Application du principe d’Archimède
Contexte : Le Principe d'ArchimèdeTout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé..
Ce principe est un concept fondamental en mécanique des fluides et en hydraulique. Il explique pourquoi les bateaux flottent et comment les sous-marins contrôlent leur profondeur. Dans cet exercice, nous allons l'appliquer à un cas concret d'ingénierie civile : l'étude de la stabilité d'un bloc de béton immergé, un problème courant lors de la conception de piles de pont, de barrages ou de fondations en milieu aquatique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas pour décomposer un problème d'hydraulique, identifier les forces en jeu (poids et poussée), et utiliser des formules simples pour prédire le comportement d'un objet dans un fluide.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et savoir appliquer le principe d'Archimède.
- Calculer le poids d'un corps et la poussée d'Archimède.
- Déterminer la condition de flottaison d'un corps (s'il flotte ou s'il coule).
- Calculer le poids apparent d'un corps immergé.
Données de l'étude
Schéma du bloc de béton immergé
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Arête du cube | \(c\) | 1 | m |
| Masse volumique du béton | \(\rho_{\text{béton}}\) | 2500 | kg/m³ |
| Masse volumique de l'eau | \(\rho_{\text{eau}}\) | 1000 | kg/m³ |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Calculer le volume \(V\) du cube de béton.
- Calculer le poids \(P\) du cube de béton.
- Calculer la valeur de la poussée d'Archimède \(F_A\) que subit le cube lorsqu'il est totalement immergé.
- En comparant le poids \(P\) et la poussée d'Archimède \(F_A\), déterminer si le cube flotte ou coule.
- Calculer le poids apparent \(P_{\text{app}}\) du cube lorsqu'il est totalement immergé.
Les bases sur le Principe d'Archimède
Lorsqu'un corps est immergé dans un fluide, deux forces verticales principales s'exercent sur lui : son poids, qui le tire vers le bas, et la poussée d'Archimède, que le fluide exerce sur lui vers le haut.
1. Le Poids (\(P\))
C'est la force d'attraction gravitationnelle exercée sur l'objet. Il se calcule à partir de la masse (\(m\)) de l'objet et de l'accélération de la pesanteur (\(g\)). La masse elle-même dépend de la masse volumique (\(\rho\)) et du volume (\(V\)) de l'objet.
\[ P = m \cdot g = (\rho_{\text{objet}} \cdot V) \cdot g \]
2. La Poussée d'Archimède (\(F_A\))
C'est la force résultante que le fluide exerce sur la surface du corps immergé. Le principe d'Archimède stipule que cette force est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps.
\[ F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g \]
Correction : Application du principe d’Archimède
Question 1 : Calculer le volume \(V\) du cube de béton.
Principe
Le volume d'un corps est la mesure de l'espace tridimensionnel qu'il occupe. Pour une forme géométrique simple comme un cube, il existe une formule directe pour le calculer.
Mini-Cours
Le volume est une grandeur extensive, ce qui signifie qu'il est proportionnel à la quantité de matière. L'unité du Système International pour le volume est le mètre cube (m³). Pour un parallélépipède rectangle, le volume est \(V = \text{Longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}\). Un cube est un cas particulier où ces trois dimensions sont égales.
Remarque Pédagogique
La première étape de tout problème de physique ou d'ingénierie est de bien identifier la géométrie du système. Ici, le mot "cubique" est la clé qui nous oriente directement vers la bonne formule.
Normes
Le calcul du volume est une opération mathématique de base qui ne dépend pas de normes d'ingénierie spécifiques. Cependant, les unités utilisées (le mètre) sont définies par le Système International d'unités (SI).
Formule(s)
Hypothèses
Nous supposons que le bloc est un cube parfait, avec toutes ses arêtes de longueur égale et des angles de 90°.
Donnée(s)
D'après l'énoncé, nous avons les informations suivantes :
- Arête du cube, \(c = 1 \text{ m}\)
Astuces
Pour un cube d'arête 1 m, le calcul est trivial, mais il est bon de toujours poser l'opération pour garder une méthode de travail rigoureuse, ce qui évitera des erreurs avec des valeurs plus complexes.
Schéma (Avant les calculs)
Cube et son arête
Calcul(s)
On applique la formule avec la valeur de l'arête.
Schéma (Après les calculs)
Le résultat est une valeur scalaire (\(1 \text{ m}^3\)) qui ne se représente pas par un nouveau schéma.
Réflexions
Le résultat de 1 m³ est une valeur de référence simple qui facilitera les calculs suivants. Il est crucial de s'assurer que l'unité est correcte avant de continuer.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Si l'arête avait été donnée en centimètres (ex: 100 cm), il aurait été impératif de la convertir en mètres avant le calcul pour rester cohérent avec les autres unités du problème (kg/m³).
Points à retenir
- La formule du volume d'un cube est \(V = c^3\).
- L'homogénéité des unités est essentielle.
Le saviez-vous ?
Le mot "volume" vient du latin "volumen", qui signifiait "rouleau" ou "parchemin enroulé". La notion d'espace occupé n'est venue que plus tard.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le volume si l'arête du cube était de 2 mètres ?
Question 2 : Calculer le poids \(P\) du cube de béton.
Principe
Le poids est la force exercée par la gravité sur un objet. Il dépend de sa masse et de l'intensité du champ de gravité local (représentée par \(g\)).
Mini-Cours
Il ne faut pas confondre la masse et le poids. La masse (\(m\), en kg) est une mesure de la quantité de matière d'un objet ; elle est constante partout dans l'univers. Le poids (\(P\), en Newtons) est une force (\(P=m \cdot g\)) qui dépend de la planète où l'on se trouve. Sur la Lune, où \(g\) est plus faible, le poids du cube serait environ 6 fois moindre, mais sa masse resterait la même.
Remarque Pédagogique
Pour trouver le poids, la démarche est souvent la même : 1. Calculer le volume. 2. Utiliser la masse volumique pour trouver la masse (\(m = \rho \cdot V\)). 3. Utiliser \(g\) pour trouver le poids (\(P = m \cdot g\)).
Normes
La valeur de \(g = 9.81 \text{ m/s²}\) est une approximation standard de l'accélération de la pesanteur au niveau de la mer. Dans les calculs de construction en Europe, les Eurocodes spécifient les valeurs à utiliser pour les actions gravitationnelles.
Formule(s)
Hypothèses
Nous supposons que la masse volumique du béton est uniforme dans tout le bloc et que le champ de pesanteur est constant.
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente :
- Masse volumique du béton, \(\rho_{\text{béton}} = 2500 \text{ kg/m³}\)
- Volume du cube, \(V = 1 \text{ m³}\)
- Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \text{ m/s²}\)
Astuces
Pour un calcul rapide et approximatif, on peut parfois arrondir \(g\) à 10 m/s². Le poids serait alors de \(2500 \times 1 \times 10 = 25000\) N, soit 25 kN. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur de son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Forces agissant sur le cube (dans l'air)
Calcul(s)
On procède à l'application numérique.
Schéma (Après les calculs)
Poids du cube
Réflexions
Le Newton (N) est l'unité de force du Système International. Pour des valeurs élevées, on utilise souvent le kilonewton (kN), où \(1 \text{ kN} = 1000 \text{ N}\). Ainsi, \(24525 \text{ N} = 24,53 \text{ kN}\). C'est le poids d'environ 2,5 tonnes.
Points de vigilance
Ne jamais confondre masse (en kg) et poids (en N). C'est une erreur fondamentale. Assurez-vous que toutes vos unités sont dans le Système International (mètres, kilogrammes, secondes) avant de faire le calcul final.
Points à retenir
- La relation fondamentale : Poids = masse × gravité (\(P=mg\)).
- La masse se déduit du volume et de la masse volumique (\(m=\rho V\)).
Le saviez-vous ?
L'unité de force, le Newton, a été nommée en l'honneur d'Isaac Newton. Un Newton est la force nécessaire pour donner à une masse d'un kilogramme une accélération d'un mètre par seconde au carré.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quel serait le poids du même cube s'il était fait d'aluminium (\(\rho_{\text{aluminium}} \approx 2700 \text{ kg/m³}\)) ?
Question 3 : Calculer la poussée d'Archimède \(F_A\).
Principe
La poussée d'Archimède est une force ascendante exercée par un fluide qui s'oppose au poids d'un objet immergé. Sa valeur est égale au poids du fluide que l'objet déplace.
Mini-Cours
Cette force provient de la différence de pression exercée par le fluide entre le bas et le haut de l'objet. La pression dans un fluide augmente avec la profondeur. La force de pression sur la face inférieure de l'objet est donc plus grande que sur la face supérieure, créant une force nette vers le haut.
Remarque Pédagogique
La clé ici est de bien comprendre que la poussée d'Archimède ne dépend que du fluide et du volume immergé de l'objet. La nature de l'objet (sa masse volumique, son poids) n'intervient pas dans le calcul de \(F_A\).
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, il s'agit d'un principe physique fondamental.
Formule(s)
Hypothèses
L'énoncé précise que le cube est "totalement immergé", donc le volume de fluide déplacé est égal au volume total du cube.
- \(V_{\text{immergé}} = V_{\text{cube}} = 1 \text{ m³}\)
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé et l'hypothèse ci-dessus :
- Masse volumique de l'eau, \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \text{ kg/m³}\)
- Volume immergé, \(V_{\text{immergé}} = 1 \text{ m³}\)
- Accélération de la pesanteur, \(g = 9.81 \text{ m/s²}\)
Astuces
Pour l'eau douce, \(\rho_{\text{eau}} \approx 1000\) kg/m³. Le poids d'un mètre cube d'eau est donc d'environ \(1000 \times 9.81 \approx 9810\) N. Si vous connaissez le volume immergé en m³, vous pouvez trouver \(F_A\) très rapidement.
Schéma (Avant les calculs)
Forces sur le cube immergé
Calcul(s)
On procède à l'application numérique.
Schéma (Après les calculs)
Poussée d'Archimède
Réflexions
La poussée d'Archimède (9,81 kN) est significativement plus faible que le poids du cube (24,53 kN). Cela nous donne déjà un indice sur le fait que le cube va couler.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'utiliser la masse volumique de l'objet (\(\rho_{\text{béton}}\)) au lieu de celle du fluide (\(\rho_{\text{eau}}\)) dans la formule de la poussée d'Archimède. Rappelez-vous : Archimède s'intéresse au fluide déplacé !
Points à retenir
- La poussée d'Archimède est le poids du volume de fluide déplacé.
- Sa formule est \(F_A = \rho_{\text{fluide}} \cdot V_{\text{immergé}} \cdot g\).
Le saviez-vous ?
La légende raconte qu'Archimède aurait eu cette révélation dans son bain en voyant le niveau de l'eau monter. Il serait sorti nu dans la rue en criant "Eurêka !" ("J'ai trouvé !"). Il a ainsi pu vérifier si la couronne du roi Hiéron était en or pur sans l'endommager.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la poussée d'Archimède si le cube était plongé dans du mercure (\(\rho_{\text{mercure}} \approx 13600 \text{ kg/m³}\)) ?
Question 4 : Le cube flotte-t-il ou coule-t-il ?
Principe
Le comportement d'un objet dans un fluide est déterminé par la "bataille" entre deux forces : son poids qui le tire vers le bas et la poussée d'Archimède qui le pousse vers le haut. Le vainqueur détermine le mouvement.
Mini-Cours
L'équilibre des forces est un concept central en statique. Pour qu'un objet soit stable (ne coule pas, ne s'envole pas), la somme des forces agissant sur lui doit être nulle. Dans notre cas, si on lâche le cube, il se déplace dans la direction de la force la plus grande jusqu'à ce qu'il rencontre un support (le fond) ou qu'un nouvel équilibre soit trouvé (en flottant à la surface).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape de la conclusion logique. Les calculs des questions précédentes n'étaient que des étapes intermédiaires pour pouvoir répondre à cette question concrète. C'est le cœur du problème.
Normes
La stabilité des structures flottantes ou immergées (pontons, fondations offshore) est régie par des normes de construction navale et de génie civil qui imposent des coefficients de sécurité pour s'assurer que la flottabilité est toujours garantie.
Formule(s)
Il ne s'agit pas de formules de calcul, mais de conditions de comparaison :
Hypothèses
On suppose que le poids et la poussée d'Archimède sont les seules forces verticales significatives agissant sur le cube.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions 2 et 3 :
- Poids du cube, \(P = 24525 \text{ N}\)
- Poussée d'Archimède, \(F_A = 9810 \text{ N}\)
Astuces
Comme mentionné, la méthode la plus rapide est de comparer les masses volumiques. Puisque \(\rho_{\text{béton}} (2500 \text{ kg/m³})\) est supérieur à \(\rho_{\text{eau}} (1000 \text{ kg/m³})\), on sait immédiatement que le béton va couler dans l'eau.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des forces
La flèche du poids (P) est visiblement plus longue que celle de la poussée (Fₐ).
Calcul(s)
On compare les valeurs numériques.
Schéma (Après les calculs)
Résultat : le cube coule
Réflexions
Le résultat est conforme à l'intuition : un bloc de béton plein est bien plus dense que l'eau et ne peut pas flotter. Pour qu'il flotte, il faudrait soit changer le matériau pour un plus léger, soit modifier sa forme pour qu'il déplace un plus grand volume d'eau (le principe de la coque d'un bateau).
Points de vigilance
Attention à ne pas se tromper dans le sens de l'inégalité. C'est bien la force la plus grande qui "gagne". Une erreur d'inattention peut mener à une conclusion erronée même avec des calculs corrects.
Points à retenir
- La condition de flottaison est une simple comparaison de forces : \(P\) vs \(F_A\).
- Comparer les masses volumiques (\(\rho_{\text{objet}}\) vs \(\rho_{\text{fluide}}\)) est un raccourci efficace.
Le saviez-vous ?
Les sous-marins utilisent ce principe pour plonger et remonter. Ils remplissent ou vident des réservoirs, appelés ballasts, avec de l'eau. En remplissant les ballasts, leur masse totale augmente, leur poids devient supérieur à la poussée d'Archimède et ils plongent. En chassant l'eau avec de l'air comprimé, ils s'allègent et remontent.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un bloc de la même taille (1 m³) est fait de bois de chêne (\(\rho \approx 700 \text{ kg/m³}\)). Flottera-t-il ou coulera-t-il dans l'eau ?
Question 5 : Calculer le poids apparent \(P_{\text{app}}\) du cube.
Principe
Le poids apparent est la force nette ressentie par un objet immergé. C'est son poids réel "allégé" par la force ascendante de la poussée d'Archimède. C'est la force qu'un dynamomètre mesurerait si on pesait l'objet sous l'eau.
Mini-Cours
Le poids apparent est la résultante des forces verticales. Si un objet coule, son poids apparent est la force avec laquelle il appuie sur le fond (ou la tension dans le câble qui le retient). C'est pour cela que les objets lourds sont beaucoup plus faciles à manipuler sous l'eau.
Remarque Pédagogique
Ce calcul est une simple soustraction, mais il synthétise tout l'exercice. Il quantifie l'effet du principe d'Archimède sur l'objet.
Normes
Ce concept est utilisé dans les normes de génie civil pour le calcul des fondations en site aquatique. On doit vérifier la stabilité des structures non seulement à leur poids propre, mais aussi en tenant compte de la sous-pression et de la poussée d'Archimède exercées par l'eau.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le cube est complètement immergé et que les forces sont colinéaires.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes :
- Poids du cube, \(P = 24525 \text{ N}\)
- Poussée d'Archimède, \(F_A = 9810 \text{ N}\)
Astuces
On peut factoriser la formule du poids apparent : \(P_{\text{app}} = ( \rho_{\text{objet}} \cdot V \cdot g ) - ( \rho_{\text{fluide}} \cdot V \cdot g ) = (\rho_{\text{objet}} - \rho_{\text{fluide}}) \cdot V \cdot g\). Cela permet de calculer le poids apparent en une seule étape si on ne connaît pas P et FA.
Schéma (Avant les calculs)
Résultante des forces
Calcul(s)
On effectue la soustraction.
Schéma (Après les calculs)
Poids Apparent
Réflexions
Le cube "perd" environ 40% de son poids lorsqu'il est sous l'eau (\(9810 / 24525 \approx 0.4\)). C'est une réduction très significative qui a des implications majeures pour la manipulation d'objets sous l'eau ou la conception de fondations.
Points de vigilance
Assurez-vous de ne pas inverser les termes de la soustraction. Le poids apparent est \(P - F_A\). Si le résultat est négatif, cela signifie que \(F_A > P\) et que l'objet flotte (la force nette est vers le haut).
Points à retenir
- Le poids apparent est la différence entre le poids réel et la poussée d'Archimède.
- Il représente la force nette exercée par l'objet sur son support (ou un câble) lorsqu'il est immergé.
Le saviez-vous ?
Les astronautes s'entraînent dans d'immenses piscines (comme le Neutral Buoyancy Laboratory de la NASA) pour simuler l'apesanteur. En ajustant précisément des poids et des flotteurs sur leur combinaison, on peut rendre leur poids apparent nul. Ils flottent alors entre deux eaux, ce qui reproduit les conditions de travail dans l'espace.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait le poids apparent si le bloc était immergé dans de l'eau de mer (\(\rho_{\text{eau de mer}} \approx 1025 \text{ kg/m³}\)) ?
Outil Interactif : Simulateur de Flottaison
Utilisez cet outil pour explorer comment la taille d'un cube et sa masse volumique influencent sa flottaison dans l'eau douce. Observez comment le poids et la poussée d'Archimède varient et déterminez les conditions qui permettent à un objet de flotter.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La poussée d'Archimède est une force...
2. Un navire en acier flotte car...
3. Si un objet est totalement immergé, le volume de fluide déplacé est...
4. Le poids apparent d'un objet qui coule est toujours...
5. Laquelle de ces formules est correcte pour la poussée d'Archimède ?
Glossaire
- Poussée d'Archimède
- Force verticale, dirigée de bas en haut, que subit un corps plongé dans un fluide (liquide ou gaz). Elle est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps.
- Masse Volumique
- Aussi appelée densité volumique, c'est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par unité de volume. Elle est généralement notée \(\rho\) et s'exprime en kg/m³.
- Poids Apparent
- Le poids d'un objet mesuré lorsqu'il est immergé dans un fluide. Il est égal au poids réel de l'objet moins la poussée d'Archimède. C'est la force nette vers le bas.
- Centre de Poussée
- Le point d'application de la poussée d'Archimède. Il correspond au centre de gravité du volume de fluide déplacé.
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