, principalement l'énergie de pression, ce qui va réduire davantage la pression au point B par rapport au cas horizontal.
Mini-Cours
Le terme \(\rho g (z_A - z_B)\) représente la variation de pression due uniquement au changement d'altitude. Si le fluide était au repos (\(v_A=v_B=0\)), on retrouverait la loi fondamentale de l'hydrostatique : \(P_B = P_A - \rho g (z_B - z_A)\). Bernoulli généralise cette loi aux fluides en mouvement.
Remarque Pédagogique
Décomposez le problème en deux effets : l'effet de la vitesse (calculé à la question 3) et l'effet de l'altitude. La pression finale sera la pression initiale, modifiée par ces deux effets qui s'additionnent (ou se soustraient).
Formule(s)
On utilise l'équation de Bernoulli complète :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment, mais on ne suppose plus que \(z_A = z_B\).
Donnée(s)
On pose un repère où \(z_A=0 \, \text{m}\), donc \(z_B=1 \, \text{m}\). La différence \((z_A - z_B) = -1 \, \text{m}\). On reprend les autres données des questions précédentes.
Schéma (Avant les calculs)
La conduite est maintenant inclinée, introduisant une différence d'altitude entre les points A et B.
Conduite inclinée
Calcul(s)
On repart du calcul de la question 3, qui représente le terme \(P_A + \frac{1}{2}\rho (v_A^2 - v_B^2)\), et on ajoute le terme de l'altitude.
Schéma (Après les calculs)
La pression en B est encore plus faible, car une partie de l'énergie a été utilisée pour vaincre la gravité.
Pressions dans la conduite inclinée
Réflexions
La pression a encore chuté de \(9810 \, \text{Pa}\) (environ 0.1 bar). Cette valeur correspond exactement à la pression exercée par une colonne d'eau de 1 mètre de haut (\(\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 1 = 9810\) Pa). L'énergie a été utilisée pour "monter" l'eau.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente ici est le signe de la différence d'altitude \((z_A - z_B)\). Si le point d'arrivée est plus haut que le point de départ, cette différence est négative, ce qui entraîne une diminution de la pression.
Points à retenir
Concept Clé : L'altitude est une composante de l'énergie totale d'un fluide. Monter un fluide coûte de l'énergie, qui est prise sur la pression.
Formule : La variation de pression due à l'altitude est \(\Delta P_{\text{alt}} = -\rho g \Delta z\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point B était 2 mètres plus bas que le point A (\(z_B = z_A - 2\)), quelle serait la pression \(P_B\) ?
Question 6 : Calcul de \(P_B\) avec du mercure.
Principe
La masse volumique \(\rho\) est un facteur multiplicatif dans les termes d'énergie cinétique et potentielle. Un fluide beaucoup plus dense comme le mercure, qui est 13.6 fois plus dense que l'eau, subira une variation de pression beaucoup plus importante pour la même variation de vitesse.
Mini-Cours
La pression dynamique, \(\frac{1}{2}\rho v^2\), représente l'énergie cinétique du fluide par unité de volume. Comme le mercure a une masse 13.6 fois plus grande pour le même volume, son énergie cinétique (et donc sa pression dynamique) sera 13.6 fois plus élevée que celle de l'eau à la même vitesse.
Remarque Pédagogique
Cette question montre que la nature du fluide est primordiale. Les principes sont les mêmes, mais les ordres de grandeur des résultats peuvent changer radicalement. C'est pourquoi il est crucial de toujours utiliser la bonne masse volumique.
Formule(s)
On réutilise la formule de la conduite horizontale, mais avec la masse volumique du mercure.
Hypothèses
On suppose que le mercure peut être considéré comme un fluide parfait, ce qui est une approximation, car sa viscosité est plus élevée que celle de l'eau.
Donnée(s)
- Pression au point A, \(P_A = 250\,000 \, \text{Pa}\)
- Masse volumique du mercure, \(\rho_{\text{mercure}} = 13600 \, \text{kg/m}^3\)
- Vitesses \(v_A = 2 \, \text{m/s}\) et \(v_B = 8 \, \text{m/s}\)
Schéma (Avant les calculs)
La configuration est la même que pour la question 3, mais le fluide est différent.
Écoulement de mercure
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
La pression en B est négative (dépression). Un manomètre en U montrerait que le fluide est "aspiré" du côté de la conduite.
Visualisation d'une pression négative
Réflexions
Le résultat est une pression négative. Il s'agit d'une pression relative (ou manométrique). Cela signifie que la pression au point B est de \(158\,000 \, \text{Pa}\) (1.58 bar) en dessous de la pression atmosphérique. Une telle dépression est très importante et provoquerait instantanément la vaporisation du mercure, un phénomène appelé cavitationFormation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de sa pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles est très destructive..
Points de vigilance
Ne soyez pas surpris par une pression relative négative. Cela ne signifie pas que la pression est "négative" dans l'absolu (ce qui est impossible), mais qu'elle est inférieure à la pression de référence, généralement la pression atmosphérique (environ \(101325 \, \text{Pa}\)).
Points à retenir
Concept Clé : La masse volumique du fluide a un impact direct et proportionnel sur les variations de pression dynamique et hydrostatique.
Le saviez-vous ?
La haute densité du mercure est la raison pour laquelle il était utilisé dans les premiers baromètres (inventés par Torricelli). Une colonne de seulement \(760 \, \text{mm}\) de mercure suffit à équilibrer la pression de toute l'atmosphère terrestre. Pour faire la même chose avec de l'eau, il faudrait une colonne de plus de 10 mètres de haut !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le fluide était de l'huile (\(\rho_{\text{huile}} = 900 \, \text{kg/m}^3\)), quelle serait la pression \(P_B\) dans la conduite horizontale ?
Outil Interactif : Simulateur d'Effet Venturi
Utilisez ce simulateur pour voir comment la vitesse et la pression au point B changent lorsque vous modifiez la vitesse initiale au point A ou le diamètre de la section rétrécie.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés au Point B
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double le diamètre d'une conduite, par combien sa section est-elle multipliée ?
2. Dans une conduite horizontale, si la vitesse du fluide diminue, que fait sa pression (en négligeant les frottements) ?
3. L'équation de continuité (\(S_A \cdot v_A = S_B \cdot v_B\)) est une expression de la conservation de :
4. Si un fluide monte dans une conduite de section constante, sa pression :
- Fluide Parfait
- Un fluide idéal dont la viscosité est nulle. Dans un tel fluide, il n'y a pas de frottements internes.
- Fluide Incompressible
- Un fluide dont la masse volumique (et donc le volume) ne varie pas sous l'effet des changements de pression.
- Débit Volumique (Qv)
- Le volume de fluide qui traverse une section donnée par unité de temps. Il se mesure en m³/s.
- Effet Venturi
- Le phénomène de diminution de la pression d'un fluide lorsqu'il traverse une zone où sa vitesse augmente (un rétrécissement).
- Cavitation
- Formation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de sa pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles est très destructive pour les canalisations et les machines hydrauliques.
D’autres exercices de Fondamentaux de l’hydraulique:
0 commentaires