ÉTUDE HYDRAULIQUE

Application du principe d’Archimède

Application du Principe d'Archimède : Flottabilité d'une Péniche

Application du Principe d'Archimède : Flottabilité d'une Péniche

Comprendre le Principe d'Archimède

Le principe d'Archimède stipule que tout corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz) subit une force de poussée verticale, dirigée de bas en haut, d'intensité égale au poids du volume de fluide déplacé. C'est ce principe qui explique pourquoi les navires flottent. Pour qu'un objet flotte, la poussée d'Archimède doit équilibrer (ou être supérieure à) son poids. L'étude de la flottabilité consiste donc à comparer ces deux forces pour déterminer comment un objet se comportera dans un fluide.

Données de l'étude

On étudie une péniche en acier, de forme parallélépipédique, naviguant sur un canal d'eau douce.

Caractéristiques physiques et géométriques :

  • Dimensions de la péniche : Longueur \(L = 38.5 \, \text{m}\), largeur \(l = 5.0 \, \text{m}\)
  • Masse de la péniche à vide : \(m_{\text{péniche}} = 40 \, \text{tonnes} = 40000 \, \text{kg}\)
  • Masse du chargement (sable) : \(m_{\text{charge}} = 250 \, \text{tonnes} = 250000 \, \text{kg}\)
  • Masse volumique de l'eau douce : \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération de la pesanteur : \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Schéma : Péniche et forces de flottabilité
Surface libre P (Poids) Fₐ (Poussée) Tirant d'eau (T)

À l'équilibre, le poids de la péniche (P) est compensé par la poussée d'Archimède (Fₐ).

Questions à traiter

  1. Calculer le poids de la péniche à vide (\(P_{\text{vide}}\)).
  2. Déterminer le volume d'eau déplacé (\(V_{\text{immergé, vide}}\)) par la péniche à vide pour qu'elle flotte.
  3. En déduire le tirant d'eau de la péniche à vide (\(T_{\text{vide}}\)).
  4. Calculer le poids total de la péniche avec son chargement (\(P_{\text{chargée}}\)).
  5. Déterminer le nouveau tirant d'eau de la péniche chargée (\(T_{\text{chargée}}\)).

Correction : Application du Principe d'Archimède : Flottabilité d'une Péniche

Question 1 : Poids de la péniche à vide (\(P_{\text{vide}}\))

Principe :

Le poids d'un objet est la force gravitationnelle qui s'exerce sur lui. Il est calculé en multipliant la masse de l'objet par l'accélération de la pesanteur. C'est la force qui "tire" la péniche vers le bas.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = m \cdot g\]
Données spécifiques :
  • \(m_{\text{péniche}} = 40000 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{vide}} &= 40000 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 392400 \, \text{N} \\ &= 392.4 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le poids de la péniche à vide est \(P_{\text{vide}} = 392400 \, \text{N}\).

Question 2 : Volume d'eau déplacé à vide (\(V_{\text{immergé, vide}}\))

Principe :

Pour que la péniche flotte, la poussée d'Archimède (\(F_a\)) doit être égale à son poids (\(P\)). La poussée d'Archimède est égale au poids du volume de fluide déplacé. On peut donc poser \(P_{\text{vide}} = F_a = \rho_{\text{eau}} \cdot V_{\text{immergé, vide}} \cdot g\), et isoler le volume immergé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{immergé}} = \frac{P}{\rho_{\text{eau}} \cdot g} = \frac{m \cdot g}{\rho_{\text{eau}} \cdot g} = \frac{m}{\rho_{\text{eau}}}\]
Données spécifiques :
  • \(m_{\text{péniche}} = 40000 \, \text{kg}\)
  • \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{immergé, vide}} &= \frac{40000 \, \text{kg}}{1000 \, \text{kg/m}^3} \\ &= 40 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le volume d'eau déplacé par la péniche à vide est de \(40 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Tirant d'eau à vide (\(T_{\text{vide}}\))

Principe :

Le tirant d'eau est la hauteur de la partie immergée de la coque. Pour une péniche de forme parallélépipédique, le volume immergé est le produit de la surface de flottaison (longueur × largeur) par le tirant d'eau. On peut donc isoler le tirant d'eau à partir du volume immergé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{immergé}} = L \cdot l \cdot T \Rightarrow T = \frac{V_{\text{immergé}}}{L \cdot l}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{immergé, vide}} = 40 \, \text{m}^3\)
  • \(L = 38.5 \, \text{m}\)
  • \(l = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{\text{vide}} &= \frac{40 \, \text{m}^3}{38.5 \, \text{m} \times 5.0 \, \text{m}} \\ &= \frac{40}{192.5} \\ &\approx 0.208 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le tirant d'eau de la péniche à vide est d'environ \(20.8 \, \text{cm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si cette même péniche naviguait en mer (\(\rho \approx 1025 \, \text{kg/m}^3\)), son tirant d'eau à vide serait :

Question 4 : Poids total de la péniche chargée (\(P_{\text{chargée}}\))

Principe :

Le poids total de la péniche chargée est simplement la somme du poids de la péniche à vide et du poids de son chargement. Ce nouveau poids déterminera la nouvelle poussée d'Archimède nécessaire pour atteindre l'équilibre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[m_{\text{totale}} = m_{\text{péniche}} + m_{\text{charge}}\] \[P_{\text{chargée}} = m_{\text{totale}} \cdot g\]
Données spécifiques :
  • \(m_{\text{péniche}} = 40000 \, \text{kg}\)
  • \(m_{\text{charge}} = 250000 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} m_{\text{totale}} &= 40000 \, \text{kg} + 250000 \, \text{kg} = 290000 \, \text{kg} \\ P_{\text{chargée}} &= 290000 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &= 2844900 \, \text{N} \\ &\approx 2.845 \, \text{MN} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le poids total de la péniche chargée est d'environ \(2.845 \, \text{MN}\).

Question 5 : Nouveau tirant d'eau de la péniche chargée (\(T_{\text{chargée}}\))

Principe :

Le principe est le même que pour la péniche à vide. On calcule d'abord le nouveau volume immergé nécessaire pour supporter le poids total, puis on en déduit le nouveau tirant d'eau. On s'attend à ce que le tirant d'eau augmente avec la charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{immergé, chargée}} = \frac{m_{\text{totale}}}{\rho_{\text{eau}}}\] \[T_{\text{chargée}} = \frac{V_{\text{immergé, chargée}}}{L \cdot l}\]
Données spécifiques :
  • \(m_{\text{totale}} = 290000 \, \text{kg}\)
  • \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
  • Surface de flottaison : \(L \times l = 192.5 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{immergé, chargée}} &= \frac{290000 \, \text{kg}}{1000 \, \text{kg/m}^3} = 290 \, \text{m}^3 \\ T_{\text{chargée}} &= \frac{290 \, \text{m}^3}{192.5 \, \text{m}^2} \\ &\approx 1.506 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le tirant d'eau de la péniche chargée est d'environ \(1.51 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Que se passerait-il si le poids total de la péniche dépassait la poussée d'Archimède maximale (calculée avec le volume total de la coque) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La poussée d'Archimède est égale au :

2. Un objet flotte lorsque :

Glossaire

Poussée d'Archimède (\(F_a\))
Force verticale dirigée vers le haut qu'un fluide exerce sur un corps immergé. Elle s'oppose au poids du corps.
Flottabilité
Capacité d'un corps à se maintenir à la surface d'un fluide. Elle résulte de l'équilibre entre le poids du corps et la poussée d'Archimède.
Tirant d'eau (\(T\))
Hauteur de la partie immergée de la coque d'un navire. C'est la distance verticale entre la ligne de flottaison et le point le plus bas de la coque.
Volume déplacé (\(V_{\text{immergé}}\))
Volume du fluide qu'un corps occupe lorsqu'il est immergé. C'est le poids de ce volume de fluide qui détermine l'intensité de la poussée d'Archimède.
Fondamentaux de l'Hydraulique - Exercice d'Application

D’autres exercices de Fondamentaux de l’hydraulique:

Analyse de l’Effet Venturi
Analyse de l’Effet Venturi

Analyse de l'Effet Venturi : Calcul de la Dépression Analyse de l'Effet Venturi : Calcul de la Dépression Comprendre l'Effet Venturi L'effet Venturi est la réduction de pression d'un fluide lorsque celui-ci s'écoule à travers une section de conduite plus étroite (le...

Analyse d’un Système de Siphon
Analyse d’un Système de Siphon

Analyse d'un Système de Siphon : Calcul du Débit Analyse d'un Système de Siphon : Calcul du Débit Comprendre le Siphon Un siphon est un dispositif ingénieux qui permet de transférer un liquide d'un réservoir à un autre situé à un niveau inférieur, en faisant passer le...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *