ÉTUDE HYDRAULIQUE

Application de l’Équation de Quantité de Mouvement

Exercice: Application de l’Équation de Quantité de Mouvement

Application de l’Équation de Quantité de Mouvement

Contexte : L'application de l’Équation de Quantité de MouvementUn principe fondamental de la mécanique des fluides, dérivé de la deuxième loi de Newton, utilisé pour calculer la force résultante exercée par un fluide en mouvement sur un objet..

En ingénierie hydraulique, il est crucial de pouvoir déterminer les forces exercées par un fluide en mouvement sur les composants d'un réseau (coudes, vannes, réductions). Ces forces, si elles ne sont pas correctement ancrées par des butées ou des massifs en béton, peuvent provoquer des déplacements, des ruptures de joints et des défaillances catastrophiques. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la force de liaison nécessaire pour maintenir en place un coude réducteur horizontal.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment un principe fondamental (la conservation de la quantité de mouvement) se traduit en un outil de calcul indispensable pour la conception et la sécurité des infrastructures hydrauliques.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer l'équation de quantité de mouvement à un volume de contrôleUne région fixe dans l'espace à travers laquelle le fluide s'écoule, utilisée pour analyser les flux de masse, de quantité de mouvement et d'énergie..
  • Calculer les forces de pression et les flux de quantité de mouvement.
  • Décomposer la force résultante en composantes horizontales et verticales.
  • Maîtriser la conversion et la cohérence des unités dans les calculs.

Données de l'étude

De l'eau s'écoule à travers un coude réducteur horizontal à 90°. On négligera les pertes de charge et les effets de la gravité (le coude est dans un plan horizontal).

Schéma du Coude Réducteur
Section (1) Section (2) Q D₁ D₂ x y
Paramètre Symbole Valeur Unité
Diamètre d'entrée \(D_{\text{1}}\) 300 mm
Diamètre de sortie \(D_{\text{2}}\) 150 mm
Débit volumique \(Q\) 0.3 m³/s
Pression relative en entrée \(P_{\text{1}}\) 150 kPa
Masse volumique de l'eau \(\rho\) 1000 kg/m³

Questions à traiter

  1. Calculer les vitesses moyennes dans les sections d'entrée (1) et de sortie (2).
  2. En utilisant l'équation de Bernoulli, calculer la pression relative à la sortie (\(P_2\)).
  3. Appliquer l'équation de quantité de mouvement selon l'axe x pour déterminer la composante \(F_x\) de la force exercée par le coude sur le fluide.
  4. Appliquer l'équation de quantité de mouvement selon l'axe y pour déterminer la composante \(F_y\) de la force exercée par le coude sur le fluide.
  5. Calculer la magnitude et l'angle (par rapport à l'horizontale) de la force résultante que la butée doit exercer sur le coude pour le maintenir en place.

Les bases sur l'Équation de Quantité de Mouvement

Le théorème d'Euler, ou équation de quantité de mouvement, est l'application de la deuxième loi de Newton (\( \sum \vec{F} = m\vec{a} \)) à un volume de fluide. Il établit que la somme des forces extérieures agissant sur un volume de contrôle est égale à la variation de la quantité de mouvement du fluide qui le traverse.

1. Le Volume de Contrôle (VC)
Pour appliquer le théorème, on définit une région fixe dans l'espace, le volume de contrôle, qui coïncide avec les parois internes du coude. Le fluide entre par la surface de contrôle d'entrée (\(SC_1\)) et sort par la surface de contrôle de sortie (\(SC_2\)).

2. Formule pour un écoulement permanent
Pour un écoulement permanent (vitesses et pressions constantes dans le temps) et des vitesses uniformes sur les sections d'entrée/sortie, l'équation se simplifie : \[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = (\dot{m} \vec{v})_{\text{sortie}} - (\dot{m} \vec{v})_{\text{entree}} \] Où \(\sum \vec{F}_{\text{ext}}\) est la somme vectorielle des forces (pression, gravité, forces de liaison), \(\dot{m}\) est le débit massique (\(\rho Q\)), et \(\vec{v}\) est le vecteur vitesse.

Correction : Application de l’Équation de Quantité de Mouvement

Question 1 : Calcul des vitesses moyennes

Principe

La vitesse moyenne dans une section de conduite est directement liée au débit volumique et à l'aire de cette section. La conservation de la masse (pour un fluide incompressible) impose que le débit est constant, mais comme les diamètres changent, les vitesses doivent s'ajuster.

Mini-Cours

La conservation de la masse pour un fluide incompressible (\(\rho = \text{constante}\)) stipule que le débit volumique (\(Q\)) doit être le même à travers toutes les sections d'une conduite. Ce principe, souvent appelé équation de continuité, est fondamental en hydraulique. Il se traduit par \(Q_{\text{1}} = Q_{\text{2}}\), ou \(A_{\text{1}} V_{\text{1}} = A_{\text{2}} V_{\text{2}}\).

Remarque Pédagogique

Avant de vous lancer dans des équations complexes comme Bernoulli ou la quantité de mouvement, commencez toujours par calculer les grandeurs cinématiques de base : les aires des sections et les vitesses. Cela simplifie la suite des calculs et vous donne une première intuition du comportement du fluide.

Normes

Le calcul des aires et des vitesses à partir du débit est une procédure de base en ingénierie qui ne dépend pas d'une norme spécifique, mais qui est le fondement de toutes les réglementations en mécanique des fluides.

Formule(s)

Relation Vitesse-Débit

\[ Q = A \cdot V \Rightarrow V = \frac{Q}{A} \]

Aire d'une section circulaire

\[ A = \frac{\pi D^2}{4} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, la seule hypothèse majeure est que le fluide est incompressible, ce qui est une excellente approximation pour l'eau dans ces conditions.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Débit volumique\(Q\)0.3m³/s
Diamètre d'entrée\(D_{\text{1}}\)300mm
Diamètre de sortie\(D_{\text{2}}\)150mm
Astuces

Pour vérifier rapidement vos calculs, souvenez-vous que si le diamètre est divisé par 2 (de 300 mm à 150 mm), l'aire est divisée par \(2^2 = 4\). Par conséquent, la vitesse doit être multipliée par 4 pour conserver le même débit.

Schéma (Avant les calculs)
Configuration du Coude
Section 1Section 2
Calcul(s)

Conversion du diamètre d'entrée

\[ \begin{aligned} D_{\text{1}} &= 300 \text{ mm} \\ &= 0.3 \text{ m} \end{aligned} \]

Conversion du diamètre de sortie

\[ \begin{aligned} D_{\text{2}} &= 150 \text{ mm} \\ &= 0.15 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de l'aire d'entrée

\[ \begin{aligned} A_{\text{1}} &= \frac{\pi (0.3)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.09}{4} \\ &\approx 0.0707 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de l'aire de sortie

\[ \begin{aligned} A_{\text{2}} &= \frac{\pi (0.15)^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 0.0225}{4} \\ &\approx 0.0177 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse d'entrée

\[ \begin{aligned} V_{\text{1}} &= \frac{Q}{A_{\text{1}}} \\ &= \frac{0.3}{0.0707} \\ &\approx 4.24 \text{ m/s} \end{aligned} \]

Calcul de la vitesse de sortie

\[ \begin{aligned} V_{\text{2}} &= \frac{Q}{A_{\text{2}}} \\ &= \frac{0.3}{0.0177} \\ &\approx 16.95 \text{ m/s} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Vitesses
4.24V₁ (m/s)V₂ (m/s)16.95
Réflexions

Comme attendu, la vitesse dans la section la plus étroite (\(D_{\text{2}}\)) est beaucoup plus élevée que dans la section large (\(D_{\text{1}}\)). Le rapport des vitesses est égal au carré du rapport inverse des diamètres : \((V_{\text{2}}/V_{\text{1}}) = (D_{\text{1}}/D_{\text{2}})^2 = (300/150)^2 = 4\). On vérifie : \(16.95 / 4.24 \approx 4\).

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'oubli de la conversion des diamètres de millimètres en mètres avant de calculer l'aire. Une autre erreur commune est d'oublier que le diamètre est au carré dans la formule de l'aire.

Points à retenir

  • La formule de la vitesse \(V = Q/A\) est fondamentale.
  • Pour un débit constant, la vitesse est inversement proportionnelle à l'aire de la section (et donc au carré du diamètre).

Le saviez-vous ?

Ce principe d'accélération du fluide dans un rétrécissement est connu sous le nom d'effet Venturi. Il est utilisé dans de nombreuses applications, des carburateurs de voiture aux trompes à eau de laboratoire pour créer une dépression.

FAQ

Pourquoi la vitesse est-elle plus élevée dans le tuyau le plus petit ?

Imaginez le même nombre de voitures devant passer par une autoroute à deux voies après avoir été sur une autoroute à quatre voies. Pour que le trafic reste fluide (même débit), les voitures sur la section à deux voies doivent rouler plus vite. C'est la même logique pour les molécules d'eau.

Résultat Final
Les vitesses moyennes sont \(V_{\text{1}} \approx 4.24 \text{ m/s}\) et \(V_{\text{2}} \approx 16.95 \text{ m/s}\).
A vous de jouer

Si le diamètre de sortie \(D_{\text{2}}\) était de 100 mm, quelle serait la nouvelle vitesse \(V_{\text{2}}\) (en m/s) ?

Question 2 : Calcul de la pression de sortie (\(P_{\text{2}}\))

Principe

L'équation de Bernoulli décrit la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait. Elle relie la pression, la vitesse et l'altitude entre deux points. Comme la vitesse augmente de la section 1 à 2 (augmentation de l'énergie cinétique), la pression doit diminuer (diminution de l'énergie de pression) pour que l'énergie totale reste constante.

Mini-Cours

L'équation de Bernoulli peut être vue comme une loi de conservation de l'énergie par unité de volume. Chaque terme représente une forme d'énergie : \(\frac{P}{\rho g}\) est l'énergie potentielle de pression (hauteur de pression), \(\frac{V^2}{2g}\) est l'énergie cinétique (hauteur dynamique), et \(z\) est l'énergie potentielle de position (hauteur géométrique).

Remarque Pédagogique

Gardez toujours à l'esprit la signification physique de Bernoulli : c'est un bilan énergétique. Si une forme d'énergie augmente (ici, l'énergie cinétique car la vitesse augmente), une autre doit diminuer pour compenser (ici, l'énergie de pression).

Normes

L'équation de Bernoulli est un principe fondamental de la physique et n'est pas une norme en soi, mais elle est la base de nombreuses formules de calcul de pertes de charge que l'on retrouve dans les normes de dimensionnement des réseaux (comme les normes NF EN).

Formule(s)

Équation de Bernoulli générale

\[ \frac{P_{\text{1}}}{\rho g} + \frac{V_{\text{1}}^2}{2g} + z_{\text{1}} = \frac{P_{\text{2}}}{\rho g} + \frac{V_{\text{2}}^2}{2g} + z_{\text{2}} \]

Équation simplifiée pour un écoulement horizontal

\[ P_{\text{2}} = P_{\text{1}} + \frac{1}{2}\rho(V_{\text{1}}^2 - V_{\text{2}}^2) \]
Hypothèses

Nous appliquons ici les hypothèses de l'écoulement de Bernoulli : fluide parfait (non-visqueux, donc pas de pertes de charge par frottement), incompressible et écoulement permanent. L'hypothèse \(z_{\text{1}} = z_{\text{2}}\) est également clé.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression d'entrée\(P_{\text{1}}\)150kPa
Vitesse d'entrée\(V_{\text{1}}\)4.24m/s
Vitesse de sortie\(V_{\text{2}}\)16.95m/s
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Astuces

Avant de calculer, vous savez que \(V_{\text{2}} > V_{\text{1}}\), donc le terme \((V_{\text{1}}^2 - V_{\text{2}}^2)\) sera négatif. Vous pouvez donc anticiper que \(P_{\text{2}}\) sera inférieure à \(P_{\text{1}}\). C'est un bon moyen de vérifier le signe de votre résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Ligne d'Énergie (Bernoulli)
EHGLP₁/γV₁²/2gP₂/γV₂²/2g
Calcul(s)

Conversion de la pression d'entrée

\[ \begin{aligned} P_{\text{1}} &= 150 \text{ kPa} \\ &= 150 \times 10^3 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Calcul de la pression de sortie

\[ \begin{aligned} P_{\text{2}} &= 150000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (4.24^2 - 16.95^2) \\ &= 150000 + 500 \cdot (17.98 - 287.3) \\ &= 150000 + 500 \cdot (-269.32) \\ &= 150000 - 134660 \\ &= 15340 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut visualiser la chute de pression avec un diagramme simple.

Évolution de la Pression
150P₁ (kPa)P₂ (kPa)15.3
Réflexions

La pression chute de 150 kPa à environ 15 kPa. Cette forte diminution est entièrement due à l'importante accélération du fluide. Si la pression en entrée était plus faible, la pression en sortie pourrait devenir négative, menant à un phénomène de cavitationFormation de bulles de vapeur dans un liquide lorsque la pression locale chute en dessous de la pression de vapeur saturante. L'implosion de ces bulles est très destructrice..

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser \(V_{\text{1}}\) et \(V_{\text{2}}\) dans la formule. Une augmentation de vitesse conduit à une diminution de pression. Assurez-vous également que toutes les unités sont dans le Système International (Pascals, kg/m³, m/s) avant le calcul.

Points à retenir

  • L'équation de Bernoulli relie la pression, la vitesse et l'altitude.
  • Pour un écoulement horizontal, une augmentation de vitesse implique une diminution de pression.

Le saviez-vous ?

Daniel Bernoulli, qui a publié ce principe en 1738 dans son ouvrage "Hydrodynamica", faisait partie d'une incroyable dynastie de mathématiciens et physiciens suisses qui ont profondément marqué la science des 17ème et 18ème siècles.

FAQ

Que sont les "pertes de charge" et pourquoi sont-elles négligées ici ?

Les pertes de charge représentent la dissipation d'énergie due aux frottements du fluide sur les parois du tuyau et aux turbulences (dans le coude par exemple). On les néglige dans cet exercice académique pour simplifier, mais dans un cas réel, elles devraient être calculées et incluses dans l'équation de Bernoulli, ce qui conduirait à une pression \(P_{\text{2}}\) encore plus faible.

Résultat Final
La pression relative à la sortie est \(P_{\text{2}} \approx 15.34 \text{ kPa}\).
A vous de jouer

Calculez \(P_{\text{2}}\) (en kPa) si la pression d'entrée \(P_{\text{1}}\) était de 200 kPa, toutes autres choses étant égales.

Question 3 : Calcul de la force \(F_x\)

Principe

On applique l'équation de quantité de mouvement sur l'axe horizontal (x). La somme des forces horizontales (force de pression en entrée, plus la composante horizontale \(F_x\) de la force de liaison du coude sur le fluide) est égale au flux net de quantité de mouvement horizontal qui traverse le volume de contrôle.

Mini-Cours

La quantité de mouvement d'un objet est le produit de sa masse et de sa vitesse (\(\vec{p} = m\vec{v}\)). Le théorème d'Euler est une reformulation de \(\sum \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\) pour un système ouvert. Le terme \(\dot{m}\vec{v}\) représente le flux de quantité de mouvement, c'est-à-dire la quantité de mouvement qui traverse une section par seconde.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien définir votre système (le volume de contrôle) et de faire le bilan de TOUTES les forces extérieures qui s'y appliquent. N'oubliez pas les forces de pression, qui agissent perpendiculairement aux surfaces de contrôle.

Normes

Les normes de conception des réseaux de tuyauterie (comme l'ASME B31.3 pour les tuyauteries de process) imposent le calcul de ces forces pour le dimensionnement des supports et des ancrages.

Formule(s)

Équation de quantité de mouvement sur l'axe x

\[ \sum F_x = \dot{m}(V_{\text{2x}} - V_{\text{1x}}) \]

Bilan des forces et vitesses sur l'axe x

\[ P_{\text{1}} A_{\text{1}} + F_x = \rho Q (0 - V_{\text{1}}) \]
Hypothèses

On conserve les hypothèses précédentes (écoulement permanent, incompressible) et on ajoute que les forces de frottement sur les parois internes du coude sont négligées.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression d'entrée\(P_{\text{1}}\)150000Pa
Aire d'entrée\(A_{\text{1}}\)0.0707m²
Vitesse d'entrée\(V_{\text{1}}\)4.24m/s
Débit volumique\(Q\)0.3m³/s
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Astuces

Soyez très attentif aux signes. Définissez un sens positif pour chaque axe (ici, x vers la droite) et respectez-le pour toutes les forces et les vitesses. Une force de pression agit toujours VERS l'intérieur du volume de contrôle.

Schéma (Avant les calculs)
Bilan des forces et quantités de mouvement sur l'axe x
VCP₁A₁FxṁV₁Flux sortant en x = 0
Calcul(s)

Calcul du flux de quantité de mouvement

\[ \begin{aligned} \rho Q (-V_{\text{1}}) &= 1000 \cdot 0.3 \cdot (-4.24) \\ &= -1272 \text{ N} \end{aligned} \]

Calcul de la force de pression

\[ \begin{aligned} P_{\text{1}} A_{\text{1}} &= (150 \times 10^3) \cdot 0.0707 \\ &= 10605 \text{ N} \end{aligned} \]

Résolution pour \(F_x\)

\[ \begin{aligned} 10605 + F_x &= -1272 \\ F_x &= -1272 - 10605 \\ &= -11877 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Direction de la force Fx
FluideFx
Réflexions

Le signe négatif de \(F_x\) indique que le coude doit "pousser" le fluide vers la gauche pour le forcer à tourner. Cette force est la somme de deux effets : contrer la force de pression à l'entrée et absorber la quantité de mouvement entrante.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la force de pression (\(P_{\text{1}} A_{\text{1}}\)) dans le bilan des forces. Une autre est une erreur de signe sur les vitesses ou les forces.

Points à retenir

  • Le bilan des forces inclut les forces de pression ET les forces de liaison.
  • Le flux de quantité de mouvement est un vecteur, ses composantes dépendent de l'orientation de la vitesse par rapport aux axes.

Le saviez-vous ?

Le même principe est utilisé pour calculer la poussée d'un moteur de fusée ou d'un réacteur d'avion. La force de poussée est directement liée au changement de quantité de mouvement des gaz éjectés.

FAQ

Pourquoi \(F_x\) est-elle la force du coude sur le fluide et non l'inverse ?

Par convention, on étudie le fluide. On calcule donc la force que l'environnement (le coude) exerce SUR le fluide pour modifier sa trajectoire. La force que le fluide exerce SUR le coude, nécessaire pour le dimensionnement, sera l'opposée (principe d'action-réaction), comme nous le verrons à la question 5.

Résultat Final
La composante horizontale de la force exercée par le coude sur le fluide est \(F_x \approx -11877 \text{ N}\).
A vous de jouer

Si la pression d'entrée \(P_{\text{1}}\) était de 100 kPa, quelle serait la nouvelle valeur de \(F_x\) (en N) ?

Question 4 : Calcul de la force \(F_y\)

Principe

De la même manière, on applique l'équation de quantité de mouvement sur l'axe vertical (y). La somme des forces verticales (force de pression en sortie, plus la composante verticale \(F_y\) de la force de liaison) est égale au flux net de quantité de mouvement vertical.

Mini-Cours

L'application du théorème est identique à celle sur l'axe x, mais les composantes des vecteurs changent. Il est essentiel de décomposer chaque force et chaque vitesse sur les axes du repère choisi. Ici, l'écoulement entrant n'a pas de composante verticale, et l'écoulement sortant n'a pas de composante horizontale.

Remarque Pédagogique

Traiter chaque axe indépendamment est la clé pour résoudre les problèmes de mécanique en 2D ou 3D. Ne mélangez jamais les composantes x et y dans une même équation scalaire.

Normes

Les normes exigent une analyse des forces dans toutes les directions pertinentes pour assurer un supportage adéquat de la tuyauterie.

Formule(s)

Équation de quantité de mouvement sur l'axe y

\[ \sum F_y = \dot{m}(V_{\text{2y}} - V_{\text{1y}}) \]

Bilan des forces et vitesses sur l'axe y

\[ P_{\text{2}} A_{\text{2}} + F_y = \rho Q (V_{\text{2}} - 0) \]
Hypothèses

Les hypothèses restent inchangées par rapport à la question précédente.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Pression de sortie\(P_{\text{2}}\)15340Pa
Aire de sortie\(A_{\text{2}}\)0.0177m²
Vitesse de sortie\(V_{\text{2}}\)16.95m/s
Débit volumique\(Q\)0.3m³/s
Masse volumique\(\rho\)1000kg/m³
Astuces

Le fluide sort avec une grande vitesse vers le haut. Il faut donc une force importante pour l'accélérer dans cette direction. Attendez-vous à ce que le flux de quantité de mouvement sortant (\(\rho Q V_{\text{2}}\)) soit le terme dominant.

Schéma (Avant les calculs)

On représente le bilan des forces et quantités de mouvement sur l'axe y.

Bilan des forces et quantités de mouvement sur l'axe y
VCP₂A₂FyṁV₂Flux entrant en y = 0
Calcul(s)

Calcul du flux de quantité de mouvement

\[ \begin{aligned} \rho Q V_{\text{2}} &= 1000 \cdot 0.3 \cdot 16.95 \\ &= 5085 \text{ N} \end{aligned} \]

Calcul de la force de pression

\[ \begin{aligned} P_{\text{2}} A_{\text{2}} &= 15340 \cdot 0.0177 \\ &= 271.5 \text{ N} \end{aligned} \]

Résolution pour \(F_y\)

\[ \begin{aligned} 271.5 + F_y &= 5085 \\ F_y &= 5085 - 271.5 \\ &= 4813.5 \text{ N} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat positif indique que la force \(F_y\) est bien dirigée dans le sens positif de l'axe y (vers le haut), comme illustré dans le schéma avant calcul.

Réflexions

La force \(F_y\) est positive, ce qui signifie que le coude doit "soulever" le fluide pour le dévier vers le haut. Cette force contrebalance la petite force de pression à la sortie et fournit surtout l'accélération nécessaire pour créer le flux de quantité de mouvement vertical.

Points de vigilance

Encore une fois, la rigueur sur les signes est primordiale. Ici, la vitesse de sortie \(V_{\text{2}}\) et la force de pression \(P_{\text{2}} A_{\text{2}}\) sont toutes deux dans le sens positif de l'axe y.

Points à retenir

  • La méthode est identique pour chaque axe, seuls les termes changent.
  • Le changement de direction du fluide génère des forces importantes, même si la pression est faible.

Le saviez-vous ?

Le même principe de déviation d'un jet de fluide est à la base de la propulsion des turbines Pelton, utilisées dans les centrales hydroélectriques de haute montagne. Le jet d'eau est dévié par les augets de la turbine, créant une force qui la fait tourner.

FAQ

Pourquoi la pression \(P_{\text{1}}\) n'apparaît-elle pas dans le bilan sur l'axe y ?

Parce que la force de pression \(P_{\text{1}} A_{\text{1}}\) est entièrement dirigée selon l'axe x. Sa projection sur l'axe y est nulle. C'est l'avantage de décomposer le problème selon des axes orthogonaux.

Résultat Final
La composante verticale de la force exercée par le coude sur le fluide est \(F_y \approx 4814 \text{ N}\).
A vous de jouer

Si le débit \(Q\) était de 0.4 m³/s (recalculez V2 et P2 d'abord !), quelle serait la nouvelle valeur de \(F_y\) (en N) ?

Question 5 : Force résultante sur le coude

Principe

La force que la butée doit exercer sur le coude (\(\vec{R}_{\text{butée}}\)) est l'opposée de la force que le fluide exerce sur le coude. Par la troisième loi de Newton (action-réaction), la force du fluide sur le coude (\(\vec{F}_{\text{fluide} \to \text{coude}}\)) est l'opposée de la force du coude sur le fluide (\(\vec{F}\)) que nous avons calculée. Donc, \(\vec{R}_{\text{butée}} = - \vec{F}_{\text{fluide} \to \text{coude}} = - (-\vec{F}) = \vec{F}\).

Mini-Cours

Un vecteur \(\vec{F}\) avec des composantes (\(F_x, F_y\)) a une magnitude (ou norme) \(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}\) et une direction donnée par un angle \(\theta\) tel que \(\tan(\theta) = F_y / F_x\). La force de réaction \(\vec{R}\) d'un support sur un objet est toujours égale et opposée à la force que l'objet exerce sur le support (\(\vec{R} = -\vec{F}_{\text{objet} \to \text{support}}\)).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale où le calcul de mécanique des fluides se transforme en un résultat concret pour l'ingénieur civil ou mécanicien : la force que le massif d'ancrage doit être capable de supporter sans céder.

Normes

Les normes de génie civil (comme l'Eurocode 7 pour la géotechnique) sont utilisées pour dimensionner le massif en béton (la butée) capable de reprendre cette force et de la transmettre au sol en toute sécurité.

Formule(s)

Magnitude de la force résultante

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

Angle de la force résultante

\[ \theta = \arctan\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]
Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire. On suppose que la butée est parfaitement rigide et capable de fournir la force requise.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Composante horizontale (coude→fluide)\(F_{x}\)-11877N
Composante verticale (coude→fluide)\(F_{y}\)4813.5N
Astuces

Dessinez toujours le vecteur de la force résultante avec ses composantes. Cela vous aide à visualiser l'orientation de la force et à vérifier si l'angle que vous calculez est cohérent avec le quadrant attendu.

Schéma (Avant les calculs)
Action et Réaction
CoudeF (Coude → Fluide)R (Butée → Coude)
Calcul(s)

Composante horizontale de la force de la butée

\[ \begin{aligned} R_x &= -F_x \\ &= -(-11877) \\ &= 11877 \text{ N} \end{aligned} \]

Composante verticale de la force de la butée

\[ \begin{aligned} R_y &= -F_y \\ &= -(4813.5) \\ &= -4813.5 \text{ N} \end{aligned} \]

Magnitude de la force résultante

\[ \begin{aligned} R &= \sqrt{11877^2 + (-4813.5)^2} \\ &= \sqrt{141063129 + 23170000} \\ &= \sqrt{164233129} \\ &\approx 12815 \text{ N} \end{aligned} \]

Angle de la force résultante

\[ \begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{4813.5}{11877}\right) \\ &\approx \arctan(0.4053) \\ &\approx 22.06^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Force Résultante de la Butée sur le Coude
RRx = 11.9 kNRy = -4.8 kNθ
Réflexions

La butée doit fournir une force considérable (près de 1.3 tonne-force) dirigée vers la droite et vers le bas pour contrer à la fois la poussée du fluide et le changement de direction. Cela justifie la nécessité de massifs d'ancrage en béton sur les coudes des conduites sous pression.

Points de vigilance

L'erreur la plus critique est de confondre la force du coude sur le fluide (\(\vec{F}\)) avec la force de la butée sur le coude (\(\vec{R}\)). Rappelez-vous que \(\vec{R} = -\vec{F}\), donc les signes des deux composantes s'inversent.

Points à retenir

  • La force d'ancrage est la réaction aux forces de pression et aux changements de quantité de mouvement du fluide.
  • Le calcul vectoriel (magnitude et angle) est essentiel pour définir complètement la force résultante.

Le saviez-vous ?

Dans les grands barrages hydroélectriques, les conduites forcées peuvent avoir plusieurs mètres de diamètre. Les forces sur les coudes peuvent atteindre des milliers de tonnes et nécessitent des massifs d'ancrage en béton armé de la taille d'un petit immeuble, creusés à même la roche.

FAQ

Le poids du coude et de l'eau n'intervient-il pas ?

Si, dans le cas général. Nous l'avons négligé car l'énoncé précisait un coude horizontal. Pour un coude dans un plan vertical, il faudrait ajouter le poids de l'eau contenue dans le VC et le poids du coude lui-même au bilan des forces sur l'axe vertical.

Résultat Final
La butée doit exercer une force de 12.82 kN, orientée à 22.1° sous l'horizontale.
A vous de jouer

Quelle serait la magnitude de la force R (en kN) si le coude n'était pas réducteur (\(D_{\text{1}}=D_{\text{2}}=300\) mm) ?

Outil Interactif : Simulateur de Force

Utilisez les curseurs pour faire varier le débit et le diamètre d'entrée. Observez en temps réel l'impact sur la force résultante nécessaire pour maintenir le coude. Le graphique montre l'évolution de la force en fonction du débit pour le diamètre d'entrée sélectionné.

Paramètres d'Entrée
0.30 m³/s
300 mm
Résultats Clés
Force Résultante (R) - kN
Angle (θ) - °

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur quelle loi fondamentale repose l'équation de quantité de mouvement ?

2. Si le débit (Q) double, comment la force résultante (approximativement) évolue-t-elle ?

3. Dans notre calcul, pourquoi la force de pression en sortie (\(P_{\text{2}} A_{\text{2}}\)) n'intervient-elle pas dans le bilan sur l'axe x ?

4. Qu'est-ce qu'un volume de contrôle ?

Équation de Quantité de Mouvement
Principe de la mécanique des fluides, basé sur la 2ème loi de Newton, permettant de calculer la force résultante exercée par un fluide en mouvement sur un solide (comme un coude, une aube de turbine, etc.).
Volume de Contrôle (VC)
Une région de l'espace, généralement fixe et de forme définie, utilisée pour analyser un écoulement. On étudie les flux de masse, d'énergie et de quantité de mouvement qui entrent et sortent de ce volume.
Débit Massique (\(\dot{m}\))
La masse de fluide qui traverse une section par unité de temps. Il est égal au produit de la masse volumique (\(\rho\)) et du débit volumique (\(Q\)). Son unité est le kg/s.
Équation de Bernoulli
Principe de conservation de l'énergie pour un fluide en mouvement, reliant la pression, la vitesse et l'altitude. Valable pour un fluide incompressible et non-visqueux.
Application de l’Équation de Quantité de Mouvement

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